WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 5 Аномальная дисперсия поперечных акустических волн в пьезоэлектрической сандвич-структуре © В.И. Альшиц, В.Н. Любимов Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова Российской академии наук, 117333 Москва, Россия E-mail: alshits@ns.crys.ras.ru (Поступила в Редакцию 21 октября 2002 г.) Описана трансформация дисперсионных кривых собственных чисто поперечных (SH) акустических волн в сандвич-структуре из двух пластин под влиянием пьезоэлектрического эффекта. Пластины разделены зазором, много меньшим длины волны, так что взаимосвязь акустических полей между пластинами обусловлена исключительно пьезоэлектрическим эффектом. Указанное взаимодействие ликвидирует все точки перечения изначально (в нулевом приближении) независимых дисперсионных кривых, расталкивая и „перепутывая“ их. В результате каждая „новая“ дисперсионная ветвь строится из сопряженных отрезков множества исходных ветвей. При этом с изменением волнового числа (или частоты) основная зона локализации акустического поля с определенной периодичностью плавно переходит от пластины к пластине.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 01-02-16228).

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы по- „перепутывание“ ветвей. Дисперсионные ветви измененказать, как относительно слабое электромеханическое ного пьезоэффектом спектра строятся из сопряженных взаимодействие — пьезоэлектрический эффект — при- отрезков множества исходных ветвей. Поэтому при водит к радикальным изменениям в спектре собственных сканировании волнового числа вдоль одной из новых чисто поперечных (SH) акустических волн в сандвич- дисперсионных кривых волновое поле должно попереструктуре и к существенным изменениям в самих вол- менно „погасать“ то в одной пластине, то в другой.

новых полях. Новые качества возникают в результате Рассмотрим эту картину более детально.

возмущения, снимающего вырождение, когда исчезают точки пересечения дисперсионных кривых. Подобный 1. Постановка задачи механизм, в частности, описан для лэмбовских волн в уединенных анизотропных пластинах [1,2], когда возмуИсследуемая сандвич-структура образована двумя щением является отклонение направления распрострапластинами, выполненными из поперечно-изотропных нения волнового поля от симметричной ориентации.

пьезоэлектрических материалов (рис. 1). Симметрия Рассматриваемая далее сандвич-структура образована материалов может быть любой из трех групп: mm, двумя пьезоэлектрическими пластинами, разделенными 6mm, 4mm [3]. В наше рассмотрение войдут следующие зазором, много меньшим, чем длина волны. При этом компоненты тензоров пьезоэлектрических коэффициенвзаимосвязь акустических полей в пластинах полностью тов e, диэлектрических проницаемостей и упругих обусловлена пьезоэффектом. Роль зазора сводится к модулей c:

исключению влияния сухого трения между пластинами.

В этом смысле можно в равной степени говорить как e15 = e24 e, 1 = 2, c44 = c55 c. (1) о зазоре, так и о скользящем контакте пластин: результаты расчетов одновременно описывают оба случая, Эти параметры характеризуют нижнюю пластину, поскольку относятся к поперечным SH-волнам с полями имеющую толщину d, плотность и занимающую смещений, параллельными границе. область 0 y d. Соответствующие параметры в верхПри отсутствии пьезоэлектрического взаимодействия ней пластине (-d y 0) будем обозначать,, c,.

волновые поля в пластинах независимы друг от друга. Главные оси симметрии пластин предполагаются паСоответственно каждая из множества дисперсионных раллельными друг другу, а сагиттальная плоскость xy кривых описывает SH-волны в какой-то одной из пластин (плоскость, в которой лежат все волновые векторы) рассматриваемой структуры. При этом точкам пересече- выбрана перпендикулярной этим осям.

ния кривых двух семейств отвечают невзаимодейству- Будем рассматривать SH-волны с упругими смещениющие волновые поля одновременно в двух пластинах. ями u и, перпендикулярными сагиттальной плоскости.

