WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 3 Захват электронов на примесь в полупроводниках, определяемый пространственной диффузией © В.Д. Каган Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: victor.kagan@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 12 июля 2004 г.) Испуская или поглощая фононы, электроны в полупроводнике захватываются полем заряженной примеси или ионизуются из захваченного состояния. Процесс захвата определяется изменением электронной функции распределения как в импульсном, так и в координатном пространстве. Вычисляется коэффициент захвата в тех условиях, когда он определяется диффузионным перераспределением электронной плотности в поле заряженной примеси.

Работа поддержана грантом НШ-2242.2003.2.

Примеси в полупроводнике являются поставщиками распределения как в импульсном, так и в координатном электронов в зону проводимости, и концентрация элек- пространстве. Изменение в координатном пространстве тронов проводимости определяется балансом процессов представляет собой пространственную диффузию. В назахвата электронов в связанное состояние на примеси стоящей работе мы определим условия, при которых и освобождения из этого состояния. Уравнение баланса этой диффузией можно пренебрегать, и проведем вычисдля изменения концентрации электронов ne ление коэффициентов ионизации и захвата в условиях, когда пространственная диффузия играет такую же суdne = kinim - krnimne + G (1) щественную роль, как и энергетическая релаксация.

dt Релаксация энергии в полупроводниках происходит включает члены ионизации и захвата на примесь с в процессе электрон-фононных столкновений. Будем концентрацией nim — коэффициенты ионизации ki и рассматривать не очень малые температуры, когда захвата kr — и член генерации G. Коэффициенты T 3ms2, где T — температура в энергетических этого феноменологического уравнения должны опредеединицах, s — скорость звука. И для свободных, и для ляться микроскопической кинетической теорией, послезахваченных электронов учет координатной зависимости довательный вариант которой был развит недавно в нужен для частиц тепловых энергий, поэтому для таких работе автора [1]. В ней впервые получено кинетичечастиц запишем обычные кинетические уравнения без ское уравнение, включающее процессы перехода между слагаемых, описывающих переходы между свободными свободными и связанными состояниями электрона на и захваченными частицами. Эти слагаемые нам потребупримеси, из которого выведено уравнение (1). Таким ются позднее для вычисления коэффициентов ионизации образом, было проведено микроскопическое вычисление и захвата.

коэффициентов ki, kr.

У функции распределения свободных электронов, на Однако рассмотрение в [1] было проведено при одном существенном предположении, а именно: что функ- которую действует силовое поле выделенной примеси, ци распределения свободных и захваченных электро- находящейся в начале координат, основная часть зависит (1,2) нов f зависят только от полной энергии электрона E. от полной энергии и радиуса r, составляющего расстоПри классическом описании движения электрона полная яние между электроном и примесью: f (r, E). Имеется энергия является суммой кинетической энергии p, за- еще малая токовая часть висящей от импульса p, и потенциальной энергии U(r), p f (r, E) = (p) f (r, E) -U(r) f (r, E)/E. (3) зависящей от координаты r, m pЗдесь (p) — время релаксации импульса. Для функции E = p + U(r), p =. (2) 2m распределения f (r, E) получаем усредненное по углоЗдесь m — эффективная масса электрона; для заря- вым переменным кинетическое уравнение женной примеси определено выражение потенциальной (2E + e2/r) zeэнергии U(r) =-e2/r, e2 =, z — заряд примеси в D(E + e2/r) (E + e2/r) 2 f /2r + f /rr 1 1 (E + e2/r) единицах заряда электрона, —статическая диэлектри- ческая проницаемость решетки. Для свободных электро- 2(E + e2/r)нов энергия положительна, а для захваченных отрица- + /E (T f /E + f ) = 0, (4) l m тельна, поэтому для захваченных электронов обозначим энергию как -E.

2p Процессы перехода между свободными и захвачен- где D(p) = (p), p = E + e2/r, l — энергетиче3m ными электронами определяются изменениями функций ская длина свободного пробега. Член, описывающий 4 434 В.Д. Каган энергетическую релаксацию, преобразован к диффе- числитель и знаменатель в (7). Таким образом, не ренциальной форме, так как передача энергии при убывающим с расстоянием и равновесным по энергии электрон-фононных столкновениях мала [2]. Считаем, оказывается только решение при задании граничного условия в виде функции энергии, чрезвычайно близкой что D E + e2/r. Это выполняется при релаксации к равновесной.

