WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 3 Структура энергетических квантовых уровней в квантовой точке, имеющей форму сплюснутого тела вращения © Г.Г. Зегря, О.В. Константинов, А.В. Матвеенцев Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 2 июля 2002 г. Принята к печати 4 июля 2002 г.) Показано, что энергетический спектр электрона в потенциальной яме дискообразной формы имеет уровни двух типов: первый тип характеризуется квантовым числом, соответствующим движению носителя в основном вдоль короткого измерения диска. Расстояния между такими уровнями оказываются большими.

В квантовой точке состава InAs и в обкладках GaAs у электронов помещается, как правило, лишь один такой уровень. Уровни второго типа образуют субструктуру с квантовыми числами, соответствующими вращению носителя вокруг полярной оси и движению вдоль длинной оси диска. Расстояния между такими уровнями оказываются относительно малыми. Теория позволяет определить число таких уровней как функцию толщины и диаметра диска и установить условия перехода квантовой точки в квантовую яму с большим числом уровней субструктуры.

1. Введение менимости квазисферической системы при небольшой сплюснутости мы используем цилиндрическую модель Хорошо известно, что массивы квантовых точек (КТ) КТ, которая допускает точное решение. В этом случае обладают преимуществами перед квантовыми ямами в КТ представляет собой фрагмент квантовой ямы (КЯ), плане их использования в качестве активной лазерной который получается путем вырезания из КЯ непросреды [1]. Предполагается, что в идеальной квантовой ницаемой для носителей цилиндрической поверхности.

точке помещается один квантовый уровень. Для это- На рис. 1, b изображен такой цилиндр. Граничные услого форма кластера, образующего подобную квантовую вия на торце цилиндра имеют тот же вид, что и в квантоточку, должна быть компактной, такой как сфера, куб вой яме, а на боковой его поверхности волновая функция и т. п. Однако экспериментальные наблюдения массивов считается равной нулю. Тогда в цилиндрической системе квантовых точек InAs на подолжке GaAs показывакоординат переменные разделяются, что приводит к проют, что квантовые точки арсенида индия представляют стому точному решению для энергетического спектра.

собой сильно сплюснутые дискообразные кластеры, у Это дает основание для того, чтобы отбросить одно которых в принципе может быть множесто уровней.

из решений квазисферического приближения. Волновая Если диск имеет достаточно большой диаметр, то он функция такого решения постоянна по полярному углу, будет представлять собой фрагмент квантовой ямы, у и такое состояние является наинизшим по энергии.

которого зоны поперечного движения расщепляются в Как показывает сравнение с точным решением для субструктуру уровней. В настоящей работе проводится цилиндра, такое решение является лишним, и его не качественное исследование множественности подобной следует принимать во внимание, поскольку оно появсубструктуры. С этой целью рассмотрены две модели, ляется вследствие неприменимости квазисферического которые позволяют получить аналитическое решение приближения при небольшой степени сплюснутости.

для энергии электрона в дискообразном объекте при параболическом законе дисперсии в InAs. Одна модель относится к кластеру, имеющему форму эллипсоида вращения (рис. 1, a). Для нее в работе развит метод построения квазисферической системы эллипсоидальных координат, которая допускает полное разделение переменных, как это имеет место в сферической системе координат. Введение ортогональной квазисферической системы справедливо, однако, лишь для достаточно большой степени сплюснутости, т. е. отношения большей оси эллипсоида к малой. Известные эллипсоидальные координаты, описанные, например, в [2], не допускают полного разделения переменных, поскольку две координаты, аналогичные радиусу и полярному углу, остаются зацепленными. Однако для актуального случая идеальРис. 1. Поперечные разрезы сплющенных тел вращения с ной КТ с одним уровнем сплюснутость эллипсоида диаметром D и максимальной высотой d: a — эллипсоид; b — может быть и не сильной. Поэтому для обоснования при- цилиндр (таблетка).

Структура энергетических квантовых уровней в квантовой точке, имеющей форму сплюснутого тела... 2. Квантовые уровни в цилиндрической КТ Рассмотрим уравнение Шредингера при параболическом законе дисперсии электрона:

- 2 = E, (1) 2m где m — эффективная масса носителя в материале КТ.

Лапласиан в цилиндрической системе координат имеет вид 2 1 1 2 = + R +. (2) z R R R R2 Рис. 2. Зависимости значений корней функций Бесселя или Будем искать волновую функцию в виде произведения их производных от порядка M. Параметром кривой является трех функций:

номер корня. Квадраты относятся к корням самих функций Бесселя: пустые — к четным, а зачеркнутые — к нечетным.

= exp(iM) · JM(pR) cos(kz ), (3) Кружки относятся к корням производных функций Бесселя с четным индексом. Число пустых значков, лежащих ниже линии отсечки, равно числу уровней в эллипсоиде, а число где JM(pR) — функция Бесселя, а k и p связаны с квадратиков (пустых и заполненных) — числу уровней в энергией E:

цилиндре.