„Включение“ пьезоэффекта порождает взаимопроникно- Единственной отличной от нуля компонентой u является вение волновых полей и, следовательно, взаимодействие uz = u(x, y, t). Точно так же =(0, 0, z ), z = (x, y, t).

между SH-волнами, распространяющимися в гранича- Векторы смещения u и параллельны границе между щих друг с другом пластинах. В результате в каждой из пластинами и при рассматриваемом типе контакта через точек пересечения дисперсионных кривых двух семейств зазор (или скользящего контакта) чисто механическая должно произойти расталкивание, а следовательно, и связь между ними отсутствует. Однако пьезоэффект Аномальная дисперсия поперечных акустических волн в пьезоэлектрической сандвич-структуре механических напряжений: yi = 0 и yi = 0 (в рассмат риваемом случае только компоненты yz и yz не обращаются в нуль тождественно). На внутренней границе должны быть непрерывны электрические потенциалы [ (x, 0, y) = (x, 0, y)] и нормальные по отношению к этой границе компоненты электрических индукций [Dy (x, 0, y) = Dy (x, 0, y)]. Для облегчения вычислений будем считать, что внешние границы пластин металлизированы (при этом электрические поля не выходят за Рис. 1. Исследуемая сандвич-структура и ее акустические пределы рассматриваемой сандвич-структуры). Поэтому параметры. Полуокружности — сечения изочастотных пона этих границах будет необходимо обращение в нуль верхностей объемных поперечных волн, стрелками показаны потенциалов и. В результате получается система волновые векторы парциальных волн волноводной моде.

из восьми однородных алгебраических уравнений, в которой неизвестные — амплитудные коэффициенты a±, b±, ±, b±. Избегая громоздких выкладок, не будем порождает электромеханическую связь, и акустические приводить явный вид этих уравнений. Условие разрешиполя в граничащих пластинах оказываются взаимосвямости этой системы — обращение в нуль ее детермизанными. Волны упругих смещений u в силу пьезоэфнанта — определяет бесконечный спектр зависимостей фекта индуцируют квазистатические электрические по- фазовой скорости v от волнового числа: v = v(n)(k) ля, характеризуемые потенциалом = (e/)u(x, y, t).

u (n = 1, 2,...). В основе дальнейшего анализа лежит Кроме того, в общее волновое поле вносят вклад исследование этого спектра.

кулоновские неоднородные волны электрического поля, характеризуемые потенциалом (см. [4]). Таким обраc 2. Дисперсионные кривые зом, суммарный потенциал (x, y, t) должен быть равен сумме = +. При этом волновое поле в нижней при отсутствии пьезоэффекта u c пластине можно представить в следующем виде:

В этом случае акустическая связь между пластинами u(x, y, t) u(y) отсутствует, и волновые поля соседних пластин не = exp ik(x -vt). (2) влияют друг на друга. При выбранной нами ориентации (x, y, t) (e/)u(y) + (y) c сагиттальной плоскости описание этих полей в каждой отдельной пластине будет точно таким же, как и в Здесь k —волновое число, v = /k — фазовая скорость пластинах из изотропного материала (см. [5,6]). Далее распространения волнового поля вдоль оси x, — основной интерес для нас будут представлять структура частота, t — время. Введенные в (2) функции u(y) и картины, возникающей при наложении дисперсионных (y) могут быть представлены в виде c кривых двух пластин друг на друга, и точки пересечения дисперсионных ветвей.

