WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Производная -W/un определяет -компоненту си- (m) q (r) = i(r|q) S(m)(q). (16) i лы, действующей на ион n; электрическую индукцию 2n0(m)(q) i в точке r определим как вариационную производную Здесь + (t), amq(t) — операторы рождения и уни mq D(rt) =-4W/E(rt). Будем предполагать гармоничечтожения фононов, S(m)(q) — собственные векторы (8), скую зависимость exp(it) атомных смещений и поотносящиеся к (m)(q). Выражение (16) представляет лей по времени с частотой. Электрическое поле и собой разложение потенциала, созданного фононом с индукцию представляем в виде разложения по (4) как частотой (m)(q), по некоторым „стандартным“ потенпо базису от непрерывной переменной. Тогда условие циалам i(r|q). Эти потенциалы, созданные „стандартD = 0 связывает коэффициенты разложения смещений ными модами“ (смещения атомов направлены по оси и полей.

и их величины заданы функциями Fiq(rn)), определяются Классические уравнения движения для ионных смещевыражением ний затем приводятся к виду F j q(r ) (q) +Wi, j(q) S(m)(q) =(m)(q) S(m)(q). (8) i, j j i i (r|q) = dr |r - r | j j j V Матрица - 1 + (q) (q) j,i(q). (17) j, j (q) = a i j(q) i, i j j 4. Полярные колебания nn в полупроводниковых бинарных Fj (rn)pn pn Fj q(rn )j+i (q) (9) q nn сверхструктурах обусловлена вкладом короткодействующих сил.

Будем предполагать, что элементарная ячейка сверхВклад дальнодействующих сил на основании (3) запиструктуры построена из частей (субъячеек), состоясывается как щих из различных материалов, которые будем нумеро - вать индексом c. Для бинарных материалов субъячей W(q) =4 (q) (q) 1 + (q) (q) +(q). (10) ки содержат соответственно по 2Nc атомов, так что Здесь n0 = 2 Nc.

c Fjq(r)F (r ) 1 j q В том случае, когда частоты 1, 2 длинноволновых V j, j (q) = dr dr, (11) 4 |r - r | поперечных оптических фононов в объемных матери алах существенно различаются, как это имеет место, n например, для GaAs и AlAs, оптические колебания в i, (q)= a i j(q)Fj (rn)pnz Qn (r)Fi q(r)dr.

i q отдельных субъячейках сверхрешетки можно рассматnj (12) ривать независимо, что подтерждается и численным Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Взаимодействие электронов с полярными оптическими фононами в полупроводниковых... расчетом. Критерий применимости этого приближения VnK,n K(Kk) V(nn |Kk). Расчет матричных элемен -2 2 тов (11) сводится к вычислению выражения 4Zc aµc|1 - 2| 1. Здесь µc, Zc — соответственно приведенная масса и величина заряда иона в d субъячейке номера c.

m V(mn|Kk) = eikLD dz (z, K) В этом случае удобно выбрать функции f (r) таким i 2KD L=образом, чтобы набор (3) представлял собой объедиd нение базисов { f (r)}, при которых функции f (r) c c n c dz e-K|z -z -LD| (z, K). (20) отличны от нуля только в „своей“ субъячейке номера c.

-1/Модель c,c (q) =µc, c, (q) = c n =( aµc)-1/2Zc, (r, r ) =(r - r ) соот- Здесь K = |K|, L — целые числа, (z, K) =iKn(z ), y n ветствует приближению неполяризуемых ионов в (z, K) =dn(z )/dz. Вычисленные матричные элеменz сверхструктуре из материалов типа цинковой обманки с ты (20) приведены в Приложении 1.

близкими значениями диэлектрической константы, „Стандартные“ потенциалы (16) в планарной геометнапример GaAs/AlAs. В этой модели рии записываются в блоховском виде nK(r|q) =S-1/2 exp(iK) exp(ikz ) 4Zc Wc, (q) = Vc, (q). (18) c aµc c 1 (n) U (z/Kk). (21) (2 + n2) 5. Планарная геометрия 4Zc Здесь = Kd/, c = 2dc/ aµc, функции (n) U (z |Kk) нами вычислены согласно (17) и приведены Сверхрешетка в континуальном приближении предв Приложении 2.

