WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 5 Функция распределения горячих носителей заряда при резонансном рассеянии +, +, +, © А.А. Прокофьев, М.А. Одноблюдов, И.Н. Яссиевич Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия + Division of Solid State Theory, Department of Physics, Lund University, SE-223 62 Lund, Sweden (Получена 8 ноября 2000 г. Принята к печати 15 ноября 2000 г.) Предлагается простой аналитический метод решения кинетического уравнения для носителей заряда в присутствии резонансных состояний в условиях стримминга. На примере изотропной модели резонансного рассеяния Брейта–Вигнера проанализировано анизотропное распределение носителей заряда по энергии, возникающее под влиянием внешнего электрического поля для двумерных и трехмерных носителей, а также заселенность резонансного состояния. Обсуждается вопрос об условиях возникновения внутрицентровой инверсной заселенности.

1. Введение и движутся в k-пространстве, пока их кинетическая энергия не превысит энергии оптического фонона o.

На основе одноосно-деформированного германия, в Носители, достигшие энегии o, получают возможность котором мелкие акцепторы приводят к появлению ре- испустить оптический фонон, после чего они возвращазонансных состояний, был создан терагерцовый лазер, ются в область малых кинетических энергий k.

0 работающий на оптических переходах между резонанс- Кинетическое уравнение Больцмана для функции расным и локальным состояниями одной и той же при- пределения носителей fk по волновому вектору k имеет меси(см. [1,2] и ссылки в этих работах). Возникнове- следующий вид:

ние нового типа инверсной заселенности, наводимой fk eF fk резонансными состояниями в полупроводниках, рассма+ = S - D, (1) t kz тривалось в работе [3] на основе численного решения кинетического уравнения в условиях стриммингового где S(k) — источник носителей, отличный от нуля при режима. Детальное теоретическое исследование резоk, а D учитывает сток носителей при k = o.

нансных состояний, наводимых мелкими акцепторами в Простейшим образом сток можно учесть введением одноосно-деформированных полупроводниках, предстаграничного условия влено в работе [4].

fk = 0 (2) В настоящей работе предлагается простой аналитичепри k = o.

ский метод решения кинетического уравнения для ноЗависимость S(k) определяется из условия, что присителей заряда в присутствии резонансных состояний в ход частиц в область малых кинетических энергий условиях стриммингового режима. На примере изотропk определяется испусканием оптических фононов ной модели резонансного рассеяния Брейта–Вигнера за счет деформационного взаимодействия. При этом для проанализировано анизотропное распределение носитепростоты мы будем считать источник изотропным и прилей заряда по энергии, возникающее под влиянием внешнимать во внимание условие баланса потоков: полный него электрического поля для двумерных и трехмерных поток в область k равен потоку через поверхность носителей, а также заселенность резонансного состоk = o:

яния. Обсуждается вопрос об условиях возникновения внутрицентровой инверсной заселенности. e J( o) S(k)d3k = fk(F · dS) k= o. (3) Учет резонансного рассеяния производится внесением 2. Стримминговый режим интеграла столкновений I в правую часть уравнения (1):

Рассмотрим простую модель, в которой мы ограничимI = NiWkk ( fk - fk), (4) ся только учетом резонансного рассеяния носителей на k примесях и их взаимодействия с оптическими фононами.

При отсутствии резонансного рассеяния реализуется где Ni — число примесных центров, а вероятность так называемый стримминговый режим [5,6]. Такой рассеяния Wkk определяется формулой режим имеет место при полях F o/el, где l —длина свободного пробега по отношению к другим механизмам Wkk = |tkk |2(k - k), (5) рассеяния. Носители заряда в присутствии электрического поля F, приложенного вдоль оси z, разгоняются tkk — амплитуда резонансного рассеяния.

Функция распределения горячих носителей заряда при резонансном рассеянии Мы рассмотрим предельный случай, когда ширина можно привести интеграл столкновений I к следующему резонансного уровня /2 E0, где E0 — энергети- виду:

ческое положение резонансного уровня. В этом случае +процессы захвата–выброса в резонансное состояние и nir(k)k d [ f (, k) - f (, k)], (11) соответственно резонансного рассеяния происходят в -узкой энергетической области и их можно рассматривать как идущие при фиксированной энергии E0.

