WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 4 Нелинейные волны в цепочке плоскопараллельных доменных границ в ферромагнетике © М.А. Шамсутдинов, С.Э. Рахимов, А.Т. Харисов Башкирский государственный университет, 450074 Уфа, Россия E-mail: KharisovAT@ic.bashedu.ru (Поступила в Редакцию в окончательном виде 29 сентября 2000 г.) При учете нелинейности в силе взаимодействия плоских доменных границ, составляющих цепочку, получены одно- и двухпараметрические солитоны — уединенные волны деформации сдвига цепочки доменных границ.

В полосовой доменной структуре наряду с объем- щение n-й ДГ из положения равновесия. При получеными спиновыми волнами существуют локализованные нии (1) пренебрегалось взаимодействием ДГ с дальними в доменной границе (ДГ) возбуждения, соответствую- соседями, что оправдано при рассмотрении волн, соотщие связанным колебаниям ДГ [1]. Цепочка плос- ветствующих акустической моде с малыми волновыми копараллельных ДГ может проявлять волновые свойвекторами. Кинетическая энергия системы определяется ства [2–5], аналогичные волновым свойствам атомных выражением кристаллических решеток. Роль упругих сил играют 2 дальнодействующие силы магнитостатического взаимо1 mw d T = jn, действия между доменами. В цепочке плоскопараллель2 D dt n ных ДГ возможно распространение деформационных волн, соответствующих как изгибу, так и сдвигу ДГ.

где 1 Дисперсионные характеристики деформационных волн mw = — сдвига ДГ в плоскопараллельной доменной структуре 220 аналогичны характеристикам волн в одномерной цепочке масса ДГ, приходящаяся на единицу площади [9], — масс [6]. При этом могут иметь место линейные волны, гиромагнитное отношение, 0 = A/Ku, A — консоответствующие как акустической, так и оптической станта неоднородного обменного взаимодействия, Ku — ветвям колебаний ДГ [4]. Вынужденные нелинейные константа одноосной анизотропии. Вводя новую переколебания в цепочке плоскопараллельных ДГ имеют менную q = j/D, получим следующее уравнение множество особенностей [7]. В такой цепочке возможно движения:

существование нелинейных волн деформаций сдвига ДГ, соответствующих как акустической, так и оптической d2 ветвям возмущений. qn = 0 f (qn+1 - qn) - f (qn - qn-1), (2) dtВ настоящей работе рассматривается задача о нелигде нейных волнах деформаций сдвига доменных стенок, 2 0 = 4M0/(Dmw), (3) соответствующих акустической моде, в ферромагнитной пластине с плоскопараллельной доменной структурой 2 (-1)p h и перпендикулярной к плоскости пластины одноосной f (q) =q+ 1 - e-bp sin(qp), b =. (4) b p2 D анизотропией. Когда ширина домена D много больше p=толщины ДГ, пользуясь методикой расчета магнитоИспользуя соотношение статической энергии в пластине с плоскопараллельной доменной структурой [8], можно получить следующее b выражение для энергии взаимодействия ДГ [7]: (-1)p sin q 1 - e-bp sin(qp) =- arctg da p2 cos q + ea p=W = wn, n и представив интеграл в виде ряда по q, с точностью до 2 2M0 16M0D слагаемых пятой степени получим wn = Q2 + D2 n 2h f (q) =q + q3 + q5, (5) 1 h p Qn 1 - exp - p sin2 1 +, где p3 D 2 D p=2 b 1 b = ln ch, = th2, Qn = jn+1 - jn, (1) b 2 12b где h — толщина пластины, M0 — нормальная к плоско- 1 b 3 b = th2 1 - th2.

сти пластины компонента намагниченности, jn — сме120b 2 4 Нелинейные волны в цепочке плоскопараллельных доменных границ в ферромагнетике в случае, когда скорость нелинейных волн близка к скорости линейных волн.

Уравнение (6) является уравнением второго порядка по времени и описывает волны, распространяющиеся в обоих направлениях вдоль координатной оси. Переменный знак в масштабных преобразованиях и соответственно в (9) появляется из-за того, что (9) является уравнением первого порядка по времени и описывает волну, распространяющуюся только в одном направлении. Поэтому выбор знака определяет направление распространения волны вдоль или против координатной оси.

