WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 3 Электрон-фононное увлечение в вырожденных проводниках в магнитном поле © И.Г. Кулеев Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук, 620219 Екатеринбург, Россия E-mail: kuleev@imp.uran.ru (Поступила в Редакцию 21 мая 1999 г.) Рассмотрено взаимное увлечение электронов и фононов в вырожденных проводниках в классических магнитных полях. Показано, что система кинетических уравнений для неравновесных электронной и фононной функций распределения может быть преобразована к системе неоднородных интегральных уравнений Вольтерра. Найдено решение системы интегральных уравнений с учетом всех членов, вносящих вклады, линейные по параметру вырождения. Проанализировано влияние магнитного поля на релаксацию импульса в электрон-фононной системе.

Электрон-фононное взаимодействие в твердых телах система кинетических уравнений для неравновесных кроме процессов рассеяния приводит к взаимному вли- электрон-фононных систем преобразована в систему янию неравновесностей электронной и фононной подси- неоднородных интегральных уравнений Вольтерра стем, вызванных либо электрическим полем, либо гра- для неравновесной добавки к функции распределения диентом температуры [1–12]. Если электроныи фононы электронов. В разделе 2 эта система решена с учетом рассеиваются главным образом друг на друге, то теория всех членов, вносящих вклады, линейные по параметру вырождения. В разделе 3 проанализировано влияние возмущений по взаимному влиянию неравновесностей подсистем неприменима, и возникает необходимость ре- взаимного увлечения на гальваномагнитные явления.

шения сложной системы интегральных уравнений для электронной и фононной функций распределения [9,10].

1. Cистема кинетических уравнений Точное решение этой системы до сих пор не найдено.

для электрон-фононной системы Итерационная схема решения системы интегральных в магнитном поле уравнений позволяет рассмотреть лишь случай слабого взаимного увлечения [11,12]. Приближенные решения Проанализируем баланс импульса и взаимное влияние системы кинетических уравнений для вырожденных пронеравновесности электронов и фононов в магнитном водников в классических магнитных полях с учетом взаполе. Система кинетических уравнений для неравновесимного увлечения электронов и фононов найдены только ных электронной f (k, r) и фононной N(q, r) функций в нулевом приближении по параметру вырождения [7,8].

распределения имеет вид [3,7] Однако развитая в [7,8] теория не может быть использована для анализа термомагнитных и термоэлектрических e kr fk + E0 + [k H] k f (k, r) эффектов, поскольку в этом приближении диффузион c ные потоки, как и эффекты Нернста–Эттингсгаузена, = Iei( fk) +Ieph( fk, Nq ), обращаются в нуль. Термомагнитные эффекты являются гораздо более тонким индикатором механизма рассеяния (0) (1) rNq = -(Nq - Nq )ph + Iphe(Nq, fk). (1) носителей тока, чем подвижность [1,13]. При смене q доминирующего механизма рассеяния подвижность но- q 1 k Здесь k =, = — групповая скорость q сителей тока меняется только по величине, тогда как k q (0) термомагнитные эффекты могу менять свой знак. По- фононов, Nq — функция Планка. Частота релаксации этому термомагнитные эффекты могут оказаться более (1) ph (q) включает все неэлектронные механизмы рассеячувствительными к эффектам взаимного увлечения элекния фононов: рассеяние фононов на фононах, дефектах и тронов и фононов, чем подвижность.

границах образца. Интегралы столкновений электронов В данной работе воспользуемся методом решения с примесями Iei, фононами Ieph и фононов с электронами системы кинетических уравнений для неравновесных Iphe определены в [3,6,7,14].

