WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 4 Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах © Н.Л. Чуприков Сибирский физико-технический институт при Томском государственном университете, 634050 Томск, Россия (Получена 21 марта 1996 г. Принята к печати 13 июня 1996 г.) В рамках пакетного анализа дано определение времен туннелирования для частиц, начальное состояние которых описывается волновыми пакетами общего вида. Показано, что ”нефизичность” результатов, полученных ранее при численном моделировании движения волновых пакетов в одномерных структурах, обусловлена неправильной интерпретацией пакетного формализма. Времена туннелирования волновых пакетов, наблюдаемые в численном эксперименте, вовсе не являются временами туннелирования частиц.

1. Введение 2. Волновые пакеты Пусть электрон падает слева на статический потенциДанная статья касается вопроса оценки временных альный барьер, расположенный в интервале [a, b], a > 0.

параметров туннелирования электронов в полупроводниСлева и справа от барьера частица свободна. Сшитое ковых гетероструктурах. В настоящее время нет ясного, частное решение соответствующего временного урав однозначного решения этой задачи даже в ее простейшей нения Шредингера запишем в рамках метода матрицы постановке — для туннелирования одной частицы в переноса [9,10]. В области слева от барьера решением одномерных системах. Изучение динамики гауссовых является суперпозиция падающей и отраженной волн волновых пакетов (ГП) [1–7] дало настолько необычные результаты, что их интерпретация до сих пор вызывает left = exp(ikx) +ref(k) exp(-ikx) exp -iE(k)t/, самые серьезные споры [7]. Так, например, для прямо(1а) угольных непрозрачных барьеров было обнаружено, что где максимум прошедшего пакета может отходить от правой ref(k) = R(k) exp i(J - F + 2ka - /2) ;

границы барьера раньше, чем максимум падающего пакета достигает его левой границы.

для x b решением является прошедшая волна Таким образом, в рамках пакетного анализа имеется серьезная проблема корректного переноса свойств волright = tr(k) exp i(kx - E(k)t/ ), (1б) новых пакетов на частицу. Следует признать, что эта где проблема для волновых пакетов общего вида остается не tr(k) = T(k) exp i(J - kd).

решенной. Результаты работ [1,2] справедливы лишь для бесконечно узких в k-пространстве волновых пакетов. В Здесь R = 1 - T, d = b - a, E(k) = k2/2m; m — общем случае пакетный анализ, как отмечено в обзомасса частицы; t — время; коэффициент прохождения T ре [7], оставляет широкое поле для разногласий. Именно и фазовые параметры J и F — функции k. Рекуррентные поэтому в настоящее время большое распространение соотношения для вычисления этих величин и их произполучили альтернативные подходы, авторы которых отводных по энергии см. в [9,10].

казываются от пакетного анализа при изучении туннеНаряду с (1а) и (1б) решениями уравнения Шрединлирования частицы. Не вдаваясь в детали этих подходов гера являются тажке функции (см. [8], а также обзоры [6,7]), отметим только, что их разработка также встречает серьезные трудности.

left(x, t) = inc(k, t) +ref(k, t) В данной работе проблема определения временных параметров туннелирования частицы решается в рамках метода матрицы переноса [9,10]. Показано, что ”не exp(ikx)dk для x a, (2а) физичность” результатов пакетного анализа возникает вследствие неточной интерпретации квантовой механи- где ки: времена туннелирования волновых пакетов, наблю- inc(k, t) =cA(k) exp -iE(k)t/, даемые в численном моделировании, вовсе не являются временами туннелирования частицы. В работе получены ref(k, t) =cA(-k)ref(-k) exp -iE(k)t/ ;

аналитические выражения для параметров туннелирова ния частиц, начальные состояния которых описываются произвольными волновыми пакетами. В заключение мы right(x, t) = tr(k, t) exp(ikx)dk для x b, сравниваем наш подход с методом [3], в котором также рассматриваются волновые пакеты общего вида. (2б) 428 Н.Л. Чуприков где 3. Время прохождения и время tr(k, t) =cA(k)tr(k) exp -iE(k)t/.

отражения волновых пакетов Здесь нужно иметь в виду, что T(k) —четная, а J(k) и Для определения временных параметров туннелиро F(k) — нечетные функции k; A(k) — комплекснозначная вания волновых пакетов определим положения центров квадратично интегрируемая функция; c — нормировочволновых пакетов для всех каналов рассеяния. Учитывая, ная константа.

что оператор координаты x равен i · d/dk, имеем Решения (2а) и (2б) описывают, очевидно, движение волновых пакетов во внебарьерных областях: (2а) —су x (t) =m-1 k0t, (3) inc перпозиция падающего волнового пакета (индекс ”inc”) центр (”масс”) которого в момент времени t = x (t) =m-1 k t + d - J, (4) tr tr tr находится в точке x = 0, и отраженного пакета (индекс x (t) =-m-1 -k t + 2a + J - F. (5) ref ref ref ”ref”); решение (2б) описывает прошедший волновой пакет (индекс ”tr”).

