WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Уравнения для амплитуд двух других волн C и C где 1 — оператор, состоящий только из нелинейных получаем перестановкой индексов.

(ad) слагаемых полупроводникового слоя, k — вектор- Нелинейное взаимодействие, связанное с периодичностью структуры, имеет следующие особенности.

столбец, образованный составляющими поля h(ad), e(ad).

y 1. Учет зонной струтуры спектра состоит в том, Для интегрирования по dz вформуле(2) внелинейных что матричный элемент и условия синхронизма имеют слагаемых путь интегрирования разбиваем так, чтобы смысл только в зонах пропускания решетки.

выделить области шириной 2i (i 0) вблизи каждой 2. Условие синхронизма для z-компонент волнового границы [7]:

вектора не существует, а должно выполняться соотношение для блоховских компонент волнового вектора 0 -1+d(7), которое содержит слагаемое 2n/d. (По-видимому, = lim... + + i0,i=0,±1,...

- -0 впервые на это обстоятельство из физических соображений было указано в работе [13]).

1+d1 -2+d 3. Матричные элементы в формуле (9) оказываются + + +..., -1+d 1+dкомплексными величинами в отличие от однородных сред, в которых Wk,k,k — мнимая величина.

d = d1 + d2 — период структуры. В интегралах по каждому слою выразим поля с помощью теоремы Флоке 4. Исследование уравнений связи через поля первого периода структуры, т. е. сведем к сумме Проанализируем условия взаимодействия первой и второй гармоник с частотами и = 2. В этом exp i(k + k - k + 2n/d)z, случае система уравнений связи (9) имеет вид n=- dCk/dt = W2k,k Ck (10) n = 0, ±1,..., dCk /dt = Wk,2k CkCk.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 582 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова Для решения системы (10) введем обозначения: Здесь kx и определяются из системы дисперсионных Ck = Cei, Ck = C ei, W2k,k = Wei, Wk,2k = W ei, соотношений =2 -. Тогда уравнения связи принимают вид kz1 kz2 cos k d = cos kz1d1 cos kz2d2 - + 2kz1kz2 dC/dt = WC 2 cos(+) dC /dt = W CC cos( - ) (11) sin kz1d1 sin kz2d2, d/dt = - W(C /C) sin(+)-2W C sin( -).

12 kz1 2 kz2 cos kd = cos kz1d1 cos kz2d2 - + В случае, когда W и W — мнимые величины, т. е.

2kz1kz2 1 = = 3/2, система (11) сводится к эллиптическому интегралу, а решение получаем в виде эллиптических sin kz1d1 sin kz2d2, (15) функций где 1 = 01{1 - 2/4 2}, а 1 = 01{1 - 2/ 2}, p p т. е. 1 = 1, и, следовательно, kz1 = 2kz1. В этом C2 = WK1 y1 +(y2 - y1) состоит сложность аналитического решения данной системы уравнений в отличие от случая диэлектрической сверхрешетки [8]. Аналитическое решение системы y2 - y1/ sn2 W W1/2K1 (t - t0),, (12) (15) удается получить только в случае резонанса на y3 - yвтором слое, т. е. если kz2d2 = m и kz2 = 2kz2, где m = ±1, ±2,.... Тогда условия синхронизма (14) где K1 =[C2(0)/W ]+[C (0)/W ], y1 < y2 < y3 —корни выполняются для первых гармоник с частотами и кубического уравнения:

волновыми числами kx:

Ky(1 - y)2 - K = 0 K =.

3 K1W(W )1 0 d1 2 3 01 m kx= (4 2 - 2)- 2+.

p 2 c2 m 2 c2 p dДля случая, когда C(0) < C (0), находим амплитуды первой и второй гармоник:

Численное решение системы уравнений (14) и (15) W представлено на рис. 1 утолщенными сплошными криC2 [C (0)]2sn2[ WW C (0)t, 1 - K], выми 1, 2 для первой гармоники и 1, 2 — для второй, W расположенными в зонах пропускания. Видно, что в C [C (0)]2{1 - sn2[ WW C (0)t, 1 - K]}. (13) обоих случаях первая и вторая гармоники находятся в разных разрешенных зонах. Для кривой 1 происходит Видно, что с ростом отношения W/W происходит увепереброс с акустической ветви на оптическую, а для личение амплитуды второй гармоники, а период эл кривой 2 с оптической на ветвь, расположенную в зоне липтической функции обратно пропорционален WW.

