WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 4 О влиянии поперечных возмущений на движение краевой дислокации © А.Н. Бугай, С.В. Сазонов Калининградский государственный университет, 236041 Калининград, Россия E-mail: foton1@baltnet.ru (Поступила в Редакцию 13 апреля 2004 г.

В окончательной редакции 21 июня 2004 г.) На основе метода усредненного лагранжиана типа Ритца–Уизема проведено исследование влияния поперечных возмущений на движение краевой дислокации, которая описывается моделью Френкеля–Конторовой, дополненной упругим ангармонизмом и учетом дискретности кристалла (акустической дисперсии). Показано, что квадратичный ангармонизм и акустическая дисперсия способствуют самофокусировке дислокации и образованию микротрещин. Кубический ангармонизм при определенных условиях способен стабилизировать поперечное сжатие дислокации, что может привести к образованию „краудионных капель“.

1. Введение 2. Теоретическая модель Рассмотрим распространение краевой дислокации тиОдномерная модель Френкеля–Конторовой [1] достапа краудиона в кубическом кристалле в направлении точно хорошо описывает движение в кристалле ядра оси z, совпадающей с одной из кристаллических осей краевой дислокации. При приближении к поперечным четвертого порядка. Поперечную динамику учтем в краям ядра дислокации ее фронт искривляется, и одпараксиальном приближении [4], которое соответствует номерная модель перестает быть пригодной. При двиотносительно слабому искривлению фронтов дислокажении ядро дислокации может эволюционировать диции. В этой связи заметим сразу, что данное приблинамическим образом: выгибаться своими поперечными жение, во-первых, позволяет существенно упростить макраями вперед по направлению движения, что приведет тематические расчеты, а во-вторых, достаточно хорошо к самофокусировке и образованию трещин, или назад.

описывает известные эффекты волновой теории вплоть В последнем случае внутренние напряжения в обладо самофокусировки [5]. Акустическую дисперсию также сти, занимаемой дислокацией, будут ослабевать, что будем считать малой, а потому учтем ее минимальприведет в конце концов к расползанию дислокации и ным образом. Итак, эффекты поперечной динамики, ее исчезновению в макроскопическом объеме. При саакустической дисперсии и упругого ангармонизма будем мофокусировке же дислокации внутренние напряжения считать сравнимыми по порядку величины. Суммируя растут, а ее характерные размеры уменьшаются. Как указанное выше, запишем гамильтониан поля смещений следствие, необходимо учитывать ангармонизм колебапластической деформации в кристалле ний узлов кристаллической решетки и ее дискретность.

В работах [2,3] проведен соответствующий учет в рамках H = Hd3r, (1) модельных упрощающих предположений. Основное из них заключается в том, что константы кубического ангармонизма и дискретности решетки (акустической дис- где плотность гамильтониана персии) связаны друг с другом жестким соотношением.

p2 11 u u Данное ограничение позводило получить аналитическое H = + + nU0 sin2 + (u)2nm 2 z h выражение для поля дислокации [2], а также свести решение задачи к вполне интегрируемой системе [3]. Учет 2 11h2 2u 111 u кубического ангармонизма и акустической дисперсии - + 11 + 24 z 3 z привел авторов работы [2] к выводу о возможности движения дислокации со сверхзвуковой скоростью. Оказы111 1111 u + 11 + +. (2) вается, что учет квадратичного ангармонизма провести 3 4 z гораздо сложнее, чем кубического [2]. В то же время в большинестве случаев в кристаллах преобладает именно Здесь — плотность импульса, соответствующая квадратичная акустическая нелинейность, являющаяся смещению u кристаллических узлов вдоль оси z ; 11, главной причиной теплового расширения.

111, 1111 — адиабатические модули упругости второго, Цель настоящей работы — учет влияния поперечных третьего и четвертого порядков соответственно; h — возмущений на движение краевой дислокации, когда постоянная кристаллической решетки; m — масса атосущественны упругий ангармонизм второго и третьего мов, совершающих перемещения по кристаллу в режипорядков, а также акустическая дисперсия. ме пластической деформации; n — их концентрация;

О влиянии поперечных возмущений на движение краевой дислокации U0 — высота барьера Френкеля–Конторовой, образуе- где мого „подложкой“, которая считается неподвижной.

