WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 2 Дисперсия и затухание волн Рэлея на статистически шероховатой, свободной поверхности гексагонального кристалла © В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет), 115409 Москва, Россия E-mail: kosachev@pc1k32.mephi.ru (Поступила в Редакцию 30 октября 2001 г.

В окончательной редакции 11 марта 2002 г.) Для Z-среза гексагонального кристалла с помощью модифицированного метода среднего поля в рамках теории возмущений аналитически исследованы дисперсия и затухание поверхностных акустических волн Рэлея на свободной статистически шероховатой поверхности. В области частот, достижимых по теории возмущений, выполнены численные расчеты с использованием выражений для действительной и мнимой частей комплексного сдвига частоты волн Рэлея, вызванного слабой шероховатостью поверхности. Показано, что для Z-среза гексагонального кристалла характер дисперсии и затухания рэлеевских волн качественно совпадает со случаем изотропной среды, отличаясь в количественном отношении. В длинноволновом пределе a, где a — поперечная корреляционная длина шероховатости, в явном аналитическом виде получены выражения для относительного изменения фазовой скорости и обратной длины затухания волн Рэлея, с использованием которых также были выполнены численные расчеты.

На протяжении последних двадцати пяти лет в лите- части сдвига частоты, т. е. для затухания. В работах [3–5] ратуре появилось большое число работ, как теоретиче- исследовано затухание ПАВ Рэлея на основе подхода ски, так и экспериментальных, посвященных исследова- теории рассеяния методом функции Грина. Заметим, нию распространения поверхностных акустических волн что метод среднего поля в отличие от подхода теории (ПАВ) вдоль статистически шероховатой поверхности рассеяния позволяет определить не только мнимую, но твердого тела. Внимание исследователей объясняется и действительную часть сдвига частоты. В работах [6–8] высокой чувствительностью ПАВ к различным возму- закон дисперсии рэлеевских волн на статистически шещениям поверхности, по которой они распространяются. роховатой поверхности получался путем решения уравА случайная шероховатость является одним из наиболее нения Дайсона для средней функции Грина. При этом распространенных видов возмущения, которое присут- дисперсионные соотношения также имели интегральный ствует в той или иной степени на поверхности любого вид, а дисперсия и затухание оценивались по порядку образца и обусловлено технологией его приготовления. величины в предельных случаях коротких и длинных Это послужило причиной широких технических приме- (по сравнению с поперечной корреляционной длиной нений ПАВ в сейсмологии, ультразвуковой дефектоско- шероховатости) волн Рэлея.

пии и акустоэлектронике. Наиболее полно, с нашей точки зрения, дисперсия и Основное внимание уделялось рэлеевским волнам, затухание ПАВ Рэлея на слабошероховатой свободной которые, как известно [1], могут существовать в по- поверхности изотропного упругого полупространства лубесконечной упругой среде, ограниченной плоской исследованы в работе [9]. С помощью метода среднего поверхностью, распространяясь вдоль нее без дисперсии поля авторам удалось получить в явном аналитическом и затухания. В случае, когда поверхность является виде действительную и мнимую части сдвига частоты.

слабошероховатой (характерные высоты шероховатости Поскольку выражения для дисперсии фазовой скорости малы по сравнению с длиной исследуемой волны), и коэффициента затухания были достаточно сложныв законе дисперсии рэлеевской волны появляется малая ми и содержали интегралы, авторы [9] просчитали их добавка, обусловленная шероховатостью, — частотный численно в широком диапазоне частот. В работе [10] комплексный сдвиг. При этом вещественная часть сдвига обобщены приближения, развитые в [9], на случай слоичастоты описывает дисперсию фазовой скорости вол- стых сред с учетом пьезоэффекта. Заметим, что в рабоны Рэлея, в то время как мнимая характеризует ее тах [2–10] рассматривалась в основном шероховатость затухание. трехмерного типа x3 = (x1, x2). Важный класс задач, Первой работой, в которой теоретически получено связанный с исследованием дисперсии и затухания волн дисперсионное соотношение для ПАВ Рэлея, распро- Рэлея на шероховатости двумерного типа x3 = (x1), страняющейся вдоль статистически шероховатой сво- рассмотрен в работах [10–14].

бодной поверхности изотропного твердого тела, была Анализ работ [2–14] показывает, что полученные работа [2]. Закон дисперсии получен в интегральном в них результаты часто серьезно различаются, а иновиде с помощью метода среднего поля (метода Рэлея). гда и противоречат друг другу. Причем это относится Поскольку интеграл в явном виде вычислить не удается, к выводам, полученным как различными методами, так авторы [2] оценили его по порядку величины для мнимой и в рамках одного и того же метода. С целью прояснить 12 370 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин и сравним их с результатами работы [16]. Что касается исследования дисперсии и затухания волн Рэлея, распространяющихся вдоль Z-среза шероховатой поверхности x3 = (x1) гексагональной упругой среды в произвольном направлении, то этому будет посвящена отдельная статья.

