WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

конечно-разностной аппроксимации производных, т. е. в d правой части формулы (10) преобладает слагаемое, C = C + M1V + M2y + M3S, = Q, V. Анализ дискретных аналогов формул (2) и (3) где постоянные Mi определяются значениями емкопоказывает, что при фиксированном шаге травления x сти C(x, V) и ее производных C/x и C/V. В провеони имеют разный порядок аппроксимации по V, а d d денных нами численных экспериментах в основном исименно Q = 0(V2), V = 0(V ). Этим можно объясследовалось влияние суммарной ошибки C на точность нить более резкий рост погрешности NV по сравнению восстановления профиля легирования.

с NQ при увеличении V. Погрешность NA практиЧтобы смоделировать погрешности измерения, к кажчески не зависит от V. Следовательно, погрешность дому значению емкости Ci j, где i = 1, 2,..., I;

видимого профиля определяется погрешностью самого f j = 1, 2,..., J, полученному в результате решения метода A.

уравнения Пуассона (4), добавлялась гауссовская слуАналогичная картина имеет место и для функции Хечайная величина i j с нулевым средним значением и висайда (рис. 2). Здесь также Q- иV-формулы дают более дисперсией C/Ci j, т. е. для восстановления профиля точный результат, чем A-формула, хотя значение погрешлегирования использовалась таблица значений ностей значительно больше, чем в случае однородного Ci j = Ci j(1 + i j).

или линейного профилей. Как видно на рис. 2, величина NQ не зависит от V и при малых V совпадает В качестве относительной погрешности C рассматрис NV. Рост величины NV при больших значениях валась величина C = 3C. Дополнительно был проV объясняется, как уже отмечалось, более высоким анализирован вклад, который дает в погрешность воспорядком аппроксимации по V, чем у NQ. Расчеты становления профиля легирования ошибка S —ошибка при больших шагах травления показали, что значения измерения площади дна кратера травления. Для этого к NQ и NV при малых V определяются разностной величине S добавлялась гауссовская величина с нулеаппроксимацией второй пространственной производной вым средним значением и дисперсией S/S и вычиления и зависят в основном от x. Следует отметить, что проводились с площадью рассматриваемая интегральная мера отклонения (9) вы S = S(1 + ), численного профиля от истинного не в полной мере отражает качество восстановления, что демонстрируется при этом относительная погрешность S в определении вставкой на рис. 2, где приведены восстановленные S выбиралась равной S = 3S.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. О точности восстановления профиля легирования полупроводников на основе... Влияние ошибок измерений на точность восстановления линейного профиля и функции Хевисайда иллюстрируют рис. 4 и 5, где сплошными линиями показаны погрешности восстановления при S = 0, а пунктирными — при S = 0.03 (рис. 4) и S = 0.9 (рис. 5). Здесь также отмечается более быстрый рост погрешностей NQ и NV по сравнению c NA при увеличении C. При этом уже при малых C (рис. 4) погрешности Q- и V-формул превышают погрешность A-формулы и становятся неприемлемо большими при C/C 3 · 10-4. Ошибка в несколько процентов в измерении S дает заметный вклад в суммарную погрешность восстановления лишь при малых значениях C/C 10-5.

Зависимость погрешности NA видимого профиля от Рис. 3. Зависимости погрешности восстановления однородно- величины погрешности измерения C проявляется при го профиля легирования (A-, Q- и V -формулы) от погрешности значительно больших значениях C, чемдля Q- и V -форизмерения емкости; V /V = 0.0133, x/D = 0.165.

мул. При этом величина NA остается приемлемой Рис. 4. Погрешность восстановления линейного профиля легирования (A-, Q- и V -формулы) при S = 0 (сплошные Рис. 5. Погрешность восстановления функции Хевисайда (A-, линии) и S = 0.03 (штриховые линии); V /V = 0.0133, Q- и V -формулы) при S = 0 (сплошные линии) и S = 0.x/D = 0.165.

(штриховые линии); V /V = 0.0133, x/D = 0.165.

В качестве погрешности восстановленного профиля легирования рассматривалось его максимальное среднеквадратичное отклонение от истинного профиля:

NA = max NA(xdi) - N(xdi), i N = max N(xi) - N(xi), = Q, V, i где угловые скобки обозначают усреднение по случайным величинам i j и.