ставляет собой периодическое повторение в направлеДля расчета вклада короткодействующих сил (9) опрении оси z перпендикулярного ей слоя 0 < z D толделим матрицу c(Q) размерности 3 3 таким образом, щиной D, состоящего из двух слоев (субъячеек), изгочтобы ее собственные значения воспроизводили спектр товленных из бинарных материалов c = 1 (0 < z d1) оптических фононов в объемном бинарном материале и c = 2 (d1 < z D). Базис (2) удобно выбрать в виде c = 1 без учета полярной составляющей, т. е. так, как f (r) =S-1/2 exp(iK)cn(z ), где K и направлены c если бы они были неполярными. Такой спектр „неполярв плоскости слоя, т. е. K, z ; S — площадь слоя ных“ фононов может быть получен с помощью данных в плоскости, перпендикулярной оси z. Соответственно микроскопической теории, соответствующая методика индекс (nK) становится сложным. Зона Бриллюописана в [6]. Тогда матрица короткодействующих сил эна является одномерной, поэтому волновой вектор моделируется соотношением представляется в виде q =(Kk), его z -компонента k изменяется в пределах -/D k

c c (rn, rn ) = µc pn (Qx, Qy, Qz )pn Далее используем приближение, в котором колеба- N0 Q ния в отдельных слоях независимы. Для определения рассматривается слой c = 1 (0 < z d1). Рассматривая exp iQ(rn - rn ), (22) другой слой — c = 2, достаточно соответствующим где Q изменяется в зоне Бриллюэна объемного биобразом сместить начало координат z = z - d1 и замеc нарного кристалла. В матричные элементы (9) входит нить d1 d2 = D - d1. Поэтому все рассуждения не завеличина висят от номера субъячейки и в последующих формулах там, где это не может вызвать недоразумения, индекс d n 1 - (-1)neidk слоя у z, dc опущен.

c exp(-ikz )n(z )dz = 2d. (23) (kd)2 - (n)В „активной“ субъячейке c = 1 в качестве cn(z ) удобно принять функции, обращающиеся в нуль вне подслоя 0 z d и равные внутри него При k ±n/d вклад (23) в матричный элемент (9) от максимален и равен i d/2. Удерживая в (9) только эти главные члены, получим n(z ) = 2/d sin(nz/d). (19) KK nn nK, n K Здесь n = 1,..., Nc, 2Nc — число атомных монослоев в субъячейке. Удобно направить одну из осей коn n c c Kx, Ky, + Kx, Ky, -. (24) ординатной системы, например y, вдоль вектора K. d d Тогда из (11) следует, что VxnK n K (Kk) =0, а для, = y, z матричные элементы не обращаются в В этом приближении зависимость от продольной компонуль, только если K = K = K; обозначим их как ненты волнового вектора k отсутствует.

11 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 546 В.Г. Тютерев 6. Точное решение в модели Функции (29) с ростом K и k все более сильно локализуются вблизи межслоевой границы и представляют собой диэлектрического континуума не что иное, как потенциалы колебаний интерфейса.

При пренебрежении дисперсией короткодействующих 2) Дирекционно-независимым полярным решениеям 2 2 сил матрица (24) принимает вид l(m) = 1 + 4Z1/(µ1 a) с кратностью вырождения, равной бесконечности m = 1,...,, соответству (Kk) = cKK nn. (25) nK, n K ют продольные оптические смещения ионов. Потенциа Здесь c — частота поперечного фонона в объемном лы, создаваемые этими колебаниями, не обращаются в материале из слоя c.

нуль только в активном слое, в данном случае в слое В континуальном пределе (8) представляет собой c = 1, т. е. при 0 z d, и тамравны бесконечную систему уравнений, которая имеет точное решение. Детали решения сами по себе нетривиальны, l(m)(z |Kk) =i (z, d) расчет был проведен на языке Maple в оболочке Scientific Notebook и не может быть воспроизведен подробно в exp(-ikz ) sin(mz/d). (30) рамках журнальной статьи. Мы приведем лишь конечm2 + ный результат.