= av0/2, = bv0/2, 2,3 = b2,3v0/2.

Четвертое и пятое слагаемые в гамильтониане (2) описывают соответственно поперечные возмущения и Частный случай полученного уравнения при 2 = 0, акустическую дисперсию, шестое и седьмое соответ- 3 = 3/2 (ограничения Косевича–Ковалева) в отсутствуют квадратичному и кубическому ангармонизмам. ствии поперечных возмущений ( = 0) исследован Первые же три слагаемых соответствуют классической в [3], где была доказана интегрируемость данного ураводномерной модели Френкеля–Конторовой. нения при указанных соотношениях и получено его Запишем уравнения Гамильтона для поля смещений многосолитонное решение.

p H u H = -, =. (3) 3. Учет поперечных возмущений t u t p в геометрическом приближении Из системы (3), используя (1) и (2), можно получить следующее уравнение: Дальнейший анализ уравнения (5) проведем с помощью вариационного метода „усредненного лагранжи2 1 2 ана“ [6–8]. Лагранжиан, соответствующий (5), можно - = a sin + b2 z t2 z z vзаписать в виде 1 2 L = + (1 - cos ) - b3 - b -, (4) 2 t 2 z z z 4 где 3 2 v+ - + ()2. (6) 12 2 2u 22n2mU0 h2 h =, a =, b =, b2 =, Выберем пробное решение типа краудиона, рассмотренh 11h2 ного в [2,3], 2h2 b3 = -, = 4arctgexp ( - ). (7) 2 В одномерном случае = 1/l = const, а =(v - v0)t, = -(3/2)(1 + 111/311) — постоянная Грюнайзена, v — скорость дислокации, зависящая от ее длины l. Учет v0 = 11/nm — линейная скорость звука.

неодномерности в параксиальном приближении позвоКонстанты a, b, b2 и b3 стоят при слагаемых в правой ляет говорить, что = (t, r) и = (t, r) в этом части, описывающих соответственно влияние потенслучае являются „медленной“ и „быстрой“ функциями циала Френкеля–Конторовой, акустической дисперсии, своих переменных.

квадратичного и кубического ангармонизмов.

Подставляя (7) в (6) и интегрируя полученное выраПоскольку используется параксиальное приближение жение по „быстрой“ переменной, получим „усреднен2/z, слагаемые, стоящие в правой части (4) ный лагранжиан“ после sin, являются малыми по отношению к слагае+ мым в левой части. Исходя из этого, решение (4) будем 1 4 искать с помощью последовательных приближений по Ld = - + 2 2 - 3 - 4 t 6 3 этим малым слагаемым. В нулевом приближении имеем = (z - v0t), рассматривая только дислокацию, движу2 ()2 щуюся в одном направлении вдоль оси z. В следующем - v0 - v0 ( )2. (8) приближении в качестве поправки введем „медленное 6 3 время“ = t, где 1. Тогда решение примет вид Варьируя по переменным и, запишем уравнения = (, ), где = z - v0t. В пренебрежении слагаемыЭйлера–Лагранжа ми 2 имеем + ( V) =0, (9) 2 2 2 2 t =, = - 2v0.

v2 2 z t2 0 V2 dP + + = F(t, r), (10) t После подстановки данных соотношений в (4) и возвращения к переменной t получим где = -v0, V =, dP 2 2 2 = 2v0 - 2 + 3 - 2, (11) = sin + 2 2 - 3 d 2 6 t 2 3 ()F(t, r) = v2 -3 -. (12) 4 v0 12 - -, (5) Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 624 А.Н. Бугай, С.В. Сазонов В пространственно одномерном случае ( = 0) система (9), (10) с учетом (11) легко интегрируется. При этом скорость одномерного краудиона al2 b2 4 v = v0 1 - - + b3 - b. (13) 2 6l 3 2lПри ограничениях Косевича–Ковалева (b2 = 0, b3 = 3b/2) выражение для v имеет вид al2 b v = v0 1 - +, 2 2lчто с точностью до переобозначений коэффициентов a и b совпадает с соответствующим выражением, полученным в [3]. Данное обстоятельство является существенным аргументом в пользу принятого здесь подхода, Рис. 1. Выгибание поперечных фронтов краевой дислокации при ее дефокусировке.

