WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 3 Уширение спектральных линий в квантовых ямах при кулоновском взаимодействии носителей заряда ¶ © А.А. Афоненко Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Белоруссия (Получена 10 июня 2003 г. Принята к печати 1 июля 2003 г.) Проведен теоретический анализ уширения линий испускания при кулоновском взаимодействии носителей. С использованием теории возмущений для невырожденной многочастичной электронно-дырочной системы получено приближенное аналитическое выражение для контура спектральных линий с экспоненциальными спадами и дано качественное объяснение известных экспериментальных данных, в том числе асимметрии контура, изменение его ширины при вариации температуры и уровня возбуждения.

1. Введение 2. Вероятность оптических переходов с учетом кулоновского Адекватное теоретическое описание спектральных хавзаимодействия рактеристик полупроводниковых структур требует учета эффектов уширения линий испускания. Анализ процесРассмотрим спонтанные оптические переходы, пересов излучения в рамках формализма матрицы плотводящие состояние с n электронно-дырочными парами ности с эмпирическим временем затухания межзонв состояние с (n-1) электронно-дырочными парами.

ной поляризации, а также описание многочастичных Одночастичные волновые функции выберем в виде блопроцессов в первом порядке теории возмущений при ховских функций, различающихся волновыми векторами.

независящем от энергии времени релаксации носителей Для состояния зоны проводимости и валентной зоны приводят к лоренцеву профилю однородно уширенной будем использовать различные операторы вторичного линии испускания [1]. Исследование совершенных в квантования. Оператор электромагнитного взаимодейкристаллографическом отношении лазерных структур, ствия, описывающий излучательные переходы с сохрав которых влияние пространственных неоднородностей нением волнового вектора, запишем в виде на спектральное уширение было сведено к пренебрежимому уровню, выявило, что формфактор однородного Vph b-q aq, (1) уширения имеет экспоненциальные края [2].

q Теоретическое обоснование не лоренцева характера контура линии испускания получены в работах [3,4] при учете не-марковских процессов. Однако ввиду сложно- где q и b-q — операторы уничтожения электрона сти расчетов изучение процессов излучения в предло- зоны проводимости с волновым вектором q и дырки в женных моделях может проводиться только численными валентной зоне с волновым вектором -q.

методами, что затрудняет анализ влияния условий возВ оператор кулоновского взаимодействия включаем буждения и параметров полупроводниковых материалов взаимодейстие между электронами зоны проводимости, на спектральный контур.

между дырками валентной зоны и между электронами В настоящей работе проводен теоретический анализ и дырками, при этом пренебрегаем спином и обменным уширения линий испускания в квантовых ямах при взаимодействием между электронами и дырками:

кулоновском взаимодействии носителей в приближении двухмерной электронно-дырочной системы. Основная V = Vk k +kj,kj +ki i-ki i идея использованного метода анализа заключается в i, j,i, j нахождении с помощью теории возмущений для многочастичной системы функциональной зависимости кры1 i ++ i + b+b+ b bi - +b+ b i, (2) i j j j j i j j льев контура линии испускания и последующая экстра2 поляция центральной части контура с учетом условия нормировки. На основе полученного в приближении где + и b+ — операторы рождения электрона зоны параболических зон аналитического выражения для одпроводимости и дырки в валентной зоне с определеннородно уширенной спектральной линии проанализиным волновым вектором; Vk — матричный элемент i-ki ровано влияние различных факторов на контур линии кулоновского взаимодействия.

перехода.

