WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 5 Расчет теплового воздействия электронного зонда на образец нитрида галлия © Л.А. Бакалейников, Е.В. Галактионов, В.В. Третьяков, Э.А. Тропп Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: bakal@ammp.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 3 августа 2000 г.

В окончательной редакции 6 октября 2000 г.) Исследованы стационарные температурные поля, возникающие при взаимодействии электронного зонда с образцом GaN. Для расчета плотности генерации тепла проведено моделирование процесса потери энергии электронами по методу Монте-Карло. Предложена аппроксимация формы области генерации тепла полуэллипсоидом. Для случая равномерной генерации тепла в объеме эллипсоида получено аналитическое решение задачи теплопроводности в элементарных функциях. Показано, что влияние формы области генерации на максимальную температуру перегрева и распределение поля температур мало. Аппроксимация плотности тепловых источников однородным распределением в полусфере с радиусом, равным полному пробегу электронов, приводит к значительной недооценке максимальной температуры перегрева. Предложено выражение для выбора характерного размера области генерации тепла в GaN, обеспечивающее 3% точность определения максимальной температуры перегрева в широком диапазоне энергий электронного пучка.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 98-02-18109).

Анализ температурных полей, возникающих в резуль- оценки температуры на поверхности образца включает тате взаимодействия электронного зонда с образцом, в себя несобственный интеграл от комбинации функции имеет важное значение для интерпретации эксперимен- Бесселя нулевого порядка и экспоненты. B [8] проведено тальных данных в катодолюминесценции, Оже- и рентге- рассмотрение тепловой задачи с областью источника, носпектральном микроанализе [1–3]. Учет температур- представляющей собой цилиндр. Высота этого цилиндра ного воздействия может оказаться достаточно актуаль- принималась равной глубине проникновения электронов ным и при обработке образцов электронными пучками. зонда, а диаметр основания был равен сумме диаметра Такие проблемы возникают, в частности, при активации зонда и удвоенной глубины проникновения. Результат p-типа проводимости в образцах GaN [4,5] — одного представлен в виде интеграла от специальных функций.

из наиболее перспективных материалов для создания В [9] область генерации тепла аппроксимировалась полуоптоэлектронных приборов во всем видимом диапазоне. сферой с радиусом, равным сумме радиуса электронного зонда и глубины проникновения электронов. При этом Исследованию теплового воздействия электронного зонда на образец посвящен целый ряд работ как экс- были получены простые аналитические выражения для периментального [6,7], так и теоретического характе- максимальной температуры перегрева, размера теплора [1–3,8,9]. Необходимо отметить, что эксперимен- вого источника и времени установления стационарного температурного поля.

тальное определение температуры перегрева [6,7] сильно осложнено малым размером области генерации тепла, Заметим, что реальная форма источников тепла, вследствие чего полученные результаты имеют невысо- естественно, не совпадает с указанными аппроксимацикую точность и могут рассматриваться как качественные. ями. Главной причиной их использования в вышепереВ связи с этим особую ценность приобретают теоре- численных работах является возможность получения тические подходы к оценке распределения плотности аналитических соотношений для оценки основных параисточников тепла и температуры нагрева образца элек- метров температурного поля. Определение формы облатронным зондом. сти генерации и распределения плотности источников В работе [1] получено решение стационарной зада- тепла возможно лишь при детальном изучении процесса чи теплопроводности и на его основе найдена широ- потери энергии электронами зонда.

ко используемая формула для максимальной величины Целью настоящей работы является исследование расперегрева. Отметим, что при получении этой формулы пределения температуры в образце с учетом реальной считалось, что область генерации тепла представляет плотности источника тепла. Задача при этом разбивается собой полусферу с радиусом, совпадающим с радиусом на две части. Первая часть связана с определением зонда. В [2] дано решение задачи теплопроводности плотности источников тепла, и ее решение базируется на для образца, покрытого пленкой материала с высокой рассмотрении кинетического уравнения для электронов теплопроводностью, причем для области генерации была зонда. Вторая часть заключается в решении тепловой заиспользована такая же аппроксимация. Соотношение для дачи с найденным распределением тепловой генерации.

780 Л.А. Бакалейников, Е.В. Галактионов, В.В. Третьяков, Э.А. Тропп 1. Расчет распределения плотности 2. Расчет температурного поля тепловых источников Перейдем теперь к рассмотрению второй части задачи — расчету температурного поля в образце при Релаксация электронов зонда, в ходе которой электрозаданной плотности генерации тепла.

ны передают свою энергию веществу мишени, приводит Из полученного распределения qf для сфокусированк генерации тепла. Если считать, что вся энергия элекного пучка (рис. 1) видно, что распределение плотности тронов идет на нагрев, то распределение тепловых исгенерации тепла в объеме образца значительно отличаетточников будет совпадать с распределением потерянной ся от сферически-симметричного. Аналогичная ситуация энергии. Одномерное распределение потерянной энергии имеет место и в более общем случае для пучков с по глубине dE/dz рассчитывалось многими авторами.

