WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 1998, том 40, № 3 Микрокинетика модели Изинга–Глаубера в бинарном приближении © В.А. Муравьев, В.М. Воробьев, А.С. Гаревский Нижегородский государственный университет, 603600 Нижний Новгород, Россия (Поступила в Редакцию 2 октября 1997 г.) Фазовые переходы в ферромагнетиках, описываемых моделью Изинга, исследуются на основе решения цепочки микрокинетических уравнений для унарных и бинарных функций распределения. Разработана динамическая процедура их самосогласования. Для кристаллов кубической сингонии получено в аналитическом виде уравнение состояния, связывающее параметр дальнего порядка с температурой и магнитным полем.

Рассчитана температурная зависимость магнитной восприимчивости и теплоемкости. Получен критерий устойчивости стационарных состояний системы. Исследована динамика процессов перемагничивания под действием постоянного и переменного внешнего поля.

Уже в первых работах, посвященных изучению стоха- Функции p, f связаны очевидными условиями стической динамики фазовых переходов второго рода на нормировки модели Изинга, были получены интересные результаты, + - + p++p- = 1, f + f = p, f + f = p. (1) касающиеся микро- и макрокинетики этих переходов.

Некоторые из них описаны еще Глаубером [1,2] в приВ качестве независимых функций возьмем, например, ближении среднего поля.

++ p+ P и f S. Остальные выразим из (1) В последующие годы в связи с развитием теоретико+- -+ полевых методов решения этой проблемы (методы реp- = 1 - P, f = f = P - S, нормгруппы и -разложения [3]) интерес к приближен-f = 1 - 2P + S. (2) ному микрокинетическому подходу в теории фазовых переходов несколько снизился. Между тем точные реБудем считать, что стохастическая динамика систезультаты, полученные современными методами, описымы, обусловленная ее взаимодействием с термостатом, вают ситуацию лишь вблизи критической точки. Микроописывается случайными переворотами спинов. Следуя кинетический же подход позволяет, хотя и приближенно, Сузуки и Кубо [2,10], вероятность переворота спина в описать всю картину, причем не только в состоянии единицу времени представим в виде термодинамического равновесия.

В настоящей работе предложен способ самосогла =, (3) 1 +exp(E) сованного решения цепочки зацепляющихся уравнений для функций распределения низших порядков. Такой где — характерное время опрокидывания, а подход аналогичен методу Боголюбова в кинетической E = Ef - Ei — приращение энергии кристалла теории жидкого состояния (ББГКИ [4]) и является, в результате такого переворота (здесь и далее все конечно, приближенным, поскольку мы не оперируем энергетические параметры приводятся в единицах kT ).

полной функцией распределения спинов по узлам реСоставим уравнение баланса вероятностей для унаршетки и обрываем цепочку на бинарных функциях. Поной функции добный прием был применен нами ранее для изучения корреляционных эффектов диффузии в полупроводни- =-p- -+p+ ках [5–9].

1 -P P В целях концептуальной ясности изложим суть дела = -. (4) 1 +exp(E) 1 + exp(-E) на примере решетки кубической сингонии.

Для вычисления Ef и Ei, строго говоря, следовало бы просуммировать вероятности всевозможных спиновых 1. Уравнения микрокинетики конфигураций окружения данного узла, помноженные на и процедура самосогласования соответствующие энергии связи. Однако этот путь требует введения функций распределения высших порядков, Для микроскопического описания состояния кристалчто делает решение задачи практически безнадежным.

ла введем функции распределения p, f. Унарная Вместо этого введем эффективные энергии взаимодейфункция p дает вероятность обнаружения спина в од- ствия известного спина с его окружением в расчете на ном из узлов решетки, бинарная функция f определяет одну связь, а их разность обозначим = + --. В вероятность нахождения пары спинов и в соседних этих обозначениях Ef = Z+ - JH, Ei = Z- + JH, узлах. Индексы,,,... принимают значения + и -, E = Z - 2JH. Здесь Z — координационное чичто соответствует спинам +1 и -1. сло, J = /kT — безразмерный обменный интеграл, 520 В.А. Муравьев, В.М. Воробьев, А.С. Гаревский H = µh/ — безразмерное магнитное поле (направле- Впрочем прямое численное решение уравнений оказывание которого совпадает с направлением спина +), µ — ется здесь более удобным. Отметим, что динамика дальмагнитный момент атома. него порядка, определяемого функцией P(t), не зависит Обратимся к уравнению баланса вероятностей для от поведения параметра S(t) (характеризующего ближбинарной функции ний порядок). Поведение же функции S(t) описывается линейным дифференциальным уравнением (5).

