WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 5 Разогрев электронов сильным продольным электрическим полем в квантовых ямах © Л.Е. Воробьев, С.Н. Данилов, В.Л. Зерова¶, Д.А. Фирсов Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 22 октября 2002 г. Принята к печати 11 ноября 2002 г.) Исследованы процессы разогрева электронов сильным продольным электрическим полем и рассеяния энергии неравновесных электронов на полярных оптических фононах в прямоугольных квантовых ямах GaAs/AlGaAs. Предложена простая модель расчета скорости рассеяния энергии электронов на неравновесных оптических фононах. Рассмотрены результаты некоторых экспериментов по разогреву носителей заряда в квантовых ямах и показано, что учет неравновесных оптических фононов значительно улучшает согласие теоретических и экспериментальных данных.

1. Введение 2. Расчет времени релаксации и скорости рассеяния энергии Внутризонные переходы электронов в квантовых на полярных оптических фононах ямах (КЯ) в последние годы интенсивно исследуются.

с учетом и без учета эффекта Это связано с возможностью создания на их основе накопления фононов новых оптоэлектронных приборов. Однако исследованию процессов разогрева носителей заряда в КЯ проПроведем расчет скорости потерь энергии горячидольным электрическим полем (лежащим в плоскости ми электронами в КЯ. В полярных полупроводниках слоя) посвящено относительно мало работ. В больгорячие носители заряда передают энергию кристалшинстве случаев изучается разогрев электронов при лической решетке, главным образом, при рассеянии оптической накачке [1]. Имеется также ряд теоретина длинноволновых поляризационных оптических (ПО) ческих и экспериментальных работ по исследованию фононах [12]. В этом случае скорость потерь энергии транспорта электронов в сверхрешетках в поперечном одним электроном с волновым вектором k в плоскости электрическом поле [2–5].

квантовой ямы определяется разностью вероятностей В данной работе исследуется разогрев электронов процессов поглощения и испускания фонона [12]:

сильным продольным электрическим полем и рассеяние энергии неравновесных носителей заряда в КЯ.

dE(k)/dt = 0 wa(k) - we(k), (1) Процессы рассеяния энергии на оптических и акустических фононах, в том числе с учетом эффекта нагде 0 — частота оптического фонона, wa(k) и we(k) — копления фононов, изучались как в объемных полувероятности поглощения и испускания фононов при проводниках [1,6–8], так и в квантовых ямах (см., навнутриподзонных переходах электрона из состояния с пример, [9,10]). В частности, установлено, что эффект волновым вектором k. Будем предполагать, что рассенакопления фононов приводит к уменьшению скорости яние энергии происходит в основном в пределах нижрассеяния энергии [11], а также к изменению динаминей подзоны размерного квантования бесконечно глубоческих свойств неравновесных носителей заряда. Мокой КЯ. Это хорошее приближение, поскольку во всех дели расчета процессов электрон-фононного взаимодейрассматриваемых далее экспериментах энергетическое ствия дают удовлетворительное согласие с эксперименрасстояние между подзонами большое, и квантовые ямы тальными данными. Большинство теоретических модеможно считать бесконечно глубокими.

лей учитывают рассеяние на оптических и акустических Плавная огибающая волновой функции электрона в фононах, квантование фононного спектра, эффект накопнижней подзоне (x, y, z ) представляет собой произвеления фононов, экранирование.

дение плоской волны на волновую функцию (z ), опиЦель настоящей работы — рассмотрение результатов сывающую движение в поперечном направлении (вдоль некоторых экспериментов по разогреву носителей заоси роста структуры Oz ):

ряда в квантовых ямах и исследование влияния неравновесных оптических фононов на скорость рассеяния 1 2 z их энергии. Предложена простая модель расчета ско (x, y, z ) = exp(ikr)(z ), (z ) = sin, L L S рости рассеяния энергии электронов на неравновесных оптических фононах. Показано, что учет неравновесных r =(x, y), k =(kx, ky), (2) оптических фононов значительно улучшает согласие теоретических и экспериментальных данных.