конечным диаметром. В связи с этим возникает вопрос В частности, в [10] приведено широко используемое универсальное эмпирическое выражение для dE/dz. Од- о возможности использования аппроксимации области генерации тепла полусферой [9]. Полученное в [8] нако для определения пространственного распределения плотности потерянной энергии информации о распре- решение задачи теплопроводности для источника, равномерно распределенного в цилиндре, в принципе позводелении по глубине недостаточно. Одним из способов получения пространственного распределения является ляет оценить влияние формы области тепловыделения решение кинетического уравнения, описывающего транс- на распределение температуры, однако представление порт электронов зонда в мишени. Для этого было результата в виде интеграла от специальных функций использовано моделирование по методу Монте-Карло. затрудняет его использование. Кроме того, в этом случае В разработанной программе была применена схема од- граница области генерации не является гладкой, что нократных столкновений. Упругое взаимодействие элек- противоречит рис. 1.

тронов с атомами рассчитывалось с помощью диффе- В настоящей работе для учета различия характерных ренциального сечения Мотта, вычисленного нами на размеров источника тепла в поперечном и продольном основе атомного потенциала Хартри–Фока–Слэтера [11]. направлениях рассматривается задача с равномерной Неупругое взаимодействие электронов с веществом опи- генерацией в объеме полуэллипсоида с полуосями a, b.

сывалось с помощью модельного дифференциального Температурное поле при этом описывается уравнением сечения. Характерные особенности этого сечения заклюT = -q/k, чаются в следующем. При больших потерях энергии оно асимптотически стремится к сечению взаимодейгде k — коэффициент теплопроводности, а плотность ствия свободных электронов, а средние потери энергии источника тепла q в цилиндрических координатах (, z) на единице длины определяются формулами Бете или имеет вид Рао-Сахиба–Виттри [12].

2 zq0, + < 1, Оценка адекватности программы осуществлялась со- b2 aпоставлением рассчитанных зависимостей плотности по- q = 0, 2 zтерянной энергии от глубины с универсальными за- + > 1.

b2 aвисимостями для малых [13] и больших [10] энергий Отсутствие теплового потока через поверхность и затупучка. Двумерное распределение потерянной энергии хание температурного поля вдали от теплового источнисравнивалось с распределением в GaAs, предложенным в работе [14]. Сравнение показало, что полученные результаты находятся в удовлетворительном согласии с данными вышеуказанных работ.

С помощью разработанной программы было рассчитано распределение плотности потерянной энергии, а значит, и тепловых источников qf (, z) в GaN для энергий E0 = 5, 10, 15 keV, где глубина z и радиус отсчитывались от точки падения сфокусированного пучка электронов на образец. Ток зонда при этом считался равным 100 nA. Изолинии полученного распределения приведены на рис. 1. Заметим, что распределение плотности тепловых источников, возникающее в образце при облучении его пучком электронов с конечным диаметром d, связано с распределением qf для сфокусированного пучка соотношением Рис. 1. Изолинии распределения плотности тепловых источников qf (, z) по радиусу и глубине z в полубесконенчном q(x, y, z) = qf (x - x0, y - y0, z)Id(x0, y0)dx0 dy0, (1) образце GaN, облучаемом сфокусированным пучком электронов с энергией E0 15 (a), 10 (b) и 5 keV(c). Глубина и радиус где Id(x0, y0) — распределение интенсивности в попереч- отсчитываются от точки падения зонда. На изолиниях указаны значения ln(qf (, z)).

ном сечении пучка.

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Расчет теплового воздействия электронного зонда на образец нитрида галлия Решение задачи методом разделения переменных приводит к следующим формулам:

q0 1 Tint(, ) =- c2 sh2 sin2 - sh2 k 4 1 + 2ch0 ln cth (0/2) +2 1 - ch 0 ln cth (0/2) Рис. 2. Семейства координатных линий = const, = const (3ch2 - 1) (3cos2 - 1) для вырожденной эллипсоидной системы координат в случае, вытянутого (a > b) эллипсоида вращения при a = 10, b = 5.

2 Величины масштабного множителя c и координаты 0 равны 8.66 и 0.55 соответственно. Кривые приведены для значений qText(, ) = ab sh(0) (3cos2 - 1) ch = 0.1, 0.3, 0; = 0.1, 0.3, 0.4, 0.6, 0.7, 0.9.

