WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Yµ(q, k |)Fµ(q |0). (15) d2q F1(k |0) = 2 g(|k - q |) F3(k |0) (2)Соотношение (15) справедливо для всех значений x3 = 0+. Положив в (15) x3 = 0+, получим систему 2 2 d11X11d11+d11X12d22+d13X33X11d31 d11X11X33d13+d13X33d уравнений для компонент поля смещения F(k |x3) 2 2 d31X11d11+d31X12d22+d33X33X11d31 d31X11X33d13+d33X33dвблизи поверхности кристалла F1(k |0) d13Y31 d11Y13 F1(k |0) + 2. (19) d2q F3(k |0) d33Y31 d31Y13 F3(k |0) F(k |0) = (k - q ) (2)Здесь X X(q, k |), Y Y(k, k |), d d(k |), а тильда указывает на то, что соответ d(k |)Xµ(q, k |)Fµ(q |0) ствующая величина должна быть взята при значениях d2q (2) аргумента, равных q, например, d d(q |).

+ (k - q )d(k |) Закон дисперсии для волн Рэлея получается из усло(2)вия разрешимости матричного уравнения (19). При этом Yµ(q, k |)Fµ(q |0), (16) для упрощения выкладок воспользуемся соотношением det (A + A) =det A + det A · Sp (A-1A) +O(A2) где d(k |) =d(k |0+, 0). (17) (в рассматриваемом случае A — единичная матриЯвный вид функции профиля поверхности (x ) неиз- ца 2 2). Таким образом, дисперсионное соотношение вестен, известны лишь ее статистические свойства, по- для волн Рэлея имеет вид этому систему уравнений (16) необходимо усреднить по d2q ансамблю реализаций функции (x ). С этой целью мы 1 = 2 g(|k - q |) d11X11d(2) в соответствии с [9] введем оператор P, усредняющий все величины, на которые он действует, по ансамблю + d11X12d22 + d13X33X11d31 + d31X11X33d реализаций функции профиля Pf = f и оператор Q = I - P, где I — единичный оператор. + d33X33d + 2(d31 - d13)Y13. (20) Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Дисперсия и затухание волн Рэлея на статистически шероховатой, свободной поверхности... Используя далее явные выражения для функции d, В выражении (26) In(z ) — модифицированная функция перепишем (20) в виде Бесселя порядка n, а коэффициенты Cn(q, k |R) имеют вид (k |) =2Z(k |), (21) Cn(k, q |R) =k8t(k, R)Cn(), (27) где = q /k. Знаменатель подынтегрального выражегде (k |) — рэлеевский детерминант, который в слуния в (26) (q |R) следует понимать как (q |R + i) чае изотропной среды переходит в выражение (4.11) при 0+. Как следует из (22), (q, R + i) работы [15]. Явный вид функции Z(k |) ввиду громоздобращается в нуль при = 1 и = 0. Рассматривая кости пока не приводим.

(q |R + i) формально как функцию переменных q и В предельном случае = 0 уравнение (21) описывает R, разложим в ряд Тейлора в окрестности q = k, закон дисперсии волн Рэлея, распространяющихся вдоль = плоской поверхности гексагонального кристалла, параллельной базисной плоскости (q, R) (q, R +i) =k - 1 - i.

q (k,R ) R (k |R) =0. (22) (28) Пользуясь известным соотношением Его решение [17] имеет вид R(k ) = k cR, где cR — скорость рэлеевских волн на плоской поверхности гек1 сагонального кристалла (Z-срез). Если ввести удобное = P - isign ()(x), (29) x + i x для дальнейшего рассмотрения обозначение где символ P означает интегрирование в смысле главноR = c44k2, (23) го значения Коши и sign () =±1 для 0, получаем cто cR =. Здесь зависит только от компонент (q |R + i) тензора модулей упругости и определяется следующим из (22) уравнением:

1 ( - 1) = P + i. (30) (q |R) k (q |R) c44 cq q =k 1 - 3+ - 1 - 2a1 2+a1(2+a1)-a2 = 0, c33 cДалее удобно перейти к безразмерной функции 12, c11c33 - c2 определяемой равенством a1 =, (24) c33c (k ) = 12(), (31) при условии 0 <

