WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 4 Внутризонное поглощение света в квантовых ямах за счет электрон-электронных столкновений © Г.Г. Зегря, В.Е. Перлин Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 22 июля 1997 г. Принята к печати 27 июля 1997 г.) Показано, что вследствие непараболичности зон в полупроводниковом материале с квантовыми ямами возможно внутризонное поглощение длинноволнового излучения за счет кулоновского взаимодействия электронов. Для предельных случаев невырожденного и сильно вырожденного двумерного электронного газа найдены аналитические выражения для коэффициентов поглощения. При больших концентрациях носителей рассматриваемое поглощение может оказаться более существенным, чем поглощение, обусловленное электрон-фононным взаимодействием.

1. Введение плоскости (y, z), а — параметр модели Кейна, пропорциональный матричному элементу оператора импульса В настоящее время широко изучаются физические между состояниями валентной зоны и зоны проводипроцессы в полупроводниковых гетероструктурах с кван- мости. Будем считать, что заполнена только нижняя товыми ямами. Многочисленные эксперименты показы- подзона размерного квантования, поэтому k = /a.

вают наличие в таких системах сильного поглощения Разложив энергию Ec(q) по степеням q при малых q и излучения, энергия квантов которого ( 15мэВ) заменив qy,z на py,z/, запишем оператор кинетической меньше расстояния между подзонами размерного кван- энергии движения электрона в плоскости (y, z) в виде тования [1]. Такое излучение может поглощаться только 4 p2 за счет внутризонных и, следовательно, непрямых пере T = - Egp4. (1) 2mc Eg ходов. Для одновременного выполнения законов сохранения энергии и импульса в таких переходах электрон, Здесь mc — эффективная масса электрона в зоне провопоглотивший фотон, должен рассеяться на какой-нибудь димости, которую легко выразить через, Eg, k. Слагаетретьей частице. В литературе рассматриваются в основмое, пропорциональное p4, дает поправку к квадратично ном внутризонные переходы с рассеянием на фононах му зaкону дисперсии. Ее малость определяется малостью или с участием примесей [2,3]. В данной работе мы распараметра qT /Eg 1, где qT = 2mcT / — хараксматриваем новый механизм внутриподзонного поглотерная величина вонового вектора электрона в случае щения на свободном электронном газе, обусловленный невырожденного электронного газа. Если газ вырожден, электрон-электронным рассеянием. В случае квадратичто qT надо заменить здесь на импульс Ферми qF. Будем ного закона дисперсии в подзоне этот механизм поглощерешать задачу о нахождении коэффициента поглощения ния не реализуется, для его расчета необходимо учитыв 1-м порядке по непараболичности. Нетрудно показать, вать непараболичность спектра электронов, связанную с что в этом случае ее надо учесть только в операторе взаимодействием зоны проводимости и валентной зоны.

Vopt взаимодействия электронов с полем фотонов, а влиПри больших концентрациях носителей заряда механизм янием непараболичности на волновые функции можно поглощения за счет электрон-электронных столкновений пренебречь.

может оказаться более эффективным, чем фононный или Волновая функция электрона в основном состоя примесный механизм.

нии в яме равна q(r) = (1/ S)eiqx(x), где — радиус-вектор в плоскости ямы, r = (x, ), x(x) = 2/a sin kx в яме, x(x) = 0 вне ямы — 2. Матричные элементы переходов волновая функция движения по оси x. Здесь использована нормировка ”в ящике” площадью S. ВолПусть полупроводниковая структура, неограниченная новая функция системы из двух электронов равна и однородная в плоскости (y, z), содержит бесконечq1,q2(r1, r2)=(1/ 2)[q1(r1)q2(r2) - q1(r2)q2(r1)].

но глубокую квантовую яму с потенциалом (в зоне Найдем матричный элемент взаимодействия этой систепроводимости) U(x) = 0 в интервале x [0, a] и мы с полем фотонов A(r, t). Для этого в гамильтониане U(x) = вне этого интервала (a — ширина ямы).