электрон-фононных систем с изотропным спектром Представим функции распределения электронов и фоносителей тока, развитым в [14], и обобщим его на нонов в виде случай наличия магнитного поля. При этом будет использовано лишь условие сильного вырождения fk = f0(k) + fk, Nq = Nq + g(q), (2) kBT/ 1 ( — энергия Ферми), а неупругость электрон-фононного рассеяния будет учтена в где f0(k) и Nq — локально равновесные функции первом порядке теории возмущений. В разделе 1 распределения для электронов и фононов, а fk и 416 И.Г. Кулеев g(q) — неравновесные добавки к функциям распреде- mFs2 eph(kF, q) Aph() = ления, линейные по внешним воздействиям. ЛинеариkBT ph(q) z 2k зуем интегралы столкновений по этим добавкам. Интегралы столкновений Iie( fk), Iphe( f0, g(q)), а также z 2k mFs2 eph(kF, q) Ieph( fk, Nq) в приближении упругого рассеяния пред dz, q ставим через частоты релаксации [7,8,14]. При расчете kBT ph(q) интеграла столкновений Ieph( f0, g(q)) учтем неупру q q kBT гость столкновений электронов с фононами в первом z = =, q =, q kBT порядке по параметру неупругости q/. После q T s T этого уравнение для фононной функции распределения 2k m() z =, m() =, mF = m() (6) представим в виде [14] 2k q mF T 0 0 — эффективная масса электрона на уровне ФерNq(Nq + 1) q g(q) =- T ми, k = k/kF, kF — фермиевский импульс.

q v (q) kBT ph Здесь () — полное время релаксации электронов, -(0) (k) = e(k) = ei(k) +eph(k), ei(k) и eph(k) — + Iphe( fk, Nq ) =g(1)(q) +g(2)(q), (3) ph частоты релаксации электронов на примесях и на фоно нах, а функция Aph() зависит от энергии только через (2) (1) верхний предел интегрирования 2k(). Добавка fk где ph = ph + phe — полная частота релаксации учитывает влияние неравновесности электронов через фононов с волновым вектором q и поляризацией, фононы на функцию распределения электронов a phe(kF, q) — частота релаксации импульса фононов на электронах [7,14]. Функция g(1)(q) обусловлена 2 (2) fk = (k)Ieph f0, g(2) = (k) непосредственным действием градиента температуры на V фононную подсистему, а добавка g(2)(q) учитывает вли яние неравновесности электронов |Cq |( q)2 0 Nq(Nq + 1) ph(q) kBT k,q, g(2)(q) = Iphe( fk, Nq) ph(q) f (k+q - k) - (k-q - k) k 4 |Cq|2 q 0 0 = Nq Nq + 1 fk fk (k -q - k ) - (k +q - k ). (7) ph(q) kBT V k Вычисление электронных потоков с помощью функции (k -q - k ) - (k +q - k ), (4) (1) fk позволяет определить кинетические коэффициенты и проанализировать термомагнитные и термоэлектриче 2 |Cq |2 = E0 q/s = C0q, — плотность кристалла, ские эффекты в рамках стандартной теории электронE0 — константа деформационного потенциала, s — фононного увлечения [3]. В этом случае соотношения скорость звука.

симметрии Онзагера для кинетических коэффициентов Учитывая выражения (3) и (4), получим замкнутое (см. [9,10]) не выполняются. Поэтому при решении сиинтегральное уравнение для неравновесной добавки к стемы кинетических уравнений необходимо принять во функции распределения электронов (2) внимание члены fk и g(2)(q), учитывающие взаимное влияние неравновесности электронов и фононов.

e (k) (1) (2) fk = fk + [k H]k fk + fk. (5) Для решения кинетического уравнения (5) представим c (2) функции fk и fk в виде (1) Функция fk учитывает непосредственное действие f0 электрического поля и градиента температуры на элек- fk = - k(), k тронную подсистему, а также эффект увлечения электронов фононами. Она имеет известный вид [3] f(2) fk = - k(2)() (8) k f(1) fk = - k1(k) ;

и получим уравнение для функции () k () =(1)() +() h () + (2)(), 1(k) = - e (k) h = H/H, (9) m() kB k - где () =() (), () =eH/m()c — циклотрон E + Aph() + T, e kBT k3 ная частота.