R aПоскольку в выкладках удерживаются лишь члены где = k a. Учитывая (30) и сделав замену переменной O(1) и O(2), в правой части уравнения (21) можно положить = R(k ) = k cR. Разлагая далее (k |) интегрирования t = 2/ в (26), получаем закон дисперв ряд Тейлора в окрестности = R, закон дисперсии сии 12() в окончательном виде волн Рэлея на статистически шероховатой поверхности d запишем в виде 12() = - 4 exp(-2/4) (k ) =R(k ) + (k ) (A() +B() +E()) + 2l, (32) Z(k |) = R(k ) +2. (25) где коэффициенты A(), B(), E(), l, d приведены / =R в Приложении А. Выражение (32) комплексное, поэтому 12() можно записать в виде Если теперь подставить в Z(k |) поверхностный рассеивающий фактор g(|k |) в гауссовой форме (2), 12() =1() - i2(), (33) перейти к полярным координатам и проинтегрировать по углу, то для Z(k |R) получим где 1() и 2() — вещественные функции. Вещественная часть 12() определяет дисперсию фазовой exp(-q2a2/4) скорости aZ(k |R) = exp(-k2a2/4) dq q c d2 (q |R) = 1(), (34) cR aа мнимая — обратную длину затухания волн Рэлея k q a Cn(q, k |R)In - 2Y13d13 (k |R).

1 n== 22(). (35) (26) l aФизика твердого тела, 2003, том 45, вып. 374 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин Выражение (32) содержит комплексные функции t1,t2(t), которые входят в функцию Грина [17]. Исходя из условий, что поверхностная волна должна исчезать на бесконечной глубине и должна быть уходящей от поверхности, в [17] на них накладываются следующие условия:

Re t1,t2(t) > 0, Im t1,t2(t) < 0. (36) Условия (36) могут быть выполнены только в том случае, если t1,t2(t) — вещественные функции, что дает следующие условия на соотношения коэффициентов модулей упругости:

Рис. 2. График зависимости 1() для ZnO. Сплошная криc11 c44 2 c44 1 + + 1 вая — для монокристалла; штриховая — для поликристалла c33 c11 c(с коэффициентом Пуассона = 0.356 [18]).

c44 c44 c- 1 + 1 + a1 - 2 0, c11 c33 cесли c13 2 ca1 - 2 > 4, c33 cc11 c44 c13 c2 1 + - a1 - 2 1 + 0, c33 c11 c33 cесли c13 2 ca1 - 2 - 4 = 0. (37) c33 cУсловия (37) выполнены для большинства известных гексагональных кристаллов (см. таблицу). В случае Рис. 3. График зависимости 2() для ZnO. Сплошная кривая — для монокристалла; штриховая — для поликристалла ( = 0.356 [18]).

Численные значения, и cR для ряда гексагональных кристаллов Темпераизотропной среды, когда Среда, g · cm-3 cR, km · s-тура, K c11 = c33 = c2, c44 = ct, l Be 293 1.816 7.203 0.4125 0.CdS 293 4.825 1.700 0.3073 0.c12 = c13 = (c2 - 2ct ), (38) Co 298 8.836 2.808 0.3572 0.06368 l Лед 257 0.960 1.768 0.3624 0.закон дисперсии (31) переходит в выражение (4.16) Лед 248 0.960 1.730 0.3448 0.работы [15].

Лед 263 0.960 1.703 0.3437 0.Численный счет функций 1(), 2() для ZnO приЛед 268 0.960 1.702 0.3470 0.веден на рис. 2 и 3, где штриховые кривые соответMg 0 1.799 3.006 0.4100 0.ствуют поликристаллу ZnO с коэффициентом Пуассона SiO2 873 2.517 3.516 0.4257 0. = 0.356. Метод расчета коэффициента Пуассона SiO2 873 2.533 3.516 0.4178 0.ZnO 293 5.676 2.615 0.3587 0.07057 для поликристаллического вещества, по данным для Y 4 4.472 2.285 0.4700 0.монокристалла, предложен в работе [18]. Анализ рис. 2, Y 75 4.472 2.276 0.4704 0.и сравнение их с соответствующими рисунками для Y 200 4.472 2.225 0.4607 0.изотропного случая [15] и для других гексагональных Y 300 4.472 2.177 0.4479 0.кристаллов из таблицы показывает, что качественно Y 400 4.472 2.139 0.4374 0.они одинаковы для всех монокристаллов и совпадают с соответствующими графиками для изотропных сред, Коэффициенты тензора модулей упругости, входящие в cR, и, взяты из [18]. отличаясь от них в количественном отношении.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Дисперсия и затухание волн Рэлея на статистически шероховатой, свободной поверхности... 4. Длинноволновый предел a (32), которое в изотропном пределе переходит в выражение (4.16) работы [15]. Как и в изотропном случае, Для всех известных гексагональных кристаллов выудалось в явном аналитическом виде получить выражеполнены соотношения ние для действительной 1() и мнимой части 2() комплексного сдвига частоты 12(). Однако ввиду гроc11 > c12, c11 > c44. (39) моздкости они не приводятся в настоящей работе.

