WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 3 Двухуровневые волновые функции электронов в двухбарьерных квантово-размерных структурах в электрическом поле конечной амплитуды © Е.И. Голант, А.Б. Пашковский Государственное научно-производственное предприятие ”Исток”, 141120 Фрязино, Россия (Получена 8 сентября 1999 г. Принята к печати 27 сентября 1999 г.) Проведен анализ применимости различных вариантов двухуровневого приближения к расчету электронных переходов в двухбарьерной структуре с токовой накачкой в резонансном электрическом поле конечной амплитуды. Показано, что решение, получающееся на основе простой итерации метода возмущений первого порядка по амплитуде поля, может быть существенно продлено за область сходимости метода итераций. С другой стороны, показано, что само двухуровневое приближение становится неприменимым при значительно меньших амплитудах поля, чем обычно предполагается. Это ограничение обусловлено влиянием боковых саттелитов — нерезонансных компонент волновой функции. Предложена модель двухбарьерных структур с электронной накачкой, справедливая во всей области двухуровневого приближения и позволяющая учитывать произвольные формы барьеров и возмущения.

1. Введение Возникает вопрос — имеем ли это ограничение фундаментальную физическую основу или же просто Большой интерес, проявляемый в последнее время к явлется следствием того, что решение ищется в виде созданию инфракрасных лазеров на основе когерентно- степенного ряда, а для многих функций, в частности го транспорта электронов в квантово-размерных полу- для f = 1/(1 + z), радиус сходимости такого ряда проводниковых гетероструктурах [1–4], делает весьма ограничен. Очевидно, что если в первом случае использование полученных решений за радиусом сходимоактуальной разработку методов расчета взаимодействия когерентно-туннелирующих электронов с высокочастот- сти ряда недопустимо, то в последнем они, наоборот, могут быть продолжены далеко за радиус сходимости.

ным полем. Даже максимально упростив задачу и сведя ее к одночастичному уравнению Шредингера (с гар- Другими словами, представляется интересным выяснить, монически зависящим от времени потенциалом) для не является ли неравенство |z| < 1 одновременно и электрона в квантовой яме со стенками в виде бесконеч- условием применимости двухуровнего приближения, а если нет (как это будет показано далее), то каково это но тонких потенциальных барьеров, получить решение удается только в двухуровневом приближении, считая условие и какие физические процессы в первую очередь необходимо учитывать за пределами этого приближения.

квантовые переходы существенными только между двумя рабочими уровнями квантовой ямы [2,4]. В этом при- Рассматриваемый класс структур выделяется следуюближении алгоритм теории возмущений [2,5,6] сводится щими ограничениями на ширины (квази)уровней 1 и 2:

к простой итерационной процедуре, когда каждое после- с одной стороны, ширина каждого уровня должна быть дующее приближение находится из предыдущего путем значительно меньше расстояния (по энергии) между умножения на (отрицательный) параметр -z, где ними, равного энергии кванта поля, а с другой — среднее время жизни электрона в квантовой яме = / должно быть меньшим минимального времени между столкz = 0.5qE 1|x|2 /, новениями, нарушающими когерентность прохождения электронами структуры. Первое условие обеспечивает E — амплитуда переменной составляющей электричерезонансный характер взаимодействия электронов с поского поля, q — заряд электрона, 1|x|2 — матричный лем, второе — когерентный транспорт. Элементарные элемент возмущения относительно рабочих уровней |оценки показывают, что в современных полупроводникои |2 ; =(12)1/2, 1, 2 — ширины соответствуювых гетероструктурах с резонансным туннелированием щих уровней (выражения для 1, 2 через параметры при расстоянии между уровнями, соответствующем теструктуры с -барьерами см. в работе [7]). Как известно, рагерцовому диапазону частот, и при толщине барьеров условием сходимости такого итерационного процесса в несколько атомных монослоев оба этих условия вполне является неравенство |z| < 1, при выполнении которого могут выполняться одновременно.

волновые функции на каждом уровне структуры имеют вид волновых функций приближения первого порядка, Ясно, однако, что при повышении амплитуды возмуумноженных на величину 1/(1 + z) (сумму геометриче- щающего поля все большую роль начинают играть неской прогрессии со знаменателем -z), определяющую резонансные компоненты волновой функции электрона, зависимость волновых функций электрона в состояниях в первую очередь компоненты, ближайшие к резонанс|1 и |2 от амплитуды поля. ным, так называемые боковые сателлиты, отвечающие Двухуровневые волновые функции электронов в двухбарьерных квантово-размерных структурах... частотам 1,2 ±, где 1,2 — энергии резонансных Известно, что в двухбарьерных структурах коэффициуровней, а — частота возмущающего поля. В связи с ент прохождения имеет четко выраженный резонансный этим одной из целей настоящей статьи является оценка характер, а в симметричных структурах с тонкими банерезонансных компонент волновой функции электрона рьерами величина волнового вектора k =(2m/ )1/2, при вынужденных переходах электронов в двухбарьер- определяющего резонансные уровни, на которых коэфных структурах с электронной накачкой и получение фициент прохождения равен 1, находится из решения ограничения на область применимости двухуровневого трансцендентного уравнения [7,8] приближения, широко используемого в настоящее время за рамками этого ограничения (см., например, [4]). k 2k tg ka = - = -. (2) Критерий, определяющий амплитуду поля, ниже коm y торой можно пренебречь влиянием боковых сателлитов, позволяет развить для этих допустимых амплитуд двухЗдесь для удобства введено обозначение y = 2m/.