заменяем p на p+(e/c)A и, учитывая только линейные по Энергия электрона в зоне проводимости, отсчитанная от полю члены (отвечающие однофотонному поглощению), середины запрещенной зоны Eg, вычисляется в рамках получаем оператор взаимодействия модели Кейна [4]:

e Vopt = A(r1, t)p1 + A(r2, t)pcmc Ec =(k, q) = (Eg/2)2 +2(k2 +q2), 4eгде k — волновое число движения вдоль оси x, 1 - A(r1, t)p3 + A(r2, t)p3. (2) 3 q =(qy, qz) — волновой вектор свободного движения в cEg Внутризонное поглощение света в квантовых ямах за счет электрон-электронных столкновений Для плоской монохроматической волны вектор-потен- где qp = q1 - q4 = q3 - q2 — переданный при циал A(r, t) =A0e exp[i(r - t)], где A0 — амплитуда, кулоновском рассеянии импульс, а связанная с объемной концентрацией фотонов N соотно шением A2 = 2N c2/n2 (n — показатель преломле- J(qp) = dq dx |x(x)|2 eiqx q2 + q- p ния среды на частоте ), и =(x, p) — частота и волновой вектор света, e =(ex, ep) — орт поляризации.

1 4 2a = (qpa - 1 + e-qpa) + При выводе (2) мы воспользовались калибровкой Ландау 2a2 q3 4k2 +qp p = 0, div A = 0. Вычислим матричный элемент между начальным состоянием i =q1,q2 и конечным состоя2(4k2 -q2)(1 - e-qpa) 6(1 - e-qpa) p нием f =q3,q4. При интегрировании по x возникает + +. (7) (4k2 + q2)2qp (4k2 + q2)qp p p интеграл вида eixx|x(x)|2dx. Его можно считать равным 1, так как волновой вектор фотона x 104 см-1 Интеграл V2 находится аналогично V1. Множитель [J(|q1 -q3|)-J(|q2 -q3|)] в выражении для кулоновского много меньше, чем 1/a 106 см-1, и экспонента в матричного элемента, равного (V2 - V1), можно сильно интеграле равна единице. Интегрирование в плоскости упростить. Переданный импульс qp по порядку величины (y, z) дает -символы Кронекера. В итоге матричный равен тепловому импульсу qT (в случае больцмановэлемент взаимодействия электронов с фотонами равен ской статистики). При комнатной температуре величина qT 106 см-1. В случае вырожденной статистики все e Vopt,i f =(-i)e-it A0 [ep(q3 + q4)] импульсы сравнимы с импульсом Ферми qF, который cmc имеет такой же порядок величины. Для достаточно узкой квантовой ямы a 100, величина qpa оказывается - b0(epq3)q2 - b0(epq4)q3 меньшей или порядка единицы, и этот множитель можно с хорошей точностью, тем большей, чем меньше a, (q1q3q2q4 - q2q3q1q4), (3) аппроксимировать разностью (|q1 -q3|-1 -|q2 -q3|-1).

Тогда кулоновский матричный элемент можно записать 2 где b0 = 4mc4/ Eg.

в виде Найдем теперь матричный элемент электрон-элект(2)3eронного взаимодействия. Оператор взаимодействия раVee,i f = (q1 + q2 - q3 - q4) S вен Vee = e2/( |r1 - r2|), где — диэлектрическая проницаемость среды. Матричный элемент между со1 -. (8) стояниями i = q1,q2 и f = q3,q4, описываемыми |q1 - q3| |q1 - q4| антисимметричными волновыми функциями, имеет вид Здесь -функция выражает закон сохранения импульса при столкновении двух электронов.

