WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 3 Фотовозбуждение носителей с уровней в квантовых точках в состояния континуума в процессе лазерной генерации © Л.В. Асрян¶, Р.А. Сурис¶¶ Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 7 августа 2000 г. Принята к печати 16 августа 2000 г.) Дается теоретический анализ фотовозбуждения носителей с уровней в квантовых точках в состояния непрерывного спектра в процессе лазерной генерации. Используется простейший подход, дающий верхнюю оценку коэффициента поглощения и сечения фотовозбуждения. Показано, что поглощение и сечение в процессе фотовозбуждения носителей существенно для работы лазера на квантовых точках только при очень низких полных потерях, например, в случае длинных резонаторов.

В статье оцениваются коэффициент поглощения и матричного элемента импульса, усредненный по всем сечения фотовозбуждения носителей с уровней в кван- направлениям волнового вектора k конечных состояний товых точках (КТ) в состояния непрерывного спектра в заданной энергии электрона, процессе лазерной генерации. Используется простейший 3 c(n + ) =( 2m3/2/2 ) n + подход, не учитывающий сложную структуру валентной c зоны и взаимодействие c- и -зон. Полученные таким — плотность состояний непрерывного спектра в зоне образом значения дают верхнюю оценку коэффициента проводимости, степень заполнения fn задается функцией поглощения и сечения. Эта приближенная оценка необраспределения Ферми-Дирака.

ходима для понимания роли фотовозбуждения носителей Можно записать |M|2 в виде k в работе лазера.

Фотовозбуждение носителей с уровней в КТ в состо2 |M|2 = яния непрерывного спектра является аналогом процесса k 4a3 поглощения света на свободных носителях в объемном материале. Однако в отличие от этого процесса 2 0(r1)(r2)kx exp[ik(r1 - r2)]dr1dr2dk, (2) 0 не требуется участия третьей частицы (одновременно с электроном (дыркой) и фотоном) для выполнения где dk = (sin )dd — элемент телесного угла.

закона сохранения импульса при поглощении в КТ. Роль Поскольку блоховские функции начального и конечного ”третьего тела” играют границы трехмерной ямы КТ:

состояний уже учтены в соотношении (1) (1/mc входит передача необходимого импульса происходит за счет в (1) вместо 1/m0), то соответствующие огибающие взаимодействия с ними.

функции, т. е. волновая функция основного состояния в Приведенный к одной КТ коэффициент поглощения трехмерной прямоугольной яме 0(r) и плоская волпри фотовозбуждении электрона с уровня в КТ в состона (1/a3/2) exp(ikr), входят в (2). Поскольку энергия яния непрерывного спектра в зоне проводимости есть перехода намного превышает граничную энергию для перехода в непрерывный спектр ( Ec - n, где ex,n = 42 |M|2 c(n + ) k Ec — разрыв края зоны проводимости на гетерограни mc це КТ– барьерная область ), пренебрегается отличием [ fn(n) - fn(n + )], (1) огибающей волновой функции состояния непрерывного спектра вблизи КТ от плоской волны. Здесь рассматригде = e2/ c — постоянная тонкой структуры, — ваются кубические КТ, a — размер КТ.

диэлектрическая проницаемость, mc — эффективная масПерейдя в (2) от переменных интегрирования r1 и rса электрона, = Eg + n + p — энергия поглощаек r(x, y, z) и R(X, Y, Z):

мого фотона, равная энергии фотона, излучаемого при переходе с уровня размерного квантования электрона на r = r1 - r2, R =(r1 + r2)/уровень дырки в КТ (рис. 1), Eg — ширина запрещенной и от и к u и v:

зоны материала КТ, n и p — энергии уровней размерного квантования электрона и дырки в КТ, отсчитываемые 2 u = ky/k = sin sin, v = kz/k = sin cos, от краев зон (рис. 1), n + = k2/(2mc) —энергия электрона в состоянии непрерывного спектра в зоне получаем проводимости, |M|2 — квадрат абсолютной величины k + ¶ В настоящее время: State University of New York at Stony Brook, 2 k |M|2 = G(x, k)dx, (3) Stony Brook, NY 11794–2350, USA k a¶¶ E-mail: suris@theory.ioffe.rssi.ru 358 Л.В. Асрян, Р.А. Сурис где + + G(x, k) = dydz - fx(y, z, u, v) exp[ikSx(y, z, u, v)]dudv. (4) В соотношении (4) область интегрирования по u и v задается неравенствами u2 + v2 1, u 0 и v 0.

