WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 7 Роль пространственной локализации частицы в процессе туннелирования © Н.Л. Чуприков Сибирский физико-технический институт при Томском государственном университете, 634050 Томск, Россия (Получена 4 июля 1996 г. Принята к печати 14 ноября 1996 г.) Теоретически исследованы коэффициент прохождения и времена туннелирования частиц, описываемых гауссовыми волновыми пакетами конечной ширины. Рассчитаны средние импульсы частиц в случае прохождения и отражения. Показано, что параметры туннелирования сильно зависят от степени пространственной локализации частиц.

Введение туннелирования для частиц, описываемых волновыми пакетами общего вида.

Данная статья является по существу продолжением Последние исследования показали, что проблема тунработы [3]. Здесь мы исследуем численно параметры нелирования не столь тривиальна, как это казалось туннелирования частицы (коэффициент прохождения, вначале, даже в своей простейшей постановке. Уже в средний импульс, а также определенные в [3] времена рамках одномерной одночастичной модели камнем претуннелирования), начальное состояние которой описыткновения оказался вопрос, об определении временных вается гауссовым волновым пакетом характеристик туннелирования [1,2]. Можно сказать, что в настоящее время ясное понимание процесса туннели c рования достигнуто лишь для частиц, импульс которых inc(x, t) = A(k) i(kx - E(k)t/ ) dk, (1) задан достаточно точно. Предполагается, что такие ча- 2 стицы описываются волновыми пакетами, широкими по сравнению с барьерными структурами, в которых про- где 2 исходит туннелирование. Большинство исследователей A(k) =exp -l0(k - k0)2 ;

(см. обзор [1]) сходятся на том, что динамика частиц c — нормировочная константа; l0 — ширина пакета;

в барьерной области характеризуется в этом случае 2 k0 — среднее волновое число; E(k) = k2/2m. В со”фазовым” временем прохождения.

ответствии с [3] здесь предполагается, что левая граница Совершенно иная ситуация имеет место для частиц, барьера расположена достаточно далеко справа от начала которые описываются волновыми пакетами произволькоординат, где находится в начальный момент времени ной ширины. Здесь нет единого мнения (см. [1,2]) ни в максимум падающего волнового пакета.

том, как правильно определять времена туннелирования, Пусть T (k) и J(k) — коэффициент прохождения и ни даже в том, как правильно интерпретировать некотофаза, характеризующие туннелирование отдельной волрые свойства динамики волновых пакетов в одномерных ны с заданным значением волнового числа k (см. [6]).

структурах, наблюдавшиеся при численном моделироТогда, согласно [3], время прохождения частицы через вании. Сюда относятся такие эффекты, как изменение барьерную область, tr, запишется в виде среднего импульса волновых пакетов в процессе рассеяния, а также ”преждевременное” (т. е. с ”нарушением” m J tr tr =. (2) принципа причинности) появление прошедшего пакета k tr по другую сторону барьера.

Соответствующее время отражения, ref, если ограниАнализ, проведенный в работе [3], показал, что начиться рассмотрением симметричных барьеров, опредеблюдаемое поведение волновых пакетов выглядит как ляется выражением нефизическое в результате неверной трактовки квантовомеханического описания процесса туннелирования. Дейm J ref ref =. (3) ствительно, обычно (явно [4,5] или неявно [2]) при оцен -k ref ке времен туннелирования частицы положения центров масс (т. е. средние значения координаты x) прошедшего Здесь и далее знак... обозначает усреднение по и отраженного пакетов сравниваются по отдельности прошедшему (tr), отраженному (ref) или падающему с соответствующей характеристикой падающего пакета.

(inc) волновым пакетам (см. [3]); штрихом обозначена Однако такая процедура не имеет физического смысла.

производная по k. Коэффициент прохождения частицы поскольку все три пакета описывают разные совокупно- T, определяется (см. там же) по формуле T = T (k).

inc сти измерений. Детально этот вопрос рассмотрен в ра- Все вычисления мы проводили для безразмерных велиботе [3], где мы предложили новое определение времен чин. Причем в качестве основной единицы измерения, d, 826 Н.Л. Чуприков в случае непериодических структур выбиралась ширина друга. Однако, как уже отмечалось (см. [3]), это вовсе барьерной структуры, а в случае периодических струк- не означает, что частица ускоряется или замедляется тур — ширина одного периода. Формулы, связывающие потенциальным барьером (хотя возможна и такая интерразмерные и безразмерные (обозначены волной сверху) претация [2]). Очевидно, при рассеянии на статическом величины, запишем в виде потенциальном барьере импульс частицы не должен изменяться. В квантово-механическом описании (которое md по своей сути относится ко всей совокупности измере0 = 0d, l0 = l0d, V =, t = t, 2mdний, включающей оба возможных варианта рассеяния) это свойство отображается в том, что средние значения где V — потенциал, t — время, 0 = 2/k0.