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Электрон-фононное увлечение в вырожденных проводниках в магнитном поле Для нахождения функции (2)() воспользуемся выра- следующим образом:

жением (7) и возьмем интеграл по угловым переменным 0 Nq Nq + dk и dq при помощи -функций, учитывающих закон phe(q) g(2)(q) =сохранения энергии. Тогда интегральный член (2)() в ph(q) kBT принятых нами обозначениях может быть записан в виде f0() m2() () d m() q(). (12) (2)() = Q() kq/z 2k Интегральное уравнение (11) проще, нежели уравнение phe(kF, q)eph(kF, q) m2() () = dz q (9)–(10), исследованное ранее в работах [7–12], и позво k3 ph(q) ляет построить регулярную схему расчета функции (), не прибегая к разложению по малому параметру, связан ному со слабостью электрон-фононного взаимодействия f d - m( )( ). (10) или малостью эффекта взаимного влияния неравновес ности электронов и фононов. Далее будет показано, что q/это уравнение можно решить, используя лишь условие Интегральное уравнение (9)–(10) решалось в рабосильного вырождения kBT / 1.

тах [11,12] для невырожденного электронного газа и в работах [5,7,8,10] для вырожденных проводников. Ядро 2. Решение кинетического уравнения этого интегрального уравнения имеет сложный вид:

для электронов неизвестная функция () входит под двойной интеграл и для его решения необходимо конкретизировать Используя стандартный способ [3] преобразования зависимости частот релаксации от волнового вектора члена, зависящего от магнитного поля в уравнении (11), фононов [7]. Поэтому преобразуем его следующим получим образом [14]. Учитывая неравенства q/2 < k и q/2 < k, разобьем область интегрирования по k на две части — m2() () =1H() + QH(), k < k (q/2 < k < k) и k < k (q/2 < k < k ) —и по k3(1 + 2()) меняем порядок интегрирования по волновым векторам q и k. В результате уравнение для функции () может QH() =Q() +()[h Q()], (13) быть представлено в виде системы неоднородных инте- -1H() = 1() +() h 1() 1 + 2().

гральных уравнений Вольтерра для компонент вектора (14) () Решение интегрального уравнения (13) удобнее искать m2() () не для функции (), а для Q(). Воспользовавшись () =1() +() h () + Q(), формулами (11) и (13), найдем k f fQ() = d - ( )m( )( ) Q() =() d - m( )( ) f f0 +() d - m( )( ). (15) + d - m( )( )( ) Решение уравнения (15) в линейном приближении по =()K>() +K<(), параметру вырождения (kBT )/ находится в два этапа.

Вначале определим зависимость функции Q() от энер phe(kF, q)eph(kF, q) гии. Для этого разложим функцию Q() в ряд по па() =, (11) ph(q) раметру ( - ), поскольку производная функции Ферми z 2k (- f0/) ограничивает интервал интегрирования (15) где () зависит от энергии через верхний предел областью теплового размытия уровня Ферми интегрирования z. Обратная величина ()-1 харак2k() теризует время, в течение которого импульс, передан- ( - )n Q() =Q() + Q(n)( ), ный электронами в фононную подсистему, возвращается n! n=обратно электронам.

Неравновесная добавка к функции распределения фоdnQ() Q(n)() =. (16) нонов g(2)(q) может быть выражена через функцию () dn = 3 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 418 И.Г. Кулеев Используя интегральное уравнение (15), запишем выра- членов. Суммирование бесконечных рядов приводит к жения для первых двух производных Q() по энергии результату Q(1)() =(1)()K>(), Q() =Q() +kBT (1)( ) K>( ) - f1()( ) - f2()FB, (21) fK>() = d - m( )( ), где f1() =ln(1+exp(-))-ln(2)+/2, f2() = f1() f- 2 d f1( ). Итак, найдена зависимость функции Q(2)() =(2)()K>() - (1)() - m()().

Q() от энергии и четырех констант— компонент (17) векторов Q() и K>(), которые подлежат определению.

