WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 5 Влияние кулоновской корреляции на прыжковую проводимость © В.Д. Каган Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: victor kagan @ pop.rssi.ru (Поступила в Редакцию 14 сентября 1999 г.) Для прыжковой проводимости нужно использовать полное квантово-статистическое описание пары узлов, между которыми происходит прыжок электрона. Это описание включает двухзарядный уровень энергии, причем энергия увеличена кулоновским отталкиванием зарядов. Учет этого уровня изменяет числа заполнения однозарядных состояний, существенных в прыжковой проводимости. Такое косвенное влияние кулоновского отталкивания называется кулоновской корреляцией. Она приводит к модификации закона Мотта в случае проводимости с переменной длиной прыжка. Для этой модификации понятие кулоновской щели не требуется.

Работа поддержана грантами РФФИ (№ 96-15-97268 и 97-02-18286).

При низких температурах в компенсированных по- левой энергией, и двухэлектронный уровень с энергией лупроводниках проводимость осуществлялась прыжками e2 e2 электронов с заполненных доноров на пустые, число E3 = i + j + = E1 + E2 +. (3) kri j kri j которых равно числу акцепторов. Эти прыжки описываются не классическими прыжками частицы из одной Здесь e — заряд электрона, а k — статическая диэлекпотенциальной ямы в другую, а квантовым туннелиротрическая проницаемость полупроводника. Все четыре ванием между двумя состояниями пары доноров, соуровня должны быть учтены в статистическом описании держащих один электрон. Энергии электронов, нахозаполнения в двухцентровой системе, и эта статистика дящихся на донорах с координатами ri и rj, имеют существенно отличается от фермиевской. Исходя из случайный разброс в широком интервале и, вообще обычного равновесного экспоненциального выражения говоря, не совпадают (i = j), поэтому невозможно для вероятности заполнения уровней и требования нортуннелирование электрона без участия фононов, энергия мировки вероятности, для равновесных чисел заполнекоторых должна компенсировать разность электронных ния получаем энергий. Квантовое описание процесса перескока дано в известной статье Миллера и Абрахамса [1], являющейся n(0) = A-1 exp[(µ - Es)/T ]. (4) s исходной точкой всех теорий прыжковой проводимости.

В этой статье была вычислена вероятность перескока, Нормировочный множитель A равен имеющая естественную экспоненциальную зависимость на расстояниях, заметно превышающих радиус локали- A = 1 + exp[(µ - E1)/T ] +exp[(µ - E2)/T ] зации электрона на доноре a.

+ exp[(2µ - E3)/T ]. (5) ri j wi j = w0j exp -2, (1) i Здесь T — температура в энергетических единицах.

a Отметим, что для состояний E1 и E2, в которых имегде ri j = |ri - rj|.

ется только один электрон и не может быть никакого Вероятность w пропорциональна квадрату интеграла кулоновского отталкивания, из-за условия нормировки перекрытия Ji j = J0 exp(-ri j/a).

проявляется увеличение чисел заполнения по сравнению Однако статистическое описание пары уровней, между с гипотетическим случаем электронов, не имеющих элеккоторыми происходит переход, в [1] не вполне удовлетрического заряда. Это и есть кулоновская корреляция, творительно, и основной целью данной статьи является открытая в [2]. Химический потенциал µ определяется исправление этого недостатка. Из-за наличия интеграла усредненной задачей и для выделенной пары уровней перекрытия в паре доноров происходит коллективизация является независимым параметром.

одноэлектронных уровней с энергиями i и j, в резульОбсудим, насколько правомерно включать энергию тате чего энергии принимают значения кулоновского отталкивания в энергию двухэлектронного третьего уровня, хотя энергии электрона на узле i опреi + j i - j 2 делены самосогласованно с учетом воздействия со стороE1,2 = ± + Ji2j. (2) ны электронов на всех других узлах. Это, конечно, можно 2 делать в модели аморфного полупроводника, когда слуКак заметили Эфрос и Шкловский [2], в этой двухцентро- чайные значения энергии i обусловлены флуктуациями вой системе, кроме одноэлектронных уровней, имеются расположения атомов в узлах решетки и валентными еще два уровня: уровень, в котором нет электронов с ну- силами некулоновской природы. Можно думать, однако, 806 В.Д. Каган что выражение (3) для энергии двухэлектронного уровня Эти локальные электрические напряжения нужно расправильно и в модели классической примесной зоны, считывать для полной системы всех пар с учетом гракогда случайные значения i обусловлены именно куло- ничного условия, состоящего в том, что полное падение новскими взаимодействиями со всеми зарядами полупро- напряжения на всей системе равно разности потенциаводника, и использование этого выражения не произво- лов, приложенной ко всему образцу.