-+ ++ +- ++ =-+ f -++ f ++- f -++ f P - S S 2. Стационарное решение = 2 -, (5) 1 + exp(E) 1 + exp(-E) Положим = 0, = 0. Тогда система уравнений (4), где E = -2J +(Z-1)-2JH. Отличие этой форму(5) и (7) приобретает вид лы от выражения для E обусловлено фиксированной ориентацией двух спинов.

P =, (9) 1 + exp(Z - 2JH) Система уравнений (4), (5) пока еще не замкнута, поскольку в ней фигурируют две неизвестные функции P P и S и неопределенный параметр самосогласования.

S =, (10) 1 + exp (Z - 1) - 2J(H + 1) Недостающее уравнение может быть получено из следующих соображений. Структура правых частей уравP - S =. (11) нений баланса вероятностей не должна противоречить 1 - P 1 + exp (Z - 1) - 2J(H - 1) условиям нормировки. Следовательно, должно выполРассмотрим сначала случай, когда H = 0. Сразу няться соотношение видно, что данная система всегда имеет тривиальное d -- -+ -- +- -решение ( f ) =-+ f --- f ++- f --- f dt 1 P - S 1 - 2P + S = 0, P =, S =. (12) = 2 - 2 2 1 + exp(-2J) 1 + exp(-F) 1 + exp(F) Параметр дальнего порядка, определяемый как d (1 - 2P + S), (6) L = 2P - 1, равен при этом нулю. Такое решение dt имеется при любых температурах, но, как будет где F = 2J +(Z-1)-2JH. Производные и в показано далее, оно не всегда устойчиво.

правой части (6) определяются уравнениями (4), (5), и Есть у этой системы и нетривиальное решение, котомы получаем таким образом алгебраическое уравнение рое легко найти, исключая, а именно P 1 - P L(1 +L)m 2(Z-1) + =, (7) S(L) =, m=, (13) 1 + exp(E) 1 + exp(F) 1 + exp(E) (1 +L)m -(1 -L)m Z которое неявно определяет как функцию P, J и H.

4S(S -L) Тем самым завершается процедура самосогласования exp(4J) =. (14) (1 +L -2S)системы микрокинетических уравнений. Мы называем ее динамической по той причине, что дело теперь сво- Последние две формулы определяют зависимость бездится к анализу двух обыкновенных дифференциальных размерной температуры 1/J от L, т. е. решают задауравнений (4), (5), дополненных алгебраическим (7), чу о спонтанной намагниченности. Понятно, что именно которые и описывают кинетику ферромагнетика.1 второе решение будет устойчивым ниже точки Кюри c.

Несмотря на сильную степень нелинейности этой Эта точка находится так. Раскрывая неопределенность системы, задача тем не менее может быть решена в в (13) при L 0, получаем S(0) Z/4(Z - 1). Но квадратурах. В самом деле, из уравнения (7) легко это значение должно совпадать с выражением (12) при находится функция P() (при любых значениях термоди- J = Jc = 1/c. Отсюда следует намических параметров J, H), после чего уравнение (4) превращается в c =. (15) ln Z/(Z - 2) dP + P() =. (8) Разумеется, то же самое получается и по формуле (14).

d 1 +exp(E) Данный результат совпадает с тем, который получается в Разделяя здесь переменные, можно получить функцию приближении Бете–Пайерлса (БП) [11–13], но совпадеt() в виде интеграла. Тем самым определяется зависиние этим и исчерпывается; температурные зависимости мость P(t) в параметрической форме ( — параметр).

