WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 3 Поляронное состояние кристалла © Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: kudinov@ekk.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 31 июля 2000 г.) Рассматривается квантовая механика электрон-ядерной системы при сильной связи электронов с решеткой.

Вначале в адиабатическом приближении рассмотрена двухузельная модель. С ростом константы связи электронный перенос испытывает качественные изменения: у адиабатического потенциала образуется потенциальный барьер, перенос электрона связан с туннелированием ядер через барьер, а расщепление энергетических уровней системы экспоненциально убывает.

Обсуждаются свойства аналогичной модели кристалла. Утверждается, что и в кристалле электронный перенос при сильной связи связан с туннелированием ядер в пространстве деформаций. Сильная связь модифицирует члены электрон-электронного взаимодействия. Члены гамильтониана, не связанные с переносом электрона (обменные), модифицируются слабо. Члены же, в которых перенос имеет место (зонный член), испытывают экспоненциальную редукцию и в пределе M (M — масса иона) обращаются в нуль, а носители тока являются поляронами малого радиуса. Эта редукция обеспечивает естественный механизм усиления изотопического эффекта.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 99-02-1833).

В последние годы резко возрос интерес к явлениям, константы этого взаимодействия. Рассмотрена простейсвязанным с сильным взаимодействием электронов с шая одноэлектронная двухузельная модель (пара катионколебаниями решетки (поляронный эффект). Это было анионных комплексов), допускающая детальное изучевызвано обнаружением в ряде манганатов колоссально- ниееесвойств.1 На ее базе обсуждается, как эти свойства проявляются в кристалле. Отмечается, что при достаточго магнетосопротивления (многообещающего в области приложений), что стимулировало многочисленные ис- но сильном ЭКВ ряд характеристик кристалла претерпевает качественные изменения. В частности, существенследования их свойств (структурных, магнитных, оптиной модификации подвергаются члены гамильтониана, ческих, кинетических и др. [1–5]). Одним из главописывающие электрон-электронное взаимодействие.

ных результатов этих исследований следует признать выявление существенной роли электрон-колебательного взаимодействия (ЭКВ), в частности поляронных эффек1. Адиабатические потенциалы тов, при интерпретации экспериментальных результатов.

двухузельной модели Отметим обнаружение в этих соединениях гигантского изотопического эффекта [6]. В работе [7] обнаруже1) Гамильтониан рассматриваемой двухузельной модено, что при замещении O16 изотопом O18 некоторые ли имеет вид манганаты-изоляторы переходили в проводящее состояние, т. е. изотопное замещение изменяло природу основH = H0 + V, H0 = T + U(x1, x2), T = (p2 + p2), 1 ного состояния. Вряд ли такой эффект был бы возможен 2m в отсутствие механизма усиления изотопического эффек M2(x2 + x2) 1 та, который вполне естественно реализуется в условиях U = - 2g(n1x1 + n2x2), сильного ЭКВ.

Несколько ранее внимание к поляронам привлекло V = -J(+2 + +1), ni +i, (1) 1 2 i открытие высокотемпературной сверхпроводимости, где pi = i d/dxi — оператор импульса ядра i, +, i — i биполяронная модель [8] рассматривается в качестве операторы рождения и уничтожения электрона на узодного из конкурентов, претендующих на объяснение ле i, i = 1, 2, M, — масса и частота колебаний механизма явления. Безотносительно к успеху (или неядер, xi — ядерная координата, g — константа ЭКВ, успеху) в этой области, заметим, что вполне оправдан J — энергетическая константа, зависящая от перекрыи самостоятельный интерес к этой модели, как альтертия электронных волновых функций на разных узлах и нативе по отношению к модели БКШ. Ее изучение определяющая расщепление электронных уровней при может выявить ряд характеристик сверхпроводящего состояния, которые модель БКШ оставляет в тени. Целесообразность подобного исследования была отмечена нами в работе [9]. Заметим, что данная модель в рамках адиабатического В настоящей работе в рамках адиабатического приприближения была предметом исследования многочисленных работ.

