WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

r = +(3/4)l-2(2r)-1/2, Следовательно, параметр перекрытия A(k) во втором -k0 = 21/2l(2r)1/4a. (31) слагаемом (25) является стохастической величиной, по которой следует провести усреднение. Примем соответСогласно первому из этих равенств, с ростом затраствующее распределение в простейшем гауссовом виде вочой разности температур положительно определенный параметр r плавно возрастает, характеризуясь -асимптотиками r при < 0, | | 1 и P{A(k)} exp - u-1 A(k1)A(-k2) (26) k1kr при 1 (рис. 1, a). Это означает, что k1kв отсутствие самодействия флуктуации стабилизируют = неупорядоченный гетерополимер относительно микрофазного расслоения [9]. В частности, согласно услос дисперсией uk1k2 2(la)-2N-1(k2 + k2)-1, задава1 вию r > 0, оказывается возможным только фазовый емой параметром (см. [9]). Тогда после усреднения переход первого рода. Второе равенство (31) определяет статистической суммы Z = Dmk exp(- {mk}) второе присущую неупорядоченным гетерополимерам зависислагаемое в (25) приобретает вид мость пространственного периода = 2/k0 от параметра r [1]. Как видно из рис. 1, b, с ростом разности 1 температур величина монотонно нарастает от - uk1k2m(k1)m(-k1)m(-k2)m(k2). (27) до ; при этом чем больше корреляционная длина l, k1kтем быстрее изменение периода вблизи точки = 0.

= Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Суперсимметричная теория неупорядоченных гетерополимеров где угловые скобки означают усреднение по шуму k(n), -функция учитывает вид эффективного уравнения движения (19), детерминант представляет якобиан перехода от переменной k к k. Запишем -функцию в виде функционального интеграла Лапласа по полю k(n).

Для придания выражению (33) канонической экспоненциальной формы, представим детерминант с помощью грассманово сопряженных полей k(n), k(n), удовлетворяющих условиям [20], {, } = {, } = {} = 0, D = D = 0, D2 = 1, D2 DD, (34) где фигурные скобки означают антикоммутатор. Проводя в (33) усреднение по k(n) с помощью гауссова распределения, определенного моментами (20), получаем стандартное представление статистической суммы Z{} = P{, ;, }DD2, N P{, ;, } = exp -S{, ;, }, S = Ldn, Рис. 1. Зависимость параметра r (a) и периода (b) от L = ( - - 2/2) + H {} - H {} dr.

при различных значениях l. (Кривые 1, 2, 3 отвечают l = 0.5, 1, 10). (35) Здесь точка означает производную по эффективному времени n, штрих — функциональную производную по Окончательное вырaжение для гамильтониана неупополю (17).

рядоченного гетерополимера следует из термодинамичеПрямой подстановкой нетрудно убедиться, что лагранского потенциала (28), перенормированного действием жиан, отвечающий последнему равенству (35), принимафлуктуаций ем канонический вид [21] H = k|(k)|2 + v()dr L = ()d2, (D)(Dk) +H{k}, k k k - uk1k2(k1)(-k1)(-k2)(k2), d2 d d, (36) k1k = если ввести суперсимметричные операторы rk r + 2a2(k - k0)2, D - 2, D (37) n uk1k2 2(la)-2N-1(k2 + k2)-1. (32) 1 и 4-компонентное суперполе Здесь ядро v() определяется выражениями (24), где m заменяется на.

= + + +, (38) 3. Введение суперполя где грассмановы координаты, удовлетворяют тем же условиям (34), что и поля,. Функционал Для построения суперсимметричной схемы рассмо- H{} имеет вид (32), где параметр порядка k затрим генерирующий функционал [20] меняется на суперполе k(). При этом репличный индекс переходит в грассманову переменную, что и k H k Z{k} = + - k det, является формальной причиной тождественности метода n k k реплик и суперсимметричного подхода. Преимущество H/k H/k + 2a2(k - k0)2k, (33) последнего обеспечивается грассмановыми свойствами Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 374 А.И. Олемской, В.А. Бражный типа (34), выполнение которых отвечает репличному В частности, суперорты (45) подчиняются следующим пределу n 0. правилам умножения: A2 = A, B2 = B, BT = T, TA = T, Согласно [16,21], комбинация отвечает плотности все другие произведения равны 0. Таким образом, наантифазных границ и использование 4-компонентного бор A, B, T является полным и по нему удобно провести суперполя соответствует пределу сильной сегрегации разложение суперкоррелятора (42) (strong segregation limit) [2,3]. Ограничимся исследованиC = G-A + G+B + ST. (47) ем более простого случая слабой сегрегации, в котором межфазные границы отсутствуют. Тогда суперполе (38) Здесь и далее индексы k, для краткости опущены.