L() и S() ниже c у нас несколько отличаются от БП, в частности, тем, что мы располагаем явной функцией Нетрудно убедиться, что уравнения стохастической динамики для +- -+ функций f, f являются тождествами, вытекающими из (4)–(6). (L). Выше c совпадение кривых с БП полное.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Микрокинетика модели Изинга–Глаубера в бинарном приближении где S 1 L(K - 1) SL = = 1 -.

L 2 (1 + KL)2 - K(1 + L)Эти выражения существенно упрощаются при > c Z --1 = 1 + exp - 1.

Отсюда видно (с учетом(15)), что при =c -1 =0, а при-1 в полном соответствии с законом Кюри–Вейсса.

Можно показать еще, что температурная кривая обратной восприимчивости слева от c идет в 2 раза круче, чем справа. Этот вывод полностью согласуется с предРис. 1. Кривые уравнения состояния при значениях внешнего сказаниями теории Ландау [14].

поля H = 0 (a), 0.2 (b), 1 (c). d — кривая спинодали. Z = 6.

Коснемся теперь вопроса о теплоемкости. При H = энергия системы и теплоемкость C в расчете на один спин (в обычных единицах) даются выражениями И в общем случае, когда H = 0, действуем аналогично:

++ -- +исключая из (4), (5) и (7), приходим к соотношению E =(1/2)Z( f + f - 2 f ) =Z(2S - L - 1/2), L(1 +L)m dE d d 1 + S(L, H, J) =. (16) C = = kZ (2S - L) =kZ, (20) (1 +L)m -(1 -L)m exp(-4JH/Z) dT d d ++ -- +где f + f - 2 f = 1 + 4(S - P) — параметр Разрешим (14) относительно Sближнего порядка. На рис. 2 приведена зависимость функции (), рассчитанная по формулам (16), (17) при S(L, J) = 1 +KL 2K < 1 (при > 1 это просто функция (12)). Видно, что кривая имеет излом в критической точке [12]. Согласно - (1 + KL)2 - K(1 + L)2. (17) (20), это значит, что теплоемкость испытывает скачок при переходе через c. Его относительная величина Здесь для краткости обозначено K = 1 - exp(-4J).

равна C/Cc = 3(Z - 1), причем величина Cc —это Приравнивая (16) и (17), получаем уравнение состотеплоемкость справа от c.

яния ферромагнетика, связывающее, L и H в неявной форме. На рис. 1 приведены результаты численного расчета приведенной температуры /c как функции L.

Видно, что в системе имеет место гистерезис, поскольку при достаточно низких температурах существует три значения намагниченности. Далее будет показано, что одно из них является абсолютно неустойчивым, а другое метастабильным.

Рис. 2. Параметр как функция температуры при Z = 6, H = 0.

3. Магнитная восприимчивость и теплоемкость Разрешим (16) относительно полевого фактора 4. Кинетика неравновесных процессов m -4JH S - L 1+L exp =. (18) Обращаясь к динамическим аспектам задачи, рассмоZ S 1-L трим поведение системы при малых отклонениях от равДифференцируя это по H, получаем для обратной новесия. Представим динамические переменные в виде магнитной восприимчивости -1|H=0 = H/L соотно L = L + x, S = S + y, = + u, где x, y, u —малые шение добавки к равновесным значениям L, S,, и произведем m 4J 1 + L LSL - S 2m(S - L) линеаризацию системы (4), (5) и (7). С учетом (9)–(11) - -1 = +, (19) Z 1 - L S2 S(1 - L)2 получаем + a11x = 0, (21) Знак - перед корнем в (17) выбирается так, чтобы при =1/J получилось S 1/4. + a22y + a21x = 0, (22) Физика твердого тела, 1998, том 40, № 522 В.А. Муравьев, В.М. Воробьев, А.С. Гаревский Смена типа происходит через сложную особую точку типа ”седло–узел”, которая расположена на вершине левой замкнутой петли, разделяющей устойчивые и неустойчивые состояния системы (рис. 1). Формула (23) совместно с (14) определяет область метастабильных состояний, которым соответствуют левые участки петлеобразных кривых на рис. 1. Кривую d, проходящую через вершины петель и отделяющую метастабильную область от абсолютно неустойчивой, можно назвать спинодалью (по аналогии с таким же понятием в теории Рис. 3. Кривые перемагничивания при значениях внешнего твердых растворов [15]). Такая аналогия справедлиполя H = 1 (a), -0.15 (b), -1 (c). Z = 6.

