WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 3 Решеточная модель прыжковой проводимости по ближайшим соседям: применение к нейтронно-легированному Ge : Ga © Н.А. Поклонский, С.Ю. Лопатин, А.Г. Забродский Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Белоруссия Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 15 июля 1999 г.) С целью описания прыжкового транспорта по ближайшим соседям развита модель, согласно которой в кристаллической матрице основная и компенсирующая примеси образуют единую простую кубическую решетку. Прыжки происходят при термически активируемом ”выравнивании” уровней основных примесей, в то время как компенсирующие примеси блокируют соответствующие узлы. Рассматриваются достаточно высокие температуры, когда взаимодействиями, приводящими к кулоновской щели, можно пренебречь и плотность состояний в зоне основных примесей предполагать гауссовой. Найдены концентрационные зависимости энергии активации прыжковой проводимости 3, которая имеет вид кривой с максимумом, а также ее предэкспоненциального множителя 3. Результаты сравниваются с полученными разными авторами экспериментальными данными для нейтронно-легированного Ge : Ga.

Работа была частично поддержана грантами БФФИ № 97-246 и РФФИ № 98-02-17353.

Будем рассматривать однородный кристаллический представить в виде полупроводник, для определенности p-типа, с объемной 1 3 h = = 3 exp -, (2) концентрацией N = N0+N-1 водородоподобных акцептоh kT ров в двух возможных зарядовых состояниях (0) и (-1), где 3 = 1/3 — предэкспоненциальный множитель, а также доноров с концентрацией KN в одном зарядовом 3 — энергия активации прыжкового переноса зарядов, состоянии (+1), где 0 < K < 1 — степень компенсации.

kT — тепловая энергия.

При низких температурах, когда дырками в v-зоне можно Измерения h обычно проводятся при фиксированпренебречь, уравнение электронейтральности имеет вид:

ных внешнем давлении p и температуре T. Тогда N-1 = KN. При этом перенос дырок между акцепторами h = 3 exp -(h3 - s3T )/kT, где h3 и s3 — энтальв зарядовых состояниях (0) и (-1) осуществляется пия и энтропия активации прыжков дырки. При учете туннельным прыжковым образом без участия состояний термодинамического тождества h3/T = T (s3/T ) v-зоны.

по [7] имеем: h3(T ) =-k ln(h/3)/(1/T ) =3 + pv3, Пусть в изотермических условиях к кристаллическому где v3 — среднее изменение ”объема” двух акцеобразцу приложено вдоль оси OX внешнее электрипторов при прыжке дырки между ними. В ковалентческое поле, напряженность которого E = -d/dx ном кристалле деформацией решетки и возбужденопределяется градиентом потенциала. Плотность ными состояниями нейтрального акцептора при низпостоянного прыжкового тока Jh, когда боровский радиус ких температурах можно пренебречь: pv3 3.

локализации дырки на акцепторе много меньше средней Тогда приведенная (безразмерная) энергия активации длины прыжка Rh, определяется следующим выражени3 = ln(h/3)/ ln T = h3/kT примерно равна 3/kT.

ем [1–3]:

В данной работе нас будет интересовать лишь область q значений N, K и T, где реализуется только режим Jh = (x - x) f(1 - f), прыжков дырок между ближайшими по расстоянию акце2V, пторами (nearest neighbor hopping) [3,8], когда 3 слабо - f(1 - f),, (1) зависит от температуры.

Заметим, что полностью теоретически рассчитать где q — модуль заряда электрона; V — объем образца;

прыжковую электропроводность h для этого режима индексы, = 1, 2, 3,..., NV нумеруют все акцепторы;

в виде (2) без каких-либо неопределенных параметров (x - x) — проекция вектора, соединяющего акцепторы непросто. Так, в работах Эфроса и Шкловского [3,8] в и, на направление внешнего поля; f — средняя рамках теории протекания дан лишь вывод экспоненцивероятность того, что акцептор под номером находится ального множителя в зависимости 3 от концентрации в зарядовом состоянии (0);, — вероятность прыжка основной примеси дырки с акцептора на акцептор в единицу времени;

dJh/dx = 0.

3 = 0 exp, (3) aiN1/В случае прыжков по ближайшим соседям, как известно [3–6], прыжковую проводимость h на посто- где 0 — некоторая неизвестная степенная функция янном токе в некоторой области температур можно N и T ; значение параметра (K) слабо возрастает с Решеточная модель прыжковой проводимости по ближайшим соседям: применение... ростом степени компенсации (например, (0) = 1.73, 1. Плотность постоянного прыжкового (0.35) 1.8); ai — радиус локализации дырки на тока в простой кубической решетке уединенном акцепторе.

примесей Согласно Эфросу и Шкловскому [8], энергия активации прыжковой электропроводности 3 немонотонно Предположим, что основная легирующая примесь зависит от степени компенсации K, плавно достигая (акцепторы) с концентрацией N = N0 + N-1 и комминимума в области умеренных компенсаций K 0.5.