сводится к двухкомпонентной форме Используя определения (39), (42), для коэффициентов разложения (47) получаем = +, (39) G- =, G+ =, S = ||2. (48) где введена самосопряженная нильпотентная величина. Соответственно лагранжиан (36) принимает Таким образом, величины G± представляют опережаюпростой вид щую и запаздывающую функции Грина, а S — структур ный фактор. Согласно (43), (45), (47), компоненты за травочного коррелятора C(0) имеют стандартную форму L = ()d, kDk + H{k}, k G(0) =(r ± i)-1, S(0) = G(0)G(0) =(r2 + 2)-1. (49) ± + D = - + 1 - 2. (40) Самосогласованное поведение системы определяется n уравнением Дайсона, которое применительно к случаю Будучи расписанным по компонентам поля (39), соотгетерополимера имеет вид [18,21] ветствующее уравнение движения C-1 =(C(0))-1 - uC -, (50) Dk = -H/k (41) где u = 2(2N)-1(lak0)-2 — характерное значеприводит к уравнениям для параметра порядка (n) и ние потенциала межрепличного перекрытия ukk при амплитуды наиболее вероятной флуктуации (n) сопря- k = k k0. По аналогии с (47) собственноженного поля (см. [21]). энергетическая суперфункция, описывающая эффекты самодействия, может быть разложена по суперортам 4. Корреляторы =-A ++B +T. (51) Тогда с учетом (49) компоненты уравнения Дайсона (50) Для определения суперкоррелятора принимают вид [21] Ck(n, ; n, ) k (n, )k(n, ) (42) G-1 + uG± =(r ± i) - ±, (52а) ± умножим уравнение движения (41) на k и проведем S = 1+2C2l-1()+ G+G-(1-uG+G-)-1. (52б) усреднение. В результате для затравочного коррелятора, отвечающего параметрам v = u = 0 в гамильтониане Здесь слагаемое, содержащее -фукнцию, обусловлено (32), получаем [21] наличием замороженного беспорядка.

Для замыкания системы (52) следует выразить ком1 +(rk - i) +(rk + i) (0) поненты собственно-энергетической суперфункции через Ck (, ) =. (43) rk + суперкорреляторы. Использование суперсимметричной теории возмущений показывает [21], что с учетом куЗдесь использовано ”частотное” Фурье-преобразование бического и биквадратичного ангармонизмов (см. (24)) N матричный элемент собственно-энергетической суперC = C(n)eindn. (44) функции записывается в виде µ2 (z, z ) = C(z, z ) + C(z, z ), (53) 2 Грассманова структура выражения (43) показывает, что произвольный суперкоррелятор может быть разложен по где z {r, n, }. Существенная особенность этого суперсимметричным ортам выражения состоит в том, что умножение матричных элементов суперкорреляторов C(z, z ) следует понимать A(, ) =, B(, ) =, T (, ) =1. (45) не в функциональном, а в обычном смысле [15,21]. В результате компоненты собственно-энергетической функЛюбые X, Y, Z из этих ортов удовлетворяют функциоции (53) принимают вид нальному произведению ±(n) = µ2 + S(n) S(n)G±(n), (54а) X(, ) = Y(, )Z(, )d. (46) Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Суперсимметричная теория неупорядоченных гетерополимеров (1 +0)G+G1 S0 =. (58а) (n) = µ2 + S(n) S2(n). (54б) 1 - [u +(µ2 + 2q/2)q]G+G2 Первое из этих уравнений соответствует -образным Обратим внимание, что здесь использовано пространствкладам при = 0 (на это указывает индекс 0) и венно-временное представление.

