WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 7 Исследование нелинейной динамики переноса в компенсированом полупроводнике при низкотемпературном электрическом пробое путем компьютерного моделирования © К.М. Джандиери, В.С. Качлишвили Тбилисский государственный университет, Факультет физики, 380028 Тбилиси, Грузия (Получена 12 мая 1996 г. Принята к печати 7 февраля 1998 г.) Исследуется возможность хаотического поведения тока в частично компенсированном полупроводнике при низкотемпературном электрическом пробое путем компьютерного моделирования. Рассматривается влияние случайных флуктуаций параметров или же переменных математической модели, а также влияние каких-либо периодических наводок на плотность тока в полупроводнике. В результате получены различные картины хаотических колебаний тока, в том числе переход в хаотический режим через удвоение периода, характерное для сценария Фейгенбаума.

1. Хорошо известно, что нестабильность электронного В настоящей работе, используя результаты работы [6], переноса в полупроводниках проявляется в виде перио- путем компьютерного моделирования исследуется возможность появления хаотического поведения системы в дических, квазипериодических и хаотических колебаний тока. Исследования в этой области физики полупровод- зависимости от ее параметров. При машинных расчетах применялся метод Рунге–Кутта для решения системы ников особенно интенсивно развиваются за последние дифференциальных уравнений отмеченной выше матема15 лет. Эксперименты проводились на различных материтической модели:

алах: Si, InSb, GaAs, Ge (см. обзор [1]), CdS [2] ит. п. Для наблюдения хаотических колебаний в некоторых случаях dn = -na(z)x2 +[b(z) -2a(z)n]x понадобились дополнительные условия эксперимента, dt такие как включение магнитного поля, подсветка образца d и др. Среди этих исследований особое место занимает + +b(z) -a(z)n, (1) n исследование спонтанных осцилляций в области электрического пробоя, когда лавинообразное увеличение dy eµ(z)SR = BL - 1 - y - n(1 + x)(1 + y), (2) концентрации свободных носителей приводит к резкому dt E L изменению проводимости образца. При этом рассматриdz 1 0(y) вается как низкотемпературный, так и пробой зона-зона.

= - 1 + z -, (3) Для этих случаев имеются теоретические работы, пред- dt сказывающие нелинейное, или, в частности, хаотическое где n - n E - E - поведение тока в полупроводниках (см., например, [3-5]).

x =, y =, z =.

n E В работе [6] мы исследовали вопрос о возникновении незатухающих колебаний тока в частично компен- Здесь n является концентрацией свободных электронов, E — напряженность электрического поля вдоль образца, сированном, пространственно гомогенном полупроводµ — подвижность свободных электронов µ = µ0-1/2, нике при низкотемпературном электрическом пробое.

где µ0 8 · 108 см2/В · с; = Te/T, где Te — На основе математической модели, включающей в себя электронная температура, T — температура решетки;

уравнения, описывающие генерационно-рекомбинацион0 — стационарное значение. Согласно работам [4,6], ные процессы, диэлектрическую релаксацию электричевозникновению незатухающих колебаний способствует ского поля и запаздывание электронной температуры насыщение дрейфовой скорости. Исходя из этого для относительно изменения электрического поля, было помы берем следующее выражение:

лучено необходимое и достаточное условие возникновения незатухающих колебаний вследствие бифуркаций 0(E) =E2, Хопфа. На основе анализа этого условия был получен критерий, из которого видно, какие именно механизмы где 1.4 · 104 см2/В2 (при E2, µ E-рассеяния и какие значения параметров системы (таких и v = µE = const). Параметры n, E и как концентрация основной примеси, степень компенявляются равновесными значениями соответствующих сации, время запаздывания электронной температуры, величин; a = AI + BT, b = - - BT Ndc + AINd(1 - c), сопротивление нагрузки и т. д.) благоприятны для возник- = j + AT, d = Nd(1 - x), j и AT — темпы новения регулярных или даже хаотических колебаний в световой и тепловой генерации с донорных уровней, системе (для хаотичности наше условие необходимое, но c = NA/Nd — степень компенсации образца; Nd и NA — не достаточное). концентрация доноров и акцепторов соответственно; AI 822 К.М. Джандиери, В.С. Качлишвили y(t) и z(t) исследовалась временная эволюция поведения плотности тока.

На втором этапе рассматривается нелинейное поведение полупроводника при низких температурах в случае присутствия подсветки. Как было установлено нами в работе [6], включение подсветки значительно расширяет область незатухающих колебаний по электрическому полю. Значения небифуркационных параметров приведены на рис. 1, где область I соответствует точкам типа устойчивого узла, область II — точкам типа устойчивого фокуса (т. е. затухающим колебаниям в системе).