выше плазменной частоты p. Отметим, что кривые Таким образом, физические характеристики взаимодейи 2 заканчиваются внутри соответствующих зон при ствия первой и второй гармоник могут быть получены k = /2. Если увеличивать это число, то волновое при исследовании зависимостей коэффициентов неличисло второй гармоники приводит к зоне непропускания нейного взаимодействия W и W от параметров струк этой гармоники, так как k >.

туры, которое будет проведено в следующем разделе.

В периодической структуре имеет место специфический процесс нелинейного взаимодействия. Он связан с 5. Нелинейное возбуждение тем, что знак блоховского волнового числа не определявторой гармоники ется из дисперсионного соотношения. Поэтому условия синхронизма будут удовлетворятьсч как для k, так и Возбуждение второй гармоники, помимо практическо для (-k ). Следовательно, возможен следующий тип го применения для умножения частоты и спектроскопии взаимодействия:

периодической среды, представляет интерес в связи с возможностью аналитического исследования и выясне- = ния физических особенностей нелинейного взаимодейkx = 2kx (16) ствия волн.

k ± 2n/d = k - k.

Для взаимодействия первой и второй гармоник условия синхронизма имеют следующий вид:

В этом случае возбуждение второй гармоники проис ходит с волновым числом k = 2n/d в результате = взаимодействия пространственных гармоник с частотой kx = 2kx (14), бегущих навстречу друг другу вдоль оси Oz. Такой k = 2k.

тип взаимодействия возможен благодаря тому, что блоФизика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Нелинейное взаимодействие волн в полупроводниковой сверхрешетке Для резонансных условий (16) численные решения дисперсионных соотношений представлены на рис. кривыми 3, 3, 4 и 4. Кривые 3, 3 являются примером условия взаимодействия, при котором первая и вторая гармоники расположены в одной зоне пропускания. Кривые 4, 4 соответствуют процессу, при котором гармоники принадлежат различным зонам пропускания.

На рис. 2, 3 приведены зависимости W() и W (), нормированные на максимальные значения — ReW / max(ReW ), ImW / max(ImW ) и аналогично для W — для кривых 1 и 1, 4 и 4, представленных на рис. 1. Для объяснения этих зависимостей и понимания физических факторов, определяющих величины нелинейного взаимодействия, необходимо учесть, что после интегрирования выражения для W каждое слагаемое в (9) приводит к четырем множителям вида cos ksd1 - 1 + i sin ksdfs, (17) ks где fs — коэффициент, определяемый с помощью амплитуд полей взаимодействующих волн, ks —одна из комбинаций kz1+kz1+kz1, kz1-kz1-kz1, kz1+kz1-kz1, kz1-kz1+kz1.

Рис. 2. Зависимости нелинейных коэффициентов от частоты Таким образом, одной из особенностей взаимодейдля кривых 1, 1 рис. 1.

ствия волн в периодической структуре является комплексность коэффициентов W и W, даже если не учитываются диссипативные процессы. Это приводит к особенностям в динамике процесса взаимодействия.

Для правильного определения знаков действительных и мнимых частей W и W знак показателя экспонент exp(±ik d) и exp(±ikd) следует выбирать одинаковым, если рассматривается процесс типа (14). Для случая (16) необходимо пользоваться системой динамических уравнений (9), а не (10) и выбирать разные знаки для первых гармоник. В этом случае выбор знака для второй гармоники безразличен, так как kd = n. Отметим, что неправильный выбор знаков приводит к неустойчивому решению уравнений связи.

Величина коэффициентов определяется двумя резонансными явлениями, которые специфичны для периодической среды. Это брэгговский резонанс на полном периоде структуры [8] и ”нелинейный резонанс” [7].