дит двойного учета кулоновского взаимодействия между Рассматривая ток, линейный по электрическому полю, электронами на узлах i и j. Все расчеты ведутся в мы можем рассматривать задачу о сетке случайных термодинамическом пределе, при этом как полный объем сопротивлений в поле случайных разностей потенциалов проводника, так и число любых примесей стремятся к Ii j = R-1Ui j. (10) бесконечности, а конечной считается их отношение, т. е.

i j концентрация примесей. При этом вклад одной выдеЗдесь ленной примеси j в величину i пренебрежимо мал.

e2ri jwi j Математически это выражается в том, что конечный R-1 = 2 N(E2 - E1)n1. (11) i j T вклад в i дает интеграл от концентрации всех примесей, При низких температурах функция распределения Планвклад в который от данной примеси — бесконечно ка переходит в функцию распределения Вина. По той же малая величина. Вклад же кулоновского отталкивания в причине в нормировочном множителе надо пренебречь энергию двух выделенных примесей вполне конечен.

третьим слагаемым Процесс перескока описывается как баланс переходов между уровнями E1 и E2 с испусканиемwe или поглощеE2 -E1 µ-Ee2ri jwi j e- T T e нием wa фонона R-1 =2. (12) i j µ-E1 µ-E2 2µ-(e2/kri j)-E2 -ET T T T 1+e + e + e wa = wi jN(E2 - E1), we = wi j[N(E2 - E1) +1], Токи в сетке сопротивлений должны быть просуммированы по всем значениям энергий на узлах и расстояний N() =. (6) e/T - между узлами. Поскольку пары содержат в основном большие энергии, в энергиях можно пренебречь интеЗдесь N(E) — равновесная функция распределения гралом перекрытия Планка для фононов.

Дальнейшее изложение следует схеме статьи [1], моi + j |i - j| E1,2 = ±, E2 - E1 = |i - j|. (13) дифицированной использованием парной статистики. Ток 2 Ii j включает разность переходов между уровнями E1 и EТем не менее мы не приходим к выражениям Миллера– Ii j = eri j(wan1 - wen2). (7) Абрахамса именно из-за отличия парной статистики от статистики Ферми. Подобно [1], перепишем выражение В равновесии, как и следовало ожидать, ток равен ну- для сопротивления при предельно низких температурах лю. При наличии электрического поля E в выражении в эквивалентной форме для тока (6) возникают два изменения. Во-первых, в ri j i j выражениях для вероятностей энергия электрона на узле R-1 = i je-2 a - T, (14) i j получает добавку i j = |µ - E1| + |µ - E2 - e2/kri j| i = eEri + Kis fs, (8) s + |i - j| -e2/kri j. (15) где Kis — функция взаимодействия, учитывающая влияОбратим внимание на тот случай, когда обе энергии ние на энергетический уровень одночастичной функции ei, j заключены в интервале между µ и µ - ; при распределения, а fs — изменение равновесной одноча- kri j стичной функции распределения. Во-вторых, равновес- этом энергия активации равна |i - j|. Этот случай не ные парные функции распределения должны быть заме- возникает в сетке Миллера–Абрахамса.

При пренебрежении энергией кулоновского отталкинены неравновесными. Однако для одной независимой пары доноров неравновесная парная функция распреде- вания e2/kri j выражение (15) переходит в выражение Миллера–Абрахамса.

ления в электрическом поле свелась бы к равновесной Сетка случайных сопротивлений используется при функции, зависящей от измененных энергий. При этом рассмотрении различных задач теории протекания как полный ток остался бы равным нулю. Для связанной системы пар, кроме изменения энергий на узле, необ- для проводимости с постоянной длиной прыжка (nearest neighbor hopping — NNH), так и для проводимости с ходимо ввести изменения энергий E1,2 в виде локальных переменной длиной прыжка (variable range hopping — электрических напряжений Ui j VRH) [3]. Модификация сетки Миллера–Абрахамса поE1,2 = ±eUi j. (9) зволяет учесть влияние кулоновского взаимодействия на Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Влияние кулоновской корреляции на прыжковую проводимость все процессы прыжковой проводимости. Эфрос и Шклов- Процесс VRH может происходить лишь при условии, ac ский [3] считали, что это влияние надо учитывать, исходя что средняя длина прыжка значительно превышает из представлений о наличии мягкой кулоновской щели в среднюю длину прыжка в процессе NNH r0, почти равспектре одночастичных состояний. Однако кулоновская ную среднему расстоянию между основными примесями щель не имеет отношения к задачам о коллективных N-1/3, где N — концентрация основных примесей. Для процессах и в том числе к задаче о проводимости. Все применимости закона Мотта это дает взаимодействие учтено в формуле (15).