Бифуркационные параметры изменялись таким образом, чтобы величина оставалась неизменной. Между параметрами, E и существует следующая зависимость:

µ()nE/( - E).

В частности, их изменение связывалось с изменением сопротивления нагрузки при фиксированном значении внешней эдс. В таких условиях при постепенном увелиРис. 1. Бифуркационная диаграмма на плоскости (, ) для следующих значений параметров системы: c = 0.9; чении имела место следующая градация поведения сиNd = 1014 см-3; = 4 · 10-8 с; = 103 с-1. Пробивное стемы: в начале (при значении = 1 0.94, см. рис. 1, значение электрического поля EB 11.92 В/см. Стрелками с которому для постоянного значения = 86 В/см соотцифрами у оси абсцисс отмечены значения i, 0 i 4;

ветствует = 1 1.48·107 с-1) в системе наблюдались стрелками у осей ординат — значения i, 1 i 7.

периодические колебания тока (рис. 2, a). С увеличением Физический смысл i, i — см. в тексте.

, при значении = 2 0.975 (соответственно = 2 3.73 · 107 с-1) происходило удвоение периода (рис. 2, b). С последующим увеличением, при значении и BT — коэффициенты ударной ионизации и тепловой рекомбинации. Для коэффициентов ударной ионизации мы пользуемся результатами работы [7], где AI вычислялось в приближении электронной температуры, используя сечение Дравина, а для коэффициента тепловой рекомбинации — результаты работы [8], где BT вычислялось с помощью исправленной каскадной теории Лекса. С целью минимализации затрат машинного времени мы берем аппроксимированные выражения AI = C1 exp(-C2/2) и BT = C3/2.

где C1 3.4 · 10-7 см3/с, C2 250, C3 2.6 · 10-4 см3/с (ориентируемся на n-Ge), которые хорошо описывают реальные зависимости в окрестности точки пробоя. Параметр = E/L, где E — эдс батареи постоянного тока, а L — длина образца вдоль тока; S — поперечное сечение образца; R — сопротивление нагрузки, включенной последовательно с образцом; B = 4/SR, где — диэлектрическая проницаемость образца.

Компьютерное моделирование включало в себя два этапа: на первом этапе устанавливалась бифуркационная диаграмма (рис. 1). В роли буфиркационных параметров выступали = E/EB, где EB — пробивное значение напряженности электрического поля, и величина = 4L/SR. На этой диаграмме выделяется участок точек седло-фокусного типа (участок III), который Рис. 2. Зависимости величины jR = ( j -j)/ j от времени соответствует возникновению незатухающих колебаний.

t ( j — равновесное значение плотности тока). НебифурНа втором этапе решалась система уравнений (1)–(3) кационные параметры те же, что и на рис. 1. Значения и на основе полученных временных зависимостей x(t), бифуркационных параметров приведены в тексте.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Исследование нелинейной динамики переноса в компенсированом полупроводнике... возрастает амплитуда колебаний и одновременно хаотичность становится все менее заметной, а ниже значения = 6 3.41 · 107 с-1 практически исчезает вовсе — наблюдаются регулярные колебания. С последующим уменьшением, при значении = 7 2.05 · 107 с-1, наблюдается тенденция удвоения периода.

(II). Случайным 4%-м флуктуациям подвергались переменные x, y и z. Здесь хаотичность носит гораздо более выраженный характер (рис. 4). При тех значениях, когда в предыдущем случае наблюдалось удвоение периода, здесь получаем четко выраженный хаос (рис. 4, c).

Рис. 3. Зависимости jR(t) в случае, когда на параметры R, и наводилась 4%-я случайная флуктуация при следующих значениях бифуркационных параметров: = 0 0.965;

a — = 5 5.43 · 107 с-1, b — = 6 3.41 · 107 с-1, c — = 7 2.05 · 107 с-1.

= 3 0.978 (соответственно = 3 4.71 · 107 с-1) наблюдалась картина, характерная для учетверения периода (рис. 2, c), и т. д. И наконец, при = 4 0.(соответственно = 4 7.38 · 107 с-1) имели место хаотические незатухающие колебания. Таким образом, получалась традиционная картина перехода в хаотичеРис. 4. Зависимости jR(t) в случае, когда случайным 4%-м ский режим через удвоение периода, характерная для флуктуациям подвергались переменные x, y, z. Значения сценария Фейгенбаума. Обсуждаемые здесь значения i параметров те же, что и на рис. 3.

и i отмечены стрелками с номерами на рис. 1.

Далее мы исследовали влияние на динамику системы малых случайных изменений параметров системы или же самих переменных x, y и z на каждом шагу итерационных вычислений. Кроме того, с целью изучения влияния каких-либо периодических наводок к параметрам системы добавлялись периодические составляющие с малой амплитудой. Соответствующие результаты приведены на рис. 3–5.