Здесь и далее штрих означает производную по k и Поскольку параметры туннелирования отдельных волн k0 = k.

inc зависят от k, анализ динамики волновых пакетов удобнее Пусть точка Z1 находится на расстоянии L1 (L1 < a) проводить в k-представлении. В общем случае получить от левой границы барьера, а точка Z2 — на расстоянии аналитически волновую функцию в k-представлении не L2 от правой границы. Учитывая асимптотический хаудается. Однако нетрудно убедиться в том, что асимпторактер нашего подхода, мы должны предположить, что тическое поведение пакетов (т. е. в достаточно ранние расстояния L1 и L2 достаточно велики. Найдем время и достаточно поздние моменты времени, когда пакеты прохождения отрезка Z1Z2, а также время, необходимое еще или уже не взаимодействуют с барьером) описыцентру пакета для того, чтобы пройти от точки Z1 до вается в k-представлении функциями inc(k, t), ref(k, t) барьера и вернуться обратно (время отражения).

и tr(k, t) —см. (2а) и (2б). Конечно, в этом случае Пусть t1 и t2 — такие моменты времени, что мы должны предположить, что расстояние a в начальный x (t1) =a -L1; x (t2) =b +L2. (6) tr момент времени от волнового пакета до левой границы inc барьера достаточно велико. Условия того, что каждый из Тогда время прохождения ttun (ttun = t2 - t1) исследутрех пакетов находится в ”своей” x-области, запишем в емого участка с учетом (3), (4) и (6) запишется в виде виде a m J + L2 L1 1 tr ttun = + + a -. (7) |left(x, t)|2dx = |inc(k, t)|2dk = k k0 k ktr tr - Для отраженного пакета пусть t1 и t3 — такие моменты для достаточно ранних моментов времени, и времени, что a x (t1) = x (t3) =a -L1. (8) ref inc |left(x, t)|2dx = |ref(k, t)|2dk = R, - Из уравнений (3), (5) и (8) следует, что для времени отражения tref (tref = t3 - t1) справедливо выражение |right(x, t)|2dx = |tr(k, t)|2dk = T m J -F + L1 L1 1 ref tref = + + a -.

b -k ref k0 -k kref (9) для достаточно больших моментов времени.

Заметим, что соотношения (7) и (9) содержат члены, Очевидно, что T и P — ни что иное как коэффициент пропорциональные a, благодаря которым временные хапрохождения и коэффициент отражения волнового парактеристики волнового пакета имеют необычные свойкета соответственно. Используя выражения (2а) и (2б), ства. Если, например, k > k0, то, увеличивая a, время tr легко показать, что ttun можно сделать отрицательным и сколь угодно T = T (k) ; R = R(k).

inc inc большим по модулю. Для отраженного пакета это имеет место, когда -k > k0 (как будет ясно из дальнейшеtr Здесь и далее среднее значение Q(k) для некотороinc го — см. (12), для каждой частицы выполняется только го оператора Q, относящееся к падающему волновому одно из этих неравенств). В обоих случаях центры пакету, определяется выражением прошедшего и отраженного пакетов должны отходить от барьера раньше, чем максимум падающего пакета inc|Q|inc Q = inc достигнет его. Причем это опережение, в зависимости inc|inc от a, может быть сколь угодно большим.

(аналогично определяются средние значения оператора Здесь очень важно подчеркнуть, что этот эффект не Q для прошедшего и отраженного волновых пакетов). исчезает для волновых пакетов с любой сколь угодно Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах малой, но конечной шириной в k-пространстве (такие состояниях (последнее является суперпозицией прошедпакеты рассматривались в работе [1]). Увеличивая шего и отраженного пакетов) одинаковы. Однако мы -1 -параметр a, выражение a( k - k0 ) в этом случае видим, что в отдельности средние импульсы прошедшего tr можно сделать сколь угодно большим по модулю. и отраженного пакетов отличаются от k0. Например, В связи с этим можно было бы подвергнуть сомнению для ГП эта разница исчезает только в пределе при справедливость выражений (7) и (9). Однако, как уже l0. Это свойство волновых пакетов на первый было отмечено, столь необычное поведение волновых взгляд также вступает в противоречие со здравым смыпакетов действительно наблюдается при численном мо- слом: импульс частицы при ее прохождении через неделировании [1–7]. Вызывает вопросы не само поведение подвижный потенциальный барьер не должен меняться.

волновых пакетов. (Волновой пакет с течением времени Однако можно показать, что уточнение интерпретации расплывается, и каким бы ни было значение a, центрпро- пакетного формализма позволяет снять все возникающие шедшего пакета появляется по другую сторону барьера в его рамках противоречия.

не раньше того момента, как передний фронт падающего пакета достигнет его левой границы. ”Лишние частицы” 5. О необходимости выделения за барьером появиться не могут, так как нормировка волиз падающего волнового пакета новой функции выполняется в каждый момент времени.) туннелирующей и отражающейся Проблема в том, как связать данное свойство волновых пакетов с движением туннелирующей частицы. Посколь- компонент ку вопрос имеет принципиальное значение, остановимся Действительно, согласно традиционной интерпретана нем подробнее.