уровневую модель, результаты которой строго совпадают Пусть электроны проходят через N-резонансный уровень (при |z| < 1) с непосредственным суммированием ряда структуры, а частота высокочастотного (ВЧ) поля сооттеории возмущений. Однако этот критерий имеет знаветствует переходам на уровень с номером L. Далее, чительно более широкую область применимости: больдля простоты будем считать N > L, при L > N вычишие амплитуды, произвольные формы барьеров и форма сления аналогичны. В работе [5] при достаточно малых возмущения. Развитие такой модели является второй амплитудах ВЧ поля и достаточно мощных барьерах главной целью статьи.

(y k, что эквивалентно рассмотренному выше требоЧтобы избежать громоздких формул и обозначений, ванию малости ширины рабочих уровней по сравнению с далее в параграфах 2 и 3 рассматривается симметричная расстоянием между ними) было показано, что волновая двухбарьерная структура с однородным профилем дна функция электронов внутри структуры (0 < x < a, зоны проводимости. Однако процедура расчета и основ0 = / ) имеет вид ной результат — критерий применимости двухуровнего приближения при конечной амплитуде возмущающего N(x)e-i0t + L(x)e-i(0-)t, (3) поля — легко обобщаются (по аналогии с переходом от результатов работы [5] к [6]) на случай несиммегде тричной структуры с разной мощностью барьеров и кусочно-однородной высотой дна зоны проводимости, (1+z) exp(ikx)-z exp(-ikx), x < 0, принимающей различные значения соответственно сле- N(x)= A0 sin kx + B0 cos kx, 0< x< a, ва, справа и внутри структуры [6].

1+z C exp[ik(x - a)], x > a, 2. Метод возмущений, основанный exp(-ik-x), x < 0, на простой итерации D L(x)= A- sin(k-x) +B- cos(k-x), 0< x< a, 1+z В этом параграфе вводятся необходимые обозначения C exp[ik-(x - a)], x > a.

и приводятся некоторые результаты работы [5], необхо- (4) димые для понимания последующего изложения.

Пусть моноэнергетический пучок электронов с энерги- y A0 = + i, B0 = 1, C0 =(-1)N+1, D0 = 0, ей падает на симметричную двухбарьерную структуру k шириной a с тонкими (-образными) барьерами толщи1/k- = 2m( - )/, ной b и высотой b, к которой приложено однородное электрическое поле, изменяющееся со временем по заqEy2 qEyкону B- D- (-1)L+1C-, A-.

im2k- im2kE cos t = E(eit + e-it), E = 2E.

Так как решение было получено в виде постоянного Для определенности считаем, что электроны движутся множителя и знакопеременного ряда (геометрической слева направо. Тогда с учетом сделанных выше допущепрогрессии) ний нестационарное уравнение Шредингера имеет вид 1 - z + z2 - z3 + · · · +(-1)n+1zn, (5) i = - + (x) + (x - a) + H(x, t), t 2m xгде H(x, t) =-qE x (x) - (x - a) + a(x - a) qE yz =, m2 kk eit + e-it. (1) Здесь q, m — заряд и масса электрона, = bb, (x) — который в области своей сходимости |z| < 1 предстаединичная функция. вляет разложение функции 1/(1 + z) по степеням z, Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 336 Е.И. Голант, А.Б. Пашковский то и область его применения ограничивается областью жение), для соответствующих волновых функций можно сходимости ряда (5). В соответствии с этим решение записать:

применимо при очень малых амплитудах ВЧ поля [5]. внутри структуры (0 < x < a) Для того чтобы понять природу ограничения области сходимости весьма малыми амплитудами, следует про- N(x, t) = A sin kx + B cos kx анализировать метод возмущений, примененный в работе [5]. За начальное (нулевое) приближение берется волqEx - A- sin k-x + B- cos k-x новая функция электрона на основном рабочем уровне (по которому идет ток накачки), при полностью пустом qEk- втором уровне. Переход к следующему приближению + A- cos k-x - B- sin k-x e-i0t, оказывается эквивалентным при удержании слагаемых mтолько с максимальной степенью y и умножении предыдущего результата на -z, что приводит к методу простой L(x, t) = A- sin k-x + B- cos k-x итерации [9] — методу первого порядка, условием сходимости которого и является неравенство |z| < 1.

