WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 4 Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на поры в твердых телах © В.И. Бетехтин, С.Ю. Веселков, Ю.М. Даль, А.Г. Кадомцев, О.В. Амосова Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия E-mail: Vladimir.Betekhtin@pop.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 24 июля 2002 г.) Рассматривается напряженно-деформированное состояние нелинейно-упругих тел в окрестности шаровых и эллиптических пор. Анализируются особенности развития областей пластичности около таких пор.

Результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными по закономерностям залечивания пор под действием всестороннего сжатия.

Микроскопические поры и трещины образуются в 1. Шаровая пора в упругом процессе пластической деформации твердых тел или пространстве, нагруженном вследствие технологических особенностей получения гидростатическим давлением последних [1]. Как правило, увеличение деформационной или врожденной пористости ведет к деградации физикоРассмотрим неограниченное упругое изотропное промеханических характеристик твердых тел, а регенерация странство S с шарообразной полостью радиуса R0.

их сплошности (за счет полного или частичного залечиПусть на бесконечности пространство находится под вания пористости) улучшает эти свойства [2].

равномерным гидростатическим давлением p = const.

Подавляющее большинство исследований прочности Определим напряженно-деформированное состояние в S.

пористых материалов основано на соотношениях линейВведем сферические координаты r с началом в центре ной теории упругости. Такой подход, однако, обладает поры. Из условия симметрии следует, что напряжерядом существенных недостатков. Во-первых, он не ния rr,, r являются главными, тангенциальные позволяет учесть возникновение и развитие пластичеперемещения u = u = 0, а радиальное перемещение ских зон в окрестности изолированных или групповых ur = u(r).

концентраторов напряжений, к которым относятся поры.

Радиус деформированной полости равен Во-вторых, краевые условия в задачах классической теории упругости удовлетворяются на исходном (недеR = R0 + u(R0). (1) формированном) контуре твердого тела; по этой причине построенные решения оказываются справедливыми 1.1. Л и н е й н о е р е ш е н и е. Из соотношений класлишь при малых изменениях конфигурации внутренсической теории упругости [3] (стр. 33, 34) получаем них дефектов (пор, вакансий, включений, микротрещин и т. д.).

u(r) =ar + b/r2, Ввиду всего вышеизложенного цели данной работы заключались в следующем.

Ea 2Eb rr = -, 1) Получить аналитическое решение задачи о боль1 - 2 (1 + )rших деформациях шаровой полости в упругом теле, Ea Eb нагруженном всесторонним давлением. Учесть (в рамках = = +. (2) двумерной модели) физическую нелинейность рассмат- 1 - 2 (1 + )rриваемой задачи.

Здесь и далее E — модуль Юнга, — коэффициент 2) Выявить особенности развития пластических деПуассона материала пространства, r — расстояние формаций вблизи изолированной поры и ансамбля изо(до деформации) от начала координат до рассматривалированных пор. Оценить влияние поверхности тела на емой точки. Неизвестные постоянные a и b в формуконфигурацию областей пластичности около приповерхлах (2) определяются из граничных условий ностных пор.

3) Экспериментально исследовать воздействие гидроrr(R0) =0, rr() =-p.

статического давления на эллиптические поры с разной степенью вытянутости.

Откуда 4) Сопоставить расчетные и опытные данные по влиянию давления на залечивание пористости вблизи (1 - 2)p (1 + )R3p a = -, b = -.

поверхности и в объеме твердых тел.

E 2E Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на поры... Поставляя эти соотношения в (2), находим 2. Нелинейная двумерная модель эллиптической поры в бесконечной p(1 - 2) p(1 + )R0 R0 плоскости u(r) =- r -, E 2E r 2.1. Одноосное растяжение (сжатие). РасR3 R3 смотрим эллиптическое отверстие в нелинейно-упругой 0 rr = -p 1 -, = = -p 1 +. (3) плоскости. Совместим начало декартовой системы коr3 2rординат с его центром. Оси Ox и Oy направим соотРадиальное перемещение сферической полости вычисветственно вдоль большой (a) и малой (b) полуоси отляется по формуле верстия. Пусть на бесконечности в плоскости действуют напряжения 3p(1 - ) u(R0) =- R0, 2E yy = p = const, xx = xy = 0.