Односолитонное решение МКДФ имеет вид [11] U = ±U0 ch-1, Зависимости и / (кривые 1 и 2 соответственно) от отношения толщины обрацза h к ширине домена D.

q = ±q0 arctg sh, (10) На рисунке приведены зависимости и / от отношения h/D. Поскольку / 10-40, в (5) ограничимся v r 2r первыми двумя слагаемыми. При = 0 уравнение (2) из- U0 = 2, 1 =, q0 = =, (11) 2v вестно как уравнение Ферми–Паста–Улама [10]. Перейдя к непрерывной пространственной переменной x = nD, где = x ± (s + v)t, v > 0. При этом каждому знаку обозначив u = qx, получим в уравнении (9) могут соответствовать решения (10) с обоими знаками.

D2 Dutt = s2x u + uxx + u3, (6) Скорость нелинейных деформационных волн продольного смещения доменных границ Vg больше скорости линейных волны s, т. е. Vg = s + v, s v (так s = 0D. (7) как v > 0). Проведем сравнение скорости нелинейной Уравнение (6) является модифицированным уравнением волны с уокеровской предельной скоростью доменной Буссинеска. Соответствующее линеаризованное уравнестенки Vw [9] ние ( = 0) имеет волновое решение u = u0 cos(kx - t) MVw =.

с законом дисперсии mw DДля отношения скоростей можно получить следующиее 2 = s2k2 1 - k2, 12 выражение:

Vg s 2D где k 2/D, s — скорость линейных деформационных =.

Vw Vw волн сдвига доменных границ.

Используя редуктивную теорию возмущений в ви- При обычных толщинах ЦМД пленки h 8Q(Q = Ku/2M0 — фактор качества) ширина домена де [10] D 8Q0 [9]. Тогда Vg/Vw 4 Q. При Q = 10- имеем Vg/Vw 10-102.

= (x ± st), = 3t, u = nu(n)(, ), (8) Переход от дискретной модели к непрерывной являетn=ся справедливым, когда ширина солитона много больше получим модифицированное уравнение Кортевега-де толщины домена, т. е.

Фриза (МКДФ) 1 1 s = 1.

D v ±2 u(1) + ru(1) + u(1) = 0, 2 Это условие выполняется по крайней мере при где sD2 sD2 1/D > 10, что накладывает дополнительное ограниr =, =.

чение на скорость солитона: v/s < 4 · 10-4. Приведем максимальную величину относительной деформации доПерейдя в соответствии с (8) от медленных переменных, к обычным переменным = x ± st и t, U u(1) мена в области локализации солитона, которая равна получим DU0 2 v ±2tU + rU + U3 = 0. (9) = =.

s В (8) малым параметром является величина (Vg - s)/s 1, где Vg — скорость нелинейных дефор- При / 102, v/s 10-4 имеем < 0.1. При мационных волн. Это значит, что (8) и (9) применимы v = 100 cm/s, D h = 0.01 cm, mw = 3 · 10-10 g/cm3, 8 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 692 М.А. Шамсутдинов, С.Э. Рахимов, А.Т. Харисов M0 = 100 Gs величина относительной деформации Выше указывалось, что расчеты проведены, пренебре 0.03. гая взаимодействием между дальними соседями. ВследДвухпараметрическое решение уравнения (9) имеет ствие этого, как показывает сравнение (2) с уравнениями вид [12] линейной теории волн в цепочке плоскопараллельных доменных границ [4,5], полученные результаты при b носят качественный характер, а при b 1 (когда ширина 2r sin(k0 ± t U = 2 arctg, (12) домена D много больше толщины пластины h) —ко 2k0ch(/2) личественный характер. Доменная структура, в которой ширина домена D много больше толщины пластины h, 1 2v12 + r 2 2r действительно может существовать как в ферромагнеk0 =, = v1 + k0, (13) 2 3r 3 2 тиках (см., например, [13]), так и в редкоземельных ортоферритах.