На рис. 3 приведены погрешности N восстановления однородного профиля легирования с помощью A-, Q-, V-формул в зависимости от погрешности измерения емкости C, при этом площадь S дна кратера задана точно.

Рис. 6. Зависимости погрешности видимого профиля легиНа рисунке видно, что погрешности Q- и V-формул рования от погрешности измерения емкости для однородного значительно больше, чем A-формулы, даже при очень профиля (1), линейного (2) и в виде функции Хевисайда (3);

малых C. V /V = 0.0133, x/D = 0.165.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 806 И.Р. Каретникова, И.М. Нефедов, В.И. Шашкин вплоть до C (2-5) · 10-3 (рис. 6). Это позволяет Приложение использовать A-формулу для обработки данных, полученных в реальном эксперименте, поскольку стандартная апДискретизация формул восстановления паратура, используемая в таких измерениях [14], обеспечивает погрешность C/C 10-3. Интересно отметить, Для производных по напряжению и координате, входячто численные эксперименты указывают на наличие крищих в выражение для A- иQ-формул, были использованы тического значения C, выше которого восстановление центральные разности профиля легирования становится невозможным (рис. 6).

-Таким образом, приведенные результаты численного 1/Ci2j+1 - 1/Ci2j- моделирования показывают, что Q- и V-формулы более NA(xdi) =, Vi j+1 - Vi j-чувствительны к ошибкам измерения данных, чем A-формула. При этом относительная погрешность C/C, при которой ошибки Q- и V -формул не превышают ошибку xdi = xi +, j = 2,..., J - 1.

видимого профиля, оказывается меньше, чем 7 · 10-5. Ci j Причину такой чувствительности к ошибкам исходных Заметим, что иногда формулу (1) записывают в эквиваданных можно понять, поскольку Q- и V -формулы содерлентной форме жат вторую пространственную производную емкости, а, как известно, численное дифференцирование табличных C(xi, V ) данных с ошибками дает большие погрешности.

NA(xdi) =-C3(x, V) (П. 1) V и используют соответствующий дискретный аналог. Од4. Заключение нако формула (1) предпочтительней, поскольку она дает С помощью численного моделирования в работе про- более точный ответ для однородного профиля легироваанализированы три метода восстановления распределе- ния. Это связано с тем, что для такого профиля функция ния легирующей примеси в полупроводниковых струк- 1/C2(x, V ) близка к линейной по V, и, следовательно, турах по данным C-V-измерений в электрохимиче- погрешность дискретизации очень мала (см. разд. 3).

ской ячейке. Показано, что предложенные авторами Дискретный аналог Q-формулы имеет вид Q- и V-формулы [9,10] не только позволяют опреде лить профиль легирования непосредственно на контакте NQ(xi) =Qi jCi j - (Qi+1, j - Qi-1, j)/(xi+1, j - xi-1, j), электролит–полупроводник, но и дают более точный результат, чем традиционно используемый видимый про1/Ci+1, j-1/Ci-1, j 1/Ci, j+1-1/Ci, j-Qi j = 1 +, филь [1]. Однако при практическом применении этих xi+1, j - xi-1, j Vi, j+1 - Vi, j-формул следует иметь в виду, что их погрешность гораздо сильнее зависит от погрешности измерения емкости, i = 2, 3,..., I - 1, j = 2, 3,..., J - 1.

чем погрешность видимого профиля. Расчеты показали, Основная сложность дискретизации V-формулы свячто для получения приемлемых результатов по Q- и V-формулам относительная погрешность измерения ем- зана с оценкой производной 2i/x2, для которой необходимо знать значения электростатического потенцикости не должна превышать величины 5 · 10-4.

ала i(x, V ) на трех последовательных шагах травления Вообще, проблема высокой чувствительности резульi(xi-1, V ), i(xi, V ), i(xi+1, V ), а нам известно лишь татов к ошибкам исходных данных является основным значение на i-м шаге i(xi, V) = V. Для нахождения препятствием применения предложенных в последнее время новых методов восстановления профиля легирова- значений i(xi-1, V), i(xi+1, V ) была использована следующая процедура. Считая стравленный слой последония [5,6,8]. Источником подобных трудностей является вательно включенным плоским конденсатором, можно то обстоятельство, что задача восстановления профиля легирования представляет собой обратную задачу, ко- определить емкость Ci-1, j на (i-1)-м шаге травления из соотношения торая является некорректной. Поэтому для построения работоспособных схем восстановления необходимы де 1/Ci-1, j =(xi - xi-1) +1/Ci j.

