WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Приведенный выше расчет был выполнен для случая приложение, 2). В итоге для коэффициента поглощения бесконечно глубокой квантовой ямы. Влияние конечноаналогично невырожденному случаю получим сти глубины реальной ямы можно учесть в виде малой ng поправки к коэффициенту поглощения. Как легко видеть Wn 4 e2 EB G = =, (15) (см. Приложение, 3), качественно, и даже количественно, NcL n c Eg L все результаты, полученные выше, сохраняются.

где = 1.333 — численный множитель. Отметим, Работа была частично поддержана РФФИ (гранты что поглощение не зависит от частоты падающего све№ 96-02-17952 и 97-02-18151) и Российской госута. Оценка величины поглощения с теми же парадарственной программой ”Физика твердотельных нанометрами, что и для невырожденного случая (только структур” (гранты N 97-0003, 97-1035 и 97-2014).

n = 1012 см-2), дает G 10-1 см-1, т. е. эффект для вырожденной статистики при условии F гораздо слабее, чем для статистики Больцмана при T. Приложение 1. Вычисление интеграла для коэффициента 4. Обсуждение поглощения в случае невырожденной статистики электронов.

Наличие эффекта поглощения света свободным элекИскомый интеграл можно записать в виде тронным газом в случае непараболического закона дис(см. (9)-(11)) персии электронов (1) легко объяснить из качественных соображений. Уравнения движения электронов в поле E W1 = d2q1 d2q2 d2q3 exp[-(q2 + q2)] 1 электромагнитной волны (в дипольном приближении) имеют вид 1 dpi |q1 - q3|2 |q1 - q4| = eE(t) -i Vi j, i = 1..N, (16) dt j (epq3)q2 +(epq4)q2 -(epq1)q2 -(epq2)q3 4 1 где Vi j — потенциальная энергия взаимодействия i-го и [(q1 - q3)(q2 - q3) - C], j-го электронов. В уравнение для суммарного импульса P = pi энергия V не входит:

где = /2mcT, C = mc/, а интегрирование по dP q1, q2 и q3 ведется по всей плоскости. Вначале делаем = eNE(t). (17) dt замену переменных q5 = q3-q1, q6 = q3-q2, q7 = q1+qс якобианом преобразования, равным 1/2. Интегрируем Переходим к фурье-представлению:

в полярных координатах qi = (qi, i), i = 5, 6, 7, где i — угол, отсчитанный от проекции ep орта поляризации eNE P =. (18) света e на плоскость (y, z). Подынтегральное выражение i Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 470 Г.Г. Зегря, В.Е. Перлин симметрично относительно q5 и q6, поэтому можно заме- q2, мы можем преобразовать -функцию в (14) к виду нить множитель (q-1 - q-1)2 на 2(q-2 - q-1q-1). Далее, 5 6 5 5 m после перехода к угловым переменным 5, = 6 - 5, (... ) = [q5(q2 -q1 -q5) -C] 7 интегрирование по q5 (с помощью -функции), по q7, m 5 и 7 производится элементарно. Вводя переменную = [2q5qF sin[(1 - 2)/2] cos 125 - C], x = q2, получим двукратный интеграл:

где 125 =(2 + 1 - )/2 - 5 — угол между векторами q2 - q1 и q5. В том же приближении квадратную скобку 22C exp(C) W1 = dx d в (14) преобразуем к виду 0 [... ] =q5q2 [cos(5 - 21) - cos(5 - 21)].

F C2 exp - + x 4 +.

В получившемся выражении 2 x cos2 cos5+/2 5+3/Интегрирование по осуществляется с помощью mcqF W2 = - dq5 d5 d1 d2qметода дифференцирования по параметру: функция f1() exp(-/ cos2 )/ cos2 d = 2 / exp(-) 0 5-/2 5+/(интеграл здесь берется подстановкой t = tg ) совпада cos(1 - 5) cos(2 - 5) ет, с точностью до знака, с производной по функции f2() exp(-/ cos)d. Интегрируя f1(), [cos(5 - 21) - cos(5 - 22)]находим: f2() = 2 erfc( ). После интегрирования по x с помощью соотношений {2q5qF sin[(1 - 2)/2] cos 125 - C} проводим интегрирование по q5 с помощью -функции, exp - y - ydy = (1 + ), переходим к новым угловым переменным 5, 8 =1-5, 4y 9 = 2 -5, производим элементарное интегрирование по 5 и получаем mcq2 CF exp( - y) erfc dy = W2 =, 2 y где введена числовая константа получим окончательный результат:

/2 3/273m4T4 c = - 2 d8 dW1 = 1 +.