импульса по начальному (падающий волновой пакет) и конечному (прошедший плюс отраженный волновой Прямоугольные барьеры пакет) состояниям одинаковы. Таким образом, различие средних импульсов прошедшего и отраженного волновых Основные закономерности изменения параметров тунпакетов указывает лишь на то. что средний импульс нелирования с ростом степени локализации частицы прочастицы по каждой (из двух) серии измерений разный.

демонстрированы на примере прямоугольных барьеров, Причем в каждой серии в отдельности средний импульс для которых = 30, = 5. Прежде всего заметим, частицы до и после рассеяния одинаков (см. [3]). На что для любых барьеров при w = 0 (w = 1/l0) все рис. 1 для исследуемых прямоугольных барьеров попараметры туннелирования частицы совпадают численно казано отношение средних импульсов обоих пакетов к с соответствующими параметрами для отдельной волны.

импульсу падающего пакета как функция параметра w.

В частности, времена туннелирования (2), (3) совпадают Как видно из рисунка, для частиц с точно заданным в с фазовыми временами. Однако при w = 0, когда волно начальный момент времени импульсом или координатой вой пакет, описывающий частицу, имеет в x-пространстве средние импульсы падающего и прошедшего пакетов конечную ширину, характер рассеяния частицы сильно совпадают. В первом случае это обусловлено тем, что изменяется. С ростом w в спектре волнового пакета падающий пакет состоит фактически из одной гармоники.

увеличивается доля гармоник, для которых барьер проВо втором — тем, что частица проходит через барьер зрачен. Это приводит к росту коэффициента прохождене отражаясь (см. выше). (Здесь нужно иметь в виду, ния частицы (рис. 1). Причем наиболее быстрый рост что если в первом случае волновой пакет не меняет наблюдается в области 0 log(w) 2. Для сложных при рассеянии свою форму, то во втором — прошедший многобарьерных структур, когда вблизи E0 (E0 = E(k0)) пакет при достаточно больших временах распадается имеются одноволновые резонансы, поведение T (w) в на счетное множество (ансамбль) волновых пакетов с этой области может быть немонотонным. Однако в одним максимумом, движущихся с разными скоростями).

любом случае при w независимо от k0 и формы В интервале 0 log(w) 2 реализуется ситуация, когда барьера T 1 для частиц, которые в начальный момент доли гармоник в спектре волнового пакета, для которых времени локализованы в точке, любой барьер прозрачен.

Характерной особенностью туннелирования частиц, барьер прозрачен и непрозрачен, одинаковы. Форма волописываемых волновыми пакетами конечной ширины, нового пакета в этом случае искажается при рассеянии является то, что средние импульсы падающего, про- наиболее сильно, а импульс прошедшего пакета максишедшего и отраженного пакетов отличаются друг от мально превышает импульс падающего пакета. Отраженный пакет в этой области замедляется (см. [3]). В общем случае, когда имеются резонансы вблизи E0, зависимость средних импульсов от w для обоих пакетов оказывается более сложной. В частности, импульс прошедшего пакета может быть меньше импульса отраженного.

Теперь обратим внимание на величины J и J, tr ref стоящие в выражениях (2) и (3) для времен туннелирования частицы. Очевидно их можно рассматривать в качестве эффективных ширин барьера для частицы в соответствующей серии измерений. Из рис. 2 видно, что обе величины одинаковы, если импульс частиц задан достаточно точно. Во всех остальных случаях они разные.

В пределе при w эффективная ширина барьера для проходящей частицы (напомним, что частица в этом случае проходит через барьер стопроцентно) равна ширине барьера d. Частицы, первоначально локализованные в Рис. 1. Коэффициент прохождения (точки), а также k /ktr точке, проходят барьерную область, не ”замечая” барьер, (сплошная кривая) и k /k0 (штриховая) для прямоугольных ref поскольку имеют бесконечную среднюю энергию.

барьеров высотой = 30, 0 = 5.

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Роль пространственной локализации частицы в процессе туннелирования должны располагаться от барьера на расстоянии, значительно превышающем его ширину. Если же в начальный момент времени частица описывается гауссовым пакетом, ширина которого много меньше ширины барьера, то зонды могут располагаться уже в непосредственной близости к границам барьера. Если и в этом случае время (3) оказалось бы отрицательным, то тогда были бы основания говорить о нарушении принципа причинности.

Однако расчеты показывают (см. рис. 3), что с ростом w эффективная ширина барьера для проходящей частицы становится положительной, а в пределе w равна d.