1. Постановка задачи. Эффективные граничные условия для упругой полубесконечной гексагональной среды, ограниченной свободной слабошероховатой поверхностью Рис. 1. Геометрия полубесконечной однородной упругой гексагональной среды с трехмерно-шероховатой свободной Геометрия задачи изображена на рис. 1. Гексагональповерхностью x3 = (x ).

ный кристалл, рассматриваемый в приближении упругого континуума, с осью симметрии шестого порядка, параллельной оси x3, ограничен свободной, шероховатой создавшуюся ситуацию, в работе [15] был предложен поверхностью x3 = (x ) и занимает полупространство модифицированный метод среднего поля, позволивший x3 > (x ), где x =(x1, x2, 0). Гексагональная упругая получить выражение для дисперсии и затухания, ко- среда характеризуется плотностью массы и тензором торые вместе с соотношениями из [5] подтвердили модулей упругости Cµ. Вдоль статистически шерохорезультаты работы [9].

ватой поверхности гексагональной среды (Z-срез) расСледует отметить, что большинство цитируемых выше пространяется волна Рэлея. Требуется найти дисперсию работ связано с рассмотрением именно изотропных сред.

фазовой скорости и затухание рэлеевской волны, обусВ работах же [10,15], результаты которых включали ловленные шероховатостью поверхности.

гриновский тензор для анизотропной упругой среды, Для случайно шероховатой поверхности мы не знаем занимающей полупространство x3 > 0, численные вы- точного выражения для функции профиля поверхночисления проделаны только для изотропного случая. сти (x ), поэтому будем описывать поверхность ее Вместе с тем подавляющее большинство материалов, статистическими свойствами используемых в практических применениях ПАВ, явля (x ) = 0, (x ) (x ) = 2W (|x - x |), (1) ются анизотропными кристаллами. Однако здесь в отличие от изотропных сред вычислительные сложности где = — среднеквадратичная амплитуда шеровозникают даже для идеально гладкой поверхности.

ховатости, угловые скобки означают усреднение по анРабота [16] является, по-видимому, первой работой, самблю реализаций функций профиля (x ), а W (|x |) — в которой в длинноволновом пределе были получены корреляционная функция, которая в дальнейшем будет частотные зависимости для дисперсии и затухания ПАВ выбираться в гауссовом виде Рэлея. Для различных срезов анизотропной среды численные кривые для относительного изменения фазовой W (|x |) =exp(-|x |2/a2), (2) скорости ПАВ Рэлея построены в зависимости от угла где a — поперечная корреляционная длина шероховатораспространения.

сти, характеризующая среднее расстояние между послеВ настоящей работе исследуется распространение довательными пиками или впадинами на поверхности.

ПАВ Рэлея вдоль статистически шероховатой свободной Шероховатость поверхности предполагается слабой, поверхности гексагонального кристалла (шероховатость т. е. считаем, что характерные высоты неровностей трехмерного типа). При этом статистическая шерохомалы по сравнению с длинами исследуемых волн ватость предполагается слабой, а поверхность x3 = (/) 1. Зависимость поля смещения u(x, t) от вресовпадает с базисной плоскостью кристалла (Z-срез).

мени предполагается гармонической В качестве метода исследования выбран модифицированный метод среднего поля [15], позволяющий получать u(x, t) =u(x|) exp(-it).

дисперсионные соотношения для ПАВ различных поС учетом сделанных предположений уравнения движеляризаций на свободной слабошероховатой поверхности ния среды имеют вид твердого тела с произвольной симметрией. Мы получим в аналитическом виде дисперсионное соотношение для 1 2µ + Cµ uµ(x|)=0, x3 >(x ), (3) сдвига частоты волн Рэлея и исследуем его численно xx во всем диапазоне частот, достижимых в рамках теории возмущений. Кроме того, мы получим аналитические где малые греческие индексы,,... пробегают знавыражения для дисперсии фазовой скорости и коэффи- чения 1, 2, 3, по повторяющимся индексам подразумевациента затухания волн Рэлея в длинноволновом пределе ется суммирование.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Дисперсия и затухание волн Рэлея на статистически шероховатой, свободной поверхности... Граничные условия на свободной поверхности имеют с помощью интегральной теоремы Грина получаем вид (x3)u(x|) uµ(x|) Cµ n = 0, a = 1, 2, 3, (4) 1 uµ(x|) x x3= (x ) = d2x D(x, x |) C3µ, (6) x x 3=где n — единичный вектор нормали к поверхности, где (x3) — ступенчатая функция Хевисайда.

зависящий от двумерного вектора x.

В соответствии с постановкой задачи гексагональный Чтобы получить дисперсионное соотношение для кристалл ориентирован так, что поверхность x3 = 0 совПАВ (а таковой может быть как ПАВ Рэлея, так и падает с базисной плоскостью кристалла (Z-срез). На баПАВ сдвиговой — горизонтальной (SH) поляризации), зисной плоскости гексагонального кристалла все направнеобходимо решить уравнения движения (3) в полупроления эквивалентны для упругих волн. Иными словами, странстве x3 > (x ) с учетом граничных условий (4) в плоскости x3 = 0 гексагональный кристалл обладает на свободной поверхности x3 = (x ). Эту задачу будем трансляционной инвариантностью в направлениях, парешать с помощью модифицированного метода среднего раллельных плоскости x3 = 0. Поэтому получаем поля, развитого в [15], где показано, что в случае слабошероховатой поверхности эта задача может быть D(x, x |) =D(x - x ; x3, x 3|), сведена к более простой, а именно к тем же уравнениям движения (3), но в полупространстве x3 > 0, и эффека функцию Грина удобно представить в виде фурьетивным граничным условиям на плоской поверхности интеграла x3 = 0. Эти эффективные граничные условия для фурьекомпонент поля смещения во втором порядке по d2k D(x, x |) = exp(ik (x - x ))D(k |x3x 3).

