WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 5 Многоканальное рассеяние носителей заряда на гетероструктурах с квантовыми ямами ¶ © В.И. Галиев, А.Н. Круглов, А.Ф. Полупанов, Е.М. Голдис, Т.Л. Тансли Институт радиотехники и электроники Российской академии наук, 101999 Москва, Россия Semiconductor Science and Technology Laboratories, Macquarie University, North Ryde 2109 NSW, Australia (Получена 9 апреля 2001 г. Принята к печати 14 ноября 2001 г.) Развит эффективный численно-аналитический метод расчета состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами с произвольным профилем потенциала, описываемых системой связанных уравнений Шредингера, таких как состояния дырок в полупроводниковых квантовых ямах. Состояния сплошного спектра находятся точно, в постановке, соответствующей задаче рассеяния. Построены состояния рассеяния (in/out-решения) и S-матрица в случае многоканального рассеяния в одномерных системах с квантовыми ямами, получены и проанализированы их свойства симметрии. Метод применен для исследования рассеяния дырок на квантовых ямах GaInAs–InGaAsP с напряженными слоями. Вычислены зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок, а также времен задержки от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины компоненты импульса, параллельной гетерограницам. При энергиях, при которых закрыт канал с превращением тяжелой дырки в распространяющуюся легкую, рассеяние тяжелой дырки на квантовой яме имеет резонансный характер.

1. Введение 2. Общая формулировка метода Рассмотрим, для определенности, случай одиночной Одним из наиболее эффективных методов исследоквантовой ямы (барьера) с профилем потенциала общевания электронного спектра и оптических свойств пого вида V (z ), где z — ось координат, перпендикулярная лупроводниковых гетероструктур с квантовыми ямами слоям в структуре. Считаем, что яма расположена между (КЯ) является метод огибающей функции, основанный точками z = 0 и z = d. Потенциал V (z ) нарушает на приближении эффективной массы. Он хорошо описытрансляционную симметрию вдоль оси z, но компоненты вает электронные и дырочные подзоны вблизи центра зоимпульса, параллельные поверхностям раздела, останы Бриллюэна и особенно удобен в случаях, когда необются „хорошими“ квантовыми числами. Тогда внутри ходимо учитывать эффекты внутренних напряжений, области, где расположена яма, имеем следующую систесвязанных с рассогласованием постоянных решетки или му уравнений Шредингера, которая, как легко увидеть, внешних возмущений, таких как одноосные деформации, есть общий вид уравнений для огибающих функций магнитные и электрические поля. В рамках приближедырки, получаемых после подстановки kz -id/dz в ния эффективной массы задача вычисления энергий и гамильтониан приближения эффективной массы:

волновых функций носителей заряда в системах с КЯ сводится к решению, вообще говоря, системы связанных H = {a ·d2/dz +b·d/dz +c +V (z )} (z ) =E (z ). (1) уравнений Шредингера для огибающих функций. В [1] нами был развит эффективный численно-аналитический Здесь a, b, c — это вещественные, не зависящие от метод расчета размерно-квантованных состояний в сиz, n n матрицы, (z ) — n-компонентная волновая стемах с квантовыми ямами с произвольным профифункция, число n определяется числом учитываемых лем потенциала, описываемых связанными уравнениями зон, а компоненты матриц a, b и c зависят от параметров Шредингера, таких как состояния дырок в полупроводвалентной зоны и компонент импульса, параллельных никовых КЯ. В настоящей работе, с использованием реповерхностям раздела.

зультатов работ [1] и [2], этот метод обобщен на случай Удобно представить (1) в форме уравнения 1-го посостояний непрерывного спектра. Состояния сплошного рядка, заменяя (z ) на 2n-компонентную функспектра находятся непосредственно в постановке, со (z ) цию y(z ) = :

ответствующей задаче рассеяния. Строятся состояния d (z )/dz рассеяния (in/out-решения) и S-матрица, описывающая многоканальное рассеяние в системах с КЯ, и детально dy(z )/dz = A(z )y(z ), (2) анализируются их свойства симметрии. Метод применен где A(z ) —это 2n 2n-матричная функция. Мы преддля исследования рассеяния дырок на квантовых ямах полагаем далее, что потенциал V (z ) есть аналитическая GaInAs–InGaAsP с напряженными слоями.

