WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 6 Равновесное энергетическое распределение локализованных носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках при низких температурах в присутствии внешнего электрического поля © Д.В. Николаенков, В.И. Архипов, В.Р. Никитенко Московский инженерно-физический институт, 115409 Москва, Россия (Получена 23 декабря 1999 г. Принята к печати 28 декабря 1999 г.) Показано, что в неупорядоченных полупроводниках, характеризующихся достаточно быстро убывающей энергетической плотностью локализованных состояний, при низких температурах, когда можно пренебречь вкладом термоактивированных прыжков носителей заряда в процесс прыжкового транспорта, в трехмерном случае может существовать равновесное энергетическое распределение носителей заряда. Асимптотика этого распределения является больцмановской экспонентой с некоторой эффективной температурой, зависящей от напряженности электрического поля.

Процессы транспорта носителей в аморфных полу- низких температурах, когда вклад термоактивированных проводниках, в которых проводимость осуществляется прыжков в процесс транспорта носителей заряда пренепо делокализованным состояниям, были успешно опи- брежимо мал. В данной же статье мы показываем, что саны моделью многократного захвата [1–3], которая и в трехмерном случае в области низких температур во предполагала существование в материале двух фракций внешнем электрическом поле может существовать равносителей, находящихся в данный момент времени на новесное энергетическое распределение локализованных делокализованных и локализованных состояниях соот- носителей заряда и что такое распределение описывается ветственно. Однако в тех материалах, в которых все энер- больцмановской экспонентой с эффективной температугетические состояния носителей заряда локализованы, рой (1).

например в большинстве полимеров, процесс переноса В качестве уравнения, описывающего кинетику прыжносителей является прыжковым. Много интересных и кового транспорта, использовано хорошо известное уравважных черт прыжкового транспорта неупорядоченных нение баланса, полупроводников было экспериментально обнаружено в fi достаточно сильных электрических полях [4–6]. Как = ji f - fi i j, (2) j t аналитически [7–10], так и моделированием по методу j = j j = j Монте-Карло [11,12], было показано, что распределение написанное для случая слабой заселенности локализолокализованных носителей по энергии и подвижность ванных состояний, fi 1. Здесь fi — среднее число носителей в неупорядоченном полупроводнике могут заполнения состояния i, i j — вероятность перехода из быть описаны как обычной температурой T, так и несостояния i в состояние j. Сделаем предположение, которой эффективной температурой TF(F), зависящей что в квазиравновесном режиме переноса, при котором от величины приложенного внешнего электрического функция плотности состояний не зависит от времени, поля F. Аналитические вычисления этой эффективной большое число носителей может избежать маловеротемпературы [7,9] дают ятных прыжков с очень большим временем ожидания eF tR /E ( — постоянная Планка, E — характерTF =, (1) 2k ное изменение энергии при переходе носителя с одного локализованного состояния на другое), т. е. избежать в то время как численное моделирование приводит к тех прыжков, которые не дают существенного вклада в eF процесс транспорта [13]. Такое допущение дает нам возTF = 0.k можность воспользоваться понятием усредненной функции распределения f (r, E, t) относительно непрерывных (см. [11]) или переменных: энергии E (более ”глубокие” состояния eF имеют большее значение энергии E) и радиус-вектора r.

TF =(0.69 ± 0.03) k Используем выражение для частоты переходов в форме Миллера–Абрахамса (см. [12]), где e — элементарный заряд, —обратный радиус локализации, k — постоянная Больцмана. В раE (|r|, R) =0 exp -2|r| -H(E), (3) боте [9] в одномерном случае, что в действительности kT соответствует сильным электрическим полям, было найдено равновесное энергетическое распределение инжек- где E E - eFr - E, H(E) — функция Хевисайда, тированных носителей заряда в аморфном полупровод- 0 — характерная частота туннельных прыжков носитенике, находящемся во внешнем электрическом поле, при лей, а r = r - r. В результате мы из уравнения (2) Равновесное энергетическое распределение локализованных носителей заряда... получаем следующее кинетическое уравнение для функ- Здесь введено интегральное ядро ции распределения f :

A(, ) =4H( - ) - (2 + | - |)e-|- | (10) E-eFr f (r, E, t) и безразмерные переменные = E/kTF и = E /kTF, = 0 dr exp(-2|r|) dE f (r, E, t) где TF — эффективная температура, определяемая форt мулой (1). Появление этой эффективной температуры связано с тем, что в ходе переноса электрическое поле E - eFr - E ”забрасывает” носители в состояния, лежащие выше по + dE exp f (r, E, t) g(E) энергии, подобно термодинамическим эффектам, описыkT E-eFr ваемым обычной температурой T.

Это уравнение решается методом итераций и в каче стве первого приближения используем функцию плотно- 0 dr exp(-2|r|) dE g(E ) сти локализованных состояний E-eFr (0) feq (E) =g(E). (11) E-eFr Подставляя (11) в (9), получаем, что -(E - eFr - E ) + dE exp g(E ) f (r, E, t), kT d A(, )g( ) (4) которая нормирована условием exp(E/kTF)/E, E E0 + Em(TF);

dr f (r, E, t)dE = 1, (5) (12) 1, E -E0 - Em(TF).