Кривые 1() и 2() получены в результате численИз условия c11 > c12 (39) следует, что h > 0. В выраных расчетов для всех гексагональных кристаллов, при жении для t2 входит корень, который из условия (37) 1,tведенных в таблице. Результаты расчетов для типичного положителен z - 4y2 0. Следовательно, если z = 0, гексагонального кристалла ZnO приведены на рис. 2, 3.

то y2 0, отсюда получаем Аналитически и численно исследовано наиболее интересное в экспериментальном плане длинноволновое c44 1 + c44/c 1. (40) приближение a. При этом 1, 2 4, так c11 a1 - 2c13/cчто для относительного изменения фазовой скорости и обратной длины затухания имеем: c/cR, Учитывая (39) и (40), легко видеть, что (t) —чисто c1/l 5. Сравнение результатов расчетов для ZnO мнимая величина в области 0 < t <, а t2(t) — cданной работы с результатами работы [16] показычисто мнимое в области 0 < t < 1; в остальной области t1,t2(t) — вещественны. На основании сделанных заме- вает их совпадение. В заключение отметим, что результаты настоящей работы применимы к гексагональчаний рассмотрим 12() (32) в пределе длинных волн ным кристаллам, относящимся к кристаллическим клас ( = ka 1). В этом случае вклад в 12() будут сам 6, 6, 6/m, 6mm, 6m2, 622, 6/mmm в обозначениях вносить только коэффициенты, стоящие при I0, так как Германа–Могена.

I0(0) =1, а In(0) =0 при n = 1, 2,.... Результат удобно записать, введя следующие обозначения:

Приложение А 1() =-, 2() =, (41) где и являются константами, независящими от, dt exp(-2t/4) 2 t A() = ( + th2)I d 2 tt(t) 2 = a1h3/2 + 2(a1 - h)2 + h2a 2 t 3/2 2 t m + n + m - n, (42) - thI1 - I2 2 = d(A + B + E). (43) 2 t h2 t 2 t Коэффициенты m, n, A, B, E приведены в Приложении В.

+ h tI3 -, (A.1) 2 2 Численные значения и для большинства кристаллов приведены в таблице.

dt2 exp(-2t/4)p(t) Таким образом, в работе теоретически исследовано B() =-P распространение ПАВ Рэлея вдоль статистически ше- 2 m(t) +(1 - a1t) t - роховатой свободной поверхности x3 = (x1, x2) гекса гонального кристалла, ось симметрии шестого порядка 2 t которого перпендикулярна его поверхности, так что (t)In, полюс t =, (A.2) n рэлеевская волна распространяется в базисной плосn=кости (Z-срез). Поскольку в подавляющем большин2 3 стве работ, посвященных обсуждаемой проблеме [2–15], E() =id exp - a2 - 2a1h + h2 + 4 2 твердое тело рассматривалось как изотропная среда, в настоящей работе сделана попытка выйти за рамки такого „изотропного“ рассмотрения. Шероховатость по- +(a1 - )2 - (a1 - h) Iверхности предполагалась слабой (/ 1), а задача решалась с помощью модифицированного метода среднего + ( + h - 2a1)Iполя [15] в рамках теории возмущений. Выбор данного метода определялся тем, что результаты, полученные с его помощью, включают гриновский тензор, который 2 + + 2h(a1 - h) - h Iв настоящее время известен только для изотропной 2 среды [3] и для Z-среза гексагонального кристалла [17].