где k = 2k/m — скорость частицы, а также введен Таким образом, в интервале энергий < k < o параметр = kz/k.

мы имеем свободное движение под влиянием электриче- В приближении E0 резонансное рассеяние имеского поля и резонансное упругое рассеяние при энергии ет место только для носителей с волновым вектором k = E0, где E0 — энергия резонансного уровня. Далее k0 = 2mE0/ :

мы будем интересоваться заселенностью резонансного состояния, которая определяется соотношением r(k) = (k - E0). (12) kfr = Wk fk, (6) Так как импульс в направлении, перпендикулярном k полю, сохраняется, удобно в дальнейшем ввести безразгде Wk — полная вероятность захвата свободного но- мерные переменные: y = k/E0 для полной энергии и сителя с волновым вектором k на резонансное состоя- y = /E0 для энергии перпендикулярного движения, 2 2 2 ние [3,4].

где = k/2m, a k = k2 - kz. Также удобно ввести Условие нормировки функции распределения опреде- две функции: f1(k), заданную в области kz > 0, и f2(k), заданную в области kz < 0.

ляется уравнением В изотропной модели зависимость источника носителей от энергии, согласно [5], имеет вид n = ni fr + fk, (7) k k k 3/S = S0 1 - ( - k), (13) где n — полная концентрация носителей, ni — кон o центрация примеси (мы не учитываем наличие спина у носителей).

где константу S0 удобно определять из условия балланса потоков (3), а характерный параметр, согласно работам [5,6], определяется следующей формулой 3. Простая изотропная модель 1/резонансного рассеяния 9 o 2/ = eF, (14) 2mz A Построим стационарное решение уравнения (1) для изотропного рассеяния. В таком случае как упругое резогде A — параметр, характеризующий скорость испуснансное рассеяние, так и вероятность захвата свободных кания оптических фононов A k/ o - 1 носителями носителей на резонансное состояние характеризуются с энергией k > o. При вычислении следует истолько двумя параметрами: E0 и и зависят только пользовать то значение эффективной массы mz, которое от модуля волнового вектора частицы (модель Брейта– имеет частица с энергией, близкой к энергии оптического Вигнера, см., например, [7]).

фонона.

Вероятность захвата Wk и амплитуда упругого резо- В переменных y, y уравнение (1) с учетом соотнонансного рассеяния tkk определяются формулами шения (13) и столкновительного члена принимает вид f1,2(y, y) (y - 1) 1 2 = ±A B - f1,2(y, y) Wk =, (8) y 1 - y V km (k - E0)2 +2/ 3/y y ± C 1 - (y0 - y), (15) 1 2 2 y - y y|tkk |2 =, (9) V m2k2 (k - E0)2 +2/где y0 = /E0, параметры A и C определяются соотногде V — нормировочный объем, а m — масса частицы.

шениями Эти выражения можно получить, следуя работам [3,4].

22ni A =, (16) Вводя сечение резонансного рассеяния eFk S0 mEr(k) =, (10) C =, (17) (k k0 - E0)2 +4/eF Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 588 А.А. Прокофьев, М.А. Одноблюдов, И.Н. Яссиевич Условие отсутствия частиц в области 2a (см. рис. 1), т. е. равенство f2 = 0 при y > 1, дает выражение для C2:

C2(y) =B 1 - exp -A/ 1 - y. (23) Поток частиц в k-пространстве через поверхность постоянной энергии определяется следующим выражением 1 e J() = fk (F · dS). (24) Рис. 1. Области движения носителей в k-пространстве:

(2) k00 = 2m / ограничивает размер источника;

Здесь имеется в виду поток на единицу объема реального k0 = 2mE0/ — линия резонансного рассеяния; k1 = пространства. Переписывая интеграл (24) в переменных = 2m o/, o — энергия оптического фонона;

y, y, получаем 1 — область определения функции f1, 2 — область определения функции f2.

y J(y) = f f1(y, y) - f2(y, y) dy, (25) где а параметр B связан со значением функции распределеeFkния при y = 1:

b =. (26) 1 f1(1, y) + f2(2, y) Так как источник действует только при y < y0, то при B = dy. (18) y0 < y < 1 поток J постоянен, а с другой стороны, в 4 1 - y этой области f1 и f2 зависят только от y (см. уравнение В выражении (15) знак плюс относится к функции f1, а (21)). Тогда мы имеем C1(y) =C2(y) при y > y0 и минус — к f2 (cм. рис. 1).