пенсирующая (доноры) с концентрацией KN формируТак, при температурах и уровнях легирования, удовлеют в кристаллической матрице нестехиометрическую творяющих неравенству 0.3 q2N2/3ai/(4kT ) 1, простую кубическую решетку с периодом трансляции где = r0 — диэлектрическая проницаемость нелеги-1/Rh = N(1 + K). В ней у каждого примесного рованного кристалла, численное моделирование [9] дает атома имеется шесть ближайших соседей (первая кодля значения K 0.35 независящую от температуры ординационная сфера примесной решетки). Для опре(постоянную) энергию активации деленности ребро куба элементарной ячейки примесной решетки будем полагать ориентированным параллельно q2N1/3 0.7. (4) оси OX, т. е. внешнему электрическому полю. Примем, что прыжки дырок происходят только между ближайшими акцепторами в зарядовых состояниях (0) и (-1), т. е.

Формула (4), однако, лишь качественно согласудлина прыжка дырки фиксирована и равна Rh. Кристалется с экспериментальными данными по нейтроннолическая матрица рассматривается как сплошная среда легированному Ge : Ga с умеренной компенсацией, да и с диэлектрической проницаемостью = r0.

то лишь при слабом легировании [5,6] (см. также рис. 2).

Средние вероятности того, что в произвольном узле С другой стороны, при описании прыжковой элекпримесной решетки с координатой x находится нейтральтропроводности в кристаллах Ge и Si n-типа Конвелл ный акцептор, а в соседнем узле с координатой (x+Rh) — в [10] было введено представление о хаотически расионизованный акцептор, есть fN0(x)/N и fN-1(x+Rh)/N пределенных примесных атомах легированного полупросоответственно, где f = 1/(1 + K) — корреляционводника в виде подрешетки. Пара — нейтральный и ный множитель — доля атомов основной примеси в положительно заряженный доноры — рассматривалась узлах примесной решетки. Аналогично для акцептора ею как молекулярный ион H+, погруженный в среду в зарядовом состоянии (0) с координатой (x + Rh) с диэлектрической проницаемостью, а проводимость, вероятность иметь ближайшим соседом с координатой как предполагалось, осуществлялась прыгающими (тунx акцептор в зарядовом состоянии (-1) есть f N-1(x)/N.

нелирующими) между такими парами электронами. При Поверхностные концентрации нейтральных акцепторов этом, однако, не учитывался энергетический разброс на перпендикулярных оси OX плоскостях примесной уровней доноров по энергиям (частный случай модели решетки, проходящих через узлы с координатами x и Андерсона [8]), т. е. все доноры считались ”резонансны(x + Rh), суть N0(x)Rh и N0(x + Rh)Rh.

ми”, что фактически соответствует условию kT > 3.

Разность между числом дырок, осуществляющих Развивая решеточную модель, Цавинский в [11] учел, что прыжки по акцепторам в направлении электрического не все ионизированные доноры участвуют в прыжковой поля и против него, определяет плотность прыжкового проводимости, а лишь часть из них, слабо ”связанная” с компенсирующими акцепторами. Это позволило по- тока (ср. с формулой (1)) лучить аналитическое выражение для h в виде (2), N-1(x + Rh) соответствующее экспериментальным данным лишь по Jh = qf Rh N0(x) (x; x + Rh) порядку величины.

N Отметим, что влияние на h примесных атомов, котоN-1(x) рые рассеивают туннелирующий между двумя донорами - N0(x + Rh) (x + Rh; x), (5) N электрон, было учтено в [12] для области прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка (variable где (x; x+Rh) и (x+Rh; x) — зависящие от координаты range hopping).

x и расстояния Rh между узлами примесной решетки В настоящей работе будет дан вывод уравнения для частоты прыжков дырки в направлении электрического плотности прыжкового тока Jh по простой кубической поля и против него соответственно; N0(x)+N-1(x) =N.

решетке из основных и компенсирующих примесных В отсутствие внешнего электрического поля средатомов в ковалентном кристалле, сделан квазиклассиняя частота прыжков дырки в одном направлении есть ческий расчет прыжковой электропроводности по бли(x; x + Rh) =(x + Rh; x) =h/2. Ток при этом равен жайшим соседям, учитывающий конечную ширину принулю.

месной зоны, и в заключение проведено сравнение результатов расчетов с имеющимися экспериментальными Для случая слабых электрических полей, ограничиданными по умеренно компенсированному нейтронно- ваясь в разложении N0(x + Rh), N-1(x + Rh) и легированному Ge : Ga. по параметру примесной решетки Rh лишь линейными 4 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 434 Н.А. Поклонский, С.Ю. Лопатин, А.Г. Забродский слагаемыми, имеем нормальную (гауссову) плотность распределения dN0(x) 1 N0(x + Rh) N0(x) + Rh, g(, Z) = exp -, (8) dx 2ZZ dN-1(x) где Ea > 0 — средняя энергия термической ионизаN-1(x + Rh) N-1(x) + Rh, ции нейтрального акцептора, отсчитываемая от потолка dx v-зоны нелегированного кристалла, ZkT = W — среднеd d (x, x + Rh) - (x + Rh, x) Rh = - ERh, квадратичная флуктуация энергии ионизации нейтральdx d ных акцепторов (энергии сродства к дырке отрицательно заряженных акцепторов) по примесной решетке.

