WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Подставляя волновую функцию частицы в области 2 (4) Из (11)–(13) следует, что координатную зависимость в (9), получим от x в выражении для jx (x) имеют все члены, содержащие произведения функций n(z )t(z ) с n = t, jx (x, z ) = CnCt n(z )t(z ) 2m n,t т. е. второй член в (11) и суммы (12), (13). Отметим принципиально различное поведение jx1, содержащего (kn + kt ) exp[i(kn - kt )x]. (10) члены с действительными k, и слагаемых jx2 и jx3, содержащих члены с мнимыми k, при увеличении x.

Для дальнейшего анализа удобно разбить (10) на сумму Как следует из (11)–(13), jx2 и jx3 экспоненциально трех членов jx = jx1 + jx2 + jx3, где выделены суммы затухают при x, тогда как jx1 осциллирует в по различным комбинациям действительных и мнимых этой области изменения x. При этом полный поток волновых векторов k. В рассматриваемой нами модели плотности вероятности вдоль оси x Jx = jx (x, z )dz КЯ с бесконечно высокими потенциальными барьерами (а значит, и полный квантово-механический ток) вследпри заданной энергии падающего электрона E в областвие ортонормированности функций {n(z )} не имеет сти 2 существует конечное число N нижних подзон с координатной зависимости от x, так как в (10) остаются действительными k, а все вышележащие подзоны имеют только члены с n = t. При этом члены, соответствующие мнимые волновые векторы. Выделим первое слагаемое подзонам с En,t > E и мнимыми kn,t, равны нулю и Jx jx1 в (10), учитывая в нем суммирование только по N определяется выражением подзонам с действительными k и предполагая комплексность как Cn, так и n(z ):

e Jx = |Cn|2kn. (14) m n N jx1(x, z ) = |Cn|2|n(z )|2kn В (14) суммирование проводится только по подзонам m n=1,n=t с En < E, т. е. по всем подзонам в области 2 с дейN ствительными kn, по которым происходит незатухающее + CnCt n(z )t(z )(kn + kt) exp[i(kn - kt)x].

распространение электронных волн. Отметим, что кон2m n,t=1; n =t дактанс структуры G также не зависит от x. Из выра(11) жений (11)-(13) следует, что координатная зависимость Если в системе уравнений для определения коэффициjx (x, z ) возникает из-за интерференционных членов с ентов Cn (7), (8) ограничиться только уравнениями с n = t в выражении (10). Очевидно, что для возникно действительными k, то все Cn будут действительными.

вения такой зависимости необходимо, как минимум, При включении в расчет подзон с мнимыми k коэффиналичие двух подзон с незатухающим распространециенты Cn становятся комплексными. Далее при анализе нием электронных волн в области 2. Таким образом, других слагаемых в (10) учтем, что в рассматриваемой выражение (10) совместно с найденными из решения нами задаче n(z ) действительны. Представим чисто уравнений (1), (2) собственными функциями i(z ) и мнимые k в виде k = iIm(k ), а комплексные коэфj j n(z ), а также определенными из решения системы (7), фициенты C в виде C = C + iC, где C = Re(C ), j j j1 j2 j1 j (8) коэффициентами B и Cn дает полное решение j C = Im(C ). Здесь Re(C ), Im(C ) иIm(k ) —реальная j2 j j j j задачи о распределении плотности потока вероятности часть C и мнимые части C и k соответственно.

j j j jx (x, z ) (или квантово-механической плотности тока) в Тогда выражение для jx2, в котором суммирование области 2.

ведется по индексам, соответствующим действительным Исследуем подробнее координатную зависимость и мнимым k (перекрестные члены), имеет вид jx1(x, z ) в (11), не содержающую затухающих членов с мнимыми k. Легко видеть, что если все разности N jx2(x, z ) = n(z )t (z ) [(Cn1Ct1 + Cn2Ct2)kt (kn - kt) в показателе экспоненты второго члена в m t=1 n=N+сумме (11) могут быть представлены одновременно для всех n и t в виде +(Cn1Ct2 - Cn2Ct1)Im(kn)] cos(ktx) (kn - kt) =pn,t, (15) +[(Cn1Ct1 + Cn2Ct2)Im(kn) - (Cn1Ct2 - Cn2Ct1)kt] где pn,t — целое число, то jx1(X1, z ) = jx1(x = 0, z ) sin(ktx) exp[-Im(kn)x]. (12) для поперечного сечения при X1 = 2/| |. В этом Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 440 В.А. Петров, А.В. Никитин идеальном случае поперечный профиль jx1(x = 0, z ) подзонам с нечетными m (четные решения) в уравненипо оси z, существующий на входе области 2 в точ- ях (7), (8) отличны от нуля только коэффициенты Cn,t ке x = 0, будет точно воспроизводиться в сечениях при нечетных t и n. Для четных m (нечетные решения) Xp = pX1 (p = 1, 2,...). Очевидно, что это условие в отличны от нуля только Cn,t для нечетных t и n. Поэтому общем случае точно не выполняется из-за корневых в симметричной структуре синфазные сечения следуют зависимостей kn и kt от En и Et. Однако такая ситу- в 2 раза чаще, чем в несимметричной:

ация может быть приближенно реализована в случае, X1 =(2/0)[(E - Ey )/2m]1/2. (18) когда в области 2 кинетическая энергия частицы вдоль оси x существенно больше энергий доньев квантовоТаким образом, в сделанных приближениях распределеразмерных подзон, по которым происходит незатухаюние незатухающей части плотности потока вероятности щее распространение электронных волн в этой области, jx1(0, z ) (или плотности квантово-механического тока) т. е. Ex En,t. Действительно, раскладывая в ряд kn,t по на входе параболической КЯ2 будет воспроизводиться малому параметру En,t/Ex 1 и ограничиваясь вторым в синфазных сечениях в точках pX1. В пренебрежении членом разложения, имеем затухающими членами jx2 (12) и jx3 (13) полная плотность потока jx jx1 и начальное распределение j(0, z ) (kn - kt) (m/2Ex )1/2(Et - En)/. (16) будет далее воспроизводиться в этих же сечениях.

В этом случае для ряда наноструктур определенного типа, когда разности (Et - En) пропорциональны целым 3. Результаты расчета и обсуждение числам, т. е. (kn - kt) может быть представлена в виде (15), в сделанных приближениях возможны эффекты В этом разделе мы приводим результаты численного повторения для jx1.

расчета эффектов пространственного повторения для Все такие 2D наноструктуры имеют общую особен- jx (x, z ) в 2D наноструктуре с конкретными параметность. Они представляют собой последовательно рас- рами. Мы рассмотрели задачу о рассеянии монохромаположенные вдоль оси x две КЯ существенно разной тической электронной волны, распространяющейся из эффективной ширины. В дальнейшем мы рассмотрим си- узкой прямоугольной КЯ1 (ширина a = 50) по нижней туацию, когда из узкой прямоугольной КЯ1 (область 1) квантово-размерной подзоне (m = 1), на ступенчатом в широкую КЯ2 параболического профиля (область 2) переходе узкая КЯ1 - широкая КЯ2 параболического распространяется монохроматическая электронная вол- профиля для двух 2D наноструктур с параметрами GaAs на, у которой Ey = 0, т. е. полная кинетическая энергия (m = 0.067m0, m0 — масса свободного электрона) — частицы E = Ex. Интересующие нас эффекты интерфе- симметричной по оси z (рис. 1, a) и несимметричной, ренции происходят в широкой КЯ2. В настоящей работе когда ось симметрии узкой КЯ1 смещена относительно мы рассмотрим две наноструктуры на основе последо- оси симметрии широкой КЯ2 на 34.8 нм.

вательности таких двух КЯ: симметричную (рис. 1, a) и Расчет сделан в модели КЯ с бесконечно высокими несимметричную (рис. 1, b) наноструктуры. На рис. 1, c стенками. В обоих случаях энергия частицы, отсчитанприведены энергетические диаграммы этих структур. ная от дна зоны проводимости Ec в массивном полупроВ настоящее время параболические квантовые ямы в воднике, составляла 270 мэВ, что соответствовало кинетической энергии частицы в КЯ1 для первой подзоны 2D наноструктурах экспериментально реализованы и в (1) (1) них исследуются различные физические эффекты. В при- Ex1 = 45.5 мэВ при Ey1 = 0 (энергия доньев двух нижближении бесконечно высоких потенциальных стенок (1) (1) них подзон в КЯ2 E1 = 224.5 мэВ и E2 = 898.0мэВ).

собственными функциями частицы в параболической Так как движение по оси y в рассматриваемых струкКЯ2 являются функции гармонического осциллятора, (2) турах отделяется, то в КЯ2 Ey,n = 0. Расстояния между а квантованная по оси z часть электронного спектра доньями квантово-размерных подзон в параболической 2 частицы с потенциалом U2(z ) =m0z /2 в уравнеКЯ2 в силу эквидистантности спектра были одинаковыми нии (2) имеет вид: En = 0(n + 1/2), где n = 0, 1, 2,....

и принимались при расчете равными 21 мэВ. При этом Частота 0 =(K/m)1/2 определяется кривизной пакинетическая энергия частицы в КЯ2 для первой подраболы K, зависящей от параметров наноструктуры.

(2) зоны Ex1 = 259.5 мэВ и уменьшалась с ростом номера В этом случае в (16) разность Et - En = 0(t - n), где подзоны. Для структур с такими параметрами в узкой (t - n) — всегда целое число, и профиль начального КЯ1 в рамках рассмотренной модели существует только распределения jx1(0, z ) на входе параболической ямы повторяется в ней на оси x в точках Xp = pX1, где X1 одна нижняя подзона с действительными k, тогда как в КЯ2 при выбранной энергии частицы незатухающее задается выражением распространение электронных волн возможно по подзонам с действительными kxn. На рис. 1, c приведены X1 =(4/0)[(E - Ey)/2m]1/2. (17) энергетические диаграммы для узкой и широкой КЯ, Для симметричной по оси z наноструктуры, когда соб- которые одинаковы для симметричной и асимметричной ственные функции в областях 1 и 2 можно классифи- наноструктур. Здесь и далее вся необходимая информацировать по четности, при падении частицы из КЯ1 по ция содержится в подписях к рисункам.

Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. Эффекты пространственной повторяемости при интерференции электронных волн... Рис. 2. Пространственное распределение нормированной плотности потока вероятности jx (x, z )/ jx(0, 0) в параболической КЯдля симметричной 2D наноструктуры с параметрами GaAs, демонстрирующее в приближении действительных и разложенных kx эффект повторения в сечении при x = X1 (a) и модификацию этого эффекта в несимметричной 2D наноструктуре (b). c — зависимости коэффициентов отражения от энергии R1(E) частицы, падающей и отражающейся по нижнему квантово-размерному (1) (1) уровню в КЯ1 для симметричной и несимметричной структур в интервале энергий E1 < E < E2. d — зависимости отношений |Cn|2/|C1|2 для симметричной и |Cn|2/|C13|2 для несимметричной 2D наноструктур от номера подзоны n в параболической КЯ2. Величины |Cn|2 определяют степени заселенности подзон в КЯ2. a = 50 (КЯ1), расстояние между доньями подзон в параболической КЯ2 0 = 21 мэВ.

В результате решения системы уравнений (7), (8), ных и действительных kx для обеих структур. На рис. включающей одну подзону с действительными k x j и приведены пространственные распределения нормиро20 подзон с мнимыми квазимпульсами в КЯ1, а также ванной плотности потока вероятности jx (x, z )/ jx (0, 0) 13 подзон с действительными (индексация подзон в в широкой КЯ2 в плоскости x-z для симметричной 2D наноструктуры, демонстрирующие в этих приближениях параболической яме начинается с n = 0) и 8 подзон с эффект повторения в сечении при x = X1 (рис. 2, a) и его мнимыми kxn в КЯ2, мы получили коэффициенты B и Cn j модификацию в несимметричной структуре (рис. 2, b).

для симметричной и несимметричной 2D наноструктур.

На рис. 2, c приведены зависимости коэффициентов Ограничение таким числом уравнений в системе (7), отражения R1(E) от энергии частицы, падающей и от(8) было связано с тем, что дальнейшее увеличение ражающейся по нижнему квантово-размерному уровню числа уравнений практически не влияло не величины в узкой КЯ1, для симметричной и несимметричной коэффициентов.

(1) (1) В этом приближении мы рассчитали простран- структур в интервале энергий E1 < E < E2. Энергия ственное распределение плотности потока вероятности на рис. 2, c отсчитывается от дна зоны проводимости Ec jx (x, z ) в параболической КЯ2 в приближении разложен- в массивном полупроводнике. Расчет показывает, что Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 442 В.А. Петров, А.В. Никитин коэффициенты отражения для симметричной и несимметричной структур в интересующем нас диапазоне кинетической энергии частицы малы, R1(E) 0.1. (Это позволяет в принципе, пренебрегая в уравнениях (7), (8) слагаемыми, содержащими коэффициенты отражения, получить все основные особенности координатной зависимости jx (x, z ), существенно упростив вычисления).

Мы исследовали также зависимости вероятностей |Cn|обнаружения частицы в подзоне n в широкой КЯ2 от номера подзоны для симметричной и несимметричной наноструктур. Приведенные на рис. 2, d зависимости нормированной вероятности |Cn|2/|C1|2 для симметричной и |Cn|2/|C13|2 для несимметричной 2D структур от номера подзоны n в параболической КЯ2 различны для этих случаев. В симметричной структуре отличные от нуля |Cn|2 монотонно уменьшаются с ростом номера подзоны, что обусловлено уменьшением при увеличении номера n отличных от нуля интегралов перекрытий между зависящей от z поперечной волновой функцией Рис. 3. Топограммы пространственного распределения в плосчастицы в нижней подзоне узкой КЯ1 и собственными кости (x-z ) нормированной плотности потока вероятности функциями подзон в широкой КЯ2. Напомним, что в jx (x, z )/ jx(0, 0) в параболической КЯ2 для симметричной (a) и несимметричной (b) структур. Ось симметрии узкой симметричной структуре при рассматриваемом нами КЯ1 смещена от оси симметрии структуры на z = 348.

падении волны по первой подзоне из узкой КЯ1 (четная Значения 1.0 — амплитуды пиков в относительных единицах.

поперечная волновая функция) коэффициенты Cn для Расчет в приближении действительных и разложенных kx. a:

подзон с другой четностью в широкой КЯ2 равны убывающие по толщине линии — сечения на высотах 0.8, 0.5, нулю. Однако для несимметричной структуры ситуация 0.2 и 0.1 соответственно. b: убывающие по толщине линии — другая: наблюдается инверсное поведение вероятностей сечения на высотах 0.8, 0.5 и 0.3.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.