WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 1999, том 33, вып. 5 Спектры электронов и дырок в сверхрешетке цилиндрических квантовых проволок © В.Н. Головач, Г.Г. Зегря, А.М. Маханец, И.В. Пронишин, Н.В. Ткач Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Черновицкий государственный университет, 274012 Черновцы, Украина (Получена 15 июля 1998 г. Принята к печати 3 ноября 1998 г.) В рамках метода присоединенных плоских волн рассчитаны спектры электронов и дырок в сверхрешетке цилиндрических квантовых проволок. Составляющая энергии, обусловленная движением квазичастиц в направлении, перпендикулярном аксиальной оси проволоки, представляет собой чередование зон с положительной и отрицательной эффективной массой. Учет потенциала сверхрешетки квантовых проволок приводит к снятию вырождения по магнитному квантовому числу при отходе от точки зоны Бриллюэна. Исследованы зависимости энергий основных зон от радиуса квантовых проволок и от расстояния между проволоками для плоского движения квазичастиц.

За последние годы полупроводниковые гетерострукту- имеет вид ры с успехом используются в опто- и микроэлектронике.

2 1 Современная технология позволяет создавать полупро = - 2 µ(, ) водниковые гетероструктуры с квантовыми ямами, квантовыми нитями и квантовыми точками. Для прогнози- 1 2 рования характеристик приборов, а также для создания + + U(), (1) µ(, ) z2 новых приборов необходим микроскопический подход к анализу энергетических спектров носителей заряда в (,, z) =E(,, z). (2) указанных гетероструктурах.

Интересным объектом исследования представляется Представим (,, z) в виде гетероструктура, состоящая из квантовых проволок (КП) 1 одного материала, находящихся в другом материале и (,, z) = ()eik z, (3) L образующих сверхрешетку в плоскости, перпендикулярной к аксиальной оси КП. Если длина КП L значительгде L — длина основной области вдоль оси КП. Подставно превышает длину свободного пробега квазичастицы, ляя (3) в (2), для () получаем уравнение то КП можно считать бесконечно длинной; при этом радиус КП и расстояние между ближайшими соседями 1 1 1 - + будут считаться много меньшими L. Понятно, что про2 µ(, ) 2µ(, ) странственное изменение размеров и расположения КП должно приводить к изменению электронных, дырочных k + U(, ) () = E- (). (4) и экситонных спектров в такой сверхрешетке.

2µ(, ) Цель работы состоит в теоретическом исследовании спектров электронов и дырок и их волновых функций Уравнение (4) можно решить методом присоединендля сверхрешетки цилиндрических квантовых провоных плоских волн (ППВ), который хорошо известен для лок (СЦКП).

трехмерных систем [1]. Модификация метода ППВ на случай исследуемой нами плоской системы выполняется следующим образом.

1. Спектр электрона (дырки) в СЦКП Будем считать, что в плоскости xy квантовые проволоки образуют квадратную решетку с периодом d = 20+b, Исследуем систему, состоящую из цилиндрических где 0 — радиус поперечного сечения нити, а b —толКП (материал 1), периодически расположенных в среде щина барьерной области между соседними КП (рис. 1).

(материал 2). Плоское сечение системы изображено на Расположим начало координат в центре круга радиуса рис. 1. Далее, для конкретности, будем предполагать, что 0, совпадающего с узлом решетки. В пределах одной в цилиндрической системе координат с осью 0z вдоль ячейки Вигнера–Зейтца так называемый ”m-t потенциал” аксиальной оси одной из КП потенциальная энергия и и эффективная масса имеют простой вид эффективная масса электрона различны в разных средах.

Чтобы найти спектр и волновые функции электрона, -U0 при 0, необходимо решить уравнение Шредингера с гамильтоU() = (5) нианом, который в цилиндрической системе координат 0 при >0.

604 В.Н. Головач, Г.Г. Зегря, А.М. Маханец, И.В. Пронишин, Н.В. Ткач µ1 при 0, µ() = (6) µ2 при >0.