где S — площадь квантово-размерного слоя, L — шири¶ E-mail: VZerova@rphf.spbstu.ru на КЯ, r — радиус-вектор электрона в плоскости КЯ.

Разогрев электронов сильным продольным электрическим полем... Электроны с начальным волновым вектором ki при Для исключения ошибки, возникающей при расчетах испускании или поглощении фононов со всеми возмож- внутриподзонного рассеяния в узких квантовых ямах ными значениями q переходят в конечные состояния методом MCA, будем пользоваться методом расчета, kj = ki q, где верхний знак соответствует испуска- предложенным в работе [17]. Заменим в (3) суммиронию, нижний — поглощению фонона. Выражения для ве- вание по kj на суммирование по q в соответствии с роятностей испускания wi j(ki ) и поглощения wi j(ki ) законом сохранения импульса. Далее, для вычисления e a при таком переходе записываются в следующем виде: вероятностей рассеяния (3) заменим суммирование по q двойным интегрированием — по q в плоскости кванто LO во-размерного слоя и по qz в поперечном направлении:

wi j(ki ) = Ha,e f (ki ) 1 - f (kj ) a,e kj qz =+ qmax dqz L 2q dq d · S F(q) F(q), E(kj) - E(ki) ± 0, (3) 2 (2)q qz =- qmin =LO где Ha,e — матричный элемент электрон-фононного (6) взаимодействия, f (ki, j) — значение функции распрегде — угол между векторами ki и q. Пределы деления в состоянии ki, j. В (3) учтена возможность интегрирования по q для испускания (qe ) и погmin,max частичного заполнения конечных состояний электрона лощения (qa ) определяются из закона сохранения min,max после рассеяния.

энергии:

Некоторые модели расчета процессов электрон-фононного взаимодействия учитывают квантование фононqe = ki k2 - 2m0/ ;

min,max i ного спектра [13–15]. Однако установлено, что квантование энергетического спектра фононов в гетероструктуqa = k2 + 2m0/ ki, (7) min,max i рах на основе GaAs слабо изменяет скорость рассеяния m — эффективная масса электрона. Пределы интегрироэнергии электронов [16]. Поэтому в настоящей работе вания по qz определяются границами зоны Бриллюэна:

при расчете рассеяния квантование фононов не учитыот -/a до +/a, где a — постоянная решетки. Так валось.

как a L, то эти пределы можно считать бесконечБудем считать, что фононный спектр в гетерострукными: от - до +. Волновой вектор электрона в туре такой же, как и в объемном полупроводнике.

направлении z определен с точностью до /L, поэтому Матричный элемент рассеяния электронов в пределах и волновой вектор фонона в направлении z определен нижней подзоны в двумерных системах на потенциале, c этой же точностью.

создаваемом трехмерными длинноволновыми ПО фоноИспользуя (4)-(7) для расчета вероятностей (3), нами, построенный на волновых функциях (2), имеет получаем, что вероятности электрон-фононного рассеявид [17] ния определяются многократным интегралом, в котором 1/-1 -1 переменные интегрирования (z, qz, q, ki и ) не 2 e 0 - LO Ha,e = - i Gi j(qz ) разделяются. Обозначим через Ii j(q) интеграл по qz :

V q2 + q z + dqz Ii j(q) = Gi (qz ) 1 q2 + q2 j z Nq + k,ki ±q, (4) j 2 + L где верхний знак относится к процессам поглощения dqz 2 z z = sin eiq z dz. (8) фонона, нижний — к процессам испускания, e —заряд q2 + q2 L L z электрона, V — объем кристалла,, 0 — высокочастотная и низкочастотная диэлектрические проницаВ случае прямоугольной бесконечно глубокой КЯ емости полярного полупроводника. Интеграл Gi j(qz ) Ii j(q) удается вычислить аналитически:

включает перекрытие волновых функций начального i(z ) и конечного j(z ) состояний электрона:

2 Ii j(q) =L + (qL)2 (qL)2 + L z Gi j(qz ) = sin z e±iq z dz. (5) 324[1 - exp(-qL)] L L -. (9) (qL)3 (qL)3 + Существуют приближенные методы расчета интегра- Интегрирование по углу также может быть прола (5). Например, в приближении сохранения импульса ведено аналитически — с помощью -функции. Функ(MCA — momentum conservation approximation) [18] ции f (ki ) и f (ki ± q) можно считать симметинтеграл (5) аппроксимируется -функцией. Однако это ричными частями функции распределения электроприближение не всегда оказывается точным. нов, тогда f (ki) = f (Ek ), f (ki ± q) = f (Ek ± 0) и i i Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 606 Л.Е. Воробьев, С.Н. Данилов, В.Л. Зерова, Д.А. Фирсов функции распределения не содержат зависимости от сеяния энергии достаточно усреднить разность вероятугла. При интегрировании удобно преобразовать ностей (11) по ансамблю электронов:

по d d cos / sin = d cos / 1 - cos2. Тогда интегриdE (dE/dt)ki dki рование по cos дает =. (13) dt f (ki)ki dki 2 q2 kiq d · cos ± 0 Для учета эффекта накопления фoнонов введем нену2m m левое время жизни оптических фононов q. Будем считать его не зависящим от волнового вектора фонона.

Неравновесная функция распределения фононов тогда 2 d(cos ) q2 kiq = 2 cos ± может быть записана в следующем виде:

2m m 1 - cos-dNq Nq = Nq0 + NqN Nq0 + q, (14) 2m dt =, (10) kiq 1 - m0/ kiq ± q/2ki где NqN — неравновесная часть функции распределения фононов, dNq/dt — скорость изменения числа фононов где верхний знак соответствует процессу испускания, а с волновым вектором фонона q:

нижний — процессу поглощения фонона.

От интегрирования по волновым векторам удобно пе- dNq 2 LO = He f (ki + q) 1 - f (ki) рейти к интегированию по соответствующим им энергиdt 2 2 ki ям: Ek = k2/2m и Eq = q2 /2m. Тогда, учитывая (9) i i и (10), для вероятностей испускания и поглощения E(ki + q) - E(ki) - фонона электроном с энергией Ek получим i LO - Ha f (ki ) 1 - f (ki + q) -1 -e20m( - 0 ) ki wi j(Ek ) = e i 2 ki E(ki) - E(ki + q) + 0. (15) qe max -1/m0 q LO LO dqIi j(q) 1 - + Матричные элементы He и Ha, входящие в (15), kiq 2ki содержат неравновесную функцию распределения фоqe min нонов Nq. Используем для нее соотношение (14). Это f (Ek ) 1 - f (Ek - 0) (Nq + 1);

означает, что dNq/dt присутствует в обеих частях раi i венства (15), т. е. выражение (15) является уравнением -1 -e20m( - 0 ) для нахождения dNq/dt. Обозначим в (15) множители, wi j(Ek ) = a i 2 ki не зависящие от dNq/dt, через Fa(q) и Fe(q) соответственно для поглощения и испускания. Тогда уравнение qa max -1/для dNq/dt запишется следующим образом:

m0 q dqIi j(q) 1 - kiq 2ki dNq(q) dNq(q) qa min = Fe(q) Nq0 + q + dt dt f (Ek ) 1 - f (Ek + 0) Nq. (11) i i dNq(q) - Fa(q) Nq0 + q. (16) Значение полной вероятности рассеяния на равновесных dt полярных оптических фононах получается при численном интегрировании по ki выражений (11) с равновес- Решение этого уравнения имеет вид ной функцией распределения фононов Nq = Nq0, где dNq(q) Fe(q)(Nq0 + 1) - Fa(q)(Nq0) =. (17) dt 0 -1 1 - q Fe(q) - Fa(q) Nq0 = exp - 1, (12) kBT Функции Fa(q) и Fe(q) содержат все операции kB — постоянная Больцмана, T — температура решет- интегрирования и интересующую нас зависимость от ки. Величина, обратная найденной полной вероятности волнового вектора фонона. Для их расчета заменим рассеяния, определяет время релаксации.