ближения исследуется поведение электрона, взаимодейМы, однако, сочли разумным дать достаточно полное изложение, ствующего с колебаниями решетки в зависимости от акцентируя существенные для задачи о кристалле черты.

432 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов Рис. 1. Двухузельная модель. Черные кружки — анионы, светлые — катионы.

g = 0. Гамильтониан (1) инвариантен относительно Адиабатические потенциалы E±(x1, x2) определяем, перестановки индексов (1, 2) (2, 1) одновременно у опуская в (4) члены кинетической энергии, электронных и ядерных операторов (см. [9]). Здесь мы M2(x2 + x2) 1 ограничимся рассмотрением только одноэлектронных - 2gx1 - E C1 + JC2 = 0, состояний, поэтому справедливо соотношение M2(x2 + x2) 1 n1 + n2 = 1. (2) JC1 + - 2gx2 - E C1 = 0 (5) Возможная реализация этой модели представлена на и приравнивая нулю детерминант системы (5) рис. 1. Это два тождественных катион-анионных комп 2 + 2g(x1 + x2) +2g2x1x2 - J2 = 0, (6) лекса. Комплекс представляет собой четыре аниона, расположенные в вершинах ромба, в центре которого наM2(x2 + x2) 1 = E -.

ходится катион. Электрон мигрирует между катионами.

Предполагается, что при деформации изменяется только Коэффициенты уравнения (6) являются симметричными длина диагонали ромба. Деформация характеризуется функциями x1, x2, поэтому и адиабатические потенциалы положением xi, (i = 1, 2) одной из вершин. За нуль E± будут симметричными функциями x1, x2.

отсчета выбрано положение равновесия в отсутствие Особым является случай J = 0, где реализуются два электрона.

несимметричных терма:

В одноэлектронной задаче для данной модели ЭКВ зависит только от разности x1 - x2. Ранее, в [9], M2(x2 + x2) 1 E1 = - 2gx1, мы исследовали лишь двухузельную модель, поэтому члены, зависящие от x1 + x2, были опущены. Имея в M2(x2 + x2) 1 виду рассмотрение более общей модели, мы решили до E2 = - 2gx2. (7) определенного момента сохранить обе переменные x1, При E1(x1) -Ep они пересекаются на линии x1 = x2, x2. (Все параметры гамильтониана (1) совпадают с где E1 = E2 = x2 - 2gx1. Знаку равенства соответвведенными в работе [9], однако выражения для энергии M ствует xc = 2g/M2. Сколь угодно малое конечное сдвинуты на величину -g2/2M2).

J симметризует потенциал в результате расхождения 2) Ищем волновую функцию стационарного состояния термов на ±|J| в точке xc.

гамильтониана (1) в виде Введем переменные zi = xi/x0, x0 = g/M2 и обозначения=C1(x1, x2)a+|0 + C2(x1, x2)a+|0. (3) 1 g2 M2x2 Величины Ci(x1, x2) удовлетворяют такой системе урав- Ep = =, =. (8) 2M2 2 2Ep нений:

H1(x1, x2)C1 + JC2 = EC1, Безразмерный параметр не зависит от массы иона и является важнейшей характеристикой адиабатического потенциала. Он совпадаJC1 + H2(x1, x2)C2 = EC2, ет с введенным (из других соображений) Холстейном [10] параметром 1, определяющим границу между большим 1 > 1 и малым 1 < поляроном. (Заметим, что величина Ep в (8) равна половине поляронM2(x2 + x2) 1 Hi(x) T + - 2gxi. (4) ного сдвига, введенного в [10]).

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Поляронное состояние кристалла откуда следует z1 + z2 = 2 (a), (z1 - z2) ± = 0 (b). (11) ((z1 - z2)/ 2)2 + Терм E+ имеет в пространстве (z1, z2) единственный минимум (1/ 2, 1/ 2). Терм E- также имеет минимум в точке (1/ 2, 1/ 2), если 2 > 1. При 2 < 1 точка (1/ 2, 1/ 2) становится максимумом и появляются два минимума:

1 + 1 - 2 1 - 1 -, (a), 2 1 - 1 - 2 1 + 1 -, (b).