Vee, i f = V2 - V1, 3. Вычисление коэффициента где поглощения eV1 = (r1)4(r1) (r2)3(r2)d3r1d3r2, Рассматриваемый процесс поглощения за счет элект1 |r1-r2| рон-электронных столкновений рассчитывается во 2-м порядке теории возмущений. Число переходов системы двух электронов в единицу времени на единице площади eV2 = (r1)3(r1) (r2)4(r2)d3r1d3r2 (4) равно 1 |r1-r2| 1 2 Vopt,i mVee,mf Vee,i mVopt,mf W = + (здесь для простоты пишем qi =i). Для вычисления S m - i - m - i i, f m этих интегралов перейдем к фурье-представлению. Тогда для V1 получим (f -i- ) f (q1) f (q2)[1- f (q3)][1- f (q4)] 4e2 I14(q)I23(-q) V1 = d3q, (5) - f (q3) f (q4)[1 - f (q1)][1 - f (q2)]. (9) (2)3 qЗдесь производится суммирование по всем начальным, где Ii j(q) = (r)j(r)eiqrd3r. Подставив сюда явные i конечным и промежуточным состояниям частиц — выражения для волновых функций, получим i = q1,q2, f = q3,q4 и m = qm1,qm2, S — площадь гетороперехода, i, f, m — энергии, f (qj), j = 1, 2, 3, 4 — вероятности заполнения электронами 4e2 (2)V1 = (q1 + q2 - q3 - q4)J(|qp|), (6) соответствующих состояний.

(2)3 S6 Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 468 Г.Г. Зегря, В.Е. Перлин Из вида матричного элемента Vopt,i m(mf ) (3) следует, найденного выше числа переходов на единице площади что он принимает ненулевые значения только для че- делением на L. Таким образом для коэффициента поглотырех промежуточных состояний, совпадающих, с точ- щения получим ностью до перестановки индексов, с начальным или Wn 2103 n2g e2 T2 EB конечным состоянием. Легко видеть, что при суммироG = = LNc n L c ( )2 ( ) вании по ним вследствие закона сохранения импульса q1 + q2 = q3 + q4 слагаемые, не содержащие коэффициента b0, описывающего непараболичность спектра, 1 + 1-exp -, (12) 2T T сокращаются. Это означает, что в случае квадратичного 2 закона дисперсии рассматриваемый механизм поглощегде g = / 2mcEg, а EB = mce4/2 — боровская ния не реализуется. Составной матричный элемент проэнергия для электрона в кристалле. Здесь мы учли, порционален коэффициенту b0:

что Eg/2mc, а b0 = 2g (см (3)). Для оценки величины поглощения выберем типичные пара2 (2)2e4 e метры стандартных полупроводников, например GaAs:

|M|2 = (... ) =4A2b0 S4 mcc ( )2 показатель преломления n = 3.5, статическая диэлекm трическая проницаемость = 10, эффективная масса электрона в зоне проводимости mc = 0.1m0 = 10-28 г, 1 - (q1 +q2-q3-q4)температура комнатная T = 0.026 эВ, энергия кван|q1-q3| |q2-q3| та света = 3 · 10-3 эВ, двумерная концентрация электронов в квантовой яме n = 1011 см-2, ширина (epq3)q2+(epq4)q2 - (epq1)q2-(epq2)q2. (10) 3 4 1 запрещенной зоны Eg 1.6 эВ, расстояние между ямами L = 10-4 см. Подставляя эти значения в (12), получим Рассмотрим два предельных случая распределения оценку G 1см-1.

электронов по состояниям.

2. Сильно вырожденный электронный газ. Если 1. Невырожденный электронный газ. В этом энергия квантов света много меньше энергии Ферми случае числа заполнения будем считать малыми, F = 2 n/mc, то все переходы электронов, связанные f (qj) = (2n /mcT ) exp(-q2/2mcT ) 1, и произвеj с поглощением этого света, должны происходить вблизи дениями, содержащими не больше двух из них, в (9) уровня Ферми. Если величина ”размытости” распремы пренебрежем. Соответствующая скобка в (9) еще деления Ферми–Дирака T много меньше энергии упрощается, если воспользоваться законом сохранения переходов, то при их рассмотрении это распредеэнергии q2/2mc + q2/2mc - q2/2mc - q2/2mc = :

3 4 1 ление можно заменить на ”ступеньку”: f (q) = 1 при e q < qF = 2 n и f (q) = 0 при q > qF. Условие 4n {... } = f (q1)f (q2)- f (q3)f (q4) = T F для фотонов с энергией порядка не2mcT скольких мэВ выполняется, например, при концентрации электронов n = 1012 см-2 при гелиевых температурах.