основанного на методе „усредненного лагранжиана“.

Правая часть (10) содержит производные по попереченым координатам от „медленной“ переменной.

Отталкиваясь от аналогии с оптикой [4,9], можно скаВ центре поперечного сечения дислокации величизать, что функция F(t, r) описывает волновые свойства на m максимальна. Если с увеличением m скорость v дислокации и соответствует эффектам ее дифракции возрастает (т. е. dv/d >0), фронт дислокации выгина собственных неоднородностях. На начальной стадии бается таким образом, что его центральные участки искривления фронта дислокации волновыми свойствадвижутся быстрее, чем периферийные (рис. 1). Это ми можно пренебречь и ограничиться „эйкональным“ приводит к дефокусировке дислокации. В противном (геометрическим) приближением, когда F = 0. Тогда случае она теряет устойчивость по отношению к самосистема (9), (10) совпадает по виду с уравнениями пофокусировке.

тенциального течения идеальной жидкости (уравнение Из (15) видно, что вопрос устойчивости краудиона неразрывности и интеграл Коши для нестационраного по отношению к самофокусировке сводится к анализу течения соответственно). Здесь является аналогом влияния конкурирующих эффектов. Кристаллический потенциала скорости V, а P и — давления и потенциал Френкеля–Конторовой U0 создает дефокуплотности. Соотношение (11) имеет смысл уравнения процесса (уравнения адиабаты) для изоэнтропийного сирующий эффект. В то же время квадратичный антечения данной „жидкости“. Тогда условие устойчивого гармонизм, ответственный за тепловое расширение, и течения „жидкости“ вида (9)–(11) акустическая дисперсия способствуют самофокусировке.

Роль кубического ангармонизма может быть двоякой:

dP/d >0 (14) при 1111 > 8 11/3 8 nmv2/3 кубическая нелинейность препятствует самофокусировке, в противном слусоответствует устойчивости решения (7) по отношению чае имеем фокусирующий эффект.

к самофокусировке [10–12]. В нашем случае это означает, что дислокация будет расползаться по кристаллу, предотвращая образование трещин, так как локальные 4. Влияние дифракции напряжения при этом уменьшаются. С учетом (11) неравенство (14) примет вид Пусть в (10) F = 0, что соответствует учету дифрак a + b3 2 - b2 - b2 > 0. (15) ции краудиона на им же создаваемых неоднородностях 2 3 кристалла. Влияние дифракции проведем аналогично Условие (15) имеет ясную физическую интерпрета- тому, как это делается в задачах оптики и общей цию. Действительно, учитывая связь l = 1/ и выраже- волновой теории [4,5]. Поле дислокации будем считать ние (13), легко видеть, что (15) в точности совпадает аксиально симметричным. Следуя [4,5], представим в с условием dv/d >0. Из определения видно, что автомодельном виде / u/z, где — относительная локальная R2 rдеформация. В то же время, используя (7), запишем = 0 0 exp -, (16) R2 R = 2 sech ( - ).

где R0, R(t) — соответственно начальный и текущий Таким образом, m, где m — амплитудное значе- поперечные радиусы краудиона. Функцию разложим ние. в ряд по степеням r и, ограничиваясь приосевым приФизика твердого тела, 2005, том 47, вып. О влиянии поперечных возмущений на движение краевой дислокации ближением (r2/R2 1) [4,5], учтем первые два члена ряда r = f (t) + f (t) +.... (17) 1 Подставляя (16) и (17) в (9), получим f =. (18) Рис. 2. Конкурирующее влияние упругой „e“ и пластиR ческой „p“ деформаций на поперечную структуру краевой дислокации.

