WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 5 Нелинейное взаимодействие волн в полупроводниковой сверхрешетке © А.А. Булгаков¶, О.В. Шрамкова Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова Национальной академии наук Украины, 61085 Харьков, Украина (Получена 20 сентября 2000 г. Принята к печати 13 ноября 2000 г.) Изучается нелинейное взаимодействие волн в периодической структуре, образованной чередующимися слоями полупроводника и диэлектрика. Показано, что трансляционная симметрия структуры приводит к ряду особенностей нелинейного взаимодействия. Проанализированы условия резонансного взаимодействия первой и второй гармоник. Впервые рассмотрено возбуждение второй гармоники, происходящее при взаимодействии первых пространственных гармоник, распространяющихся в противоположных направлениях. Дано объяснение существенного увеличения взаимодействия волн вблизи границы зон пропускания.

1. Введение сти в виде квадрата модуля амплитуды электрического поля |E|2, так как имеют более общую зависимость от компонент поля: EiEk.

Тенденция к миниатюризации современных средств обработки и передачи информации с помощью элек- Учет малости нелинейных слагаемых позволяет сутромагнитных волн от оптического до сантиметрового щественно упростить исследование, используя теорию диапазонов приводит к необходимости использования возмущений, а именно теорию трехволновых взаимодейтвердотельных структур практически во всем тракте ствий (см. [1–3]). В этом случае возникает трудность, приема–передачи. Нелинейные механизмы в твердом связанная с тем, что нелинейные механизмы действуют теле, как правило, относительно малы. Однако их воз- в разных слоях и описываются слагаемыми в различных уравнениях. Необходимо сформулировать правило, котодействие на полезный сигнал оказывается достаточно рое позволило бы однозначно (и физически ”правильно”) большим и приводит к нежелательным последствиям.

Причина этого как в значительном уровне передавае- учесть все нелинейности. При рассмотрении однородной среды таковым является теорема об ортогональности мой мощности, так и в большой протяженности линий правой части алгебраической системы уравнений к решепередачи. Вместе с тем нелинейные явления в твердом нию транспонированной системы. В результате получателе широко используются для обработки информации (модуляция и гетеродинирование), для умножения часто- ется система ”укороченных уравнений” (или уравнений связи) для медленно изменяющейся амплитуды волны, а ты, для спектроскопических исследований и определефизический смысл этой системы заключаются в том, что ния физических параметров твердотельных структур и доля энергии, связанная с нелинейным взаимодействием, т. п. В настоящее время значительное распространение мала по сравнению с энергией волны и медленно (по получили искусственные материалы, представляющие сравнению с частотой волны) изменяется при взаимодейсобой многослойные структуры, в частности полупроводствии. В нашей задаче вследствие пространственной нениковые сверхрешетки. Поэтому изучение нелинейного однородности система уравнений оказывается дифференвзаимодействия электромагнитных волн в слоистых и циальной, поэтому необходимо пользоваться формулой слоисто-периодических структурах является важным как Грина ([4], см. далее). Ее математический смысл состоит с физической точки зрения, так и в связи с возможностью в том, что система дифференциальных уравнений должна многочисленных практических приложений.

подчиняться определенному правилу ортогональности Данная работа посвящена возбуждению второй гармоправой части к решению транспонированной дифференники в полупроводниковой сверхрешетке в области плазциальной системы. Система ”укороченных уравнений” менной частоты полупроводникового материала. Исслеоказывается такой же, как и в случае нелинейной однодуемая нами нелинейность обусловлена нелинейностью родной среды (поэтому она хорошо изучена в литератутока свободных носителей. Сложность построения теоре), а все особенности слоистой структуры описываются рии связана с тем, что нелинейность тока складывается коэффициентами этой системы. Данная работа посвящеиз нелинейности скорости и концентрации носителей, на изучению этих особенностей и их зависимости от вызванных распространением плазменных волн. Слагапараметров сверхрешетки.

емые, описывающие эти нелинейные механизмы, нахоТеория слабых нелинейных взаимодействий была раздятся в уравнениях Максвелла, уравнениях движения и работана в рамках кинетического рассмотрения [1], а непрерывности. Эти нелинейности не могут быть предтакже в работах [2,5]. Она получила развитие в работах ставлены в выражении для диэлектрической проницаемомногих других авторов (см., например, [3] и цитируе¶ мую там литературу). Методика анализа трехволновых E-mail: bulgakov@ire.kharkov.ua Fax: 380(572)441105 процессов в ограниченных средах была представлена в Нелинейное взаимодействие волн в полупроводниковой сверхрешетке работе [6], а для периодических структур — в моно- в произвольной точке z периода структуры [10]:

графии [7]. Применение этой теории к периодическим Hy1(0) Hy2(z) диэлектрическим решеткам было проведено в [8].

= M(z) Ex1(0) Ex2(z) В работе [9] на примере модели уравнений связи для периодической среды было показано, что на краях Компоненты передаточной матрицы для z = d приведены полос пропускания возможно существенное увеличение в Приложении.