Фазовая и предэкспоненциальная функции равны Sx(y, z, u, v) =x 1 - u2 - v2 + yu + zv, fx(y, z, u, v) =P(x, y, z) 1 - u2 - v2, где r r P(x, y, z) =P(r) = 0 R + R - dR. (5) 2 Рис. 1. Энергетическая зонная диаграмма лазерной структуры При больших k правую часть уравнения (4) можно на квантовой точке. Стрелками 1 и 2 изображены переходы аппроксимировать методом стационарной фазы для крат- носителей с уровней размерного квантования в состояния непрерывного спектра при поглощении света.

ких интегралов [1] (гл. 3, разд. 2, уравнение (2.6)).

В результате для главного члена асимптотического разложения G(x, k) по обратным степеням k получаем В приближении экпоненциального спада волновой G(x, k) = P(x, 0, 0) exp(ikx). (6) функции связанного состояния в барьерных областях kнепосредственно за границами КТ, интеграл в (9) равен С помощью (6) имеем квадрату волновой функции (на границе КТ) носителя + + в одномерной яме глубиной Ec, 0(a/2). Восполь8 зовавшись выражением для 0(a/2) [2], для |M|2 k |M|2 = dY dZ k aокончательно получим - (x) + m2n Ec 1 1 ka c |M|2 = 256 sin2, k 0(X, Y, Z) exp(ikX)dX. (7) 1 + 2/(an) a4k6 (10) (x) где n — энергия основного состояния в одномерной В (7) интеграл от 0(X, Y, Z) по X в свою очередь (x) аппроксимируется методом стационарной фазы [1], что яме, n = 2mc(Ec - n )/. Осцилляционный хадает для главного члена разложения рактер зависимости |M|2 от k является следствием k + резкой границы потенциальной ямы, использованной в наших расчетах.

0(X, Y, Z) exp(ikX)dX С помощью (10), проведя усреднение (1) по КТ, учитывая фотовозбуждение одновременно электронов и дырок с уровней КТ в состояния непрерывного спектра ka 20 20 = 2 sin -. (8) в зоне проводимости и валентной зоне, получим для ex 2 X2 X=(a/2)+0 X2 X=(a/2)-0 kи сечения фотовозбуждения ex:

Исключив 20/X2|X=(a/2)±0 в (8) с помощью уравнения Шредингера, имеем ex = ex = Cn fn + Cp fp, (11) m2Ec 1 ka c |M|2 = 128 sink где Cn,p дается в виде a3k6 + + (x) n,pEc, 1 1 ka a Cn,p = 128 2 sin2, 2, Y, Z dY, dZ. (9) 7/m3/20 1 + 2/(n,p) 4 2 c, - (12) (Различием эффективной массы электрона в материалах где угловые скобки... означают усреднение по КТ и барьерной области пренебрегается). неоднородно уширенному ансамблю состояний в КТ, Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Фотовозбуждение носителей с уровней в квантовых точках в состояния континуума... — средний размер КТ, 0 — энергия перехода в КТ среднего размера. Поскольку нас интересуют максимальные значения потерь, обусловленных процессом фотовозбуждения, будем полагать множитель sin2 ka/в выражении (12) равным своему максимальному значению, т. е. 1.

Уравнение (12) сходно с таковым для коэффициента поглощения при фотовозбуждении нейтрального водородного донора [3]. Рассмотрим слой с квантовыми точками, сформированный в области оптического ограничения лазерной структуры и функционирующий в качестве активной области [4–7]. Тогда мы может записать следующее выражение для эффективного коэффициента поглощения области оптического ограничения для процесса фотовозбуждения электрона/дырки [4]:

(x) 1 Ec, n,p 2 3/ yNS2ex,n,p = 128 L 0 0 mc, fn,p NS2, (13) 1 + 2/(n,p) где NS — поверхностная концентрация КТ в слое с КТ, y = /L — коэффициент оптического ограничения в слое с КТ (в направлении, перпендикулярном слою), L — характерная длина локализации волны в поперечном направлении в волноводе.

Рис. 2. a — универсальная зависимость безразмерных сечений На рис. 2, a представлена универсальная зависимость фотовозбуждения носителей из квантовых точек [см. (13 а)] от безразмерного среднего размера квантовой точки [см. (13 б)], безразмерных сечений фотовозбуждения электрона и b — зависимости сечения фотовозбуждения электрона из квандырки товой точки ex,n от среднего размера квантовой точки при -различных глубинах потенциальной ямы Ec. Абсциссы точек ex,n,p 128 (Ec,)5/2 fn,p (13а) пересечения каждой из сплошных кривых со штриховой кривой 7/mc,определяют минимальные размеры квантовых точек, ниже которых не существуют связанные состояния для электрона в от безразмерного среднего размера КТ трехмерной потенциальной яме квантовой точки.

