WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 5 Тензор проводимости и частота релаксации импульса электронов при рассеянии на ионизованной примеси в магнитном поле:

метод матрицы плотности ¶ © В.Э. Каминский Институт сверхвысокочастотной полупроводниковой электроники Российской академии наук, 117105 Москва, Россия (Получена 21 июня 2004 г. Принята к печати 8 октября 2004 г.) В однородном полупроводнике по теории возмущений получено решение уравнения Лиувилля для одноэлектронной матрицы плотности в магнитном поле. Получены выражения для тензора проводимости и скорости релаксации импульса электронов при рассеянии на ионизованной примеси. Полученные результаты позволяют достаточно точно описать наблюдавшиеся в ряде работ зависимости продольной проводимости невырожденного электронного газа от концентрации и магнитного поля в квантовом пределе. Эти зависимости не имеют объяснения в рамках современной теории магнетосопротивления. Дано объяснение температурных зависимостей компонент тензора проводимости вырожденного электронного газа в квантовом пределе по магнитному полю.

1. Введение и квазиодномерным характером движения электрона в поле заряженной примеси. Последовательный учет Известно, что магнитное поле квантует энергети- этих эффектов в рамках традиционного подхода [1] ческий спектр электронов в полупроводнике. Однако не позволяет, однако, описать некоторые особенности при = /kT 1, где = qB/m — циклотронная магнетотранспорта. Для невырожденного электронного частота, учет квантования в большинстве случаев ока- газа при учете этих эффектов продольная проводимость zz (Bz ) в ультраквантовом пределе, когда заполнен тользывается несущественным и для описания электронного ко нижний уровень Ландау, должна расти при увеличетранспорта можно использовать кинетическое уравнение нии магнитного поля за счет подавления малоуглового Больцмана. Из этого уравнения следует, что магнитное рассеяния [4], причем рост проводимости тем больше, поле заметно влияет на поперечные относительно поля чем меньше концентрация электронов. Эксперименталькинетические эффекты, если = µB > 1, где µ — но же в InSb такая зависимость zz (Bz ) наблюдалась при подвижность электронов. В продольном направлении температуре T = 30 K только для относительно высокой кинетические эффекты не зависят от магнитного поля.

концентрации электронов n 1015 см-3. Для меньших В квантующем магнитном поле, при 1, для опиконцентраций электронов наблюдается противоположсания поперечных (вектор напряженности магнитного ная зависимость от поля [6]. Причем при концентрации поля B перпендикулярен вектору плотности тока j в электронов n 1013 см-3 расхождение между теорией образце) гальваномагнитных эффектов в полупроводнии экспериментом достигает 40 раз. В рамках существуках метод кинетического уравнения для функции расющих теорий это не имеет никакого объяснения. В выпределения электронов становится неприменимым. Ряд рожденном электронном газе легированных полупроводспецифических эффектов, связанных с квантованием, ников в диапазоне температур от 0.05 до 15 K в ультакой подход не позволяет описать в принципе. Задача траквантовом пределе экспериментально наблюдаются о поперечных гальваномагнитных эффектах была строго довольно сильные зависимости диагональных компонент решена методом матрицы плотности в работе Адамса проводимости от температуры (см. обзор [4] и ссылки в и Гольстейна [1]. Согласно результатам [1–3], характер нем). Продольное сопротивление zz (Bz ) уменьшается проводимости в квантовом пределе по магнитному полю при повышении температуры монотонно. Поперечные не отличается принципиально от случая классически проводимость xx (Bz ) и сопротивление xx(Bz ) (j x, сильных полей. Отличие состоит лишь в том, что плотB z ) немонотонно зависят от температуры. В то же ность состояний на уровне Ферми и времена релаксации время холловская проводимость xy(Bz ) изменяется с зависят от магнитного поля [4,5]. Продольная проводитемпературой очень слабо. Эти температурные зависимость электронного газа zz (B j z ), согласно [1], не мости нельзя объяснить в рамках теории [1].