можем представить C1 виде Граничные условия (2), накладываемые на функции распределения, перепишутся следующим образом:

C1(y) =C2(y) +(y), (27) f1(y1, y) = f2(y1, y) =0, (19) где функция (y) отлична от нуля только при y1 < yи определяется потоком из источника в область y > y0:

где y1 = o/E0.

yОтметим, что, как следует из формул (6), (8) при J(y0) =b (y)dy. (28) E0, именно величина B определяет заселенность резонансного состояния fr:

Используя, с учетом формул (21)–(23) можно запиfr = B. (20) сать функции распределения в интервале y0 < y < 1 в виде На рис. 1 изображены области определения функций f1 и f2 в k-пространстве. Области 1, 1a (kz > 0) соотf1(y, y) =(y) +B 1 - exp -A/ 1 - y, (29) ветствуют ускорению носителей электрическим полем, а области 2, 2a (kz < 0) — торможению. Носители f2(y, y) =B 1 - exp -A/ 1 - y, (30) испытывают сильное упругое рассеяние на поверхности k = k0. Вне источника частицы в области 2 появляа в интервале 1 < y < y1 — в виде ются только в результате рассеяния. Носители в области 2a вообще отсутствуют. Все носители, прошедшие f1(y, y) =(y) exp -A/ 1 - y в область 1a, после набора энергии, превыщающей o, испускают оптический фонон и возвращаются в область + B 1 - exp -2A/ 1 - y, (31) источника k <.

Так как источник отличен от нуля только в области f2(y, y) =0. (32) малых энергий y < y0, построим сначала решение для интервала y0 < y < y1. При y0 < y < 1 функции f1 и f2 Рассмотрим теперь функцию распределения носителей в области y < y0, где уравнение (1) имеет вид не зависят от y и мы имеем 3/ f1,2 y y f1,2(y, y) =C1,2(y). (21) = ±C 1 -, (33) y y - y yРешение уравнения (15) при y > 1 дает а C определяется формулой (17). Тогда f1,2(y, y) =C1,2(y) exp A/ 1 - y 3/y ( f1 - f2) y = 2C 1 -. (34) + B 1 - exp ±A/ 1 - y. (22) y y - y yФизика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Функция распределения горячих носителей заряда при резонансном рассеянии При интегрировании уравнения (34) в качестве граничного условия используем равенство f1(y, y) - f2(y, y) = 0.

y=y В результате получаем f1(y, y) - f2(y, y) =2CM(y, y), (35) где M(y, y) = y(y - y) - y0(y - y) Рис. 2. Функции распределения носителей f (y) при концен2 y2 8 yy 16 y + + трации примеси 5 · 1015 см-3 и электрический полях F, В/см:

5 y2 15 y2 15 y0 0 1 — 300, 2 — 1000, 3 — 2000.

y y(y - y) +2y - y + ln2. (36) 2 y С другой стороны, f1(y0 + 0, y) - f2(y0 + 0, y) =(y), откуда из условия непрерывности функции распределения при y = y0 cледует, что (y) =2CM(y0, y)(y0 - y). (37) Используя (25) и приравнивая потоки при y < 1 и Рис. 3. Функции распределения носителей: (1 -3 ) — в y > 1, мы имеем равенство направлении электрического поля f (y, y = 0) (ступенчатые y функции) и (1–3 ) — в перпендикулярном полю направлении (y) 1 - exp -A/ 1 - y dy f (y, y = y) при концентрации примеси 5 · 1015 см-3 и электрических полях F, В/см: 1 — 300, 2 — 1000, 3 — 2000.