Брэгговский резонанс приводит к тому, что нелинейные коэффициенты в периодической среде могут быть значительно больше (по модулю), чем в однородной.

Сущность этого явления связана с тем, что на величину W и W влияют значения коэффициентов полей A2 и Рис. 3. Зависимости нелинейных коэффициентов от частоты A 2, выражения для которых приведены в Приложении.

для кривых 4, 4 рис. 1.

Резонанс проявляется в том, что эти коэффициенты обращаются в бесконечность в тех точках, для которых m 12 = 0 (или m12 = 0). (18) ховское волновое число — это ”квазиволновое” число, аналогичное квазиимпульсу электрона в твердом теле.

На рис. 1 кривые, удовлетворяющие условиям (18), Интерес к этому типу взаимодействия связан с тем, что, показаны штрихпунктирной линией.

как будет показано далее, условие k = 2n/d может В соотношениях (17) к бесконечности стремится одна привести к существенному возрастанию эффективности из величин fs. Как показано в [8], это условия брэгговнелинейного взаимодействия. ского резонанса на полном периоде структуры. Решения Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 584 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова приведенных соотношений расположены в запрещенных Грина (2) получены динамические уравнения, в которых зонах, так как (m 11+m 22)/2 > 1 (или (m1+m22)/2 > 1), учтены нелинейные слагаемые в уравнениях движения где законы синхронизма не выполняются. Вблизи гра- и непрерывности, приводящие к нелинейному току в ницы зоны пропускания коэффициенты A2 и A 2 имеют уравнениях Максвелла для полупроводниковых слоев.

конечные значения, величина которых зависит от близо- Кроме того, учтено, что нелинейные процессы имеют сти точки резонанса и точки, удовлетворяющей условиям место не во всем пространстве сверхрешетки, а только синхронизма и расположенной на границе зоны, т. е. в периодически расположенных слоях полупроводника.

k = 2 или k = 0,. Так как решения уравнений Проведен анализ условий синхронизма для частот, находящихся вблизи плазменной частоты полупроводника, (18) различны, максимумы нелинейных коэффициентов т. е. учтена частотная дисперсия диэлектрической пронитакже будут иметь место при разных значениях частоты и волновых чисел. Физически это связано с зависимо- цаемости. Показано, что возбуждение второй гармоники может происходить как при взаимодействии первых простью диэлектрической проницаемости полупроводника странственных гармоник, распространяющихся в одном от частоты. В диэлектрической решетке максимумы W направлении, так и при распространении их в противои W совпадают, так как условие брэгговского резонанса положных направлениях. Последний вариант взаимодейследующее: m 12 = m12 = 0 (см. [8]). Наконец, отметим, ствия возможен именно в периодических структурах и что впервые возможность существенного увеличения коэффициента нелинейного взаимодействия показали ав- ранее не был описан.

Выяснены физические причины, влияющие на амплиторы [9] для модельной задачи.

туду второй гармоники. Они связаны с брэгговским резоВторым фактором, влияющим на величину коэффинансом на периоде структуры и нелинейным резонансом, циентов W и W, является обращение в нуль одной из когда одна из величин ±2kz1, ±kz1 стремится к нулю.

величин ks (при этом, как видно в (17), расходимостей Брэгговский резонанс приводит к расходимости полей не возникает). Отметим, что в пределе ks 0 действив запрещенной зоне. Поэтому величина нелинейного тельная часть второго множителя в формуле (17) равна коэффициента взаимодействия зависит от близости края нулю, а мнимая d1. Поэтому максимум будет иметь зоны пропускания к этой точке. Физически наличие резотолько или ReW (ReW ), или ImW (ImW ). Обращение в нанса означает, что время нелинейного взаимодействия нуль ks означает, что ”суммарное поле” взаимодействукак бы увеличивается. Нелинейный резонанс означает, ющих волн не зависит от координаты z внутри слоев что энергия взаимодействующих гармоник, запасаемая полупроводника, т. е. энергия этих волн, накапливаемая в полупроводниковых слоях, оказывается наибольшей в внутри указанных слоев, оказывается наибольшей для точке резонанса. Это и приводит к увеличению нелинейпараметров, приводящих к условию ks = 0. В результате ного коэффициента. ”Конкуренция” между указанными величина взаимодействия оказывается тем больше, чем двумя типами резонанса приводит к довольно сложной параметры волн ближе к указанному условию.