где = x ± (s - v1)t. В качестве независимых параметТаким образом, в цепочке плоскопараллельных доров можно выбрать скорость солитона v1 относительно менных границ при определенных условиях могут сускорости линейной волны s и характерный размер 2 лоществовать нелинейные волны деформаций доменных кализованного возбуждения. Из (13) видно, что область существования солитона в зависимости от параметров v1 границ аналогичные солитонам в ангармонической цепочке атомов. Физически такая волна представляет сои 2 определяется неравенством бой локализованную волну сгущения или разряжения, т. е. продольной деформации цепочки доменных границ с v12 > -r/2. (14) возможными внутренними степенями свободы. Скорость В случае выполнения условия (14) k0 в (13) является ве- деформационных солитонов сдвига доменных границ на щественной величиной. Проанализируем два предельных порядок или более превосходит уокеровскую предельную случая выражения (12) [12]. В первом амплитуда мала, скорость, что может представлять определенный практит. е. 2k0 1. Решение (12) представляет собой ма- ческий интерес. Возбудить подобные нелинейные волны лоамплитудную слаболокализованную волну. Во втором деформаций, как и в случае линейных волн деформапредельно нелинейном случае k02 1. В этом случае ций, соответствующих акустической ветви [14], можно решение (12) представляет собой бризер — систему с помощью пространственно-неоднородных в плоскости двух однопараметрических солитонов с противополож- пластины импульсного или высокочастотного магнитноными знаками, совершающих колебания с частотой го поля.

около движущегося со скоростью s - v1 общего центра Авторы выражают благодарность Б.Н. Филиппову за тяжести. Максимальное расстояние, на которое могут ценные замечания.

удалиться два однопараметрических солитона, равно Список литературы =22 ln. (15) k[1] М.М. Фарзтдинов. Теория спиновых волн в ферро- и В отличие от (11), где v строго больше нуля, в бризерном антиферромагнетиках с доменной структурой. Наука, М.

решении (12) величина v1 может быть и отрицательной (1988). 240 с.

(см. (14)). Пусть скорость v1 близка к критической (она [2] В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов. ФММ 36, 4, 690 (1973).

[3] Ю.И. Горобец. УФЖ 19, 6, 1025 (1974).

соответствует равенству в (14)): v1 = -r(1 - µ)/(22), [4] Л.Э. Гуревич, Э.В. Ливерц. ЖЭТФ 82, 1, 220 (1982).

0 < µ 1. Тогда k02 = µ/3 1, 2|v1|k0, [5] Е.С. Денисова. ФТТ 42, 3, 503 (2000).

и (15) можно переписать в виде =2 ln(12/µ). При [6] Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. Наука, М.

µ 0.05 величина 52.

(1978). 792 с.

В случае, если между v1 и 2 существует связь, [7] Б.Н. Филиппов, М.М. Соловьев. ФММ 80, 2, 20 (1995).

близкая к связи между v и 1 для односолитонного [8] C. Kooy, V. Enz. Philips Res. Reports 15, 7 (1960).

решения (11) 2 = r/v1, [9] А. Малоземов, Дж. Слонзуски. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. Мир, k0 = 1/2, =2v1k0, (16) М. (1982). 384 с.

[10] Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. Солитоны и и двухпараметрическое решение (12) выглядит наиболее нелинейные волновые уравнения. Мир, М. (1988). 696 с.

просто [11] Дж.Л. Лэм. Введение в теорию солитонов. Мир, М. (1983).

294 с.

[12] А.М. Косевич, А.С. Ковалев. Введение в нелинейную 2r sin[ v1/r( ± v1t)] U = 2 arctg.

физическую механику. Наук. думка, Киев (1989). 304 с.

ch[ v1/r( v1t)] [13] A. Hubert, R. Schfer. Magnetic Domains: the Analysis of Magnetic Microstructures. Springer, Berlin (1998). 704 p.

Из (16) видно, что волновое число k0 обратно пропорци[14] Элементы и устройства на цилиндрических магнитных онально ширине 2, а частота прямо пропорциональна доменах: Справочник. Радио и связь, М. (1987). 488 с.

скорости v1 и волновому числу k0.

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.