тальные исследования приближений и т. п.

Авторы выражают благодарность И.А. Шерешевскому Затем по таблице Ci-1, j = C(xi-1, Vi-1, j), j = 1, и А.В. Мурелю за многочисленные плодотворные обсу2,..., J, путем обратной интерполяции находится ждения.

напряжение i-1, j, соответствующее емкости Ci-1, j.

Работа выполнена при частичной поддержке Россий- Для интерполяции строится многочлен PJ-2(C) стеского фонда фундаментальных исследований (проект пени J-2 методом наименьших квадратов по зна№ 98-02-1624) и программой МНТП ”Физика твердо- чениям Vi-1,1, Vi-1,2,..., Vi-1,J и затем находится тельных наноструктур”. i-1, j = PJ-2(Ci-1, j). Аналогично находится значение Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. О точности восстановления профиля легирования полупроводников на основе... i+1, j на (i + 1)-м шаге травления. Тогда профиль леги- On the accuracy of the semiconductor рования определяется как doping profile extraction on the basis of C-V measurements in the process i-1, j - 2Vi, j + i+1, j NV (xi) =, of electrochemical etching (xi+1 - xi)(xi - xi-1) I.R. Karetnikova, I.M. Nefedov, V.I. Shashkin i = 2, 3,..., I - 1; j = 1, 2,..., J.

Institute for Physics of Microstructures, Это наиболее простой способ конечно-разностной апRussian Academy of Sciences, проксимации второй производной 2i/x2. Другой 603600 Nyzhny Novgorod, Russia подход описан в работе [10].

Abstract

Based on numerical simulation, the errors inherent in different methods for the extraction of a dopant distribution in Список литературы semiconductors from the data on voltage–capacitance measurements in an electrochemical cell are analysed. It is shown that [1] В.В. Батавин, Ю.А. Концевой, Ю.Ф. Федорович. Измереthe two methods proposed by the authors earlier not only allow to ние параметров полупроводниковых материалов и determine the doping profile directly on a structure surface, but also структур (М., Радио и связь, 1985).

provide a better accuracy than the conventional approach. However, [2] P. Blood. Semicond. Sci. Technol., 1, 7 (1986).

these methods impose higher requirements to the accuracy of [3] M.M. Faktor, T. Ambridge, E.G. Bremmer. Apparatus and measurements. To ensure their successfull application, a relative Method for Measuring Carrier Concentration in Semierror of measurements should be not worse than 5 · 10-4, which is conductor Materials [U. K. Patent Specification No. about an order of magnitude higher than the level of an ordinary (1975)].

experiment.

[4] M.M. Faktor, T. Ambridge, C.R. Elliott, J.C. Regnault. Current Topics in Material Science, ed. by E. Kuldis (1980) v. 6, p. 1.

[5] G.J.L. Quwerling. Sol. St. Electron., 33, 757 (1990).

[6] K. Iniewski, C.A.T. Salama. Sol. St. Electron., 34, 309 (1991).

[7] M.F. Kokorev, N.A. Maleev, V.M. Ustinov, A.Yu. Egorov, A.F. Zhukov. Abstracts Int. Symp. ”Nanostructures: Physics, and technology” (St. Petersburg, 1996) p. 161.

[8] Y.K. Yeo, G.H. Gainer, Jr, Jong Hyun Kin, R.L. Hengehold.

Appl. Phys. Lett., 56, 75 (1990).

[9] В.И. Шашкин, И.Р. Каретникова, А.В. Мурель, И.М. Нефедов, И.А. Шерешевский. ФТП 31, 8 (1997).

[10] V. Shashkin, I. Karetnikova, A. Murel, I. Nefedov, I. Shereshevskii. IEEE, Trans. Electron. Dev., 6, 47 (2000).

[11] W.C. Johnson, P.T. Panousis. IEEE Trans. Electron. Dev., ED-18, 965 (1971).

[12] B. Jogal, C.E. Stutz. Appl. Phys., 78, 2531 (1995).

[13] L.H. Hollway. IEEE Trans. Electron. Dev., 37, 1104 (1990).

[14] И.В. Ирин, А.В. Мурель. ПТЭ, № 6, 150 (1993).

Редактор T.A. Полянская Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.