ва в силу изоморфности модели Изинга, позволяющей описывать одинаковым образом как ферромагнетик, так и распадающийся твердый раствор [16]. При этом аналогом магнитного поля является степень отклонения кристалла от стехиометрического состава.

В разделе 1 указывалось на принципиальную возможность решения динамической задачи в квадратурах, однако возникающие здесь интегралы не берутся, и приходится обращаться к численному моделированию. В качестве примера возьмем систему в состоянии спонтанной намагниченности L0 = 0.5 и рассмотрим ее поведение под действием импульса магнитного поля прямоугольной Рис. 4. Динамика ближнего порядка при значениях внешнеформы длительности t0 = 20 (время отсчитывается в го поля H = 1 (a), -0.15 (b), -1 (c). Z = 6.

единицах ). Идущие при этом процессы иллюстрируют рис. 3, 4. Изображенные кривые получены путем совместного численного интегрирования уравнений (8) гдеи (5) относительно функций (t) и (t); выражение для a22 = 2, L(t) вычислялось на каждом шаге по формуле (7).

2(L + 1 - 2S)[(L + 1)(Z +(Z-2)L) -4(Z-1)S] a11 =.

Z(1-L2)2 +4(Z-1)(L + 1 - 2S)(L(1 + L)-2S) Тот факт, что уравнения (21), (22) не содержат u, обусловлен линейной зависимостью u x, вытекающей из (7).

Детерминант коэффициентов данной системы = a11a22, а корни характеристического уравнения 1 = -a11 и 2 = -a22. В этих условиях тип особых точек на фазовой плоскости (L, S), а значит, и характер стационарных решений определяются только знаком a11. Критерий устойчивости стационарного состояния Рис. 5. Динамика дальнего и ближнего порядков в периодичеa11 > 0 приобретает вид ском поле. a — L(t), b — (t). Z = 6, период T0 = 20.

(L + 1) Z +(Z-2)L S <. (23) 4(Z-1) Заметим здесь, что величина /a11 имеет смысл характерного времени релаксации дальнего порядка, которое неограниченно возрастает вблизи c (критическое замедление [14]). При переходе через критическую точку aменяет знак. Вместе с этим изменяется и тип особых точек: при выполнении условия (23) — это устойчивые узлы, в противоположном случае — седловые точки (с угловыми коэффициентами сепаратрис k1 = 0, k2 = 1).

Рис. 6. Динамика дальнего и ближнего порядков в периодичеМы не выписываем коэффициент a21, поскольку для дальнейших целей он не требуется. ском поле. a — L(t), b — (t). Z = 6, период T0 = 10.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Микрокинетика модели Изинга–Глаубера в бинарном приближении Отметим следующие особенности. Характерное время [9] В.М. Воробьев, В.А. Муравьев, В.А. Пантелеев. Изв. АН СССР. Неорган. материалы 18, 11, 1765 (1982).

перемагничивания составляет при выбранной темпера[10] Методы Монте-Карло в статистической физике / Под туре величину 10. Это время, конечно, меняется в ред. Г.И. Марчука и Г.А. Михайлова. Мир, М. (1982). 400 с.

зависимости от стартового значения L0, а значит, и тем[11] Л. Жирифалько. Статистическая физика твердого тела.

пературы, увеличиваясь с приближением к точке Кюри.

Мир, М. (1975). 382 с.

Примечательно и то, что в слабом поле H = -0.[12] С.В. Вонсовский. Магнетизм. Наука, М. (1971). 1173 с.

инверсии намагниченности не происходит, а L(t) лишь [13] Хуанг Керзон. Статистическая механика. Мир, М. (1966).

уменьшается. Это и позволяет говорить о метастабиль520 с.

ности состояний. Интересен и немонотонный ход кривой [14] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая механика.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.