отличается от классического выражения.

Недавно в работах [7,8] было показано, что в ряде Дальнейшие исследования, однако, показали, что в случаев последовательный учет квантования в магнитслучае рассеяния на ионизованной примеси полученные ном поле существен для адекватного описания гальвав [1–3] выражения для xx и zz не совсем точны номагнитных эффектов. Однако в [7,8] очень важный с в квантовом пределе [4]. Считается, что это связаэкспериментальной точки зрения случай рассеяния на но с необходимостью учета эффектов экранирования ионизованной примеси не был проанализирован. В дан¶ E-mail: kamin@zelnet.ru ной работе в предположении малой неравновесности 544 В.Э. Каминский решено кинетическое уравнение для матрицы плотно- где сти в произвольном магнитном поле при рассеянии на ионизованной премеси. Получены выражения для S12 = 2 (E2 - E3) M+ (43 - R43)M35Rскорости релаксации импульса и проведено сравнение с доступными экспериментальными результатами.

- (14 - R14)M43R35M+ + (E1 - E3) 2. Теория R14M+ (53 - R53)M32 - M13R34M+ (52 - R52).

45 (5) Как известно, в магнитном поле матрицы перпендикулярных к полю компонент импульса электрона Здесь Mi j являются матричными элементами взаимоне имеют диагональных элементов. Вследствие того в действия электронов с заряженной примесью. Их вид квантующем магнитном поле электронный транспорт зависит от способа описания этого взаимодействия.

нельзя в принципе описать на основании кинетического Хорошо известно, что, строго говоря, уравнение (1) уравнения Больцмана. В общем случае наиболее полне описывает необратимого поведения системы элекным микроскопическим описанием состояния квантовой тронов. Чтобы получить необратимое поведение, надо системы является описание с помощью статистического привлечь дополнительные соображения [1]. Для этооператора (матрицы плотности) R. В представлении го можно либо модифицировать гамильтониан, либо Шредингера он описывается уравнением Лиувилля воспользоваться каким-либо искусственным математическим приемом, отражающим взаимодействие системы со R i =[H, R]. (1) средой. Таким наиболе широко применяемым приемом t является использование гипотезы о виде начального Все дальнейшее наше рассмотрение ограничим одноприближения для диагональной части матрицы плотноэлектронным приближением. Примем, что магнитное сти, т. е. функции распределения. Представим матрицу поле с индукцией B направлено вдоль оси z, j x и плотности в виде электрическое поле Ex измеряется также вдоль оси x.

Свойства рассматриваемой системы в одноэлектронR12 = F112 + G12(ky1 - ky2), (6) ном приближении описывает оператор Гамильтониана где G12 = Gn n2(kz 1, kz 2). Если электрическое поле не H = H0 + W + U = He + W + U, (2) нарушает пространственной однородности электронной системы, то в качестве F1 = F(E1) обычно берут функгде He — гамильтониан электрона в магнитном поле, цию распределения Ферми-Дирака, зависящую от энерW — оператор взаимодействия электронов с фононами гии и квазиуровня Ферми EF. При таком выборе Fили примесями, U = -qExx — оператор потенциальной фактически исходят из широко используемого в теоэнергии. В общем случае плотность электрического тока рии полупроводников принципа локального равновесия.

может быть рассчитана из соотношения В области высоких температур это приближение является вполне удовлетворительным. Однако при низких темj = Tr (R J), (3) пературах необходимо учитывать поправки для функции где Tr (...) обозначает след оператора, J —оператор распределения, обусловленные совместным действием плотности тока в магнитном поле. Для расчета тока электрического поля и процессов релаксации. В первом необходимо определить из уравнения (1) статистический неисчезающем порядке по рассеянию такая поправка оператор. Для решения этого уравнения будем рассматполучена в [1]. Однако она имеет смысл только в области ривать в соотношении (2) сумму W + U как возмущение.