функция внутри области ямы и что радиус сходимости ¶ E-mail: sashap@mail.cplire.ru степенного разложения V (z ) превосходит d.

Многоканальное рассеяние носителей заряда на гетероструктурах с квантовыми ямами Очевидно, что если ряд A(z ) =A0 + A1z + A2z +... величины -,, - (символ обозначает эрмитово сходится в окрестности точки z = 0, то и следующий сопряжение, черта над символом — комплексное сопряряд для решений жение). Полагаем, что собственные векторы, отвечающие комплексно-сопряженным собственным значениям, k также являются комплексно-сопряженными. Используя y(z ) = ykz (3) каждый столбец 2n 2n-матрицы F(0) как „начальный“ k=столбец y0 в (4), получаем 2n 2n матричную функцию также сходится в этой же окрестности. Здесь Ak и yk — F(z ), которая есть решение уравнения (2) при 0 z d.

это не зависящие от z 2n 2n-матрицы и 2n-векторы Вычислив эту матричную функцию в точке z = d, соответственно. Подставляя (3) в (2), получаем следуюмы получим 2n 2n-матрицу F(d). Поскольку фундащие рекуррентные соотношения для yk:

ментальная матрица решений не вырождена, очевидно, что существует некоторая неособая 2n 2n-матрица, k такая что F(d) = F(d). Поэтому матрица од(k + 1)yk+1 = Alyk-l, k = 0, 1,..., (4) нозначно определена соотношением = F-1(d)F(d).

l=Для нахождения волновой функции, соответствующей где y0 = y(0). Поскольку потенциал V (z ) —аналити- дырке в определенной зоне, падающей на яму из левого ческая функция, выражения (3) и (4) дают точные фор- полупространства (in-состояние), нужно решить следумулы для решений внутри ямы и позволяют вычислять ющую неоднородную систему линейных алгебраических эти решения с любой требуемой точностью, обрывая уравнений:

соответствующие ряды при достаточно большом k, опре- (e, -)T =(+, 0)T, (6) деляемом заданной точностью.

где символ „T “ обозначает транспонирование, -, + — Так как вне ямы V (z ) = 0, то при z < 0, z > d это 2n коэффициентов, которые и нужно найти (S-матрирешения (2), удовлетворяющие определенным условиям ца определяется через них, — см. разд. 3 и Прилопри z ±, легко найти: они есть суперпозиции жение), а e = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). Неоднородная 2n-столбцов (собственных векторов матрицы A0), умносистема 2n линейных уравнений (6) для 2n неизвестных женных на экспоненциальные функции c комплексными коэффициентов - и + всегда может быть решена аргументами (собственные значения матрицы A0). Вслуоднозначно. После того как система (6) решена, мы чае состояний сплошного спектра либо все собственные получаем следующие выражения для волновой функции значения матрицы A0 — чисто мнимые, либо некоторые (in-волны) при z 0, 0 z d, z d соответственно:

из них — с ненулевой действительной частью, а некоторые — чисто мнимые.

F(z )(e, -)T, F(z )(e, -)T, F(z )(+, 0)T.

При 0 z d решения строятся, как описано выше, в виде степенных рядов с использованием рекуррентных Отметим, что нормировка построенного in-состояния соотношений. В точках z = 0, d на решения накла- совпадает с нормировкой падающей плоской волны дываются определенные граничные условия, например, exp(isz )us (см. Приложение). Построение волновой что y(z ) должна быть непрерывна при пересечении функции, соответствующей дырке, падающей на яму из поверхностей раздела, или более общие условия, напри- правого полупространства, и out-состояний абсолютно мер в случае, если материальные параметры различны аналогично.