отражет эффекты памяти, второе определено при частоте 0. При этом характерное произведение G+G- g5. Учет эффектов памяти и полюс структурного фактора (58а) и неэргодичности u + µ2 + q q = g-2, g G-( 0) (59) Следуя Эдвардсу и Андерсону [30], введем параметр композиционной памяти q (n = N)(n = 0), ве- определяет точку потери эргодичности. Подставляя в личина которого определяет корреляцию в чередовании уравнение Дайсона (52а) соответствующие компоненты мономеров вдоль всей полимерной цепи. Кроме того, (56а), (57б) собственно-энергетической части и учитыиспользуем параметр неэргодичности g0 - g, опре- вая определение g G-( 0), получаем уравнение, связывающее микроскопические значения восприимчиделяемый разницей изотермической g0 G-( = 0) и вости и параметра памяти термодинамической g G-( 0) восприимчивостей.

Тогда основные корреляторы приобретают удлинненную µ2 форму 1-rg+ug2 + g (g+q)2 -q2 + g (g+q)3 -q3 = 0.

2 (60) G±() =+G±0(), S(n) =q + S0(n), (55) Система уравнений (58)–(60) описывает термодинамическое поведение неупорядоченного гетерополимера где индекс 0 обозначает слагаемые, соответствующие урвблизи точки потери эргодичности. По аналогии с теогодической системе без памяти. Подставляя компоненты рией спиновых стекол [4] выражения (58), (60) играют (55) в (54), получаем роль уравнений Шеррингтона–Киркпатрика, а уравнение (59) определяет точку нестабильности де Альмейды– ±(n) = µ2 + q q +G±0(n) +±0(n), Таулесса. При этом необходимо иметь в виду, что для неэргодической системы следует различать макро- и микроскопические значения q0, q параметра памяти и соответ 2 ±0(n) µ2+2q S0(n)G±0(n)+ S0(n)G±0(n); (56а) ствующие величины g0, g восприимчивости (см. [18,21]).

Такая иерархия обусловлена тем, что микроскопические 1 2 характеристики, отвечающие пределу 0, являются (n) = µ2 + q q2 + µ2 + q qS0(n) +0(n), 2 3 2 обычными термодинамическими параметрами и зависят от температуры (параметра Флори ). Что касается 1 2 макроскопических величин q0, g0, то они соответствуют 0(n) (µ2 + 2q)S0(n) + S0(n). (56б) 2 точке = 0 и зависят от параметра замороженного бесЗдесь выделены члены, исчезающие в отсутствие памяти; порядка l, принимая в неэргодической области значения, слагаемые, нелинейные относительно корреляторов G±0, характерные для точки потери эргодичности.

S0, собраны в компонентах ±0, 0, а произведение Поскольку система из трех уравнений (58)–(60) S0 0 опущено. Характерно, что для определения ком- недостаточна для определения четырех параметров понент собственно-энергетической суперфункции (56) q0, g0, q, g, ее следует дополнить равенством использовалось ”временное” представление, тогда как 1 в уравнение Дайсона они входят в ”частотном”. Для q 1 - ug2 - µ2 + q qg2 = C2l-1g2, (61) 2 преодоления этой трудности используем флуктуационнопредставляющим микроскопический аналог уравнения диссипационную теорему [21] (58), полученного после выделения сингулярных состаS0(n 0) =G±0( 0) g, (57а) вляющих. Как известно из теории спиновых стекол [4], в неэргодических системах наблюдается иерархия таких ±0( 0) =0(n 0) сингулярностей, отвечающая набору бесконечно уменьшающихся ”частот” 0. Очевидно, уравнения (58), 1 (61) соответствуют = 0 и минимальной из этих (µ2 + 2q)q2 + g3, (57б) 2 ”частот”. В свою очередь, равенство (59) при = дает где в последнем соотношении учтено (56б).

Подставляя Фурье-образы компонент (55), (56) в уравu + µ2 + q0 q0 = g-2, g0 G-( = 0). (62) нение Дайсона (52б), с учетом (57) получаем Уравнения (58), (60)–(62) представляют полную систе1 q0 1 - ug2 - µ2 + q0 q0g2 = C2l-1g2, (58) 0 0 му для определения величин q0, g0, q, g.