получены в работе [1] (см. выражения (2.19)).

(2)Как отмечалось в [15], при выводе эффективных Тогда система интегральных уравнений (6) в фурье-предграничных условий использовано лишь предположение о слабой шероховатости поверхности, а симметрия сре- ставлении имеет вид ды не конкретизировалась. Таким образом, эффективные (x3)u(k |x3) =D(k |x30) граничные условия справедливы и для рассматриваемого случая Z-среза гексагональной упругой среды.

C3µ ik + C3µ3 uµ(k |x 3), (7) x x 3=2. Система уравнений для среднего где индекс пробегает значения 1, 2.

поля смещения Выражение в фигурных скобках в правой части (7) совпадает с левой частью выражения для эффективных Для получения дисперсионного уравнения для волн граничных условий. Таким образом, мы приходим к Рэлея предварительно получим систему уравнений для однородному интегральному уравнению для u(k |x3) среднего поля смещения. Для этого удобно перейти во втором порядке по от системы дифференциальных уравнений движения (3) в полупространстве x3 > 0 и эффективных граничных d2q условий на плоской поверхности x3 = 0 к системе ин(x3)u(k |x3) = D(k |x30) (2)тегральных уравнений. С этой целью вводится функция Грина D(x, x |), удовлетворяющая уравнению (k - q )Mµ(q, k |)uµ(q |0) 1 d2q 2µ + Cµ Dµ (2) + D(k |x30) (k - q ) xx (2) (x, x |) =(x - x ), x3, x 3 0 (5) Nµ(q, k |)uµ(q |0). (8) и граничным условиям на плоскости x3 = 0 и на бескоВыражение (8) можно существенно упростить, если ввенечности сти вещественную ортогональную 3 3 матрицу S(k ) и обратнуюей S-1(k ) C3µ Dµ(x, x |) x =0 = 0, D(x, x |) x = 0.

3 x k1 k2 0 k1 -k2 k2 k1 0, Используя далее факт убывания поля смещения при S(k ) = -k2 k1, S-1(k ) = удалении от поверхности, а также свойство симметрии 0 0 1 0 0 гриновского тензора k k =, = 1, 2, (9) D(x, x |) =D(x, x |), k 12 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 372 В.В. Косачёв, Ю.Н. Гандурин а также следующие определения: Действуя на обе части уравнения (16) последователь но операторами P и Q и подставляя далее второе из F(k |x3) =Sµ(k )uµ(k |x3), (10) получающихся уравнений в первое, с учетом равенства (2) P (k - q ) =2(2)2(k - q ) d(k |x3x 3) =Sµ(k )Dµ(k |x3x 3)S-1(k ), (11) и свойства (14) матрицы X получим однородную систе X(q, k |) =Sµ(k )Mµ(q, k |)S-1(q ), (12) му линейных алгебраических уравнений для компонент среднего поля Y(q, k |) =Sµ(k )Nµ(q, k |)S-1(q ). (13) d2q Что касается матриц X и Y, то исходя из свойств симметрии тензора модулей упругости C = C F(k |0) = 2 (2)2 g(|k - q |)d(k |) легко показать, что они обладают следующим свойством:

X(q, k |)dµ(q |)XT (q, k |) F(k |0) XT (k, q |) =X(k, q |), + 2d(k |)Yµ(k, k |) Fµ(k |0). (18) T Y (k, k |) =-Y(k, k |), (14) Для Z-среза гексагонального кристалла с плоской границей функция Грина d получена в работе [17] где символ „T “ обозначает операцию транспонировадля любых x3, x 3. В выражение (18) входит функция ния. Матрицы X, Y по виду совпадают с выражениями Грина на поверхности кристалла (17). Поэтому после (А.7а)–(А.8е) работы [15] и зависят от и компонент несложных алгебраических преобразований ее вид сильтензора модулей упругости для гексагональной среды.

но упрощается по сравнению с [17].

Умножая обе части уравнения (8) слева на S(k ), с учетом (9)–(13) получим 3. Дисперсионное уравнение для волн d2q Рэлея (x3)F(k |x3) = (k - q ) (2)Исследование интегрирования по углам в (18) по d(k |x30)Xµ(q, k |)Fµ(q |0) казывает, что компоненты F1(k |0) и F3(k |0) отделяются от F2(k |0), при этом для поверхностных d2q (2) волн сагиттальной поляризации (ПАВ Рэлея) получает+ (k - q )d(k |x30) (2)ся следующее матричное уравнение:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.