в яме и барьере. Для определенности, но без потери 2.2. Для большей наглядности (но без потери общнообщности, рассмотрим далее случай, когда y(z ) должна сти) рассмотрим случай матрицы A0 размером 4 4, т. е.

быть непрерывна на гетерограницах. n = 2. Пусть EI < E < EII, где EI, EII — собственные 2.1. Пусть матрица A0(E) имеет при некотором значе- значения матрицы c, а собственные значения матрицы нии E из сплошного спектра 2n собственных значений: A0 равны: i,, -, -i (, > 0). Введем определение i1,..., in, -i1,..., -in; i > 0, 1 i n. Опре F(z ) 1 exp(iz ), 2 exp(z ), делим фундаментальную матрицу решений уравнения (2) при z 0 и z d в терминах следующей 3 exp(-z ), 4 exp(-iz ).

2n 2n-матричной функции:

Как и в предыдущем разделе, получаем: F(d) =F(d).

F(z ) (1 exp(i1z ),..., n exp(inz ), Поэтому матрица определена однозначно. Для нахоn+1 exp(-i1z ),..., 2n exp(-inz )). (5) ждения волновой функции, соответствующей дырке в определенной зоне, падающей на яму из левого полуЕсли — это некоторое собственное значение A0, пространства, решаем следующее уравнение:

то соответствующий собственный вектор имеет вид u (1, +, 0, -)T =(+, 0, -, 0)T. (7) =, и нам удобно считать, что uu = 1. Отметим, u что если a, b, c, E — вещественные и — это собствен- Это есть 4 уравнения для 4 неизвестных ±, ±, где ное значение, то собственными значениями будут также и + соответствуют отражению и прохождению дырок.

5 Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 578 В.И. Галиев, А.Н. Круглов, А.Ф. Полупанов, Е.М. Голдис, Т.Л. Тансли Неоднородная система линейных уравнений (7) для в виде неизвестных коэффициентов и всегда может быть P + Q + + V (z ), R - iS решена однозначно. Тогда имеем следующие выражения H =. (9) для in-волн при z 0, 0 z d, z d соответственно: R + iS P - Q - + V (z ) F(z )(1, +, 0, -)T, F(z )(1, +, 0, -)T, Здесь = 1k2, Q = 2(k2 - 2k2), R = 3/2(2 + 3)k2, P l z l F(z )(+, 0, -, 0)T. S = 2 33klkz, k2 = k2 +k2 = k2 +k2 +k2, i — параметl z x y z ры Латтинджера валентной зоны, — величина, пропорциональная разности постоянных решетки в материале 3. S-матрица ямы и барьера (см. [4]). В качестве единиц измерений длины и энергии мы используем здесь соответственно При данном значении энергии E удобно маркировать ширину ямы d и Ed = /2md2.

in/out-состояния и элементы S-матрицы двойным индекРазвитый метод применен для расчета рассеяния сом = (s, ) s, где s = ± соответственно для дырок на одиночных КЯ в случае GaxIn1-x As, вырачастицы, падающей слева направо и справа налево, а щенного на In1-xGax Asy P1-y с согласованной с InP обозначает тип частицы (например, легкая (L) или решеткой, состояния дырок в котором описываются тяжелая (H) дырка), причем - -s. Умножив гамильтонианом (9). Величины всех материальных павыражения для волновых функций in-волн на множираметров структур взяты из [4]. Вычислены коэффицитель |2v|-1/2, мы получим их нормированными на енты прохождения и отражения дырок, а также вре - E ). Компонента S-матрицы для канала (E мена задержки при прохождении над КЯ как функции имеет вид (см. Приложение) надбарьерной энергии падающей дырки для различных S = X|v/v|1/2, (8) значений величины компоненты импульса, параллельной гетерограницам, ширины ямы и состава сплава x (т. е.

где матрица X, образована из чисел очевидным величины внутренних напряжений из-за рассогласования образом (например, X-H,+H -), а для групповой постоянных решетки). Наиболее интересные результаты скорости имеем |v| = |iu(2ik · a + b)u|.