Потенциалы представляются в блоховском виде 3) Дирекционно-независимым неполярным решениям (m) 2 q (r) =S-1/2 exp(iK) exp(ikz )(m)(z |Kk), (26) t(m) = 1 с кратностью вырождения, равной бесконечности m = 1,...,, соответствуют поперечные опти(m)(z + DL/Kk) =(m)(z |Kk), L — целые числа. Для ческие смещения ионов. Эти колебания не создают фононов, оптические смещения которых S(m) (q) сосреnK электрических полей.

доточены только в „активном“ слое c = 1 (0 < z d), Для фононов, смещения которых сосредоточены во периодическая часть охватывает всю элементарную втором слое c = 2 (d < z D), решения имеют анаячейку 0 z D. Далее приведен вид периодической логичный вид. Их можно получить из (28)–(30) путем части потенциала (m)(z |Kk) для таких фононов.

переноса начала координат z z - d с последующей Решения представлены в виде (m)(z |Kk) = 1/2 заменой d D - d и подстановкой объемных парамет = 1 /(2(m)(Kk)) (m)(z |Kk). Введем обозначения ров фононного спектра для этого слоя 2, 2, µ2.

= KD, = kD, = Kd/2, Вычисленные поля (28)–(30) и смещения, приведен (±) ные в Приложении 3, полностью согласуются с картиUq = 1 ± Hq/ Hq + B2 /2, q ной интерфейсных колебаний и их потенциалов (29) и объемно-подобных запертых колебаний и их полей (30), sh sh 2 sin sh Hq = ch 2 -, Bq =. (27) которые получены численно в континуальной модели ch - cos ch - cos в работах [1–4]. Заметим, что в аналитическом виФункция (z, d) =1, если 0 z d, и (z, d) =0 при де решения в континуальной модели, насколько нам всех других значениях z.

известно, ранее не были получены. Анализ получен1) Для данного слоя имеются два решения m =(±), ных решений показывает, что потенциалы (29) везависящие от направления распространения фонона дут себя неаналитическим образом при q 0. Если q =(Kk):

в этом длинноволновом пределе k K, то (29) — это поля макроскопического масштаба, охватывающие 2Z1 ch( - 2) - cos 2 (±)(Kk) = 1 + 1 ±, всю сверхрешетку. Если k K, это локальные поµ1 a ch - cos ля с периодом сверхрешетки. В предельном случае (28) d D соотношения (28)–(30) переходят в изsh 2/(2) вестное выражение [9] для потенциалов рассеяния на (±)(z |Kk) =exp(-ikz ) 2(ch - cos ) длинноволновых полярных фононах в объемном материале кубической симметрии. Потенциалы (29), (30) k (±) () непрерывны на границе слоев. Однако оптические сме Uq ch(Kz - - ) ± i Uq sh(Kz - - ) |k| щения, как показывает расчет по формуле (5), для четных значений m оказываются разрывными, что соk (±) () - ei Uq ch(Kz - ) ± i Uq sh(Kz - ) ответствует выводам [2] о несовместимости гранич|k| ных условий для механической и электродинамической компонент оптических колебаний в бездиспер+ exp(-ikz ) (z, d) sh(Kz - 2) сионной континуальной модели. Для того, чтобы добиться одновременной непрерывности полей и смещений, необходим учет дисперсии короткодействующих k (±) () Uq ( th )-1/2 i Uq (th /)-1/2. (29) сил [2,3].

|k| Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Взаимодействие электронов с полярными оптическими фононами в полупроводниковых... Параметры матрицы короткодействующих сил в объемных 7. Модель диэлектрического материалах континуума, модифицированная учетом дисперсии Параметр AlAs GaAs короткодействующих сил, cm-1 364.39 271.X1 -0.5637 -0.Для расчета спектра с учетом симметрии кристалла X2 0.2689 0.моделируем матрицу c(Q) в (22) соотношениями X3 -0.0256 -0. X4 -0.8293 -0.c (Q) = c 1 + A(k)k2 + B(k)(k2 + k2), xx x y z X5 0.7346 0. X6 -0.2001 -0.c (Q) = c 1 + A(k)k2 + B(k)(k2 + k2), yy y x z X7 -0.1514 -0. X8 0.1785 0.c (Q) = c 1 + B(k)(k2 + k2) +A(k)k2, zz x y z X9 -0.0518 0.c (Q) =2c G(k)kk, =. (31) A(k)=X1 + X2k2 + X3k4, B(k)=X4 + X5k2 + X6k4, G(k)=X7 (AlAs)8(GaAs)12 [001]. Потенциалы вычислены по фор+ X8k2 + X9k4, где k = Qac/2, ac — постоянная мулам (16), (21) (см. также формулы в Приложении 2).