1/Согласно [4], для задачи протекания, определяющей a r0, (21) проводимость, напишем условие связности gT ri j |i - j| 2 +, (16) а для применимости зависимости (20) — a T где величина определяет модуль показателя экспоe2 1/ненты в электропроводности. Переходя к рассмотрению a r0, (22) ri kT VRH, введем безразмерные переменные xi j = 2aj и i yi =, для которых формулируется задача протекания Эти неравенства ограничивают сверху температуру, при T в безразмерном пространстве с единичным условием которой выполняются законы проводимости VRH, что связности. Критерий наличия протекания для нее будет соответствует эксперименту при низких температурах.

Напомним, однако, что температура, при которой выполa g T 4 nc. (17) няется закон Мотта, согласно (19), ограничена и снизу, Здесь g — постоянная плотность состояний, а число nc т. е. закон Мотта выполняется в определенном интервале температур.

известно в литературе [3]. Обычное решение задачи Неравенства (18)–(22) определяют то, что мы назовем Мотта состоит в том, что в формуле (17) выбирается 2nc фазовой диаграммой: область температур и концентразнак равенства, что определяет величину c =( )1/4.

gTaций основных и неосновных примесей, в которых осуПри решении этой задачи мы упростили выражение ществляются разные температурные зависимости продля энергии активации (15), пренебрегая в нем энергией водимости. Замена неравенств на равенства определяет кулоновского отталкивания. Это можно было сделать границы этих областей. Граница, разделяющая области только при выполнении условия выполнения закона Мотта и закона (20), определяется eуравнением T c 2, 1. (18) kac eT = c1ag, (23) kУсловие (18) ограничивает применение закона Мотта для низких температур граница, разделяющая области выполнения законов Мот та и закона NNH, — выражением e2 T ga. (19) a k T = c2 4, (24) grПри дальнейшем понижении температуры режим Мотта для VRH становится невозможным. Теперь мы должны а граница, разделяющая области выполнения закона (20) использовать неравенство (18) и неравенство, протии закона NNH, представляется в следующем виде:

воположное (19). Выберем энергию активации в указанном выше интервале кулоновской энергии, для чего e2a T = c3 2. (25) используем в формуле (18) знак равенства. Неравенство kr(17) при таком выборе будет эквивалентно неравенству, обратному (19), что показывает применимость нового К сожалению, мы не можем определить константы в этих закона как раз в том интервале температур, в котором равенствах, так что наша фазовая диаграмма передает не применим закон Мотта. Таким образом, кулоновская только общий вид областей, но не их точные значения.

энергия активации привела к известному закону электроВспомним, что плотность состояний пропорциональна проводности концентрации неосновных примесей n 2(e2/ka) n = exp -. (20) g =, (26) T A где A — характерная величина разброса случайных Этот закон связывают с кулоновской щелью в одночаэнергий. Трудность состоит в том, что фазовая диаграмма стичной плотности состояний [3], но кулоновская щель не имеет отношения к процессу проводимости, в кото- зависит от двух концентраций: основных и неосновных носителей.

ром участвуют двухчастичные состояния и применяется двухчастичная статистика (4), (5), которая и определила На рис. 1, a–c изображена фазовая диаграмма в прозакон (20). странстве температур T и концентраций неосновных Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 808 В.Д. Каган носителей, выше которого невозможно осуществление закона Мотта.

На всю фазовую диаграмму прыжковой проводимости со стороны высоких температур должен быть наброшен ”занавес”, соответствующий проводимости по делокализованным состояниям, что может значительно уменьшить область NNH. По-видимому, это проявляется в экспериментах в легированном германии [5].

Рис. 1. Области изменения температур и концентраций неоРассмотрим задачу о VRH в сильном магнитном поле сновных носителей, в которых выполняются разные зависимоch сти электропроводности, при заданной концентрации основных напряженности H, в котором магнитная длина = eH носителей.

меньше радиуса локализации. При этом волновая функция локализованного состояния вдоль магнитного поля спадает на расстоянии aH = a ln(H/H0), мало отличающемся от a, а поперек поля — на много меньшем расстоянии. Поэтому мы должны заменить неравенство (17) на неравенство g2aHT 4 nc, (28) а неравенство (18) — на неравенство Рис. 2. Области изменения температур и концентраций основeных носителей, в которых выполняются разные зависимости T 2. (29) электропроводности, при заданной концентрации неосновных k a2 + H носителей.

В последнем неравенстве можно пренебречь, после чего оно совпадает с неравенством (18). Определяя теперь энергию активации из этого условия, мы видим, что оно не зависит от магнитного поля. От магнитного поля зависит область тех низких температур, определяемая неравенством (28), при которых осуществляется закон (20). Таким образом, сильное магнитное поле существенно изменяет закон Мотта, но не влияет на закон (20). Этот вывод резко отличается от вывода, Рис. 3. Области изменения температур и концентраций основ- связывающего закон (20) с кулоновской щелью: согласно ных носителей, в которых выполняются разные зависимости последнему, имеется резкая зависимость от магнитного электропроводности, при заданной степени компенсации.

поля (c пропорционально H1/5) [3].

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.