импульса электронов на фононах или на точечных Поскольку r0 мало, в знаменателе (6) функцию K примесях. Решения, которые нас интересуют, должможно заменить на L = ln(ldT /e1 r0), после чего выраны убывать на больших расстояниях. Отметим, что жение (6) представляется в упрощенном виде не зависящая от расстояния больцмановская функция f (r, E) =A exp(-E/T ) всегда является решением уравdE (E ) E - E f (r, E) = exp - R, нения (4), так что для проявления влияния пространTL R 2T ственной диффузии функция распределения на малых расстояниях должна быть неравновесной по энергии.

Если E e2/r, переменные в уравнении (4) разде- r (E - E )R = +. (8) ляются, и общее решение представляется в следующем T T виде:

Как и в (7), оказывается, что при задании произвольного граничного условия решение (8) убывает на расстояниf (r, E) =a0 exp(-E/T) ях, больших ldE/e2.

Для захваченных электронов применимо уравне+ cnL(1)(E/T) exp - E/T + nr/ld, (5) n ние (4), в котором E нужно заменить на -E. Ввиду поr n=ложительности кинетической энергии E < e2/r, так что 2 для захваченных электронов возможны только решения где n обобщенный полином Лагерра, ld = D(T ) L(1)— вида (6).

l m/ T. Коэффициенты разложения определяются Для вычисления ki, kr следует использовать полуна основании энергетической зависимости функции расченный нами в [1] интеграл электрон-фононных столкпределения на расстояниях, меньших ld. В решении (5) новений, в результате которых происходят переходы основную роль играет та часть, которая вообще не между состояниями свободных и захваченных частиц.

убывает с расстоянием, а как функция энергии имеет Интегрирование этого выражения по всему фазовому равновесный вид.

пространству позволяет вывести уравнение баланса (1), Если E e2/r, уравнение совершенно иное. Перечто определяет выражения для коэффициентов ki, kr менные в нем также разделяются, что позволяет интечерез функции распределения свободных и захваченных грально связать f (r, E) с ее выражением(E) на малых (1,2) частиц f (r, p) расстояниях r kr = dpdrdq(p - p- q - q)|cq| 165 ne f (r, E) = (E )dE dt eit(E -E) 0 e2 e(1) 1 f (r, p)(nq + 1) p - - p- q, r r K0 rt(Tt - i) 4e, =. (6) ld ki = dpdrdq(p - p- q - q)|cq|K0 r0t(Tt - i) 165 Квадратный корень в этом выражении определен так, e2 e(2) 1 f (r, p)nq p - - p- q, (9) чтобы при больших значениях переменной он был r r положительным. K0 — функция Макдональда, обеспеq и q = sq — волновой вектор и частота фонона, чивающая убывание решения (6) при увеличении радиcq — константа электрон-фононного взаимодействия, уса r. Из-за сингулярности K0 в начале координат мы nq =(e q/T - 1)-1 — фононная функция распределения вынуждены положить r0 малым, но конечным.

Планка. Функции (x) =1(x > 0) и (x) =0(x < 0), При (E) =A exp(-E/Te) Te = T решение выражает входящие в (9), являются математическим выражением ся более просто условий того, что электрон с импульсом p свободный и его энергия положительна, а электрон с импульсом K0 rTe-2(Te - T ) p - q захваченный и его энергия отрицательна. При e f (r, E) =Ae-E/T. (7) выводе (9) предполагалось, что переходы между своK0 r0Te-2(Te - T ) бодными и захваченными электронами, происходящие вблизи каждой примеси, на зависят друг от друга.

Это возможно только при следующих требованиях к Если устремить Te к T, выражение (7) перейдет в концентрации примесей:

равновесное, причем оно демонстрирует, как происходит этот переход. Мы считаем, что r r0, и приближение e2 - e1 nim 1. (10) Te к T должно скомпенсировать эту разницу и сократить 3ms2 T Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Захват электронов на примесь в полупроводниках, определяемый пространственной диффузией Упрощая выражения (9), получаем ее обобщения. Но при этом всегда коэффициентом захвата называется величина нормированного потока частиц через сферу, окружающую примесь. Поскольку 1 E kr = dE dE эта величина коэффициентом захвата не является, все 2l nems4 1 - e-E /T эти рассмотрения неудовлетворительны.