u(y) =a+ exp i pk(y - d/2) + a- exp -i pk(y - d/2), В каждой из пластин собственные волны подраз(3) деляются на симметричные и антисимметричные. Для (y) =b+ exp -k(y - d/2) + b- exp k(y - d/2). (4) c симметричных волн отражение в центральной плоскости пластины не меняет векторного волнового поля упругих В (3), (4) использован безразмерный параметр p, опресмещений, а для антисимметричных это поле при таком деляющий направление распространения двух объемных отражении меняет знак на противоположный. Дисперсипарциальных волн, онное уравнение, одновременно описываюшее оба типа этих волн в нижней пластине, имеет вид p p(v) = v2/vt - 1, vt =(c + c2/)/ (5) sin(pkd) =0. (6) (рис. 1). В (5) vt — скорость SH-волны в материале пластины. Волновое поле в верхней пластине опреОтсюда следует, что деляется аналогичными сотношениями после замены в них u,,, e,, a±, b±, p, vt, c,,, c,,, c p(v(n)) =n/kd, (7) ±, b±, p, t, c, соответственно.

Соотношения между амплитудными коэффициентами где n = 0, 2, 4,... для симметричных волн (в них a±, b±, ±, b± парциальных волн находятся из гранич- a+ = a-) и n = 1, 3, 5,... для антисимметричных волн ных условий. На внешних границах y = d, y = -d и на (в них a+ = -a-). Аналогичные соотношения имеем и внутренней границе y = 0 при рассматриваемом типе для верхней пластины, для которой контакта между пластинами должны обращаться в нуль все нормальные по отношению к границам компоненты p(v()) =/kd. (8) 5 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 834 В.И. Альшиц, В.Н. Любимов Дискретные параметры n и здесь и далее определяют номера дисперсионных ветвей соответственно в нижней и верхней пластинах.

Разрешая уравнения (7) и (8) относительно фазовых скоростей (см. (5)), нетрудно получить явные выражения, описывающие все невозмущенные дисперсионные ветви для нижней и верхней пластин, v(n)(k) =vt (n/kd)2 + 1, v()(k) = t (/kd)2 + 1. (9) Каждая из зависимостей в (9) описывает серию кривых, которые не пересекаются друг с другом (рис. 2). Однако для двух пластин, отличающихся численными значениями материальных характеристик (vt = t, d = d), эти семейства кривых при наложении друг на друга имеют множественные пересечения (рис. 3, a). Из формул (9) находим координаты всего множества точек пересечения ветвей, определяемых номерами n и, (nvt/d)2 - (t/d)kn =, 2 t - vt (n/d)2 - (/d)vn = vtt. (10) (nvt/d)2 - (t/d)Требование вещественности найденных координат определяет все множество значений номеров n и пересекающихся ветвей.

Рис. 3. Схема трансформации дисперсионных кривых под влиянием пьезоэффекта. a — фрагмент области пересечения дисперсионных кривых собственных волн в невзаимодействующих пластинах; b — трансформация в окрестности любой из точек пересечения, пунктиром показан ход кривых при отсутствии пьезоэффекта; c — трансформированная система дисперсионных кривых, показанных на части a.

Зная фазовые скорости волн, можно определить их групповые скорости, используя общее соотношение между этими двумя видами скоростей vg = v + kv/k.

Рис. 2. Дисперсионные кривые собственных волн в нижней При этом из формул (9) получаем пластине при отсутствии пьезоэффекта. Сплошные кривые соответствуют симметричным волновым поля, а штриховые — 2 v(n)(k) =vt /v(n)(k), ()(k) = t /v()(k). (11) g g антисимметричным.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аномальная дисперсия поперечных акустических волн в пьезоэлектрической сандвич-структуре Для координат точек пересечения ветвей групповых одна из пластин непьезоэлектрическая, пьезоэффект, скоростей теперь имеем существующий лишь в одной из пластин, не устраняя точки пересечения ветвей, только сдвигает их; формула (13) характеризует меру такого сдвига.

(n/vtd)2 - (/td)kn = vtt, g Анализ расщепления ветвей групповых скоростей по2 vt - t казывает, что оно также реализуется, но оказывается величиной более высокого порядка малости 22 по (n/vtd)2 - (/td)сравнению с расщеплением ветвей фазовых скоростей.

vn = vtt. (12) g (n/d)2 - (/d)2 Мы не будем здесь приводить соответствующие гроКак следует из соотношений (10) и (12), при vt = t моздкие формулы.