сильных полей. Общая процедура получения поправок Если выбрать вектор-потенциал магнитного поля в каизложена в [10]. Суть ее заключается в разложении либровке A =(0, Bx, 0), то волновые функции оператостатистического оператора Гиббса по потенциалу взара H0 и энергии электрона для однородного полупроводимодействия как возмущению. В линейном по элекника описываются хорошо известными соотношениями трическому полю приближении функцию распределения в представлении Ландау [9]. В выбранном представлении можно представить в виде состояние электрона |i описывается набором квантовых чисел (n, ky, kz, s). FF1 + U11Z, (7) Уравнение (1) будем решать методом последовательE ных приближений. Обоснование этого метода и прогде U11 — матричный элемент потенциальной энергии, цедура получения приближенного уравнения подробно Z — функция, являющаяся результатом суммирования изложены в работе [10]. Для стационарных условий в выпо всем порядкам рассеяния. В общем случае она бранном базисе волновых функций из соотношения (1) зависит от магнитного поля, параметров релаксации получаем и функции распределения и может быть определена (E1 - E2)R12 + U13R32 - R13U32 + iS12 = 0, (4) из решения (1) для диагональных элементов матрицы Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. Тензор проводимости и частота релаксации импульса электронов при рассеянии... плотности. Тогда из (6) получаем i Fm Pnm = Z y dy (1 - Fn + Fm) Em n + FR12 = F1 + U11Z 12 + G12(ky1 - ky2). (8) E lm Fn В данной работе мы не будем анализировать точный Cm,lm-n+l Aml +(1 + Fn - Fm) n, En вид функции Z. Ограничимся только первым приблиl=жением по магнитному полю. Из решения кинетичеln ского уравнения Больцмана для функции распределения Cn,n-m+l Aml (m,n+1 + m,n-1), (12) m,l известно [11], что неравновесная ее часть может быть l=представлена в виде lm f1k Bnm = i dy (1 - Fn)Cm,m-n+lGl,m-n+l nl f =.

k l=В случае магнитного поля ln + FmCn,n-m+lGn-m+l,l Aml+ (1- Fm)Cn,n-m+lGl,n-m+l ml ml k F [BE] +BE f1 = -q, l=m E B(2 + 2) где — частота релаксации импульса. В дальнейшем + FnCm,m-n+lGm-n+l,l Anl, nl слагаемое, пропорциональное E, мы опускаем. Его учет повышает точность расчета функции Pnm, которая опре- -Anl = 2y + a2 +(x + bnl)делена далее. Однако в данной работе мы не будем 2bnl рассматривать этот вопрос. Тогда получаем -+ 2y + a2 +(x - bnl)2, q F (k[BE]) F f = - = -qky2Ex xm E B(2 + 2) E 2 + x = kz, a = ks, ln = n +, b2 = x2 + 2(n - l), nl F = U11. (9) mq4N+E 2 + i =, 222 Из сравнения этого выражения с (7) следует, что N+ — концентрация ионизованной примеси, ks = 1/rs, rs — радиус экранирования, — диэлектрическая проZ =. ницаемость полупроводника. Функции Knl(y), Cm,lp(y) n, 2 + и метод интегрирования матричных элементов определены в Приложении. Как видно, искомая функция G Отсюда видно, что при B = 0 получаем Z = 0, а в входит в (10) в виде суммы. Поэтому в отличие от пределе больших полей Z = 1. В [1] фактически, хотя рассеяния на фононах [7,8] получить простое решение и не явно, функция распределения была представлена в для нее нельзя. Однако решение уравнения (10) всегда виде (9) c Z = 1. Расходимость решений [1] в области можно представить в виде слабых полей в основном связана именно с тем, что не была учтена зависимость Z от поля.

Unm(Fn - Fm) +i 2(n + 1) qExPnm Будем искать линейное по G решение уравнения (4).