нелинейного взаимодействия. Причиной этого явления С помощью теоремы Флоке получим дисперсионное авторы считают возникновение резонанса для простран- соотношение для безграничной периодической среды [7] ственных гармоник и, как следствие, увеличение времени (зависимость от координат и времени предполагается в взаимодействия. В работе [8] показано, что имеет место виде exp(-it + ikxx + ikzz)):

более сложное явление, так как резонансные условия 12 kz1 2 kz2 (брэгговский резонанс на полном периоде структуры) cos kd = cos kz1d1 cos kz2d2 - + 2kz1kz2 1 выполняются в зоне непропускания электромагнитных волн. Поэтому степень увеличения нелинейного взаимо sin kz1d1 sin kz2d2, (1) действия определяется близостью края зоны пропускания к точке брэгговского резонанса.

2 где kz1 = (2/c2)1 - kx, kz2 = (2/c2)2 - kx — В данной работе рассматривается структура, слои копоперечные волновые числа в полупроводниковом и торой обладают частотной дисперсией. Вследствие этого диэлектрическом слоях (в дальнейшем индекс ”1” будет законы синхронизма оказываются существенно сложнее, относиться к слоям полупроводника, а индекс ”2” – к чем рассмотренные в работах [5,8]. Исследуются спе- слоям диэлектрика); kx — волновое число вдоль оси Ox;

цифические для периодической структуры законы син- 1 = 01(1 - 2/2), 2 = const — диэлектрические p проницаемости слоев, 01 — решеточная часть диэлекхронизма, и показано, что кроме брэгговского резонантрической проницаемости; p — плазменная частота;

са на величину взаимодействия значительное влияние оказывает своеобразный ”нелинейный резонанс”. Этот резонанс характеризуется равенством нулю алгебраической суммы поперечных (по отношению к границам слоев) волновых чисел взаимодействующих волн одного из слоев. Физически это условие соответствует наибольшему значению энергии, запасаемой волнами в данном слое.

2. Постановка задачи.

Дисперсионное соотношение Рассмотрим периодическую структуру с периодом d, образованную повторением слоя полупроводника толщиной d1 и слоя диэлектрика толщиной d2. Расположим систему координат таким образом, чтобы ось Oz была перпендикулярна границам слоев. В направлениях осей Ox и Oy слои предполагаются однородными, поэтому можно положить /y = 0. Это приводит к тому, что уравнения Максвелла распадаются на уравнения для двух поляризаций. В работе исследуется поляризация с компонентами электрического и магнитного полей Ex, Ez, Hy, отличными от нуля. Распространение электромагнитных волн в данной задаче описывается уравнениями Максвелла и материальными уравнениями для каждого слоя, а также граничными условиями, состоящими в равенстве тангенциальных компонент магнитного и электрического полей на всех границах. Для получения дисперсионного соотношения используем метод передаРис. 1. Дисперсионная зависимость. 0 = 17.8, d1 = 0.01 см, точной матрицы, связывающей поля в начале периода и 2 = 2, D2 = 0.015 см, H0 = 2.7 · 10-6 А/см.

5 Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 580 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова k — ”усредненное” волновое число вместо kz1 и kz2, линеаризованной системы уравнений, L — сопряжентак называемое блоховское волновое число. Численное ный оператор, f и f — собственные функции этих решение уравнения (1) приведено на рис. 1. Расчеты операторов; символ ” ” используется для комплекснов работе были произведены для структуры со следу- сопряженных величин; a и b — границы области инющими параметрами: первый слой — полупроводник тегрирования, интегрирование производится по всему типа InSb (01 = 17.8, p = 1012 с-1), d1 = 0.01 см, объему структуры; запись f · (Lf ) означает скалярное второй слой — диэлектрик (2 = 2), d2 = 0.015 см.

произведение. Нелинейную систему уравнений можно На рисунке кривые kd = 0 показаны штриховой ли- представить в виде нией, а kd = — тонкой линией. Зоны пропускания Lf = ( f, f ), (3) заштрихованы.

В дальнейшем нас будет интересовать область вблизи где H( f, f ) — билинейный оператор-столбец, образоплазменной частоты, в которой проявляются плазменванный нелинейными членами исходной системы уравные свойства полупроводниковых слоев. Поэтому на нений. Подставляя уравнение (3) в соотношение (2) и рисунке представлены три зоны пропускания, обозначенвоспользовавшись условием малости нелинейного взаиные I, II, III.

модействия Две нижние зоны пропускания электромагнитных d lnC волн (I, II), называемые в литературе акустической, (4) dt и оптической ветвями плазменных поляритонов [7], сужаются с ростом kxd, а их границы асимптотиче- где C — амплитуда волны, получим динамическую ски стремятся к частоте поверхностного плазмона на систему уравнений для амплитуд взаимодействующих границе полупроводникового и диэлектрического слоев волн. В соотношении (4) производная по ”медленному ps = p 01/(01 + 2) при kxd. Зона акусти- времени” обозначена как d/dt.

