WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 1997, том 39, № 5 Междолинная конверсия на границе.

Микроскопическая модель © Л.С. Брагинский, Д.А. Романов Институт физики полупроводников Сибирского отделения Российской академии наук, 630090 Новосибирск, Россия (Поступила в Редакцию 15 октября 1996 г.) Предложена простая модель, позволяющая корректно получить граничные условия на огибающие волновые функции в случае контакта материалов с существенно разным характером электронного спектра (наличие и отсутствие боковой долины либо существенно различное ее положение). Рассмотрено прохождение электрона через такую границу, найдены аналитические выражения для коэффициентов прохождения и междолинного перехода. Зависимости этих коэффициентов от параметров граничащих материалов и характера границы оказываются определяющими для явлений вертикального транспорта. Обсуждаются возможные следствия эффективной конверсии на границах в многослойных структурах.

Вопросы электронных переходов между центральной версии на границе в зависимости от параметров самой и боковой долинами являются актуальными в различных границы и граничащих материалов.

явлениях вертикального транспорта. Механизмы междоВ настоящей работе предложена простая одномерная линного перехода на границе раздела популярной гетемодель, которая является обобщением модели, рассморопары GaAs/AlGaAs подробно обсуждались в [1], где тренной нами ранее в [3]. Предлагаемая модель пона основе численных расчетов получены коэффициенты зволяет корректно получить условия сшивки на полную связи огибающих волновых функций (ОВФ) - иX-долин блоховскую волновую функцию и на огибающую в слупо разные стороны границы. Численные результаты [1] чае контакта материалов с существенно разным полопослужили основой для последующего рассмотрения жением боковой долины и аналитически проделать весь более тонких эффектов, связанных с междолинной конпуть от обобщенных граничных условий до физических версией на границе [2]. В этих работах существенно величин — коэффициентов прохождения и междолинной эксплуатируются характерные особенности конкретных конверсии, — вычисляемых по огибающим волновым материалов, составляющих гетеропару, которые оказывафункциям.

ются одинаковыми по кристаллографической симметрии и обладают близкими параметрами.

В частности, a priori неочевидны предположения о 1. Модель ”двухдолинный зигзаг” раздельной сшивке на гетерогранице блоховских функций различных долин и правомерность использования Заметим, что сами по себе чисто одномерные модели положений энергетических уровней граничных атомов не могут дать энергетического спектра с боковой долииз ”объемных” данных по промежуточным соединениям.

ной просто потому, что решения одномерного уравнения Поскольку результаты [1] представлены в численном виШредингера могут быть не более чем двукратно выроде, они не допускают качественного исследования важножденными. Обычно (например, в [1]) это ограничение сти сделанных предположений и зависимости характера обходят путем использования в модели типа сильной и интенсивности междолинной конверсии от параметров связи одномерной цепочки из ”трехмерных” атомов, структуры. Указанные недостатки являются естественволновые функции которых вырождены по проекции ными следствиями того, что хотя использованная в [1] орбитального момента. Однако, как уже отмечалось, модель ЛКАО с учетом s-p-гибридизации и достаточно это приводит к резкому увеличению числа уравнений хорошо описывает конкретную структуру, она приводит и делает модель недоступной аналитического исследок слишком сложным выражениям, не допускающим анавания. Мы же добились усложнения энергетического литического исследования.

спектра, имитирующего реальный двухдолинный закон Возникает естественный вопрос: как быть в случае контакта материалов с существенно разным положе- дисперсии, с помощью изменения самой структуры однонием боковых долин или, тем более, в случае, ко- мерной цепочки — придания ей зигзагообразной формы гда в одном из материалов боковая долина вовсе от- (правая часть рис. 1), т. е. учета перехода электронов не сутствует (структуры металл–полупроводник, металл– только на ближайшие соседние атомы, но и на следующие за ближайшими (фактически это предельный случай диэлектрик–полупроводник, граница полупроводника с вакуумом) Насколько в этом общем случае можно бу- рассмотренной в [4] модели фуллереновой нанотрубки).

дет доверять выводам, сделанным в результате расчетов Такая зигзагообразная моноатомная одномерная цепочка типа [1] Поэтому актуальной является задача поиска является, по-видимому, простейшим вариантом модели, и исследования простых моделей, которые позволили позволяющим аналитически рассмотреть двухдолинную бы качественно исследовать процессы междолинной кон- ситуацию.

840 Л.С. Брагинский, Д.А. Романов процедура введения ОВФ в методе сильной связи [5] предполагает определение непрерывной функции (x), которая в точках x = n принимала бы значения Cn. Однако в нашей ситуации наличие внутризонного вырождения не позволяет воспользоваться этим простым рецептом и требует аккуратного введения двух огибающих функций. В связи с принципиальностью этого момента для дальнейшего изложения — остановимся на нем более подробно.

Поскольку мы собираемся использовать обе ОВФ при написаннии граничных условий, неудобно разделять их с Рис. 1. Контакт цепочка–зигзаг. Темные и светлые точки помощью процедур в импульсном пространстве. Поэтосоответствуют атомам различного типа.