где (x) — электрический потенциал внешнего поля С учетом (8) уравнение электронейтральности криE = -d/dx.

сталла принимает вид Таким образом, из (5) в линейном приближении получаем плотность прыжкового тока дырок по акцепторам + N-1 = N g(, Z) f-1(, yF)d d NJh = qNh MhE + Dh ln dx N-dN-1 = N f-1 = N(1 - f0) =KN, (9) = hE - qDh, (6) dx -где f0(, yF) = 1 - f-1 = 1 + exp(yF - ) — где Nh(x) = N0(x)N-1(x)/N — эффективная вероятность того, что акцептор с энергией ионизации концентрация дырок, осуществляющих прыжки Ea = Ea+kT находится в нейтральном зарядовом состомежду акцепторами в зарядовых состояниях (0) янии (заполнен дыркой); EF = Ea +(yF +ln a)kT > 0 — и (-1), Dh = fR2h/2 — коэффициент диффузии1;

h уровень Ферми; a — фактор вырождения уровMh = - fR2d/d > 0 — прыжковая подвижность h ня акцептора (a = 4 для атомов Ga в Ge);

дырок; h = qNhMh — прыжковая электропроводность;

f-1 = N-1/N = 1 - f0 = K — средняя по примесной dJh/dx = 0.

решетке вероятность того, что случайно выбранный Согласно [14], отношение коэффициента диффузии акцептор находится в зарядовом состоянии (-1). Чиосуществляющих прыжки дырок к их подвижности сла и yF задают (в единицах тепловой энергии kT ) Dh/Mh = hkT /q может несколько превышать величину положение энергетического уровня акцептора и уровня kT /q, даваемую соотношением Эйнштейна. Величина Ферми относительно центра акцепторной зоны.

h 1 характеризует различие влияния флуктуаций Эффективная ширина акцепторной зоны W при учете электростатического потенциала в кристалле на коэффитолько кулоновского взаимодействия ионизованного акциент диффузии и подвижность дырок, осуществляющих цептора с ионами в 1-й и 2-й координационных сферах прыжки (см. далее). Тогда с учетом представления прыжпримесной решетки по модели [15] равна ковой электропроводности в форме (2) из (6) следует 1/6 q2K(1 - K)NR2h h W = PiUi2 + PjUj h = qNhMh = = 3 exp -. (7) 2(1 + K)hkT kT i=1 j= 1/Для определения зависимости проводимости h от q2 24 K 1/= N(1 + K), (10) значений N, K, T следует найти две неизвестные пока 4 1 + K в формуле (7) функции: h 1 в модифицированном соотношении Эйнштейна и среднюю частоту прыжков где Pi = Pj = 2K/(1+K) =2Kf — вероятность того, что h дырок между акцепторами. Этому посвящены два около выделенного иона любой из 18 узлов примесной следующих раздела.

решетки (в 1-й и 2-й координационных сферах) занят ионизованным акцептором или донором; |Ui| = |Uj| = q2/(4Rh) — модуль кулоновской энергии взаимо2. Среднеквадратичная флуктуация действия выделенного иона с расположенными на рас электростатического потенциала стоянии Rh и Rh 2 ионами в примесной решетке; использовано, что средняя по примесной решетке энергия взаи6 Будем считать, что энергетический разброс модействия ионов равна нулю: PiUi+ PjUj = 0.

i=1 j= = (Ea - Ea)/kT уровней акцепторов относительно Отметим, что роль доноров в примесной решетке среднего, нормированный на тепловую энергию, имеет не ограничивается только блокировкой возможных путей прыжковой миграции дырок по акцепторам. Своим По аналогии с диффузией атомов в кристалле кубической сингокулоновским полем они вносят вклад в разброс энении [13] коэффициент диффузии дырок по акцепторам Dh не зависит от направления в рассматриваемой примесной решетке. регетических уровней акцепторов, что и учитывается Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Решеточная модель прыжковой проводимости по ближайшим соседям: применение... в формуле (10). Интересно заметить, что число 18, Для низких температур (W kT ) из (11), согласучитываемых в настоящей работе при расчете ширины но [14], имеем зоны W соседей из первых двух координационных сфер, h K(1 - K)Z 2 exp(2), (14) близко к среднему числу 15.47 ± 3.27 геометрических соседей, определенных по методу полиэдров Вороного так что из (13) получаем 2 = W 2 exp(2)/(q2N), у каждого акцептора при случайном распределении всех где 2 = yF/Z есть отношение уровня Ферми примесей по кристаллу (см. [16]).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.