qEx + A sin kx + B cos kx qEk + A cos kx - B sin kx e-i(0-)t; (8) 3. Теория возмущений mна основе разложения при x < в ряд аналитического решения (x, t) = exp ikx + D exp(-ikx) e-i0t Естественно попытаться построить теорию возмуще+ D- exp(-ik-x)e-i(0-)t; (9) ний на основе безытерационного метода — прямого при x > a (см. [9]) разложения в ряд аналитического решения уравнения Шредингера qEa (x, t)= C exp ik(x-a) - C- exp ik-(x-a) e-i0t qEa i = - - 2Ex cos t (6) + C- exp ik-(x-a) + C exp ik(x-a) e-i(0-)t.

t 2m x (10) для электрона в свободном пространстве с гармонически Подобрав неизвестные пока коэффициенты волновой меняющимся во времени электрическом полем постофункции (8)–(10) так, чтобы удовлетворить граничным янной амплитуды 2E. Точное установившееся решение условиям на барьерах, получим линейный член разложеуравнения (6), переходящее при E 0 в плоскую ния точного решения по параметру монохроматическую волну, имеет вид [10] qEa 1. (11) (x, t) = exp ikx - i0t Следует отметить, что это условие выполняется при амплитудах поля, гораздо больших, чем условие |z| < 1.

Сшивая волновую функцию на барьерах, в каждый 2iqEx 2iqEk + sin t + cos t момент времени для коэффициентов A, B, C, D, A-, B-, mC-, D- можно получить систему уравнений i(qE)2 sin 2t - t -, (7) M(k) S f m 3 ai =, (12) W M(k-) т. е. вид уравнения Шредингера в квазиклассическом слугде чае; подобное решение найдено в [11], а для уравнения 10 -1 Дирака приведено, в частности, в [12].

ik - y k 0 M(k) = 0 sin ka cos ka -1, В рамках двухуровнего приближения искомая волновая функция представляется в виде линейной ком0 -k cos ka k sin ka ik - y бинации четырех волновых функций (7), соответствующих волнам, бегущим по уровням N и L в про-тивоположных направлениях. Линеаризуя эту комбинаik + y f =, (13) цию по амплитуде поля E и оставляя члены только с exp(-i0t) и exp[-i(0 - )t] (двухуровневое приблиФизика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Двухуровневые волновые функции электронов в двухбарьерных квантово-размерных структурах... 0 w12 0 приближенное равенство [2] P 0 0 w23 a W = iy2ka 0 w32 w33 w34, i = P-, [M(k + k)] [M(k)] 1 + k0 w42 w43 wD qE y [M(k)] 1 +, (19) 2m A m2 P =, y =, B т. е. малая поправка умножается на большой параметр C (y/k)2. Однако сравнение (19) и (5) показывает, что эта qEk qE 20- qEa поправка всегда намного меньше z, а следовательно, и w12(k)=-, w23 =-, w34 =-, замена (18) вполне допустима.

m2 Далее, можно убедиться, что определители для расqEa qEk чета неизвестных коэффициентов волновой функции w32(k) = sin ka + cos ka, m(8)–(10) методом Крамера (ai = ai(E)/) представляются в виде qEa w44(k) =- (ik - y), qE ai(E) =ai(E 0) 1 + i y2, (20) mqEa qEk w33(k) = cos ka - sin ka, mгде — численный множитель порядка единицы. Так, например, qE 20 - qEak w42(k) = sin ka - cos ka, qE C =[C(k)][M(k-)] 1 + C y2, (21) mqE 20 - qEak w43(k) = cos ka + sin ka. (14) где матрица C(k) получается из матрицы M(k) заменой четвертого столбца на столбец f. Из (17), (20) автомаМатрица S имеет тот же вид, что и матрица W, с той тически следует, что по крайней мере при выполнении лишь разницей, что:

условия s12 = w12(k-), s23 = w23, s34 = -w34, s44 = -w44(k-), qE y2 1, (22) mqEa qEks32 = - sin k-a + cos k-a, волновая функция (8)–(10), соответствующая первому mприближению теории возмущений, основанной на анаqEa qEkлитическом решении (7), полностью совпадает с волs33 = cos k-a + sin k-a, m2 новой функцией (3)–(4), полученной суммированием бесконечного ряда теории возмущений, основанной на qE 20 - qEaks42 = sin k-a + cos k-a, итерационном методе [5].

Так как условие применимости итерационного метода [5] qE 20 - qEaks43 = cos k-a - sin k-a. (15) qE y z = 1 (23) m2 kkАнализируя определитель системы (12), можно в y2/kk- раз более жесткое, чем (22), то решение (3)–(4) показать, что с учетом условия (11) он будет равен может быть продлено далеко за область сходимости ряда (5).

=[M(k)][M(k-)](1 + z + ); (16) при этом, так как y/k 1, выполняется неравенство 4. Распадающаяся квантовая система z и, таким образом, с электронной накачкой =[M(k)][M(k-)](1 + z). (17) Более того, при достаточно мощных барьерах двухбарьерную структуру можно рассматривать как типичную Заметим также, что при разложении (7) отбрасывались распадающуюся квантовую систему [13], время распада члены, содержащие вторую степень малого параметра которой определяется туннелированием через барьеры:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.