расчетов представлены на рис. 1–4. Расчет показал, что Зная S-матрицу, можно также найти и время задержки в интервале энергий, при которых может распрострапри прохождении ямы для канала. Действительно, няться только тяжелая дырка (при ненулевых значениях если S = · ei, то компоненты импульса, параллельной гетерограницам), т. е. когда закрыт канал с превращением тяжелой дырки d S |S| tdelay( ) =d/dE = -i.

в распространяющуюся легкую (см. п. 2.2.), рассеяние dE |S| S дырки имеет резонансный характер. Отметим, что при Отметим, что эта величина зависит от выбора „калибровки“ (фазы) нормированных собственных векторов матрицы u. Далее мы выбираем „калибровку“, когда первая компонента собственного вектора (или u) больше нуля.

Определив S-матрицу, легко вычислить коэффициенты прохождения и отражения дырок:

P = |S|коэффициент прохождения, sgn()= sgn(), = коэффициент отражения, sgn()= -sgn().

Важно подчеркнуть, что для вычисления всех элементов S и, следовательно, всех коэффициентов прохождения и отражения достаточно найти только in-решения, соответствующие дыркам, падающим на яму (барьер) из левого полупространства, что следует из соотношения Рис. 1. Коэффициенты прохождения (THH — без превращения симметрии S = S-- и унитарности S-матрицы.

в легкую дырку и THL — с превращением) и отражения (соответственно RHH и RHL), а также времена задержки (T и R, 4. Результаты расчетов и обсуждение в произвольных единицах) для тяжелой дырки, падающей на КЯ GaxIn1-x As/InGaAsP (InP), x = 0.468 (без напряжения В аксиальном приближении гамильтониан Латтинджерешетки), шириной d = 34 с компонентой квазиимпульса, ра, описывающий состояния тяжелых и легких дырок в параллельной гетерограницам, равной k1 = 0.03 -1, как КЯ с напряженными слоями, может быть представлен функции надбарьерной энергии (мэВ).

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Многоканальное рассеяние носителей заряда на гетероструктурах с квантовыми ямами сжатии КЯ и в отсутствие напряжений, т. е. когда x 0.468 [4], качественно результаты зависят только от размеров КЯ: резонансный пик в отражении (RHH = 1) имеет место при всех ширинах КЯ, а пик в прохождении (THH = 1) имеется только при некоторых величинах ширины КЯ, причем его положение относительно пика в отражении изменяется с увеличением ширины КЯ.

В случае растяжения, т. е. при x > 0.468, резонанса в отражении с RHH = 1 не наблюдается, однако резонанс с THH = 1 при определенных значениях ширины ямы d может иметь место.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 00-02-17429, N 00-01-00361).

Рис. 2. То же, что и на рис. 1, при d = 42. Приложение Состояния рассеяния и S-матрица одномерных систем Рассмотрим уравнение Шредингера (1) в „многоямном“ случае, т. е. когда V (z ) — это ограниченный кусочно-аналитический потенциал с конечным числом „кусков“, причем ± ± V (z ) V1 /z + V2 /z +..., z ±.

in Решение при z ± имеет вид (in-волна, + E падающая слева направо) ik+ z e · u+ z + X-,+ · eik · u-, z -, in (z ) (П.1) + E Рис. 3. То же, что и на рис. 1, при d = 48.

X+,+ · eik z · u+, z +.

in Аналогично для in-волн, падающих справа налево - E ± (в случае V1 = 0) в показателях экспонент будут присутствовать логарифмические „кулоновские“ фазы (см. [2]), которые мы не выписываем для краткости.

Заметим, что если функции f (z ) и g(z ) удовлетворяют уравнению Шредингера (1) при одной и той же энергии E, то (g; f ) g ad f /dz + bf - adg/dz + bg f = const. (П.2) Групповую скорость v = idE/d ( = = ik) можно найти из неявной n-значной функции E():

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.