= B 1 - exp -2A/ 1 - y dy, (38) Формулы (29)–(32) и (41) определяют функции которое совместно с выражением (37) позволяет выраf1,2(y, y) во всем рассматриваемом интервале значений зить константу C через B:

0 < y < y1 с точностьюдо B.

Функция распределения носителей по полной энергии C = BI(A), (39) получается интегрированием по y:

y 1 f1(y, y) + f2(y, y) где f (y) = dy. (42) y(y - y) 1 - exp(-2A/ 1 - y) dy I(A) =. (40) yВеличину B можно определить из условия нормировки M(y0, y) 1 - exp(-A/ 1 - y) dy (7), которое в переменных y, y имеет вид Решая теперь уравнения (33) с учетом непрерывности k0 yf1(y, y) и f2(y, y) на границе источника y = y0, n = ni fr + yf(y)dy. (43) 82 получаем выражения для функций распределения при y < y0:

Напомним, что заселенность центра определяется величиной B: fr = B.

f1,2(y, y) =B I(A) M(y0, y) ± M(y, y) Функция распределения носителей по полной энергии f (y), а также функции распределения носителей с импульсом, направленным вдоль электрического поля + 1 - exp -A/ 1 - y, (41) ( f (y, 0) = f1(y, 0) + f2(y, 0)) и перпендикулярно ему ( f (y, y) = f1(y, y) + f2(y, y)), приведены на рис. 2, 3.

где значки ”+” и ”-” относятся к функциям f1 и f2 Все вычисления производились со следующими парасоответственно. метрами: E0 = 20 мэВ, = 2мэВ, o = 36 мэВ Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 590 А.А. Прокофьев, М.А. Одноблюдов, И.Н. Яссиевич ямы на спектр фононов не учитывается и рассматриваются носители только на первом уровне размерного квантования в приближении бесконечно высоких барьеров. Параметр S0 определяется из условия баланса потоков (3), в котором следует учитывать двумерность носителей.

С другой стороны, для интеграла столкновения снова можно использовать формулу (4), но при этом амплитуда вероятности рассеяния определяется выражением (2D) 2 1 4k tkk = r(2D), (46) S2 mРис. 4. Функции распределения носителей по энергии перпена вероятность захвата дикулярного движения при полной энергии E0 - 0 (сплошные линии) и o - 0 (штриховые) при концентрации примеси (2D) Wk = n(2D)r(2D), (47) i 5·1015 см-3 и электрических полях F, В/см: 1 — 300, 2 — 1000, 3 — 2000.

где = k/m —скорость, а n(2D) — двумерная конценi трация примеси. В приближении E0, когда резонансное рассеяние имеет место только при k0 = 2mE0, (y1 = 1.8). Функция распределения носителей по энердля сечения резонансного рассеяния r(2D) имеет вмегии перпендикулярного движения для частиц с полной сто (10) энергией E0( f (1, y)) и o( f (y1, y)) приведена на рис. 4. Имея в виду возможность использования простой r(2D) = (k - E0). (48) kизотропной модели для случая германия под давлением, мы в расчетах в качестве эффективной массы взяли Вводя снова безразмерные переменные y = k/E0, m = 0.08m0, что соответствует массе плотности со(2D) y = /E0 и параметр y(2D) = /E0, мы снова 0 стояний в верхней валентной подзоне сжатого германия приходим к уравнению, аналогичному (15), (подзоне легких дырок). А при вычислении по формуле (14) использовалось значение mz = 0.32m0.

f1,2(y, y) (y - 1) = ± A(2D) B(2D) - f1,2(y, y) y 1 - y 4. Двумерный случай 1 - y/y± C(2D) y(2D) - y, (49) y - y Для того чтобы проанализировать особенности кинетики носителей, заключенных в квантовую яму, при где наличии резонансного рассеяния рассмотрим, как рабо2 n(2D) i тает простая изотропная модель в случае двумерных A(2D) =, (50) k0 eF носителей.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.