Оператор, добавляющий поправки 1-го порядка тео¶ E-mail: afonenko@bsu.by рии возмущений к исходным многочастичным состояни336 А.А. Афоненко ям, формально представляется в виде, описывающая спонтанные переходы из n-го электронного состояния, в котором помимо прочих имеются одночастичные состояния зоны проводимости с волно = 1 + Vk k +kj,kj +ki cv i-ki i выми векторами k1, k2 и валентной зоны с волновым i, j,i, j вектором k3, в (n-1)-е электронное состояние, в кото++ i ром вместо указанного набора одночастичных состояний i j j имеется одно одноэлектронное состояние зоны проводи2(Eck + Eck - Eck - Eck ) i j j i мости с волновым вектором k4, имеет вид i b+b+ b bi j j + (Vk +k3 - Vk +k2) 2(Evk + Evk - Evk - Evk ) 1 i j j i c = (Eck + Eck - Eck - (Ec)-k ) 1 2 4 +b+ b i i j j Vk +k-, (3) (Eck + Evk - Evk - Eck ) i j j i (Eck + Evk - (Ev)-k - Eck ) 2 3 1 где Eck и Evk — энергии одночастичных состояний Vk +kзоны проводимости и валентной зоны, отсчитанные от + (Eck + Evk - (Ev)-k - Eck ) 1 3 2 энергий основных одночастичных состояний с k = 0.

Неопределенность коэффициентов разложения у слагае (Eck + Eck + Evk - Eck - ), (6) 1 2 3 мых с близкими энергиями и примешиваемых состояний будет учтена отдельно при дальнейшем анализе.

где = - Eg, Eg — эффективная ширина заС использованием выражения (3) находим поправки прещенной зоны в квантовой яме. Здесь использованы 1-го порядка по кулоновскому взаимодействию к излучаэнергии начального и конечного многоэлектронных сотельным переходам. Для зоны проводимости записываем стояний без учета кулоновского взаимодействия. Учет взаимодействия даже в 1-м порядке теории возмущений Mcc = b-q Vk q+k kj +ki i-q j приводит к зависимости c от всех одноэлектронных q i, j, j составляющих многочастичного состояния, что много+ i кратно усложняет проведение дальнейшего анализа. Каj j. (4) чественно можно заключить, что изменение энергии ан(Eck +Eck -Eck -Ecq) i j j самбля частиц при их взаимодействии должно приводить Аналогичное выражение справедливо и для валентной к смещению аргумента дельта-функции в область меньзоны. Матричные элементы поправок 1-го порядка по ку- ших энергий (эффект сокращения запрещенной зоны) и лоновскому взаимодействию между носителями разных размыванию самой дельта-функции при усреднении по зон к излучательным переходам имеют вид набору многоэлектронных состояний. Последнее также приводит к уширению линий испускания. Влияние этого Mcv = - Vk k -q,kj +ki механизма требует отдельного изучения и не рассматриi-ki i q i, j,i ;ki =q вается в данной работе.

С учетом аргумента дельта-функции видно, что для q+b i i j заданных различных k1, k2, k3 величина c в зависи(Eck + Evk - (Ev)-q - Eck ) i j j мости от энергии испускаемых фотонов имеет три резонансных пика вблизи энергий прямых переходов с b-qb+ b i j j соответствующими волновыми векторами. Эта расходи- Vk q+k,kj +ki i-q j (Eck + Evk - Evk - Ecq) i j j q мость связана с использованием теории возмущений, и i, j, j ;kj =q она бы отсутствовала, если бы вместо приближенного b-k k (1 - ncq - (nv)-q) выражения (3) использовалось точное разложение мноi i - Vk. (5) i-q (Eck +(Ev)-k - (Ev)-q - Ecq) гоэлектронных состояний по базису. На значительном i i q i удалении от резонансов в вероятности (6) остаются задействованными только базисные составляющие разлоМатричный элемент (4) и первое слагаемое (5) жения (3) с малыми коэффициентами, что оправдывает описывают процесс рекомбинации электрона и дырок с передачей избыточного импульса другому электрону. применение в этих областях теории возмущений.