ческих поляритонов начинается при kx = 0 и = 0, а В нашем случае предполагается, что нелинейные мехаоптические волны имеют при kx 0 ”щель” шириной низмы связаны с нелинейностью тока j1 = env1 в слоях p. полупроводника (n — переменная концентрация, v1 — скорость носителей заряда в полупроводнике). Нелинейная система уравнений состоит из уравнений Максвелла, 3. Получение уравнений связи в которых нелинейный ток определяется из уравнения непрерывности и уравнения движения носителей:

Цель нашей работы состоит в исследовании нелинейного взаимодействия волн в сверхрешетке. В твердом 01 E1 теле нелинейные механизмы, как правило, малы, поэтому rotH1 = + j1, c t c для построения теории можно использовать теорию возмущений. Для однородных сред методика анализа 1 HrotE1 = -, хорошо разработана и представлена в многочисленных c t литературных источниках (см., например, [11,2,3]). В неv1 e e e однородных средах ситуация иная. Дело в том, что в +(v1grad)v1 = E1 + [v1H0] + [v1H1], (5) t m mc mc нашем случае не удается свести нелинейную систему к алгебраической системе уравнений с правой частью, n+ div(n0 + n1)v1 = 0, как это необходимо в методике, описанной в [2]. Уравt нения остаются дифференциальными (в нашем случае j1 = e(n0 + n1)v1.

остаются производные /z), и необходимо сформулировать условия, которые позволяют однозначно учесть Уравнения для диэлектрического слоя состоят из уравнелинейные механизмы, действующие в различных слоях нений Максвелла, в которых следует положить 2 вместо структуры, и, кроме того, выполнить требование непре01 и j = 0.

рывности полей на всех границах структуры. РазработПрименим формулу (2) к системе (5), решение котока такой методики для анализа нелинейных волновых рой будем искать в виде взаимодействий в граничащих однородных средах была начата в работе [6]. Применение этой методики к E = Ck(t)[e(z) +ead] exp(-ikt + ikxx), (6) периодическим структурам представлено в [8].

kx=В основе данной методики лежит использование формулы Грина [4] (ad) Hy = Ck(t)[hy(z) +hy ] exp(-ikt + ikxx), b kx=[ f · (Lf ) - (L f) · f ]dv = f f|b, (2) a a где C(t) — медленно меняющаяся во времени (4) ампли где L — дифференциальный оператор, представляющий туда волны с частотой = (kx, k) и волновым вектором собой квадратную матрицу, составленную из операторов k = {kx, 0, k}. Зависимости e(z) и hy(z) учитывают Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Нелинейное взаимодействие волн в полупроводниковой сверхрешетке неоднородность структуры в этом направлении z, допол- приводящей к закону сохранения для блоховской компоненты волнового вектора нительные слагаемые ead и h(ad) описывают отклонения y направления полей от линейных, вызванные действием k + k - k + 2n/d = 0, (7) нелинейных механизмов. Эти величины имеют такой же а остальные интегралы пропорциональны 2i или i+i+порядок малости, как и нелинейные слагаемые.

и обратятся в нуль при переходе к пределу i 0.

Оператор L получается из линеаризованной системы Для выполнения условий непрерывности полей необуравнений для полупроводникового и диэлектрического ходимо предположить, что дополнительные поля подслоев (5). Оператор состоит из нелинейных слагаемых чиняются таким же условиям, как и линеаризованные.

полупроводникового слоя и производных по времени Тогда в формуле (2) остаются только слагаемые с dC/dt от амплитуды волны dC/dt, входящих в уравнения для и нелинейные члены. В дальнейшем методика получения первого и второго слоев. Отметим, что dC/dt — веуравнений связи совпадает со стандартной [2].

личина того же порядка малости, что и нелинейные При выполнении резонансных условий (условий синчлены. Поэтому, например, Ex2/t = -iEx2 + dEx2/dt хронизма) (см. [12]).

Собственные функции операторов L и L пропорцио + - = нальны exp(-it +ikxx) и exp(it +ikxx) соответственно.

kx + kx - kx = 0 (8) Поэтому интегрирование по t и x в линейных операторах k + k - k + 2n/d = приводит к -функциям ( - )(kx - kx), а интегри рование по dz — к граничным условиям. Частоты и получаем уравнение для амплитуды Ck [12]:

x-компоненты волнового вектора собственных функций операторов L и L должны совпадать, и, следовательно, dCk = Wk,k,k Ck Ck, (9) kz = kz. Поэтому все линейные слагаемые после dt интегрирования обращаются в нуль. В левой части (2) где остаются только члены с дополнительными полями e(ad) d и h(ad). В результате получаем y Wk,k,k = dz mn0 ( +, v)(v v ) dCk ad L(/z)Ckk = k dt 1 + ( v )(vv ) + ( v )(vv ).

+ Ck Ck 1(k, k )e-i( + -)t, kx=kx+kx Соотношение (9) — уравнение для амплитуды k-й волны.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.