После подстановки (16), (17) в (10) и приравнивания выражения при нулевой и второй степенях r/R, получим следующую пару уравнений:

v2 aR4 Rf1 = + b2 0 2 0R4 6 R4 R4 22 R- b3 - b 0 0 -, (19) 3 R4 3 0RaR2 Rf2 + f = 2v2 + b2 0 2 0R4 6 R4 R4 52 + b3 - b 0 0 -. (20) 3 R6 6 0RПодставляя (18) в (20), придем к дифференциальному уравнению для радиуса дислокации Рис. 3. Зависимость U(R), соответствующая модели U R = -, (21) Френкеля–Конторовой.

R которое совпадает по виду с уравнением движения ньютоновской частицы единичной массы в „потенциальном способствует самофокусировке краудиона, т. е. притяжеполе“ нию различных его участков к областям наибольших v2 4 R4 R0 локальных деформаций. Дело в том, что в нашем случае U(R) = b3 - b 0 0 - b2 0 2 3 R4 3 Rэффекты дифракции соответствуют упругой деформации в плоскостях поперечных сечений краудиона. Пластиa R4 52 Rческая деформация, действующая в этих направлениях, - +. (22) 2 0 R4 0R0 стремится „растянуть“ краудион, освобождая атомные вакансии (рис. 2). Упругая же деформация, как обычно, Первые два слагаемых в кадратных скобках (22) сопрепятствует пластической деформации, стремясь восответствуют кубическому и квадратичному решеточным становить симметрию кристалла.

ангармонизмам, третье описывает влияние периодичеИспользуя аналогию с уравнением движения, удобно ского кристаллического потенциала подложки в модели проследить за динамикой краудиона при его распроФренкеля–Конторовой.

странении. Так, при R 0 будет происходить самоЛегко видеть, что роли перечисленных слагаемых в фокусировка дислокации, которая в конечном итоге точности совпадают с ролями соответствующих физиприведет к образованию трещины в кристалле. При ческих механизмов в поперечной динамике краудиона, R дислокация будет расплываться и в конце концов выявленными в предыдущем разделе на основе геометисчезнет в объеме кристалла. Качественно о поведении рического приближения.

функции R(t) можно судить, исследуя зависимость U() Дифракционные эффекты учитываются последним вида (22).

слагаемым в квадратных скобках (22), которое формальРассмотрим важный частный случай, а именно класно совпадает с потенциальной энергией гармонического сическую модель Френкеля–Конторовой, когда в (22) осциллятора с той разницей, что здесь R > 0. Заметим, что в геометрическом приближении (R0, R ) эффек- b = b2 = b3 = 0.

ты дифракции в (22) исчезают в отличие от перечис- Из зависимости U(R) в этом случае видно (рис. 3), ленных выше эффектов. Видно, что данное слагаемое что такая дислокация может либо схлопываться при 4 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 626 А.Н. Бугай, С.В. Сазонов Заметим, что в образовании „капли“ участвуют различные конкурирующие эффекты. С одной стороны, это кубический ангармонизм, вкладу которого соответствуют последние слагаемые в (24), (25), а с другой — эффект дифракции и квадратичный ангармонизм (второе и третье слагаемые в (24) соответственно).

Найдем скорость распространения „краудионной капли“. Заметим, что - = z - v0t - = z - (v0 + )t.

Таким образом, скорость в лабораторной системе от счета описывается выражением v = v0(1 - /v2). Тогда, используя (19) и (24), найдем lv = v0 1 - (Dq3 + 10B2qm - 10B3). (26) 10ls q2 m m Рис. 4. Кривые U(R) в присутствии квадратичного и кубического ангармонизмов: зависимость 1 соответствует случаю Из (26) с учетом (25) следует, что „краудионная капля“ b3 > 3b/4, когда возможно образование „краудионных капель“, может двигаться со сверхзвуковой скоростью при отсута зависимость 2 —случаюb3 < 3b/4.

ствии квадратичного ангармонизма.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.