Третье слагаемое (5) описывает изменение вероятности Выделим в выражении (6) слагаемые с полюсами в рекомбинации электронно-дырочной пары с нулевым отдельности по каждой переменной k1, k2, k3:

квазиимпульсом. Один из методов теоретического анализа последнего эффекта изложен в работе [5].

c = c1( - Erk ) +c2( - Erk ) 1 С учетом матричных элементов (4) и (5) нормированная вероятность излучательного перехода с энергией + c3( - (Er)-k ), (7) Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. Уширение спектральных линий в квантовых ямах при кулоновском взаимодействии носителей заряда где Для получения вкладов в спектральное уширение отдельных составляющих вероятности оптических пеc3 - (Er)-k реходов необходимо зафиксировать обусловливающий полюс волновой вектор ki (i = 1, 2, 3) и проинтегрироVk +k3(Vk +k3 - Vk +k3) (Er )-k - Erk 1 1 2 3 = вать ci с учетом статистического фактора по фазовому ( - (Er)-k )2 +( - Erk )3 пространству оставшихся волновых векторов. В конеч 2 ном итоге, обозначив аргумент получившихся функций Vk +k3(Vk +k3 - Vk +k3) (Er)-k - Erk 2 2 1 3 одинаковой переменной k и просуммировав их, найдем + ( - (Er )-k )2 +( - Erk )3 контур линии прямого перехода с указанным волновым вектором, который имеет смысл во всем спектральном (Eck + Eck + Evk - Eck - ) 1 2 3, (8) диапазоне, за исключением области - Erk 0. Зна( - (Er )-k )чения функции уширения в этой области могут быть c1 - (Er)-k оценены путем ее ограничения и нормирования на вероятность оптических переходов без учета кулоновского Vk +k3(Vk +k3 - Vk +k3) Er-k - Erk взаимодействия.

1 1 2 3 = ( - (Er)-k )2 +( - Erk )3 4. Расчет контура линий испускания Vk +k3Vk +k3(Erk - Erk )1 2 1 + ( - Erk )2 +( - Erk )1 Для расчета контура линий испускания необходимо (Eck + Eck + Evk - Eck - ) задать зависимость энергий одноэлектронных состояний 1 2 3, (9) от волнового вектора. В приближении параболических ( - Erk )зон имеем где Erk = Eck +(Ev)-k. Величина c2( - Erk ) получается из выражения (9) для c1( - Erk ) путем 2 k2 kвзаимозамены k1 k2. Eck =, Evk =, (12) 2mc 2mv где mc и mv — эффективная масса электронов и ды3. Статистическое усреднение рок соответственно. Матричный элемент кулоновского вероятности оптических переходов взаимодействия в двухмерной системе используем в наиболее простом виде Квантово-механическая вероятность (6) с заданными k1, k2, k3, k4 применима к целому ансамблю мноeгочастичных состояний. Для расчета результирующего V k =, (13) 20| k| S вклада в скорость спонтанных переходов необходимо просуммировать выражение (6) по всем начальным многде — диэлектрическая проницаемость полупроводгочастичным состояниям, содержащим указанные одноникового материала (см., например, [6]); S —площадь частичные состояния, с учетом их чисел заполнения.

анализируемого квантово-размерного слоя.

Суммирование по конечным состояниям выпадает в Рассмотрим составляющую вероятности оптических силу закона сохранения квазиимпульса и существования переходов (8), которая имеет полюс при совпадении единственного конечного состояния с k4 = k1 + k2 + k3.

энергии световых квантов с энергией прямых переходов Как и при записи дельта-функции в выражении (6), расс участием состояния валентной зоны с волновым векчет произведем без учета кулоновского взаимодействия.

тором k3: =(Er)-k. Для получения контура спекИспользуя числа заполнения nc1, nc2, nv3, nc4, находим тральной линии интегрируем произведение (8) и (11) по статистический фактор состояний с соответствующим фазовому пространству волновых векторов k1, k2:

набором волновых векторов:

1 Sdk1 Sdkpk,k2,k3 = nc1nc2nv3(1 - nc4). (10) Lc3( )= pk,k2,k3c3 -(Er)-k.

1 2 (2)2 (2)В приближении невырожденного электронного (14) газа при nck = exp[(Fe - Eg - Eck)/kT ] и Здесь множитель 1/2 учитывает неразличимость многоnvk = exp[(-Evk - Fh)/kT] с учетом электронейэлектронных состояний при перестановках k1 и k2.