-1/. (13б) mc,Ec, случае кубической КТ трехмерная прямоугольная поНа рис. 2, b в качестве примера приведены зависимости тенциальная яма заменялась эффективной сферической сечения фотовозбуждения электрона от среднего раз- потенциальной ямой, получаемой при усреднении потенмера КТ при различных глубинах потенциальной ямы циальной ямы КТ по телесному углу. Далее численно Ec, полученные из вышеприведенной универсальной решалось уравнение Шредингера с полученным эффекзависимости. Рассматриваются КТ InGaAs в матрице тивным сферическим потенциалом. В результате для InGaAsP (см. [4–7]). Абсциссы точек пересечения ка- кубической КТ получено значение 1.83. В случае ждой из сплошных кривых со штриховой кривой опре- сферической КТ, вписанной в кубическую, хорошо изделяют минимальные размеры КТ, ниже которых не вестный результат есть = 2/2 2.22 [8].

существуют связанные состояния для электрона в трех- При n коэффициент поглощения ex, сечение мерной потенциальной яме КТ. Условие существования фотовозбуждения носителей ex, а также высокочастот связанного состояния в трехмерной потенциальной яме ная проводимость ( /4)cex, обусловленная процесглубиной Ec и характерного размера может быть сом фотовозбуждения, убывают как -7/2 в ростом.

записано в виде Величина mcEc2 1/2 yNS2ex =(1/L)NSex, (14) намного меньше, чем потери в резонаторе лазера. При где — числовая константа. Точное значение опре- типичных значениях NS порядка 1011 см-2 и y — деляется формой потенциальной ямы. Для оценки в нескольких процентов, величина yNS2ex — меньше Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 360 Л.В. Асрян, Р.А. Сурис или порядка 0.1 см-1, в то время как типичные потери Carrier photoexcitation from levels в резонаторе порядка 10 см-1. Таким образом, учет in quantum dots to states of the continuum поглощения света в процессе фотовозбуждения носитеduring laser operation лей с уровней в КТ в состояния непрерывного спектра L.V. Asryan, R.A. Suris необходим только при очень низких полных потерях ( <1см-1), например, в случае длинных резонаторов.

Ioffe Physicotechnical Institute, При расчете ex и ex не учитывалась сложная струкRussian Academy of Sciences, тура валентной зоны, а также взаимодействие c- и -зон.

194021 St. Petersburg, Russia Из (12) нетрудно видеть однако, что ex,n,p m-5/2, т. е.

c, дырочный вклад в рассматриваемый процесс пренебре

Abstract

A theoretical analysis of carrier photoexcitation from жим по сравнению с электронным. Учет взаимодействия levels in quantum dots to continuous-spectrum states during the зон в рамках кэйновской модели (необходимость котороlaser operation is presented. The simplest approach is employed, го обусловлена сопоставимостью энергии перехода элекwhich gives upper estimates of both the absorption coefficient and трона в рассматриваемом процессе с шириной запрещенthe cross section for photoexcitation. The light absorption in the ной зоны) привел бы к эффективному увеличению mc.

process of carrier photoexcitation is shown to be essential in the Таким образом, полученные выражения дают несколько quantum dot laser operation only at very low total losses, e. g., in завышенные значения для ex,n и ex,n.

the case of long-cavities.

Таким образом, в статье дан теоретический анализ фотовозбуждения носителей с уровней в квантовых точках в состояния непрерывного спектра в процессе лазерной генерации. Показано, что поглощение света в процессе фотовозбуждения носителей существенно для работы лазера на квантовых точках только при очень низких потерях, например, в случае длинных резонаторов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 99-02-16796) и программы ”Физика твердотельных наноструктур” Министерства науки и технической политики России (грант № 99-1106 и № 97-1035).

Список литературы [1] М.В. Федорюк. Асимптотика: Интегралы и ряды (М., Наука, 1987).

[2] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (М., Наука, 1989) т. 3.

[3] B.K. Ridley. Quantum Processes in Semiconductors (Oxford, Clarendon Press, 1982).

[4] L.V. Asryan, R.A. Suris. Semicond. Sci. Technol., 11, (1996).

[5] L.V. Asryan, R.A. Suris. IEEE J. Select. Topics Quant. Electron., 3, 148 (1997).

[6] L.V. Asryan, R.A. Suris. Electron. Lett., 33, 1871 (1997).

[7] L.V. Asryan, R.A. Suris. IEEE J. Quant. Electron., 34, (1998).

[8] K.J. Vahala. IEEE J. Quant. Electron., 24, 523 (1988).

Редактор Т.А. Полянская Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.