му воспользуемся искусственным приемом, имеющим, однако, прозрачный физический смысл. Будем сначала формально считать верхние и нижние атомы на рис. Рассмотрим прежде всего бесконечную зигзагообразразличными (т. е. разрушим дополнительную симметрию ную цепочку. Полупериод структуры равен a, атомы системы и избавимся от двухдолинности за счет появленумеруются целочисленным индексом n. В приближения двухзонности). Тогда вместо уравнения (1) получим нии сильной связи электронные состояния такой систесистему двух связанных разностных уравнений на C2n мы, соответствующие энергии E, описываются конечнои C2n+1. Вводя теперь непрерывные функции 1(x) и разностным уравнением 2(x), связанные с амплитудами Cn как Cn(E - Er) - t1(Cn+1 +Cn-1) - t2(Cn+1 + Cn-1) =0. (1) 1 1(2na) = C2n, 2 (2n +1)a = C2n+1, (4) a a Здесь Cn — амплитуда вероятности пребывания электрона на n-м атоме, Er — энергия электронного состояния получаем для них из (1) систему уравнений, которая на изолированном атоме, туннельные интегралы t1 и инвариантна относительно замены 1(x) 2(x), t2 соответствуют переходу электрона между соседними 2(x) 1(x). Поэтому она диагонализуется введением атомами по зигзагу и вдоль оси x. Предполагается, что функций величины t1 и t2 одного порядка.

1 Заметим, что рассматривемая структура имеет несоб + = (1 +2), - = (1 - 2), (5) ственный элемент симметрии — сдвиг на a с отражением 2 относительно оси x. Формально именно эта дополкоторые, таким образом, определяются уравнениями нительная симметрия делает возможным вырождение однозонного спектра, т. е. наличие боковой долины. В d d 2t1 cos h a + - 2t2 cos h 2a + этом смысле она моделирует более сложную ситуацию dx dx с ”трехмерными” атомами, о которой говорилось выше.

Физическим механизмом, реализующим возможность =(E-Er)+, вырождения, как раз и являются легкие переходы ”через соседа” в нашей цепочке. d d -2t1 cos h a - - 2t2 cos h 2a Уравнение (1) приводит к двухдолинному закону дисdx dx персии электрона =(E-Er)-. (6) r(k) =Er -2t1 cos(ka) - 2t2 cos(2ka), (2) Функции (5) и есть требуемые огибающие, причем - соответствует центральной долине, а + — боковой.

причем параметры зонной структуры связаны с величиКак легко видеть, при разложении в уравнениях (6) по нами t1, t2 и a следующим образом:

малости a в сравнении с длиной волны электрона дей m2 + m1 m2 - mствительно получаются уравнения эффективной массы, t1 =, t2 =, a2 =, (3) 4 16 m2 - m1 m2m1 соответствующие массе центральной и боковой долин в (3).

где m1 и m2 — эффективные массы соответственно в центральной и боковой долинах, — энергетический 2. Контакт цепочка–зигзаг: граничные зазор между этими долинами.

Описание поведения зонного электрона в медленно условия на ОВФ меняющихся внешних полях естественно проводить с помощью огибающей волновой функции (ОВФ). Заме- Перейдем теперь к рассмотрению контакта зигзага с тим, однако, что введение ОВФ является в этом слу- обычной линейной цепочкой. Будем считать, что последчае нетривиальной процедурой. Действительно, обычная няя занимает область x < 0 (рис. 1) и описывается Физика твердого тела, 1997, том 39, № Междолинная конверсия на границе. Микроскопическая модель стандартным уравнением сильной связи Такие граничные условия обеспечивают резкую (резонансную!) зависимость влияния границы от параметров Cn(E - El) - tl(Cn+1 + Cn-1) =0, n <-1, (7) структуры. Действительно, члены, содержащие межатомные расстояния a и b, являются малыми и в первом припричем в общем случае a = b = c. Как видно из ближении могут быть опущены. Тогда при tl/t - t/t1 = рис. 1, три атома на границе полуцепочек (n = -1, соотношения (10) сводятся к требованию обращения в 0, 1) находятся в выделенном положении. Для них нуль на границе всех трех волновых функций, т. е. к приближение сильной связи дает уравнения полному отсутствию связи между полупространствами (и между долинами в правом полупространстве). Если C-1(E - El) - tlC-2 - tC0 - t C1 = 0, же tl/t - t/t1 = 0, малости во втором из уравнений (10) сокращаются. В результате получаются равенство + и C0(E - Er) - t1C1 - t2C2 - tC-1 = 0, - на границе и обычная раздельная связь между функC1(E - Er) - t C-1 - t1(C0 + C2) - t2C3 = 0, (8) циями и их производными по разные стороны границы.

которые и играют роль условий сшивки для амплитуд Cn. В дальнейшем для простоты изложения полагаем 3. Коэффициенты конверсии туннельный интеграл t = 0.