Gnm =. (13) En - Em + i nm Ограничим наше дальнейшее рассмотрение взаимодействия электронов с заряженной поимесью экранированТочность расчета nm зависит от ряда параметров и ным кулоновским потенциалом. Тогда из (4), (5) и (8) выбранной процедуры решения уравнения (10). Исполучаем пользуя полученные в Приложении результаты, можно (0) (0) показать, что nm Gnm > Bnm. Исходя из этого неравен(En - Em + i nm )Gnm + Unm(Fm - Fn) ства, уравнение (10) можно, например, решать методом последовательных приближений. В первом приближении - i 2(n + 1) qEx Pnm - i Bnm = 0, (10) можно принять Bnm = 0. Более подробно эти вопросы где будут рассмотрены далее. В итоге для компонент тензора проводимости получаем lm (0) nm = 0 dy (1 - Fm)Knl + FmKml Aml qxx = (n + 1) l=0 (2)s,n ln n,n+1(Fn - Fn+1) +Pn,n++ (1 - Fn)Kml + FnKnl Anl, (11) dkz, (14) 2 + n,n+l=3 Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 546 В.Э. Каминский qИспользуя это равенство в интеграле столкновений, поxy = (n + 1) (2)2 лучаем следующее приближение для частоты рассеяния:

s,n q4 N+ (Fn - Fn+1) - n,n+1Pn,n+nm = dkz, (15) 162 2m 2 + n,n+ lm ln Knl Kml где Fn F(En). Как видно, эти уравнения совпадают по dy Dmnl(p2)+ Dnml(p1), bml(p2) bnl(p1) структуре с уравнениями [7,8] для рассеяния на фононах.

l=0 l=Поэтому для учета одновременного действия разных (16) механизмов релаксации необходимо и P представить где в виде сумм по этим механизмам. Кроме того, из полуb2 (pi) = (n - m) +p2, i = 1, 2, nm i ченных выражений можно предположить, что функция Z 2 k2 p2 kzi 1 s также зависит от номера магнитного уровня n и более p2 =, ln = n +, Es =, i 2m 2m правильно ее представить в виде [pi - bnl(pi)](1 + Fn - Fm) Dnml(pi) = pi[ y +(bnl - pi)2 + Es]Zn,n+1 =.

2 + n,n+[pi + bnl(pi)](1 + Fn - Fm) +.

pi[ y +(bnl + pi)2 + Es]Используя полученные результаты, несложно покаВ пределе нулевого магнитного поля, заменяя сумзать, что продольная проводимость zz (Bz ) описывается мирование интегрированием, из соотношения (16) для обычным выражением [11].

невырожденного электронного газа получаем В сильных магнитных полях, когда, уравнение (13) формально переходит в выражение, полученное q4N+ 1 = -, в [1]. Существенное отличие заключается в том, что в 82 2mp ( E - p)2 + Es ( E + p)2 + Es отличие от [1] в пределе слабых полей они переходят (17) известные выражения для тензора проводимости в полугде p = p1 = p2.

проводниках [11]. Кроме того, в данной работе получено Рассчитаем теперь частоту рассения без магнитно(см. далее) более точное выражение (11) для частоты го поля непосредственно из уравнения (5). Состояние рассеяния на ионизованной примеси nm в сильных электрона |i в данном случае описывается набором магнитных полях.

квантовых чисел (kx, ky, kz, s). Из уравнения (5) получается уравнение, аналогичное (10). Без магнитного поля частота релаксации импульса зависит только от полной энергии электрона. Итерационная процедура 3. Расчет частоты рассеяния решения хорошо сходится, и во втором приближении электронов получается известная формула Брукса-Херринга для частоты релаксации импульса BH. Отметим здесь, что следующие итерации незначительно повышают точность Уравнение (10) является уравнением Фредгольма вторасчета.

рого рода, которое удовлетворяет всем условиям абсоКак видно, частота (16) зависит от энергии и kz.

лютной сходимости. Поэтому для расчета используем В то же время частота BH зависит только от энергии.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.