В явном аналитическом виде в интегральной форме 2 h2 - hI3 + I4, получено дисперсионное соотношение для ПАВ Рэлея 2 2 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 376 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин d c13 cПриложение В l = - 1 + - a1 - 1 + a1, p c33 c(A.3) a1 c13 c cm = -, n = m2 -, (1 - ) - p c2 c33 cd =, (A.4) c2a1- + 1 2 - a1 c11 + 3 + 2a1 c3/2 c44 c44 cA = + h, (B.1) 2h 2(a1 - h)2 + h2 t - (t) =t t - 1 + dt 2p(t) 2 B = -Im 2 m(t) +(1 - a1t) t - 2t(a1 - h) c33 + c+ - a pp(t) c 2(a1 - h)2 + h2 t - t t - 1 + c2 m(t) - t - 1 + m(t)(a1 - ), (A.5) c t - 1 t2(a1 - h) c33 + c + + - a2 t c33 + c13 2 pp(t) c (t) =- - a pp(t) cc m(t) - t - 1 + m(t)(a1 - ), (B.2) c13 c m(t) - t -1 - t(t-1)(2a1-h), (A.6) c3 E = d a2 - 2a1h + h2 + 2 2ht (t) = t -1 + 2h(a1 - h)t t -1 + 2 pp(t) +(a1 - )2 - (a1 - h). (B.3) c33 + c13 c - a1 m(t) - t - 1, (A.7) c33 cСписок литературы h (t) =-h t(t - 1), (t) = t t - 1, 3 [1] Lord Rayleigh. Proc. Lond. Math. Soc. 17, 54 (1887).

[2] Е.И. Уразаков, Л.А. Фальковский. ЖЭТФ 63, 6(12), (1972).

c11 - ch =, (A.8) [3] A.A. Maradudin, D.L. Mills. Ann. Phys. (N.Y.) 100, 2, 2c(1976).

2 [4] В.Г. Полевой. Акуст. журн. 29, 1, 91 (1983).

c2 1 + - a[5] В.В. Косачёв, Ю.Н. Лохов, В.Н. Чуков. ЖЭТФ 94, 9, c =, (1988).

2c13+ca2(1 - ) - 1 + - a1 1 c33 [6] Нгуен Ван Чонг. Укр. физич. журн. 28, 11, 1699 (1983).

[7] В.В. Крылов, В.Е. Лямов. ЖТФ 49, 11, 2514 (1979).

[8] В.В. Косачёв, Ю.Н. Лохов, М.В. Поликарпов. Тез. докл.

p(t) = t1(t) + t2(t), p = p(1/), (A.9) XIII Всесоюзной конференции по акустоэлектронике и квантовой акустике. (1986). Т. 1. С. 131.

t1(t) =1/2 z (t) + z (t) - 4y2(t), [9] A.G. Eguiluz, A.A. Maradudin. Phys. Rev. B 28, 2, (1983).

[10] A.P. Mayer, M. Lehner. Waves in Random Media 4, 3, t2 (t) =1/2 z (t) - z (t) - 4y2(t), (A.10) (1994).

[11] X. Huang, A.A. Maradudin. Phys. Rev. B 36, 15, 7827 (1987).

t1(t)t2(t) [12] В.В. Косачёв, Ю.Н. Лохов, В.Н. Чуков. ФТТ 32, 7, m(t) =, (1990).

t - [13] V.V. Kosachev, Yu.N. Lokhov, V.N. Chukov. Solid State Commun. 73, 8, 535 (1990).

ht - 1, ht - 1 0, [14] С.З. Дунин, Г.А. Максимов. Препринт МИФИ 032-88, М.

tt(t) = (A.11) -i 1 - ht, ht - 1 < 0, (1988).

[15] V.V. Kosachev, A.V. Shchegrov. Ann. Phys. (N.Y.) 240, 2, (1995).

y2(t) =c11/c33(t - 1)(t - c44/c11), [16] A.V. Shchegrov. J. Appl. Phys. 78, 3, 1565 (1995).

[17] L. Dobrzynski, A.A. Maradudin. Phys. Rev. B 14, 6, z (t) =(a1 - 2c13/c33)t - (1 + c44/c33), (A.12) (1976); Erratum. Phys. Rev. B 15, 4, 2432 (1977).

[18] O.L. Anderson. Phys. Acoust. B3, 80 (1965).

c11, c12, c13, c33, c44 — независимые компоненты тензора модулей упругости гексагонального кристалла.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.