тральности квантово-размерного слоя получаем Интеграл (14) не вычисляется аналитически, но Nv 3( F - Eg) (Eck + Eck + Evk ) можно получить его оценки для предельных случаев 1 2 pk,k2,k3 = exp -, | | kT, | | (Er )-k, где = - Er.

Nc 2kT kT (11) При выводе удобно произвести линейное преобразоваNc и Nv — эффективные плотности состояний элек- ние переменных интегрирования, приводящее квадратронов и дырок F = Fe - Fh — разность квазиуровней тичную форму проекций волновых векторов в дельтаФерми электронов Fe и дырок Fh. функции к диагональному виду. Для длинноволнового 6 Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 338 А.А. Афоненко крыла спектральной линии ( < 0) можно найти:

A m2(m2 - 4mcmr - 24m2) (kT)c c r Lc3( ) = 2 (m2 + 4mcmr + 8m2)2 ( )c r Er mr mr Er exp - 1 + + I0 -8, kT mc kT mc (kT)(15) где I0 — модифицированная функция Бесселя первого рода; m-1 = m-1 + m-1;

r c v e2 2 mvmc 3( F - Eg) A = exp 20 82 2 2kT mcmv 3( F - Eg) = Ry exp.

me2 2kT Здесь Ry 13.6эВ.

Для коротковолнового крыла контура спектральной линии ( > 0) получаем A m2(m2 + 4mcmr - 24m2) (kT)c c r L+ ( ) = c2 (m2 - 4mcmr + 8m2)2 ( )c r Er exp - -. (16) kT kT Выражения (15) и (16) не являются положительными Рис. 1. Составляющие контура уширения, обусловленные при произвольных соотношениях эффективных масс. Так процессами рекомбинации электронно-дырочной пары с пекак вероятность спонтанных переходов (6) в принципе редачей избыточного импульса электрону (a) и дырке (b).

не может быть отрицательной, в результирующей скоро- Составляющие контура уширения при кулоновском взаимодейсти спонтанных переходов на произвольной частоте от- ствии с передачей избыточного импульса дырке получаются из выражений (15)–(18) путем замены mc mv. Пунктиром рицательный вклад выражений (15) и (16), полученных показано отношение результатов численного интегрирования для малых значений (Er )-k, должен компенсироваться к приближенным функциям. Цифрами 1 обозначены кривые, вкладом при больших значениях (Er )-k, а также другой связанные с процессами межзонного кулоновского взаимодейсоставляющей вероятности переходов (9).

ствия и их интерференцией с процессами внутризонного куПо аналогии с предыдушим случаем для составляюлоновского взаимодействия, 3 — с процессами внутризонного щей контура спектральной линии, соответствующей векулоновского взаимодействия и их интерференцией с процесроятности оптических переходов (9), в качестве оценок сами межзонного кулоновского взаимодействия. Для контура имеем для длинноволнового крыла контура спектальной Lc3 приведены абсолютные значения. T = 286 K, mc = 0.055me, линии ( < 0) mv = 0.49me, Er = 0, F - Eg = 0.

A mc(m3+4m2mv-2mcm3+2m3) kT c c v v L- ( ) =c10 (m4 + 2m2m2 + 2m4) ( )c c v v Полученные выражения (17) и (18) являются поEr mr mc mc ложительно определенными при любых соотношениях exp - 1 + + эффективных масс и по сравнению с выражениями (15) kT m2 mv kT v и (16) обладают более медленным затуханием, что обеспечивает положительность крыльев результирующего m2 Er c I0 -4, (17) контура спектральной линии.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.