0 E Величину электронной неравновесности мы считаем 8e2ms2/E не аномально малой: (Te - T )/Te 1. Тогда отношение (1) коэффициента Ланжевена к коэффициенту захвата, опре r2dr f (r, E), деляемому формулой (13), равно e2s m/ldTe3/2. Оно содержит произведение большой величины e2/ldTe и малой величины ms2/Te, так что это отношение может 1 E быть величиной любого порядка.

ki = dE dE /T 2l ms4 e-E - Вычисление ki проводится аналогично вычислению 0 E kr, но в функции (E) концентрацию задаем равно8e2ms2/E весной ne0, а температуру Te — аномально близкой (2) к T : Te = T + 3ms2. Более того, для энергий, превы r2dr f (r, E - E). (11) шающих энергию E1 (E1 T ), пренебрежем различием температур и сохраним его только для меньших энергий.

Окончательное выражение содержит два слагаемых Подстановка в интеграл (11) решений уравнения (4) показывает определяющую роль параметра e2/ldT. Если 3 5/4ne0 64 2me6s2 3ldT этот параметр мал, следует использовать решение (5). ki = + 9l 3Lm5/2sE1 T Однако в этом решении главной является функция, не зависящая от координат, и мы приходим к теории, Q рассмотренной в [1]. e1ms x2K0(x)dx, Q = 96. (14) Если же этот параметр велик, роль пространственной ldE1T диффузии в процессе захвата существенна и нужно использовать решения вида (6), из которых для про- Выражения для коэффициента ионизации различны стоты ограничимся решением (7). Выпишем основное в зависимости от величны параметра, включающенеравенство го диффузионную длину и учитывающего неравновесность функции распределения для малых энергий. Если e2(Te - T )/ldTe2 1. (12) e2/ldT T /3ms2 1, то Для вычисления коэффициента захвата используем 256 2mne0e6sнеравновесную функцию (E) =[ne 23/(mTe)3/2] ki =. (15) exp(-E/Te), причем электронная температура Te не 9E1 l T является аномально близкой к T. Подставляя эту функЭто выражение определяется большими энергиями и цию в (11), получаем не содержит характеристик неравновесности функции распределения. Если же T /3ms2 e2/ldT 1, 4 ldTe5/ kr = x2K0(x)dx. (13) 3 5/3Llms(Te - T )3/2 4 3ne0ldT ki = x2K0(x)dx. (16) 27Llm5/2sЭто выражение отличается от соотношения k(L) = r Это выражение аналогично формуле (13) с учетом e2D(T )/T, предложенного Ланжевеном [2,3]. Основразличия неравновесности для свободных и захваченных ная причина различия состоит в том, что коэффициент электронов.

Ланжевена не является коэффициентом захвата. КоэффиВ ранее предложенных теориях [2] вычислялся коэфциентом захвата является величина, входящая в уравнефициент захвата, определяемый пространственной дифние (1). Именно она измеряется экспериментально. Эту фузией. Однако он не совпадает с коэффициентом, вховеличину мы вычисляли теоретически. Выражение (11), дящим в уравнение баланса, т. е. не является эксперименопределяющее коэффициент захвата, — единое для всех тально измеряемым коэффициентом захвата. В настояслучаев рассмотрения. В [1] мы использовали его для щей работе влияние пространственной диффузии на проусловий, противоположных неравенству (12), а здесь — цессы захвата и освобождения электронов заряженной в условиях, когда это неравенство выполнено. Коэфпримесью рассмотрено в рамках кинетической теории, фициент Ланжевена — это отношение величины потопостроенной в [1]. Указанное влияние проявляется толька электронов через сферу, окружающую заряженную ко при выполнении определенных условий. Эти условия примесь, к концентрации этих электронов. Принятие включают неравновесность функций распределения своэтой величины за коэффициент захвата — произвольное бодных и захваченных электронов. Получены выражения и неоправданное допущение. В главе 7 работы [2] для коэффициентов захвата и ионизации, которые входят изложена теория Ланжевена и предприняты попытки в уравнения баланса электронной концентрации.

4 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 436 В.Д. Каган Автор благодарит С.В. Ганцевича и М.И. Мурадова за многочисленные обсуждения работы.

Список литературы [1] В.Д. Каган. ФТТ 47, 2, 210 (2005).

[2] В.Н. Абакумов, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич. Безызлучательная рекомбинация в полупроводниках. Изд-во ПИЯФ, СПб (1997). 375 с.

[3] M.P. Langevin. Ann. Chem. Phys. 28, 289; 433 (1903).

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.