подставляя которую в равенство (1), получаем величину Следуя сформулированному выше предположению, задеформированного радиуса полости пишем текущие значения большой и малой полуоси деформированного отверстия [4] 3(1 - ) R = R0 1 - p. (4) 2E c ai+1 = ai 1 - dpi, Ei Отсюда вытекает, что сферическая пора в упругом полупространстве исчезает, когда величина гидростатиc 2cai ческого давления на бесконечности достигает значения bi+1 = bi 1 - dpi + dpi. (6) Ei Ei 2E Здесь dpi — приращение внешних напряжений на бесp = p =.

3(1 - ) конечности (|dpi| |p|), Ei — секущий модуль упругости диаграммы растяжения на участке pi < p < pi+1.

Разумеется, этот вывод следует рассматривать только Для плоской деформации c =(1 - 2); при обобщенном как качественный. Как отмечалось выше, количественплоском напряженном состоянии c = 1. Подчеркнем, ные оценки, основанные на соотношениях линейной что контур деформированного отверстия остается элтеории упругости, справедливы при малых деформациях липтическим [3].

шаровой поры, когда |R - R0| R0.

Обозначим через an длину большой полуоси от1.2. Н е л и н е й н о е р е ш е н и е. С учетом полученверстия после n ступеней нагружения плоскости усиных результатов отметим основные моменты, связанлиями dp0, dp1,..., dpn-1. На основании предыдущей ные с геометрической нелинейностью задачи. В основу формулы дальнейшего анализа положим следующее естественное предположение: бесконечно малое изменение давления cd p0 cd p1 cd pn-an = a0 1 - 1 -... 1 -, на бесконечности вызывает в окрестности сферичеE E1 En-ской поры приращение перемещений и напряжений, зависящее от ее текущей (деформированной) конфиp = dp0 + dp1 +... + dpn-1, гурации. Иными словами, будем считать зависимогде a0 — длина большой полуоси отверстия до дефорсти (3), (4) справедливыми при замене в них параметмации. Представим это выражение следующим образом:

ра p на dp(|dp| |p|). Обозначим радиус деформированной сферической полости на n-й ступени нагружения cd p0 cd p0 cd p1 cd pчерез Rn. Тогда из (4) выводим an = a0 1 - 1 - - E E E1 E n 3(1 - )p Rn = R0 1 -. cd p0 cd pn-1 cd pEn... 1 - - -.

E En-1 E Устремив здесь n, получаем Отсюда 3(1 - )p cd p0 n R = lim Rn = R0 exp 1 -. (5) n an = a0 1 - (1 - 0)(1 - 1)... (1 - n-1), 2E E Из формулы (5) следует, что при сколь угодно больших где величинах гидростатического давления на бесконечно- cd pk cd pEk E сти деформированная шаровая полость в упругом изоk =, k = 1, 2,..., n - 1.

cd pтропном пространстве не исчезает.

1 E Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 620 В.И. Бетехтин, С.Ю. Веселков, Ю.М. Даль, А.Г. Кадомцев, О.В. Амосова Поскольку dpk/Ek 1, dp0/E 1, можно считать, Большинство твердых тел разрушается при p/E 1.

что k 1. Поэтому с точностью до величин высшего Следовательно, можно считать, что порядка малости cp cp cp cp exp = 1 +, exp - = 1 -.

E E E E cd p0 n an = a0 1 - 1 - (1 + 2 +... + n-1).