Очевидно, что интегральное уравнение (15) для Q() Отметим, что функция f1() симметрична относительно эквивалентно системе неоднородных дифференциальных замены на (-), а функция f2() — антисимметрична уравнений второго порядка для компонент вектора Q() относительно такой замены, поэтому Q() также может быть разделена на две части: симметричную Qs() и (2)() fQ(2)() = Q(1)() - (1)() антисимметричную Qa() (1)() Qs() =Q() - (kBT )(1)( ) f1()(), m() m()1H() + ()QH(), k() Qa() =kBT (1)() K>( ) - f2()F B. (22) -() = () 1 + 2(). (18) Симметричная часть Qs() вносит вклад в поток заряда, а антисимметричная Qa() — в поток тепла.

Для решения этого уравнения необходимо в явном виде Таким образом, для решения интегрального уравнения выделить зависимость функций (), () и m() от (15) нам осталось определить функции Q() и K>().

энергии электрона. В данной работе ставится более Воспользуемся разложением () - () ( - ) узкая задача: не конкретизируя этих зависимостей, най (1)() и перепишем уравнение (15) в следующем ти решение уравнения (17) в линейном приближении виде:

по параметру вырождения. Из уравнений (17) и (18) следует, что все высшие производные Q(n)() могут fбыть выражены через две векторные функции: K>() Q( ) = d - ()m()() и Q(). Проанализируем производные функции Q(n)() и выделим в них члены, вносящие вклад, линейный по параметру (kBT/). Тогда для производных функций f- ()D d - m()(), (23) Q(n)() при n 2 найдем n-1 fQ(n)( ) =- (1)() - () kBT d n-1 = где = + kBT, a D = ln(()).

d = В нулевом порядке по параметру вырождения вторым n - 2 n-2 f+ - FB, слагаемым в (23) можно пренебречь, и тогда решение kBT n-2 = векторного уравнения для Q0( ) находится просто B = -kB T + F[h T ], -eH Q0( ) = EA(1 - ) + F[h EA], F = () =() ( ). (19) 1 + 0 (1 - H)Подстановка выражений (17) и (19) в (16) дает kB EA = E + Aph()T, (24) e Q() =Q( ) +kBT(1)() K>( ) где H = (1 + F)-1, 0 = HF(1 - H)- = F(1 - +F)-1 =. Параметр = F( ) n f0() n+1 nn+- - ()+ FB, характеризует степень взаимного влияния неравновесn =0 (n+1)! (n+2)! n=ности электронов и фононов в отсутствие магнитного (20) поля. Он равен отношению времени свободного пробега f0 электрона к времени, в течение которого импульс, пегде K>() = d - m( )( ), а =(-)/kBT реданный электронами фононам, возвращается обратно является фактическим параметром энергетического раз- в электронную систему. В магнитном поле взаимное ложения. В окрестности энергии Ферми строгое неравен- влияние неравновесности электронов и фононов харакство || 1 не выполняется, поэтому при суммирова- теризуется параметром H. Очевидно, что с ростом магнии рядов (20) нельзя ограничиться конечным числом нитного поля роль взаимного увлечения уменьшается, и Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Электрон-фононное увлечение в вырожденных проводниках в магнитном поле Схема, иллюстрирующая влияние магнитного поля на релаксацию импульса электрона: в электрон-фононной системе (a), при электрон-примесном рассеянии (b), при совместном действии электрон-фононного и фонон-фононного рассеяния (c).

Fs — эффективная сила, действующая на электрон в момент столкновения.

при F 1 эффектом взаимного увлечения можно пре- дрейфует вдоль оси Y со скоростью u = cE/H. Как видно небречь. Как видно из формулы (24), возникает новый из рисунка, столкновение электрона с примесями (b) и параметр 0, который учитывает влияние магнитного однократное столкновение электрона с фононом (c) приполя на обмен импульсами между электронной и фонон- водит к появлению столкновительного тока вдоль оси X.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.