2 Итак, в отсутствие ЭКВ (g = 0) поверхности адиабатических потенциалов E±(x1, x2) являются смещенными Рис. 2. Адиабатические термы двухузельной модели ±(z) по вертикальной оси на ±J параболоидами вращения с E±(z)/Ep±zc — точки поворота для низшего энергетическоминимумами в точке (0,0). Включение ЭКВ приводит го уровня /2. Область между ними классически недоступна.

к понижению симметрии (до отражения в плоскости x1 = x2 поворота на вокруг вертикали x1 = x0/2, и x2 = x0 2) и смещению минимумов в точку (x0/ 2, Имеем для адиабатических термов E±(x1, x2) x0/ 2). Превышение величиной g порогового значения gc (см. Приложение 1), соответствующего значению E±(x1, x2) =Ep z2 + z2 - 2(z1 + z2) 1 2 = 1, сопровождается качественным изменением ниж него терма E-, именно экстремум в точке (x0/2, x0/2) расщепляется на три: максимум в точке (x0/ 2, z1 - z2 x0/ 2) и два минимума равной глубины. Адиабатиче± 2 + 2 Ep±(z1, z2) (9) 2 ское перемещение деформации из одного минимума в другой сопровождается переносом электрона между уз(рис. 2). (Заметим, что ±(z1, z2) являются аналитилами и связано с преодолением энергетического барьера ческими функциями z1,2, так как точки ветвления (9) в пространстве (x1, x2).

при вещественных J = 0 лежат вне вещественной оси.

3) Далее целесообразно перейти к таким переменным:

Исключением является J = 0, где имеет место разрыв производных). Для C1(z1, z2), C2(z1, z2) получаем x1 + x2 x1 - xX =, x =. (12) 2 1 (z1 - z2)/ 1, В них гамильтониан (1) примет вид C1(z1, z2) =± ((z1 - z2)/ 2)2 + H = H0 + V, H0 = T + U1(X) +U2(x), J 1 ± (z1 - z2)/ 2. T = (P2 + p2), C2(z1, z2) = 2m |J| ((z1 - z2)/ 2)2 + M2(X - x0)(10) U1(X) = - Ep, Экстремумы адиабатических термов определяются соотM2xношениями U2(x) = - g(n1 - n2)x, (1a) ±(z1, z2) (z1 - z2)/ = 2z1- 2± 2 = 0, P, p — соответствующие операторы импульса.3 Зависяz((z1 - z2)/ 2)2 + щие от X члены (1a) не зацепляются с электронными ±(z1, z2) (z1 - z2)/ 2 Модель, описываемая гамильтонианом (1a), использовалась в клас= 2z2- 2 2 = 0, сических работах Холстейна [10,11], а также для рассмотрения задачи z((z1 - z2)/ 2)2 + 2 межзонного поглощения света малым поляроном в [12].

4 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 434 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов переменными, поэтому при рассмотрении электронной Перенормировка частоты определяется скобкой в (14) системы достаточно удержать в гамильтониане лишь при z = zc, член U2(x), а волновую функцию искать в виде 2 =(1 ± 2)2 (18) (колебание ”-” смягчается, а ”+” ужесточается). При =(C1(x)a+ + C2(x)a+)|0. (3a) 1 z = 0 2 =(1 ± -1)2. Отметим, что в (5)–(16) масса иона содержится лишь в виде комбинации M2, которая Система (4) принимает вид имеет смысл упругой константы и от M в действительности не зависит. Зависимость от M возникает при решении H-(x)C1 + JC2 = EC1, уравнения Шредингера с потенциальной энергией E±(x).

JC1 + H+(x)C2 = EC2. (4a) В (4) обозначено 2. Колебания ядер p2 M2x Учтем теперь член кинетической энергии ядер. Из (5) H(x) + gx.