и прохождения Выражая в уравнениях (8) амплитуды Cn через ОВФ согласно (4) (и аналогичному соотношению для левой Граничные условия (10) позволяют легко получить полуцепочки) и используя уравнения (6), приходим к коэффициенты прохождения и междолинной конверсии следующим нелокальным условиям сшивки для ОВФ:

при падении электронной волны на границу раздела.

Пусть исходная волна падает справа и принадлежит ценtl bl(b - c) =t a +(0) +-(0), тральной долине. Тогда огибающие волновые функции имеют вид t bl(-c) =t2 a +(-2a) +-(-2a), - = e-ik-x + Aeik-x, + = Beik+x, l = De-iklx, (11) +(-a) --(-a) =0. (9) где kl, k- и k+ — решения уравнений E = l,-,+ соотЗаметим, что простой вид третьего уравнения является ветственно. Коэффициенты прохождения и конверсии в следствием сделанного нами упрощающего предположебоковую долину даются выражениями ния t = 0.

Наличие именно трех граничных условий является в 1 - 4t2 cos k+a данном случае необходимым и достаточным для полного sin k+a tTc = |D|2, определения электронной волновой функции во всем sin k-a 1 + 4t2 cos k-a tпространстве. Действительно, ОВФ слева от границы определяется двумя свободными параметрами, а ОВФ tlb sin klb Ccs = |B|2. (12) справа от границы — четырьмя. Одна из ”левых” конt1a(sin k-a) 1 + 4t2 cos k-a стант и две из ”правых” констант определяются услоtвиями на бесконечности, а оставшиеся три констанПосле несложных, но громоздких преобразований поты — уравнениями (9). Нелокальность полученных лучаем граничных условий отвечает формально бесконечному порядку дифференциальных уравнений, определяющих sin k-a sin klb 1 - 4t2 cos k+a tОВФ (аналогично [3]).

Tc = Для получения граничных условий обычного вида, cos2 k-a-k+a 1+4t2 cos k-a 2 tсвязывающих ОВФ и их производные, удобно в (9) разложить (до первого порядка) функции i по малости 2 (cos k-a + cos klb)межатомных расстояний по сравнению с длиной волны., 2 + 1 - 2 cos(klb + k-a + k+a) Такая процедура, естественно, будет соответствовать приближению эффективной массы в уравнениях (6) (и t2 sin k-a sin k+a Ccs = соответствующем уравнении для левой полуцепочки).

2t1 cos2 k-a-k+a 1+4t2 cos k-a 2 tПосле очевидных преобразований получившиеся дифференциальные граничные условия имеют вид 2 + 1 + 2 cos klb. (13) + - - - a( + - -) =0, 2 + 1 - 2 cos(klb + k-a + k+a) Введенный здесь структурный параметр tl t b tl b - l + b l =2a( + + -), = t2tl/t2 (14) t t2 a t a определяет степень согласованности характеристик маtl b (l + b l) =(+ +-). (10) териалов и их границы (в смысле рассуждений после t a Физика твердого тела, 1997, том 39, № 842 Л.С. Брагинский, Д.А. Романов Рис. 2. Энергетическая зависимость коэффициента прохождения электрона через структуру цепочка–зигзаг–цепочка. a = b, L = 20a, t1 = 0.3, t2 = 0.7, t = 2 (a) и 0.6 (b).

формулы (10)). Выражения для прохождения и кон- между двумя однодолинными линейными цепочками.

версии из боковой долины Ts и Csc получаются из (13) Не приводя громоздкую формулу для коэффициента заменой k- k+ и t1 t2. прохождения в этом случае, ограничимся результатами Как можно заметить, при t1 0 (что соответствует численных расчетов по этой формуле, приведенными на расцеплению верхней и нижней половин зигзага на рис. 2.

независимые линейные цепочки) выражение (13) для коТолщина среднего слоя взята L a, его параметры эффициента прохождения переходит в соответствующую t1 = 0.3, t2 = 0.7 моделируют типичное располоформулу работы [3]. Более нетривиальным является жение центральной и боковой долин в прямозонных предельный переход t2 0, т. е. выравнивание зигзага полупроводниках. Кривые, приведенные на рис. 2, a и b, в цепочку. Однако аккуратное использование предельной различаются значением параметра t, определяющего стеформы решения для k+ позволяет и в этом случае прийти пень перемешивания волновых функций приграничных к тому же выражению.

атомов.

Видно, что энергетическая зависимость обоих коэффиВ ситуации, далекой от условия структурного резоциентов (Tc и Ccs) существенно определяется величиной нанса (рис. 2, a), несмотря на большую величину t, безразмерного структурного параметра. В частности, т. е. на легкость электронных переходов между атомами, если величина далека от единицы, оба процесса (пролежащими по разные стороны границы, прохождение хождения и конверсии) оказываются сильно подавленныэлектрона через структуру оказывается существенно поми, в меру малости постоянной решетки по сравнению давленным в большей части зоны. Эффективное запис длиной волны ОВФ (k-a 1 либо k+a 1). Если рание электрона в области среднего слоя приводит к же параметры границы и граничащих материалов таковы, появлению хорошо выраженных квазиуровней и к узким что выполняются условия структурного резонанса 1, резонансам коэффициента прохождения через структуру.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.