Проведенный приближенный анализ предполагает рассматриваемые пересечения ветвей в семействах как определенную малость коэффициентов электромеханифазовых, так и групповых скоростей отсутствуют.

ческой связи, а такое предположение обычно хорошо оправдывается на практике. Однако, несмотря на слабость пьезоэффекта, его влияние на геометрию диспер3. Трансформация спектра сионных кривых оказалось весьма радикальным. Элекпод влиянием пьезоэффекта тромеханическое взаимодействие приводит к исчезновению точек пересечения дисперсионных кривых: они расПьезоэффект, обеспечивая взаимосвязь акустических талкиваются на величину, пропорциональную коэффиполей в граничащих друг с другом пластинах, при циентам электромеханической связи 2 2 (см. (13)).

водит к устранению свойств симметрии волновых поПри этом происходит перепутывание изначально незавилей, поскольку материальные характеристики пластин симых ветвей, каждая ветвь измененной пьезоэффектом различны. Но самое существенное — это радикальсистемы дисперсионных кривых строится из сопряженная перестройка всей системы дисперсионных кривых.

ных отрезков множества исходных ветвей, отвечающих Опишем ее для семейства ветвей фазовых скоростей.

волновым полям как в одной, так и в другой пластинах.

Все точки пересечения дисперсионных кривых исчезают, В результате зависимость основных зон локализации кривые расталкиваются (рис. 3, a–c). Опуская доставолнового поля от волнового числа (или частоты) принточно громоздкие алгебраические выкладки и считая ципиально меняется. При плавном изменении волнового пьезоэффект малым возмущением, приведем величину, числа зоны локализации волнового поля с определенной характеризующую расталкивание дисперсионных ветвей периодичностью должны переходить от одной пластины фазовых скоростей, имеющих номера n и, к другой, оказываясь соразмерными в обеих пластинах вблизи точек „разрыва“. Вблизи таких точек перехода (k/)резко меняется производная v/k, т. е. небольшое изDn = 2| k| = |F1| менение волнового числа влечет за собой значительное изменение групповой скорости распространения вол (2Gd/n2 + 2Gd/2)2 - 8(2F1d/n2)(2F2d/2). (13) нового поля. Естественно, ветви групповых скоростей при включении взаимодействия тоже расщепляются, но Здесь 2 = e2/c и 2 - 2/c — коэффициенты элек- величина этого расщепления значительно меньше, чем тромеханической связи для нижней и верхней пластин для фазовых скоростей: она пропорциональна 22.

соответственно. В (13) введены следующие функции: Заметим, что выявленная картина дисперсионных аномалий качественно не изменится в электрически „открыF1 = gcgs +gsgc, F2 = gs (gc -1)+gs(gc -1), (14) тых“ сандвич-структурах, внешние поверхности которых не металлизированы.

G = gs gs + 2gc(gc - 1), G = gsgs + 2gc(gc - 1), (15) Список литературы gs =(-1)n sh(kd), gs =(-1) sh(kd), [1] В.Н. Любимов, В.И. Альшиц. Кристаллография 33, 2, gc =(-1)n ch(kd), gc =(-1) ch(kd). (16) (1988).

В формулах (13) и (16) величина k — координата точек [2] V.I. Alshits, M. Deschamp, G.A. Maugin. Wave Motion 37, пересечения ветвей, заданная соотношениями (10).

in press (2003).

Если обе пластины имеют одинаковые материальные [3] Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. Основы кристаллофизихарактеристики, то при отсутствии пьезоэффекта дис- ки. Наука, М. (1975). 680 с.

персионные кривые этих пластин полностью совпада- [4] М.К. Балакирев, И.А. Гилинский. Волны в пьезокристаллах.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.