Введем это упрощение в формулы (7) и (9). Тогда после E их подстановки в (11) имеем Положим dp0 = p/n. Совершая в этой формуле предельyy (a, 0) ный переход при n, получаем 2[1 - ( - 0)] = p 1 +. (12) cp b0/a0 + 2cp/E + c( - 0)(2 + b0/aa = a0 exp - [1 - c( - 0)], (7) E Выведенные соотношения свидетельствуют о том, что где и 0 — соответственно полная и упругая де- растяжение (p > 0) вызывает уменьшение эллиптичности поры. Возрастающее сжатие (p < 0), наоборот, формация материала. Проводя аналогичные выкладки по увеличивает ее эллиптичность (отношение b/a).

отношению к сумме 2.2. Д в у о с н о е р а с т я ж е н и е (сжатие). Пусть cd pi на бесконечности в плоскости действуют напряжения ai+1 + bi+1 =(ai + bi) 1 +, Ei yy = xx = q = const, xy = 0.

находим Запишем текущие значения большой и малой оси деформированной эллиптической поры согласно результаcp a + b =(a0 + b0)[1 + c( - 0)] exp. (8) там [4,5] и сформулированному выше предположению E 2cbi 2cai ai+1 = ai + dqi, bi = bi + dqi.

Из формул (7) и (8) выводим Ei Ei Выполняя преобразования, аналогичные описанным выcp b = a0 exp [1 + c( - 0)] ше, находим размеры деформированной эллиптической E поры cp a0 2cq b- exp - [1 - c( - 0)] a = exp [1 + 2c( - 0)] 1 + E 2 E acp 2sq b+ b0 exp [1 + c( - 0)]. (9) + exp - [1 - 2( - 0)] 1 -, (13) E E a Если выполняются условия cp/E 1, = 0, выра- a0 2cq bb = exp [1 + 2c( - 0)] 1 + жения (7) и (9) переходят в известные зависимости 2 E aлинейной теории упругости 2cq b- exp - [1 - 2( - 0)] 1 - (14) cp cp E aa = a0 1 -, b = b0 +(b0 + 2a0). (10) E E и величину напряжений в конце деформированной большой оси отверстия Сопоставив формулы (7), (9), (10), приходим к следую2qa щим выводам.

yy(a, 0) =. (15) b 1) Геометрическая нелинейность задачи обусловливает экспоненциальную зависимость размеров деформиКак следует из формул (13) и (14), двуосное растяжерованной эллиптической полости от величин внешних ние (q > 0) уменьшает эллиптичность поры, а сжатие напряжений на бесконечности.

(q < 0), напротив, ее увеличивает.

2) Учет физической нелинейности вызывает появление в формулах для перемещений дополнительных 3. Особенности развития областей членов вида 1 ± c( - 0), в которых слагаемые ( - 0) упругопластической деформации определяют пластическую деформацию материала.

около эллиптических пор Обратимся к анализу напряжений в конце деформированной большой оси эллиптического отверстия. Не Для численного расчета областей пластичности около останавливаясь на деталях достаточно простых выклапор использовался пакет программ MS Nastran 4.0.

док, приведем окончательное соотношение Рассматривалась задача о плоской деформации двуосносжатого тела, имеющего полости эллиптической формы.

2a yy(a, 0) =p 1 +. (11) Принималось, что внешнее давление p < 0 примерно b Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на поры... в 3 раза превышает предел текучести материала тела.

Исследовались поры, расположенные вблизи поверхности и на значительном удалении от нее.

На рис. 1 приведена конфигурация зон упругопластических деформаций для пор, расположенных на разном расстоянии от поверхности: непосредственно около поверхности (a); на несколько большем расстоянии от нее (b); вдали от поверхности (c). Для расчетов выбирались поры с отношением главных осей 1, 1/3, 1/5 (соответственно области 1–3). Как видно из риРис. 3. Изменение контура пор и поверхности над порами сунка, чем ближе поры к поверхности, тем больше при действии двухстороннего сжатия. Исходные контуры пор зоны упругопластических деформаций около их концов.