Используя метод ППВ [1], будем точно решать уравнение Шредингера для области плоского пространства внутри квантовых ям, где волновая функция может быть представлена в виде суперпозиции цилиндрических гармоник. В области вне ям пробную волновую функцию можно выбрать в виде плоской волны, которая может быть разложена по цилиндрическим гармоникам. Коэффициенты разложения находятся из условия непрерывности функций на границе круга радиуса 0. Таким образом, пробная волновая функция в виде присоединенной плоской волны (ППВ) может быть представлена в следующем виде:

Рис. 1. Геометрия сверхрешетки из цилиндрических квантовых проволок.

k-g() 1 im Jm(|k - g|0) Jm() Jm(0) принцип. Определим функционал энергии на волновых функциях (8) в виде exp[im( - k-g)], 0, = (7) =,k,k 2 µ(, ) 1 exp[i(k - g)]= 1 imJm(|k-g|() 0 0 k + U() - E + kk d. (9) 2µ(, ) exp[im( - k-g)], > 0, Минимизация функционала по ck-g приводит к где 0 = (20 + b)2 — объем элементарной ячейки, системе уравнений Jm — цилиндрические функции Бесселя, m — магнитное квантовое число, k — волновой вектор квази- k частицы (соответствующий движению в плоскости xy), (k - g)2 - E + ck-g g — вектор двумерной обратной решетки, |k - g| и 2µ2 2µk-g — полярные координаты вектора k - g, + gg ck-g = 0, (10) g k - = 2µ1 U0 - E +.

где gg — интеграл, содержащий функции k-g, функ2µции k-g и гамильтониан с периодическим потенциалом системы. Производя интегрирование в gg по Присоединенная плоская волна (7) удовлетворяет объему элементарной ячейки 0, в результате получим условию периодичности Блоха, но еще не удовлетворяет уравнению Шредингера с потенциалом сверхрешетки, k 20 поскольку до сих пор не предполагалась связь между gg = - (k - g)(k - g ) - E + 0 2µ2 2µэнергией и волновым вектором. Чтобы найти эту связь, согласно теореме Блоха, будем искать волновую функJ1(|g - g |0) цию квазичастицы в виде линейной комбинации присо |g - g | единенных плоских волн k() = ck-gk-g(), (8) + exp[imgg ] Jm(|k - g|0) 2µ1 m=g где суммирование ведется по векторам обратной решетd Jm(|k - g |0) ln Jm(), (11) ки, а коэффициенты ck-g подлежат определению.

d =Поскольку всякая ППВ имеет разрыв производной на границе между квантовыми ямами и межъямными обла- где gg — угол между векторами (k - g) и (k - g ).

стями, для решения задачи лучше использовать не урав- Первое слагаемое в правой части (11) происходит от нение Шредингера, а эквивалентный ему вариационный областей вне квантовых ям, остальные слагаемые возФизика и техника полупроводников, 1999, том 33, вып. Спектры электронов и дырок в сверхрешетке цилиндрических квантовых проволок Рис. 2. Закон дисперсии электрона и дырки в сверхрешетке из цилиндрических квантовых проволок при 0 = 7aHgS и b = 14aCdS.

Штриховыми прямыми обозначены дно зоны проводимости и потолок валентной зоны HgS. Расчет выполнен при учете: a — одного узла обратной решетки (g = 0); b — первого координационного круга.

никают из-за действия оператора градиента на присоеди- и системы уравнений (10) однозначно находятся коненные плоские волны. Величины gg суть фурье-компо- эффициенты cn,k-g и, таким образом, определяются ненты эффективного потенциала сверхрешетки из кван- волновые функции товых ям.

Условие нетривиальности решения системы (10) приn(, z) = eik z cn,k-gn,k-g(). (16) водит к секулярному уравнению L g k det (k - g)2 - E + gg +gg = 0, (12) 2µ2 2µ2. Спектры электрона и дырки из которого определяется энергетический спектр квав сверхрешетке квантовых проволок зичастицы En(k, k ), n = 1, 2,.... Из условия из -HgS в матрице -CdS нормировки Развитая в предыдущем параграфе теория применяетc ck-g (Pgg + Sgg ) =1, (13) k-g ся для расчета спектра электрона и дырки в квадратной gg сверхрешетке, образованной квантовыми проволоками где величины из -HgS, внедренными в кристалл -CdS. Выбор си20 J1(|g - g |0) стемы обусловлен тем, что оба кристалла имеют очень Pgg = gg -, (14) 0 |g - g | близкие постоянные решетки (см. таблицу) и граница Sgg = Jm(|k - g|0) Jm(|k - g |0) 0 m=e h U0, эВ U0, эВ Eg, эВ µe/µ0 µh/µ0 a, -HgS 1.2 -0.8 0.5 0.036 0.044 5.J2 (0) - Jm-1(0) Jm+1(0) m, (15) -CdS 0 0 2.5 0.2 0.7 5.J2 (0) m Физика и техника полупроводников, 1999, том 33, вып. 606 В.Н. Головач, Г.Г. Зегря, А.М. Маханец, И.В. Пронишин, Н.В. Ткач при учете первого координационного круга. Заметим, что разница в спектрах, рассчитанных при учете первого и второго координационных кругов, столь мала, что в масштабе рис. 2, b она не заметна, т. е. сходимость метода e,h ППВ в данном случае весьма хорошая. Энергия En (k) для удобства отсчитывается от середины запрещенной зоны -HgS. Дно зоны проводимости и потолок валентной зоны кристалла–ямы -HgS изображены штриховыми линиями.