Рис. 2. Эффективная ширина барьера (J ) для проходящей (сплошная кривая) и отражающейся (штриховая) частицы.

Параметры барьера и частицы те же, что и для рис. 1.

Периодические структуры Особый интерес представляет исследование туннелирования частицы через ограниченные и полуограниченные (сверх)решетки. Ранее [7,8] этот вопрос был рассмотрен для частиц с достаточно точно определенным импульсом. Было показано, что в этом случае все резонансы для периодических структур расположены в энергетических областях (областях пропускания), которые являются разрешенными зонами для соответствующих неограниченных структур. В работе [7] было также показано, что внутри каждй из этих областей графики энергетической зависимости коэффициента прохождения и фазового времени прохождения одного периода расположены, при достаточно большом числе периодов решетки, между двумя огибающими. Там же был найден явный вид Рис. 3. (J )tr для прямоугольной ямы = -1; 0 = 5.

обеих пар огибающих. В полуограниченных решетках, когда число периодов бесконечно, обе функции имеют почти всюду в областях пропускания неограниченные производные по энергии.

Известно, что фазовое время туннелирования может быть отрицательным по величине. В этом случае отрицательна и соответствующая эффективная ширина барьера.

Например, это имеет место для частицы с 0 = 5, проходящей через прямоугольную потенциальную яму глубиной = -1 (см. рис. 3). На первый взгляд, этот результат нефизичен, поскольку отрицательные времена указывают на нарушение принципа причинности (заметим сразу, что данный случай ”нарушения” принципа причинности принципиально отличается от рассмотренного нами в работе [3], имеющего место только для пакетов с w = 0). Однако нужно иметь в виду, что в данной случае ширина ямы много меньше ширины волнового пакета. При таких условиях туннелирование происходит существенно нелокальным образом. Кроме того, здесь очень важно помнить, что предложенный в [3] формализм позволяет определять время прохождения только для таких участков (включающих барьерную область), границы которых удалены от барьера на расстояния, значительно превышающие ширину волнового Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения от парамепакета. Время туннелирования барьерного участка опретра 0 (см. текст) для периодической структуры, состоящей деляется в [3] как вклад барьерной области в полное из 10 прямоугольных барьеров высотой 13 и шириной 0.5, шивремя прохождения таких участков. В рассматриваемом рина ям — 0.5; l0 равно 2 (сплошная кривая). 0.28 (штриховая) случае зонды для измерения времени туннелирования и 0.07 (точечная).

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 828 Н.Л. Чуприков частицы приводит к разрушению зонного характера энергетического спектра (деления энергетической шкалы на области прозрачности и непрозрачности). Мы провели расчеты для структур, состоящих из 10 прямоугольных барьеров шириной 0.5 (очевидно расстояние между барьерами также равно 0.5) и высотой 13. На рис. 4 и представлена зависимость коэффициента прохождения и времени прохождения одного периода от параметра для этих значений l0: 2, 0.28 и 0.07. Расчеты, которые проводились и для больших значений l0, показали, что наиболее чувствительны к изменению 0 огибающие обеих функций в областях прозрачности. С уменьшением lв интервале N l0 1 (N —число периодов) соответствующие пары огибающих сближаются друг с другом, а затем сливаются в одну кривую. При дальнейшем уменьшении параметра l0 коэффициент прохождения уже заметно отличен от нуля и в областях непрозрачности.

Причем наиболее сильно изменяется здесь временная Рис. 5. Время туннелирования tr, приходящееся на один период, для периодической структуры (см. рис. 4). характеристика. Если для l0 1 время прохождения одного периода в области непрозрачности для таких структур практически равно нулю, то, как видно из рисунка, для локализованных частиц эта характеристика увеличивается настолько, что может даже превысить соответствующее время туннелирования в области прозрачности. Известная проблема ”сверхсветового” распространения широких (в x-пространстве) волновых пакетов через (сверх)решетки в областях непрозрачности (см., например, [2]) не возникает для частиц, неопределенность начального положения которых не превышает ширину одного периода решетки.

Коротко остановимся на зависимости k от 0 (см.

tr рис. 6). Как видно из рисунка, заметное отклонение этой величины от k0 наблюдается в области непрозрачности, когда l0 < 1. При l0 = 2 средний импульс проходящих (а следовательно, и отражающихся) частиц практически совпадает со средним импульсом падающих частиц. Небольшие отклонения наблюдаются лишь вблизи границ областей прозрачности.

В заключение отметим один момент. Известно, что Рис. 6. k для периодической структуры (см. рис. 4).

tr волновые пакеты с течением времени расплываются. Поэтому нелишне почеркнуть, что в рамках формализма [3] параметры туннелирования зависят от ширины пакета в Для понимания столь необычных свойств важно поначальный момент времени.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.