ции, квантовая механика в данной задаче статистически описывает серию (строго говоря, бесконечную) экспе4. Об изменении среднего импульса риментов (измерений), в которых частица падает слева волнового пакета и импульса на потенциальный барьер и либо проходит затем через частицы в процессе туннелирования него, либо отражается. При этом падающий волновой пакет описывает всю серию измерений, а прошедший Заметим, что необычное поведение волновых пакетов и отраженный пакеты в отдельности описывают тольсвязано с тем, что средние значения k в обоих каналах ко часть из них. Именно поэтому при определении рассеяния в отдельности отличны от k0. Например, для времен туннелирования частицы бессмысленно сравниГП A(k) = exp[-l0(k - k0)2], где l0 — ширина ГП в вать в отдельности положения центров прошедшего и x-пространстве в нулевой момент времени, k0 — среднее отраженного волновых пакетов с положением центра значение волнового числа, легко показать, что падающего пакета. Последний можно сравнивать только с суперпозицией отраженного и прошедшего пакетов. В T inc этом случае начальное и конечное состояния описывают k = k0 +, (10) tr 4l0 T inc одну и ту же совокупность измерений. Если же мы хотим рассматривать оба канала рассеяния в отдельно R inc сти, то при определении времени прохождения (отраже -k = k0 +. (11) ref 4l0 R inc ния) частицы нужно учитывать только ту совокупность измерений, в которых частица успешно туннелирует В случае широких ГП выражения (10), (11) совпадают (отражается). Другими словами, мы должны выделить (асимптотически) соответственно с выражениями (4.13) (если это возможно) из падающего волнового пакета и (4.14) работы [6].

такие две компоненты, которые описывают падающую Полагая частицу в обеих сериях измерений в отдельности. И k = k0 + ktr, -k = k0 + kref, именно с этими пакетами сравнивать затем положения tr ref центров прошедшего и отраженного пакетов.

соотношения (10) и (11) запишем в виде Одно из основных условий, которому должны удовлетворять искомые пакеты, — это то, что переход из T inc начального состояния в конечное должен происходить Tktr = -Rkref =. (12) 4lдля каждого канала в отдельности (т. е. в каждой серии измерений) с сохранением ”числа частиц”.

Здесь мы учли, что R = -T.

Запишем падающий волновой пакет в виде Первое из уравнений (12) полезно записать в виде ”закона сохранения” среднего волнового числа — inc(k, t) =tr +ref +int, inc inc inc T k + R -k = k0. (13) tr ref где tr = T (k)inc(k, t), (14) inc Соотношение (13) отображает тот факт, что средние значения импульса частицы в начальном и конечном ref = R(k)inc(k, t), (15) inc Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 430 Н.Л. Чуприков Время, необходимое частице для того, чтобы выйти из int = i - T(k) - R(k) inc(k, t). (16) inc точки Z1, отразиться от барьера и вернуться в исходную Легко проверить, что для функций tr и ref справед- точку, т. е. время отражения, ref, определим как разность inc inc ливы соотношения t3 - t1 моментов времени, для которых ref tr |tr + ref |ref = inc|inc. (17) ref inc inc inc inc x (t1) = x (t3) =a -L1. (25) inc ref tr |tr = tr|tr, ref |inc = ref|ref ; (18) inc inc inc Нетрудно показать, что tr ref k = k ; k = -k. (19) tr ref inc inc m ref(L1) = J - F + 2L1. (26) ref tr tr -k ref x (t) =m-1 k · t; (20) inc inc ref ref x (t) =m-1 -k · t. (21) inc inc Заметим, что выражения (24) и (26), асимптотически точные для больших значений L1 и L2, содержат вклаМы видим, что вклады, содержащие int, и интерфеinc (0) (0) (-) ды барьерной области tun (tun = tun(0, 0)) и ref ренционные члены не входят в соотношение (17). Та(-) ким образом, вся совокупность измерений действительно (ref = ref(0)). Это и есть искомые время прохождения разбивается на две. Соотношения (18) дают основание и время отражения для частицы в барьерной области.

полагать, что в той серии измерений, в которой частиЗдесь очень важно иметь в виду, что выражения (24) ца проходит через барьер, ее состояние до рассеяния и (26) теряют смысл, если L1 = 0 или L2 = 0.

описывается функцией tr (k, t). В другой, в которой Поэтому определенные выше временные характеристики inc частица отражается, — функцией ref (k, t). В обоих никоим образом не описывают измерения, в которых зонinc случаях рассеяние частицы происходит с сохранением ды располагаются на границах барьера. Впрочем, такое числа частиц (см. (18)) и импульса (см. (19)). В нарасположение зондов само по себе не имеет смысла, чальный момент времени оба пакета, согласно исходной так как идентификация центров (или, в частном случае, постановке задачи, находятся в точке x = 0 (cм. (20) и максимумов) пакетов невозможна здесь из-за интер(21)).

ференции. Условия отсутствия влияния интерференции Если учесть соотношение (13), то легко показать, что на измерения и условия применимости нашей модели практически совпадают: расстояния до точек Z1 и Z2, где tr ref T k + R k = k0, (22) inc inc располагаются зонды, должны быть достаточно велики.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.