4k + 2(sin2 - sh2 ) +3sh2 sin2 ln cth (/2). (2) ка приводят к граничным условиям Здесь Tint, Text — распределение температур внутри и вне эллипсоида соответственно. В предельном случае, когда T = 0, T 0, T 0.

b a, эти формулы переходят в решение для источника, z z z=равномерно распределенного в полусфере радиусом a, qАксиальная симметрия задачи позволяет использоTint(, z) = (3a2 - 2 - z2), вать вырожденную эллипсоидальную систему координат 6k (, ) [15], при переходе к которой решение задачи моq0 3aжет быть получено в аналитическом виде. Связь между Text(, z) =. (3) 3k 2 + zцилиндрическими и эллипсоидальными координатами для случая вытянутого эллипсоида вращения (a b) Полагая в формулах (2), (3) = z = 0, получим макимеет вид симальные температуры перегрева для полуэллипсоида = c sh sin, z = c ch cos, q0 ab2 a + a2 - bel Tmax = ln 4k a2 - b2 a - a2 - bгде c — масштабный множитель. Для сплюснутого и полусферы эллипсоида вращения (a < b) эти формулы заменяютqsp Tmax = a2. (4) ся на 2k = c ch sin, z = c sh cos.

Для сплюснутого эллипсоида вращения (a < b) выбираем масштабный множитель c и координату = В первом случае одним из семейств координатных потак, чтобы верхностей является семейство вытянутых эллипсоидов вращения = const с фокусами в точках (0, 0, ±c).

c2 ch2 0 = b2, c2 sh2 0 = a2.

Выбирая масштабный множитель c и координату = таким образом, чтобы Решение задачи в этом случае можно записать в следующей форме:

c2 sh2 0 = b2, c2 ch2 0 = a2, q0 1 Tint(, ) =- c2 ch2 sin2 - ch2 k 4 найдем, что эллипсоид, внутри которого происходит генерация тепла, ограничен координатной поверхностью 1 + 2sh0 arcctg (sh 0) - 2 1 - sh 0 arcctg (sh 0) = 0. Семейства координатных линий для введенной вырожденной эллипсоидальной системы координат приведены на рис. 2.

(3sh2 + 1) (3cos2 - 1), Оператор Лапласа в координатах (, ) приобретает 2 вид qText(, ) = ab ch 0 -(3cos2 - 1) sh 4k T = c2(sh2 + sin2 ) + 2(sin2 + ch2 ) - 3ch2 sin2 arcctg (sh ).

1 T 1 T sh + sin.

sh sin Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 782 Л.А. Бакалейников, Е.В. Галактионов, В.В. Третьяков, Э.А. Тропп эллипсы с отношением полуосей = z/. Оценка отношения полуосей для E0 = 5, 10, 15 keV позволяет заключить, что величины находятся в пределах 0.2 < < 0.24. Как видно из рис. 3, величина при этом меняется в интервале 0.8 < < 0.85, и, следовательно, отличие формы области генерации тепла от полусферы приводит к ошибкам в определении Tmax по формуле (4), не превосходящим 20%.

Влияние формы теплового источника на температурРис. 3. Зависимость отношения максимальных температур пеное поле иллюстрируется рис. 4. На этом рисунке el sp регрева (T ) = Tmax/Tmax для источников полуэллиптической приведены изотермы для источников полусферической и и полусферической форм одинакового объема и мощности от полуэллиптической форм. Размеры полуосей a, b элливеличины отношения полуосей эллипсоида.

псоида при этом выбирались равными удвоенным полуширинам z, гауссовского распределения, аппроксимирующего qf (, z) при E0 = 5 keV, а радиус rs сферы Отсюда для максимальной температуры перегрева сле- вычислялся из условия совпадения объемов областей генерации. Это дает дует q0 ab2 a el Tmax = arcctg.

a = 2z = 0.072 µm, b = 2 = 0.018 µm, 2k b2 - a2 b2 - aНа рис. 3 приведена зависимость отношения rs = a2/3 = 0.026 µm.

sp el = Tmax/Tmax от отношения полуосей эллипсоида Температурное поле было рассчитано для тока зонда при одинаковом объеме областей генерации. Видно, sp el I = 100 nA, что соответствует полному тепловыделению что значительных отклонений Tmax от Tmax можно в образце P = IE0 = 0.5mW. Из рис. 4 видно, что ожидать при <0.15 и >5.

разница в распределении температуры заметна лишь на Отметим, что изложенный подход в отличие от рарасстояниях порядка a; для расстояний, больших 3a, она боты [8] не приводит к сложным выражениям для практически отсутствует.

максимальной температуры перегрева Tmax и позволяет Таким образом, отличие формы области тепловыдерассчитывать температурное поле для источников тепла ления от полусферической приводит к сравнительно с различными характерными размерами в продольном небольшим изменениям максимальной температуры пеи поперечном направлениях с использованием лишь регрева и температурного поля.

элементарных функций.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.