2M 2 видно, что C1(x1, x2), C2(x1, x2) определены с точностью до множителя (x1, x2). Поэтому решение C1(x), C2(x) Из (9) получаем выражение для адиабатических термов системы (4a) можно искать в виде (z x/x0) C1(x) =(x)C1(x), C2(x) =(x)C2(x), (19) E±(z) =Ep(z2 ± 2 z2 + 2) Ep(z), (9a) т. е. электронно-колебательная волновая функция равна а из (10) — для коэффициентов C1, C2 выражению =(x)(C1(x)a+ + C2(x)a+)|0, (20) 1 1 z C1 = ± 1, где C1(x), C2(x) определены соотношением (10a). Замеz2 + тим, что при z = zc J 1 z 1 1 - C2 = 1 ±. (10a) C1(zc) =±, |J| z2 + 2 Находим первую и вторую производные E±(z) по z для J 1 ± 1 - определения экстремумов и перенормировки частоты C2(zc) =, (21) |J| при z = 1 dE± = 2z 1 ±, (13) Ep dz z2 + 1 J C1(0) =±, C2(0) =. (22) |J| 2 1 d2E± = 2 1 ±. (14) Нетрудно получить Ep dz2 (z2 + 2)3/T ((x)C1(x)) + E±(x)(x)C1(x) =E(x)C1(x), Точками экстремумов адиабатических термов E±(z) являются z = 0 и T((x)C2(x)) + E±(x)(x)C2(x) =E(x)C2(x). (23) z = ±zc, zc = ± 1 - 2, < 1. (15) T(x) есть оператор кинетической энергии колебательной системы, Заметим, что E±|z=0 = ±J. Верхний адиабатический терм E+(z) имеет единственный экстремум — минимум d2 dT (x) =- = -Ep. (24) в точке z = 0. Нижний — E-(z) при > 1 имеет 2M dx2 2Ep dzединственный минимум при z = 0, а при < 1 имеет Учет кинетической энергии приводит к появлению в максимум при z = 0 и два минимума при z = ±zc, таким задаче второго (помимо ) безразмерного параметра образом, при < 1 имеется потенциальный барьер (рис. 2). Значения энергии в минимумах (15) = J/. (25) E-(z) Его принято называть параметром адиабатичности, по = -1 - 2. (16) Ep скольку условием применимости адиабатического приz=±zc ближения является 1. Элементарная оценка показывает, что (M/m)1/2 = -2, где — фундаментальВысота барьера равна разности E-(0) и E-(zc), ный параметр приближения Борна–Оппенгеймера [13].

Eb = Ep(1 - )2. (17) Подчеркнем, что он не зависит от константы g ЭКВ.

Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Поляронное состояние кристалла Из (23) следует, что функция (x) должна удовлетво- (рис. 1). Отметим также, что учет ЭКВ в адиабатическом рять двум различным уравнениям, что, вообще говоря, приближении приводит к распространению электронной невозможно. Это свидетельствует о том, что понятие плотности на соседний узел 2 с весом (1 - 1 - 2)2/4.

адиабатического потенциала применимо лишь при опре- Если высота барьера конечна, функции (x x0zc) деленных условиях, налагаемых на параметры задачи.4 перекрываются и появляется возможность межузельного Действительно, в рассматриваемой задаче имеются два перескока электрона, что приведет к расщеплению дупараметра размерности длины: x0 = g/M2, который блета (28). Будем называть рассмотренную ситуацию определяется видом потенциальной энергии и не зависит < 1 случаем сильной связи (имея в виду сильную от массы ядра, и ln = n /2M M — осцил- электрон-колебательную связь).

ляторная длина, определяющая радиус n-го состояния При >1 барьер исчезает и термы E± имеют единосциллятора. Отношение (ln/x0)2 равно ственный экстремум — минимум при zc = 0. Учитывая (22), волновую функцию можно записать как ln n =. (26) x2 4Ep 0 =(x) (a+ ± a+)|0. (29) 1 Если это отношение мало, а параметр не слишком Ввиду того что оба электронных состояния входят с мал, то для низких уровней в (23) можно пренебречь равным весом, упомянутая выше корреляция отсутствудействием оператора кинетической энергии на функции ет, как и в случае пренебрежения ЭКВ. Роль последCi(x) и записать первые члены в (23) как Ci(x)T (x).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.