решетки материала c. Поскольку в слое c имеется 3Nc Сплошными линиями показаны локальные компоненты степеней свободы оптических колебаний, размерность потенциалов матрицы в (8) следует ограничить величиной 3Nc 3Nc.

(m) loc (z |Kk) =(m)(z |Kk) - (m)(Kk), Параметры объемного спектра в AlAs и GaAs выбраны путем сопоставления с рассчитанным в модели зарядов D на связи спектром [6,7] (Z1 = Z2 = 0.65 e0, = 12, (m)(Kk) =D-1 (m)(z |Kk)dz. (32) a1 = a2 = 5.65, MAl = 26.98 M, MGa = 69.72 Mp, p MAs = 74.92 Mp) и приведены в таблице.

Выбор базисных функций в виде (19) означает, Для фононов типа существует также макроскопи3L что короткодействующие силы взаимодействия подсло(m) ческая компонента потенциала macr(z, k) =iz k(m)(0k), ев (AlAs)n и (GaAs)m не учитываются. Согласие с показанная на рис. 2 штрихпунктиром. Приведенные на микроскопическим расчетом улучшается, если феномерис. 2, 3 результаты являются типичными. Как видно, нологически учесть взаимодействие субъячеек путем степень согласия между двумя теориями достаточно введения в формулы Приложения 2 эффективной толхорошая. Причины количественного расхождения свящины „активного“ слоя deff = d +. Для сверхрешетки заны с тем, что в микроскопической модели заряда на (AlAs)n(GaAs)m [001] в пределах n + m = 20 для всех связи эффективно учитывается высокочастотная полясоотношений n, m равная степень согласия с численным ризуемость среды, в то время как в макротеории мы расчетом достигается, если принять равной толщине ограничились приближением жесткого иона.

одного монослоя.

Согласие между микроскопическим расчетом и нашим На рис. 1 приведен спектр AlAs-подобных оптивариантом континуальной теории для сверхрешеток ческих фононов в сверхрешетке (AlAs)8(GaAs)12 [001] (AlAs)n(GaAs)m [001] в пределах n + m = 20 для всех со(D = 56.5, deff = 37.67 ), рассчитанный в микроскоотношений n, m, как четных, так и нечетных, находится пической модели зарядов на связи (слева) и в макроскона одинаковом уровне вплоть до (AlAs)2(GaAs)18 [001].

пической модели (8), (24), (31) (справа).

Как видно из этого рисунка, согласие в существенной для процессов рассеяния носителей заряда области 8. Заключение |q| 2/D весьма неплохое. Отклонения вблизи границы зоны Бриллюэна |q| 2/a более значительны и Численный анализ в рамках реалистической модели носят качественный характер, что неудивительно, по- межатомного взаимодействия показал, что пространскольку формулы (31) правильно учитывают симметрию ственное распределение для амплитуд потенциалов взаспектра объемных фононов только в пределе длинных имодействия электронов с оптическими фононами в волн. сверхрешетке существенно отличается от предсказываПри наличии дисперсии короткодействующих сил емого в простой макроскопической теории бездисперсиобъемно-подобные моды (30) и моды интерфейса (29) онного диэлектрического континуума [1–3]. Физическая смешиваются. В результате гибридизации непрерывны- причина расхождений связана с тем, что в простой ми теперь являются как потенциалы, так и оптические макротеории принимается во внимание только дальносмещения. действующая составляющая межатомных сил. МакроПолученные выводы иллюстрируются рис. 2, 3 скопическая теория в развиваемом нами модифицирона примере AlAs-подобных фононов в структуре ванном подходе приводится в соответствие с численным 11 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 548 В.Г. Тютерев расчетом только при дисперсии короткодействующей Приложение 2. Собственные части межатомного взаимодействия.

потенциалы фононов Преимущество предложенной нами модифицированв планарной геометрии ной макроскопической модели по сравнению с нашим же численным микрорасчетом состоит в том, что поДля расчета использованы формулы Приложения 4.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.