суммирование по ki на интегрирование, затем от волСкорость потерь энергии электроном с волновым новых векторов ki и q перейдем к энергиям. После вектором k определяется выражением (1) с исполь- интегрирования по qz и z аналогично (9), а также по зованием (11). Для получения средней скорости рас- углу с помощью -функции, функции Fa(q) и Fe(q) Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Разогрев электронов сильным продольным электрическим полем... будут иметь вид -1 -2 e20m3/2L( - 0 )Ii j(q) Fe(q) = f (Ek + 0) 1 - f (Ek ) i i dEk, i Ek - 0/ Eq + Eq ( 0+Eq )2/4Eq i -1 -2 e20m3/2L( - 0 )Ii j(q) Fa(q) = f (Ek ) 1 - f (Ek + 0) i i dEk, i Рис. 1. Скорость рассеяния энергии двумерными электронами Ek - 0/ Eq - Eq ( 0-Eq )2/4Eq i при взаимодействии с полярными оптическими фононами в (18) квантовой яме GaAs/AlGaAs (ширина L = 6 нм, поверхностная концентрация ns = 3 · 1011 см-2) в расчете на один электрон Определив из (17) и (18) dNq(q)/dt, можно найти без учета накопления фононов (штриховые кривые) и с учетом усредненную скорость рассеяния энергии в расчете на этого явления при q = 7 · 10-12 с (сплошные кривые) для двух один электрон с учетом неравновесных фононов: температур решетки. Штрихпунктирные кривые — dE/dt для объемного полупроводника GaAs без учета неравновесных фононов. На вставке — неравновесная часть функции dNq(q) dE 0 qdq d распределения полярных оптических фононов в зависимости =, (19) от приведенного волнового вектора для этой же КЯ при dt ns (2)2 dt q=0 =T = 77 K; параметр q0 = 2m 0/ ; электронная температура Te: 1 — 300 K, 2 — 500 K.

где ns — поверхностная концентрация электронов.

Оценим возможное уменьшение найденной скорости рассеяния энергии вследствие эффектов экранирования чих электронов Te как параметр в функции распределефононов двумерным электронным газом. Для этого ния Ферми:

достаточно умножить индуцированный потенциал на множитель /( + qd/q), где qd — обратная длина Ek - EF -i экранирования [19]. Этот множитель содержит отношеf (ki ) = exp + 1, (20) kBTe ние qd/q в первой степени, в отличие от случая объемного полупроводника, где величина экранирования опрегде EF — уровень химического потенциала.

деляется квадратом данного отношения. Это означает, Время жизни неравновесных оптических фононов q что двумерный электронный газ экранирует фононы слав GaAs, найденное из сопоставления экспериментальбее, чем трехмерный. Для КЯ GaAs толщиной 5-10 нм ных и теоретических исследований скорости рассеяс уровнем легирования ns = 1 · 1011-5 · 1011 см-2 при ния энергии для объемных полупроводников, составлятемпературах T = 100-300 K множитель, учитывающий ет 7 · 10-12 с [20].

экранирование, составляет 0.8-0.95, т. е. близок к едиРезультат расчета скорости рассеяния энергии в преднице. Таким образом, в КЯ с подобными параметраложенной выше модели представлен на рис. 1 для двух ми процессы экранирования оказывают несущественное температур решетки. Штриховые кривые соответствувлияние на величину скорости рассеяния энергии.

ют рассеянию на равновесных ПО фононах, сплошные кривые учитывают эффект накопления фононов при q = 7 · 10-12 с. В отсутствие электрического поля, 3. Результаты и их обсуждение когда температура электронов Te равна температуре решетки T, количество поглощенных и испущенных Рассмотрим гетероструктуру с КЯ GaAs/AlGaAs ши- электронами фононов одинаково и dE/dt = 0. При риной L = 6 нм и уровнем легирования 5 · 1017 см-3.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.