(q2 + q2) - 1 exp 1-exp. (11) Будем решать задачу о нахождении коэффициента 2mcT T поглощения в низшем порядке по малому параметру = /F. При поглощении фотона два электрона, Переходим в выражении (9) от суммирования по нарассеиваясь друг на друге, переходят из состояний 1 и чальным и конечным импульсам к интегрированию 2 в узком слое толщиной порядка qF внутри Ферми [S/(2)2] d2qj. При этом интегрирование по qj поверхности в состояния, соответственно, 3 и 4, в таком q4 можно выполнить с помощью одной из -функций же узком слое снаружи от нее. При этом возможны два из (10), вторую из них заменяем на -символ Кронекера:

случая: 1) переданный импульс q5 = q3 - q1 = q2 - q(q1 + q2 - q3 - q4) =[S/(2)2]q1+q2,q3+q4 =S/(2)2.

мал по сравнению с qF (q5 qF); 2) переданный Получается шестикратный интеграл, который можно импульс q5 не мал по сравнению с qF, при этом закон вычислить аналитически (см. Приложение 1).

сохранения импульса требует, чтобы импульсы q1 и qКоэффициент поглощения G равен числу переходов были почти противоположными |q1 + q2| qF. В в единице объема вещества, деленному на плотность случае 1 q5 — малая величина 1-го порядка по ; все потока фотонов Nv = Nc/n. Для одинарной квантовой остальные импульсы q1,2,3,4,, q6 = |q3 - q2| сравнимы с ямы понятие о коэффициенте поглощения бессмысленно, qF. В случае 2 q5 тоже сравним с qF. В выражение для так как эксперементально определяемый коэффициент вероятности перехода (9) входит квадрат кулоновского пропускания [1 - exp(-aG)] практически не отличим матричного элемента (8):

от единицы. Поэтому для наблюдения поглощения в двумерных системах имеет смысл в качестве образца 1 1 1 2 Vee,i f - = - +. (13) брать многослойную структуру из большого числа по|q3 - q1| |q3-q2| q2 q5q6 qглощающих слоев (квантовых ям), чередующихся с прозрачными слоями. Если период такой структуры равен В случае 1 второе и третье слагаемые в (13), пропорциL, то число переходов в единице объема получается из ональные -1 и 0 соответственно, малы по сравнению Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Внутризонное поглощение света в квантовых ямах за счет электрон-электронных столкновений с первым, пропорциональным -2, и ими можно прене- Полный ток электронов j = en vi = E. В слубречь. В случае 2 все три слагаемых имеют порядок 0, чае параболической зоны vi = P/mc и проводии нетрудно показать, что вклад переходов с большим мость оказывается чисто мнимой, а это означает, переданным импульсом в общее число переходов мал что поглощения нет. В случае закона дисперсии (1) 3 (2-го порядка по ). Таким образом, в низшем по vi = P/mc +(44/Eg ) p3. Наличие слагаемого, i порядке нужно учесть только первое слагаемое из пропорционального сумме кубов импульсов, и обуслослучая 1, и число переходов (9) равно вливает возможность поглощения.

В случае больцмановского распределения электро4A2b2e4 e нов поглощение за счет электрон-электронного взаи0 W = d2q1 d2q2 d2qмодействия оказывается довольно сильным и несколько (2)3 ( )2 mcc большим, чем электрон-фононное (см. [2]). Уменьшение его в 10 раз при переходе к сильно вырожденному q2(q3e) +q2(q4e) |q3 - q1|2 газу объясняется тем, что при условии EF только небольшая доля электронов может участвовать в поглощении. При этом зависимость коэффициента -q2(q1e) -q2(q2e) (f -i - ). (14) 1 поглощения от концентрации электронов переходит от квадратичной для невырожденного газа до линейной для Переход от суммирования в (9) к интегрированию и сильно вырожденного. В реальной ситуации ни один из интегрированию по q4 проведены так же, как в невырассмотренных предельных случаев может не реализорожденном случае. В (14) интегрирование производится вываться, и коэффициент поглощения будет принимать по всем возможным конфигурациям с малым передансредние значения.

ным при кулоновском взаимодействии импульсом (см.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.