и поверхности выделены жирными линиями.

Кроме того, над приповерхностными порами возникают и развиваются области упругопластических деформаций, причем этот процесс протекает более интенсивно вблизи пор с большей эллиптичностью.

Наконец, в двумерном случае приграничные поры На рис. 2 показана форма пластических зон около трех существенно „разгружают“ соседние, более удаленные пор одинакового размера, расположенных на небольшом от поверхности. Цепочки из трех пор, расположенные расстоянии друг от друга вблизи поверхности. Как ближе к поверхности, как бы „экранируют“ нижнюю видно, средняя пора взаимодействует с двумя краевыми, систему из двух пор (рис. 2). В последней уменьшаются в результате чего увеличиваются размеры областей размеры упругопластических областей. Кроме того, над пластичности вблизи ее вершин. С приближением поней не возникают поверхностные зоны пластичности.

добной системы пор к поверхности тела данный эффект Помимо размеров областей упругопластических деусиливается.

формаций было определено изменение контура пор и поверхности над порами при действии двухстороннего сжатия (исходные контуры пор и поверхности выделены на рис. 3 жирными линиями). Из рис. 3 видно, что при действии двухстороннего сжатия происходит заметная деформация контуров пор и поверхности над порами, при этом наиболее интенсивно развивается процесс деформации для пор с большой эллиптичностью.

Полученные данные позволили получить полуколичественные зависимости степени залечивания пор от различных параметров.

Проведенные расчеты свидетельствуют также о том, что в случае расположения вытянутых пор под небольшим углом к внешней поверхности форма пластических зон несколько меняется, но общие закономерности их возникновения и развития сохраняются 4. Влияние областей пластичности на деформационную конфигурацию пор Рис. 1. Области упругопластической деформации, возникаВыведенные выше формулы описывают перемещение ющие около пор различной формы (1–3), расположенных на контура эллиптической поры при одноосном или двуосразном расстоянии от поверхности (a–c).

ном сжатии (растяжении) твердого тела. К сожалению, они не позволяют оценить влияние зон локализованных пластических деформаций на характер перемещений контура поры. Строгий теоретический анализ данной проблемы очень сложен и трудоемок. Поэтому естественно ввести соответствующие поправки в расчетные формулы, исходя из следующей простой модели. Будем рассматривать часть тела над удлиненной эллиптической Рис. 2. Области упругопластической деформации, возникапорой (a/b > 3) как защемленную балку, загруженную ющие около близкорасположенных пор одинакового размера вблизи поверхности. равномерно распределенной нагрузкой q. При отсутФизика твердого тела, 2003, том 45, вып. 622 В.И. Бетехтин, С.Ю. Веселков, Ю.М. Даль, А.Г. Кадомцев, О.В. Амосова ствии зон пластичности прогибы и углы поворота на концах балки равны нулю. Что касается ее максимального прогиба w, то он определяется зависимостью q(2a)w =. (16) 384EI Здесь I — момент инерции рассматриваемой балки.

Если при заданном значении q у концов балки возникают зоны пластичности, то ее концевые сечения следует рассматривать как шарнирно опертые. В этом случае максимальный прогиб будет составлять 5q(2a)w =. (17) 384EI Таким образом, наличие локализованных зон пластичности в 5 раз увеличивает прогиб балки. Отсюда следует, что в формулы (9), (14) следует ввести (в качестве поправки на пластичность) сомножитель = 5. При этом новые зоны пластичности будут возникать преимущественно над приповерхностными порами (рис. 1). Рис. 4. Зависимость величины малой оси поры b от величины Данное обстоятельство можно учесть в принятой моде- большой оси a до (1) и после приложения давления 0.6 (2) и 1.0 GPa (3). Точки — эксперимент, сплошные линии — теория.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.