2T -/2 /2. Вычисление интеграла для коэффициента cos 8 cos 9[1 - cos 2(8 - 9)] = 1.333.

поглощения в случае вырожденной статистики (cos 8 - cos 9)электронов.

3. Учет конечности глубины квантовой ямы.

Винтеграле из (14) (обозначим его через W2) сделаем Пусть квантовая яма имеет конечную глубину U.

замену переменных q1, q2, q3 q1, q2, q5 = q3 - q1.

Будем вычислять интеграл, используя полярные коор- Тогда волновая функция электрона на нижнем уровне в этой яме имеет вид динаты qi = (qi, i), i = 1, 2, 5 с осью, направленной вдоль орта ep. В области интегрирования величины q C exp(x), x < 0, и q2 близки к qF, а q5 много меньше qF. Вычисления будем проводить в 1-м порядке по q5/qF. Угол (x) = B sin(kx + ), 0 < x < a, 5 принимает все значения от 0 до 2. При заданном C exp[(a - x)], x > a.

малом переданном импульсе q5, из условия нахождения импульсов q1 и q2 внутри окружности Ферми, а импульсов q3 = q1 + q5 и q4 = q2 - q5 — вне ее, легко В случае бесконечной ямы B = 2/a, C = 0, получить область интегрирования по q1 и q2. Угол 1 k = /a, = 0. Поправки к этим веизменяется от 5 -/2до 5 +/2, а угол 2 от 5 +/2 личинам в низших порядках по малому параметру до 5 + 3/2. В 1-м порядке по интегрирование по 0 = 2 /mcUa2 (для обычных полупроводниковых q1 и q2 можно заменить подстановкой в подынтеграль- гетероструктур a 10-6 см, U 0.3эВ, mc 10-28 г, ное выражение qF вместо q1 и q2 и его умножением параметр 0 0.2 можно считать малым) найдем на длину отрезков интегрирования q5 cos(1 - 5) и с помощью известных уравнений для прямоугольной -q5 cos(2 - 5). Пренебрегая членами, содержащими квантовой ямы ka = n - 2 arcsin k2/2mcU, (n = 1) Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Внутризонное поглощение света в квантовых ямах за счет электрон-электронных столкновений и sin = k/2mcU, граничных условий в точках x = 0, a и условия нормировки волновой функции.

Получим, пренебрегая всеми членами разложения по 0, 3 2 начиная с 0: k = (1 - 0 + 0 )/a, = (0 - 0)/2, B2 = 2(1 - 0 + 0 )/a, C = 0B. В данной работе явный вид волновой функции движения электрона по оси x используется только при вычислении интеграла J(qp) (7). Проведя громоздкое интегрирование и упростив ответ аналогично тому, как это было сделано с (7), получим, что кулоновский матричный элемент (8) в низшем порядке по 0 умножается на (1 - 0 ). Таким образом, влияние конечности ямы на коэффициент поглощения описывается просто умножением его на 2 (1 - 0 )2 = (1 - 20 ). Теперь формулы (12) и (15) можно переписать в виде n2g Wn 2103 4 e2 T2 EB G = = LNc n L c ( )2 ( ) 5 4 1 + 1-exp - 1 2T T mcUaдля невырожденного случая, и 4 e2 EB ng 4 G = 1 n c Eg L mcUaдля вырожденного случая.

Список литературы [1] L.E. Vorobiev, S.N. Danilov et al. 23rd Int. Conf. on the Physycs of Semiconductors (Berlin, Germany, 1996) v. 3, p. 1887.

[2] В.Л. Гуревич, Д.А. Паршин, К.Э. Штенгель. ФТТ, 30, (1988).

[3] К. Зеегер. Физика полупроводников (М., Мир, 1977) с. 445.

[4] E.O. Kane. J. Phys. Chem. Sol., 1, 249 (1957).

Редактор Л.В. Шаронова Interband light absorption in quantum wells at the expense of electron-electron collisions G.G. Zegrya, V.E. Perlin A.F.Ioffe Physicotechnical Institute, Russian Academy of Sciences, 194021 St.Petersburg, Russia Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, №

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.