2 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 376 А.И. Олемской, В.А. Бражный 6. Обсуждение Согласно равенствам (58), (62), макроскопический параметр памяти q0 определяется кубическим уравнением (µ2/2 + 2q0/3)q2 = C2l-1. (63) Характерный вид получающейся зависимости q0(l) от интенсивности замороженного беспорядка приведен на Рис. 2. Зависимость макроскопического параметра памяти qот значения корреляционной длины l (кривые 1, 2, 3 отвечают Рис. 4. Зависимость микроскопической g и макроскопичезначениям f = 0.5, 0.3, 0.1).

ской g0 восприимчивостей от параметра : a —при = 0, l = 0.1 и различных значениях состава f (кривые 1, соответствуют f = 0.5, 0.3); b —при f = 0.5, = 0 и различных значениях корреляционной длины l (кривые 1, 2, соответствуют l = 0.05, 0.1, 0.2); c —при f = 0.5, l = 0.1 и различных значениях параметра межрепличного перекрытия (кривые 1, 2 соответствуют = 0, 2).

рис. 2. При f = 0.5, когда содержание мономеров A, B одинаково, первое слагаемое в (63) пропадает и q0 l1/3.

В случае разбавленного сополимера, в котором выполняется условие f 1 (C2 C3), получаем зависимость q0 fl1/2.

Совместное решение уравнений (58), (60), (62) дает точку потери эргодичности 0, положение которой в зависимости от корреляционной длины l приведено на рис. 3 (жирная линия). Характерно, что ненулевое значение параметра 0 появляется при значении l, превышающем критическое, а с дальнейшим ростом l достигается максимальное значение 0 и происходит монотонное спадание. При этом эргодическая область, лежащая под зависимостью 0(l), как и следовало, уменьшается с ростом корреляционной длины. Условие dg/d = Рис. 3. Зависимость от корреляционной длины l характерных совместно с уравнениями (60), (61) дает равенство значений 0, f параметра Флори в точке потери эргодичности (жирная линия) и в точке замерзания (тонкая линия): a —при = 0 и различных значениях состава f (кривые 1, 2 отвечают u + µ2(gf + q) + (gf + q)2 = g-2. (64) f f = 0.5, 0.3); b — при f = 0.5 и различных значениях Оно определяет значение f параметра Флори в точке параметра межрепличного перекрытия (кривые 1, 2 отвечают = 0, 2). замерзания, ниже которой микроскопическая восприФизика твердого тела, 2001, том 43, вып. Суперсимметричная теория неупорядоченных гетерополимеров имчивость g равна нулю (рис. 4). Соответствующая зависимостьв f (l) от корреляционной длины приведена на рис. 3 (тонкая линия). Характерно, что кривая f (l) расположена под кривой потери эргодичности 0(l) и имеет ту же форму. На рис. 3, a показано влияние доли мономеров сорта A на величины параметров и f. При удалении от эквиатомного состава гетерополимера наблюдается рост указанных параметров.

Более сложное поведение имеет место при росте параметра межрепличного перекрытия (рис. 3, b). При малых l с увеличением наблюдается рост обоих значений 0, f, тогда как при больших величина уменьшается.

На рис. 4 представлена зависимость макроскопической g0 и микроскопической g восприимчивостей от параметра (ниже точки потери эргодичности 0 эти восприимчивости, как и соответствующие значения q0, q параметра памяти, совпадают). При = f зависимость g() имеет обрыв, ниже которого восприимчивость g принимает нулевое значение, отвечающее замороженному состоянию. Выше точки потери эргодичности 0 имеем постоянное значение g0 макроскопической восприимчивости и монотонно спадающее микроскопическое значение g (при нахождении последнего совместно с (60) Рис. 6. Зависимость параметра неэргодичности от параметра : a —при = 0, l = 0.1 и различных значениях состава f (кривые 1, 2 отвечают f = 0.5, 0.3); b — при f = 0.5, = 0 и различных значениях корреляционной длины l (кривые 1, 2, 3 отвечают l = 0.05; 0.1, 0.2); c —при f = 0.5, l = 0.1 и различных значениях (кривые 1, отвечают = 0; 2).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.