Из рис. 2 видно, что учет g = 0 приводит к значитель ному (порядка сотен мэВ) сдвигу всех энергетических зон к началу отсчета энергии и к расщеплению всех (кроме основной) зон на две. При этом, чем выше электронная зона (ниже дырочная), тем больше ее ширина. Поведение зон вполне соответствует физическим соображениям, так как учет ненулевых компонент вектора g эквивалентен учету кристаллического потенциала, который, с одной стороны, понижает абсолютное значение величины энергий квазичастиц, а с другой — приводит к снятию вырождения по квантовому числу m Рис. 3. Закон дисперсии основной зоны квазичастиц в сверхрешетке из цилиндрических квантовых проволок при b = 16aCdS для отношений радиуса ямы 0 к постоянной решетки HgS 0/aHgS: 1 —4, 2 —6, 3 —8, 4 — 10, 5 — 12. Штриховые прямые — то же, что и на рис. 2.

между ними весьма четкая (без переходной области), как в случае экспериментально реализованных сложных квантовых ям [12].

Основное внимание уделяется численному расчету зависимостей энергетических спектров электрона и дырки e,h En (k, k ), соответствующих их движению в плоскости, перпендикулярной оси КП, так что можно положить k = 0.

Расчет En(k) выполнялся для системы с параметрами, указанными в таблице. На рис. 2, a, b в качестве Рис. 4. Закон дисперсии основной зоны квазичастиц в сверхрепримера приведен спектр электрона и дырки. При этом шетке из цилиндрических квантовых проволок при 0 = 10aHgS спектр на рис. 2, a отвечает учету только одного узла для расстояний между ямами b, соответствующих отношению обратной решетки (g = 0), а спектр на рис. 2, b рассчитан b/aCdS: 1 — 12, 2 — 16, 3 — 20, 4 — 30, 5 — 40.

Физика и техника полупроводников, 1999, том 33, вып. Спектры электронов и дырок в сверхрешетке цилиндрических квантовых проволок (при k = 0). Увеличение ширины зон, отвечающих воз бужденным состояниям квазичастиц, обусловлено тем, что квазичастицы с большей энергией легче туннелируют сквозь потенциальные барьеры среды (CdS) между квантовыми ямами (HgS).

На рис. 3 приведены основные зоны энергетического спектра электрона и дырки, рассчитанные при различных значениях радиуса КП, но при фиксированной толщине барьера. Из рисунка видно, что ширины зон практически не чувствительны к изменению радиуса, но их положение очень сильно (на сотни мэВ) смещается в область меньших абсолютных величин энергий при увеличении радиуса КП.

На рис. 4 приведены результаты расчета зависимостей e h E1(k) и E1(k) при фиксированном радиусе КП, но при разных толщинах барьера. Из рисунка видно, что с уменьшением толщины барьера обе зоны значительно (до сотни мэВ) сдвигаются в сторону меньших абсолютных значений энергии. При этом их ширины увеличиваются в десятки раз, что эквивалентно уменьшению соответствующей компоненты эффективной массы (µ).

Таким образом, развитая теория спектра электронов и дырок в сверхрешетке квантовых проволок показывает, что путем изменения пространственных размеров сверхрешетки квантовых проволок можно целенаправленно управлять фундаментальными характеристиками квазичастиц в весьма широких пределах.

Работа частично была поддержана Российским Фондом фундаментальных исследований (гранты 97-02-18151, 98-07-90336, 99-02-16796) и Государственной программой: физика твердотельных наноструктур (гранты 971035, 97-0003).

Список литературы [1] И.М. Цидильковский. Электроны и дырки в полупроводниках (М., Наука, 1972).

[2] D. Schoos, A. Mews, A. Eychmuller, H. Weller. Phys. Rev. B, 49 (24) 17 072 (1994).

Редактор Т.А. Полянская Electron and hole spectra peculiar to the superlattice of cylindrical quantum wires V.N. Golovach, G.G. Zegrya, A.M. Makhanets, I.V. Pronishin, N.V. Tkach A.F. Ioffe Physicotechnical Institute, Russian Academy of Sciences, 194021 St. Petersburg, Russia The Chernovtsy State University, 274012 Chernovtsy, the Ukraine Физика и техника полупроводников, 1999, том 33, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.