где t — время, g(E) — функция распределения локализо- Здесь величина Em(TF) зависит от конкретного вида ванных состояний по энергии, нормированная условием функции плотности состояний g(E). В частности, в случае гауссовского распределения g(E) =g0 exp -(E/E0)g(E)dE = 1. (6) имеем Em(TF) =E0 /2TF, а в случае экспоненциального распределения Начало отсчета энергии E = 0 соответствует максимуму функции g(E). Уравнение (4) написано в предполоg(E) =g0 exp(-|E/E0|) жении, что местоположение и энергия локализованных получаем Em(TF) =E0/(TF - E0). Таким образом, состояний не коррелируют, что соответствует полностью неупорядоченным материалам.

E (1) feq |E|-sign(E)g(E) exp, Кинетическое уравнение (4) для усредненной по проkTF странственным координатам равновесной функции рас|E| E0 + Em(TF). (13) пределения Итак, в первом приближении мы получили, что равновесfeq(E) = f (r, E, )dr (7) ное энергетическое распределение описывается больцмановской функцией.

при низких температурах, когда можно пренебречь вклаЧтобы вычислить функцию распределения feq(E) точдом термоактивированных прыжков при условии гипотенее, подставим в правую часть уравнения (9), согластического равновесия, принимает вид но (13), функцию g(E) exp(E/kTF ). Полученное реE-eFr (2) шение feq (E) имеет такую же асимптотику, что и 0 = 0 dr exp(-2|r|) dE feq(E )g(E) (1) функция feq (E), так как асимптотика (12) функции d A(, )g( ), входящей в уравнение (9), не изме нилась. Таким образом, если функция плотности локализованных состояний g(E) является достаточно ”мелкой”, - 0 dr exp(-2|r|) dE g(E ) feq(E). (8) чтобы мог установиться равновесный режим E-eFr E Eg(E) exp 0, |E|, (14) Из уравнения (8) сучетом(5) и (6) получаем следующее kTF интегральное уравнение:

то асимптотикой функции заселенности локализован ных состояний (E) = f (E)/g(E) является экспоненg() d A(, ) feq( ) та exp(E/kTF). Величина Em(TF), входящая в формуfeq() =. (9) лы (12) и (13), является характерным значением энергии 4 - d A(, )g( ) максимума функции распределения feq(E).

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 684 Д.В. Николаенков, В.И. Архипов, В.Р. Никитенко Итак, мы показали, что в трехмерном случае, как и в одномерном [9], пространственно однородное равновесное энергетическое распределение локализованных носителей заряда может, во-первых, иметь место даже в предельном случае T 0, когда можно полностью пренебречь вкладом термоактивированных прыжков в кинетическое уравнение (4), и, во-вторых, это распределение может быть аппроксимировано больцмановской функцией распределения с эффективной температурой (1) вместо обычной температуры. Заметим, что вид этой эффективной температуры совпадает с предыдущими аналитическими оценками [9,10].

Список литературы [1] A.I. Rudenko, V.I. Arkhipov. Phil. Mag. B, 45, 177 (1982).

[2] A.I. Rudenko, V.I. Arkhipov. Phil. Mag. B, 45, 189 (1982).

[3] В.И. Архипов, А.И. Руденко, А.М. Андриеш, М.С. Иову, С.Д. Шутов. Нестационарные инжекционные токи в неупорядоченных твердых телах (Кишинев, Штиинца, 1993).

[4] L.B. Schein. Phil. Mag. B, 65, 795 (1992).

[5] H. Bssler. Phys. St. Sol. (b), 175, 15 (1993).

[6] C.E. Nebel, R.A. Street. Int. J. Mod. Phys. B, 7, 1207 (1993).

[7] B.I. Shklovskii, E.I. Levin, H. Fritzsche, S. Baranovskii.

Advances in Disordered Semiconductors, ed. by H. Fritzsche (World Scientific, Singapore, 1990) v. 1, p. 161.

[8] V.I. Arkhipov, H. Bssler. Phil. Mag. Lett., 67, 343 (1993).

[9] V.I. Arkhipov, H. Bssler. Phil. Mag. Lett., 69, 241 (1994).

[10] V.I. Arkhipov, H. Bssler. Phil. Mag. B, 68, 425 (1993).

[11] S. Marianer, B.I. Shklovskii. Phys. Rev. B, 46, 13 100 (1992).

[12] S.D. Baranovskii, B. Cleve, R. Hess, R. Schumacher, P. Thomas. J. Non.-Cryst. Sol., 164–166, 437 (1993).

[13] M. Pollak. Phil. Mag. 36, 1157 (1977).

Редактор Т.А. Полянская Field dependent equilibrium energetic distribution of localized charge carriers in disordered semiconductors at low temperatures D.V. Nikolaenkov, V.I. Arkhipov, V.R. Nikitenko Moscow Engineering Physics Institute, 115409 Moscow, Russia

Abstract

The hopping transport of charge carriers in three dimensional disordered semiconductors is analyzed in this work.

It is assumed that the density of localized states in a decreasing function of the energy while the contribution of termoactivated jumps into the transport is negligible. The possibility of equilibrium energetic dictribution for this case is shown. This distribution is characterized by a field dependent effective temperature.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.