зависимости нелинейных коэффициентов от частоты.

На рис. 2 представлены зависимости для случая синхронизма (14) (кривые 1, 1 на рис. 1). Уменьшение величины ks (примерно вдвое) приводит к убыванию Приложение ImW ( ) и возрастанию ImW(). Максимум ReW ( ) связан с брэгговским резонансом для первой гармоники.

Компоненты передаточной матрицы:

Уменьшение величины ReW ( ) на краю зоны связано kzс ”конкуренцией” двух резонансов. Для нелинейного коm11 = cos kz1d1 cos kz2d2 - sin kz1d1 sin kz2d2;

kzэффициента второй гармоники W() в данном примере существенным оказался только брэгговский резонанс.

1 m12 = -i sin kz1d1 cos kz2d2 - i cos kz1d1 sin kz2d2;

На рис. 3 показаны зависимости для синхронизма, c kz1 c kzопределяемого соотношениями (16) (кривые 4, 4 на c kz1 c kzрис. 1). Здесь максимумы, связанные с ”нелинейным” m21 = -i sin kz1d1 cos kz2d2 - i cos kz1d1 sin kz2d2;

1 резонансом, имеют зависимости ImW ( ) и ImW().

От этого резонанса зависит увеличение крутизны кривых kzm22 = cos kz1d1 cos kz2d2 - sin kz1d1 sin kz2d2.

первой и второй гармоник на низкочастотном и высокоkzчастотном концах. Однако резонансные частоты лежат Выражения для полей:

относительно далеко от края зон, поэтому увеличение коэффициентов W и W относительно невелико.

c Ex1 = -i A1(-kz1 sin kz1z + A2kz1 cos kz1z), 6. Заключение c Ex2 = -i A1(-B1kz2 sin kz2z + B2kz2 cos kz2z), Цель данной работы состоит в изучении нелинейного Hy1 = A1(cos kz1z + A2 sin kz1z), взаимодействия волн в слоисто-периодической сверхрешетке полупроводник–диэлектрик. С помощью формулы Hy2 = A1(B1 cos kz2z + B2 sin kz2z), Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Нелинейное взаимодействие волн в полупроводниковой сверхрешетке где Nonlinear interaction of the waves in semiconductor superlattice kzB1 = cos kz1d1 cos kz2d1 + sin kz1d1 sin kz2dkz21 A.A. Bulgakov, O.V. Shramkova A.Ya. Usicov Institute kz+ A2 sin kz1d1 cos kz2d1 - cos kz1d1 sin kz2d1, for Radiophysics and Electronics, kzNational Academy of Sciences of Ukraine, kz12 61085 Kharkov, Ukraine B2 = cos kz1d1 sin kz2d1 - sin kz1d1 cos kz2dkz

Abstract

Nonlinear interaction of the waves in a periodic struckzture that was obtained by alternating semiconductor and dielectric + A2 sin kz1d1 sin kz2d1 + cos kz1d1 cos kz2d1, kzlayers has been studied. We showed that the translation symmetry of this structure incorporates a number of features peculiar to 1 m11 - e-ikd A2 = i.

nonlinear interaction. Conditions for resonant interaction of the c kz1 mfirst and second harmonics have been analyzed. We first considered the excitation of the second harmonic arising due to interaction of Список литературы the first space harmonics, propagating in the opposite directions.

Explanation of an essential increase of the wave interaction near [1] Б.Б. Кадомцев, В.И. Петвиашвили. ЖЭТФ, 43, 2234 (1962).

the boudary of the allowed band is given in the work.

[2] А.А. Галеев, В.И. Карпман. ЖЭТФ, 44 (2), 592 (1963).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.