(I). 4%-я случайная флуктуация наводилась на параметры R, и. Результаты, полученные для этого случая (равно как и в двух последующих случаях), соответствуют изменению параметра при фиксированном значении = 0 0.965 в рамках указанной на бифуркационной диаграмме области III. (Конечно, из-за флуктуации R флуктуирует и. Однако из-за малости этой флуктуации рассмотренные нами значения не перекрывают друг друга). Градация соответствующего временного поведения относительной величины плотности тока дается на рис. 3. В отличие от результатов, Рис. 5. Зависимости jR(t) для случая, когда к параметру доприведенных на рис. 2, хаотичность поведения системы бавлялась синусоидальная составляющая, амплитуда которой носит тем более выраженный характер, чем ближе велисоставляла 4% от значения. Значения параметров те же, что чина к бифуркационному значению. При уменьшении и на рис. 3.

Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 824 К.М. Джандиери, В.С. Качлишвили (III). К параметру добавлялась синусоидальная составляющая, амплитуда которой составляла 4% от значения. Здесь тоже хаотичность носила тем более выраженный характер, чем ближе была величина к бифуркационному значению. При уменьшении возрастала амплитуда колебаний, и хаотичность становилась все менее заметной (рис. 5, b). С последующим уменьшением наблюдалась тенденция удвоения периода (рис. 5, c). Надо отметим, что характер хаотичного поведения в значительной степени зависит от частоты периодической составляющей. Когда указанная частота совпадала с собственной частотой системы, наблюдалась картина, подобная биениям. Это обстоятельство может навести на мысль, что имеет место простое наложение регулярных колебаний, но в действительности это не так, поскольку на такой картине точное повторение значений амплитуд не имеет места.

Таким образом, для вышеприведенных случаев были получены различные картины возникновения хаотических колебаний в частично компенсированном полупроводнике при низкотемпературном электрическом пробое, в том числе и переход в хаотический режим через удвоения периода, характерный для сценария Фейгенбаума. На наш взгляд, этот последний случай вызывает особый интерес, поскольку он имел место только тогда, когда шаг итерационных вычислений не был меньше определенного значения t0 = 5 · 10-9 c.

Вычисления проводились для двух различных точностей представления чисел в ЭВМ (сохраняя соответственно 7 и 17 десятичных цифр). Изменение точности не привело к качественным изменениям в поведении системы, а численные изменения также были незначительными. Из этого следует, что изменение поведения системы вследствие уменьшения шага итерации связано не с точностью представления чисел в ЭВМ, а только с величиной шага. Несмотря на то что значение t0 = 5 · 10-9 c намного меньше характерных времен уравнений нашей математической модели, результаты вычисления, полученные при таком шаге, не соответствуют реальности (точнее, они не являются решением нашей системы дифференциальных уравнений), поскольку при уменьшении шага вдвое наблюдается качественно другая картина поведения системы, а дальнейшее уменьшение шага практически не изменяет указанную картину (т. е. можно считать, что результаты вычисления, полученные при шаге t1 = 2.5 · 10-9 c, соответствуют точному решению нашей математической модели). В связи с этим представляется интересным выяснить, каким образом и при каких обстоятельствах можно получить картину, аналогичную рис. 2 при шаге t1 = 2.5 · 10-9 с, т. е. соответствующую точному решению наших дифференциальных уравнений.

Рис. 6. Фазовые портреты на плоскостях (x, y) и (x, z).

На рис. 6, a и b представлены фазовые портреты На рис. a и b жирная кривая соответствует стационарной системы на плоскостях (x, z) и (x, y), полученные для циклической траектории, а тонкие кривые — нестационартех же значений параметров, что и на рис. 2, но при ным, квазициклическим траекториям. (Остальные объяснения шаге итерации t1 = 2.5 · 10-9 c. На рис. 6, c дается в тексте).

наиболее интересный фрагмент фазового портрета на Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Исследование нелинейной динамики переноса в компенсированом полупроводнике... плоскости (x, y), полученного при шаге t0 = 5 · 10-9 с на плоскости (x, y) соответствуют кривые 1 и 2, в (кривая 2). Его остальная часть качественно не отлича- основном отличаются друг от друга значениями y (напоется от рис. 6, b. (Для сравнения на рис. 6, c кривая 1 мним, что проекции фазовых траекторий на плоскости представляет проекцию стационарной траектории, соот- (x, z), полученных при шагах t0 и t1, практически ветствующей шагу t1). Фазовые портреты на плоскости идентичны), причем это различие одного и того же знака (x, z), полученные при шагах t0 и t1, практически не (положительно). Кроме этого, если, например, в точке отличаются друг от друга на каждом участке фазовой d значению y придать приращение, соответствующее траектории.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.