2 k2 pE = E(k) +E(p), E(k) =, E(p) =. (4) 2m 2m электронов и дырок:

Индекс функции Бесселя M должен быть целым (M = 0, 1, 2, 3,...) ввиду периодичности волновой JM(pb) =0. (7) функции по углу. Первое слагаемое, E(k) — это Слагаемое E(p) описывает субструктуру энергетических энергия уровней для движения электрона по оси z, коуровней. Решение уравнения (7) торое описывается волновой функцией cos(kz ). Спектр энергий имеет большие расстояния между уровнями и P = p · b (8) находится из известного уровнения для квантовой ямы:

описывается диаграммой на рис. 2. По оси абсцисс отq 2mB ложен порядок M функции Бесселя, а по оси ординат — tg(ka) =, q2 = E - E(k), (5) k величина P. Квадратиками обозначены корни функции Бесселя, причем заполненные квадратики относятся к где a = d/2 — половина толщины цилиндра, mB — четным M, а пустые — к нечетным. Сплошная кривая масса для электронов и дырок в GaAs, q — показатель соединяет все квадратики с фиксированным номером S спада экспоненты в GaAs. Решение (5) характеризуеткорня PS функции Бесселя. Подобные кривые построся номером f. В нашем примере величины соответены на рис. 126–128 в справочнике [3]. Заметим, что ствующих потенциальных ступеней на гетерогранице номер S является третьим квантовым числом задачи в при T = 0K будут Ec = 0.70 эВ, Ev = 0.38 эВ. Возьнаборе ( f, M, S). Мы нашли, что кривая зависимости мем эффективные массы электрона и дырки в арсеPS(M) может быть описана следующей приближенной ниде индия mc = 0.027m0, mv = 0.41m0, а в арсениде формулой галлия mcB = 0.065m0, mvB = 0, 45m0. Тогда решение уравнения (5) дает ka = 0.730 при толщине цилиндра PS(M) =M - 1 + 3S 24 и ka = 0.850 при толщине цилиндра 30. Этим толщинам соответствуют энергии E(k) =0.523 эВ и + S(0.55M + 0.2), M = 0, 1, 2, 3,..., (9) E(k) =0.453 эВ. Энергетические зазоры где S = 1, 2, 3,.... Эти формулы не дают ошибки при определении числа состояний, тогда как сами корни поI(k) = E - E(k)(6) лучаются с погершностью порядка немногих процентов определяют величины интервалов для энергий E(p), со- при малых M и S и долей процентов при больших.

ответствующих движению, поперечному к оси цилиндра. Итак, основная структура характеризуется квантовым Волновой вектор p определяется граничным условием числом f, а субструктура зависит от двух квантовых непроницаемости боковой стенки при R = b = D/2 для чисел — M и S.

Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 336 Г.Г. Зегря, О.В. Константинов, А.В. Матвеенцев 3. Введение эллипсоидальных криволинейных координат Пусть форма поверхности КТ задается следующим уравнением эллипсоида вращения:

x2 + y2 z + = 1, b = n · r, (11) b2 rгде r — малая полуось эллипсоида, b — его большая полуось, через n обозначена степень сплюснутости.

Введем квазисферическую систему координат, в которой поверхность эллипсоида будет иметь вид сферы r = const, вписанной в исходный эллипсоид вращения:

x = n·r·sin ·cos, y = n·r·sin ·sin, z = r·cos. (12) Эта система криволинейных координат не ортогональна.

Чтобы убедиться в этом, следует записать квадрат элемента длины:

ds2 = dx2 + dy2 + dz, (13) где dx, dy, dz — дифференциалы декартовых координат, связанные с криволинейными координатами r,, соотношениями (12). Вычисляя квадрат дифференциала длины, получим его в следующей форме:

ds2 = dr2 + r2d2 + n2r2 sin2 · d2 +(n2 - 1) sin · dr + r · cos · d. (14) Из этой формулы видно, что криволинейные координаты r и ортогональны друг другу при n = 1. Однако можно увидеть, что криволинейные координаты становятся ортогональными также и при n 1. Для этого сделаем замену переменных, введя вместо полярного Рис. 3. Зависимости числа электронных уровней N от квадугла цилиндрический радиус :

рата диаметра для кластера InAs в матрице GaAs в параболическом приближении для энергетического спектра электронов = r · sin ; d = sin · dr + r cos · d. (15) в InAs в случаях: a — цилиндра; b — эллипсоида. Верхние кривые относятся к толщине d = 3 нм, нижние — к толщине Тогда получим d = 2.4нм.

ds2 = dr2 + r2d2 + n22d2 +(n2 - 1)d2. (16) Член r2d2 следует выразить через дифференциалы dr и d. Мы однако, рассмотрим предельный случай сильно Число уровней в КТ с данным диаметром D определясплюснутого эллипсоида, n 1. Тогда членом r2dется ординатой линии отсечки P, которая параллельна можно вообще пренебречь, и криволинейные координаоси абсцисс. Значение ординаты линии отсечки дается ты r,, становятся ортогональными, поскольку квадследующей формулой:

рат длины дуги не содержит перекрестных произведений дифференциалов криволинейных координат:

D P = 2mI(k), (10) ds2 = dr2 + n2d2 + n22d2. (17) Перед квадратами дифференциалов криволинейных когде I(k) — энергетический зазор, определяемый формуординат в формуле (17) стоят квадраты коэффициентов лой (6). При толщине d = 30 и диаметре D = 300, Ламе [4]. В этих координатах они будут иметь вид когда I = 0.25 эВ, получаем величину P = 9.35, что дает 10 уровней в цилиндрической КТ. По указанной схеме Hr = 1; HR = n; H = n. (18) с помощью диаграммы на рис. 2 строятся гистограммы полного числа уровней в цилиндре, изображенные на С помощью коэффициентов Ламе нетрудно построить рис. 3, a. лапласиан для сильно сплюснутого эллипсоида (n 1).

Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Структура энергетических квантовых уровней в квантовой точке, имеющей форму сплюснутого тела... Следуя способу, приведенному в [5], получим следую- P1(0) =0, P1(2) =3.05, P2(0) =P1(1) =3.83, P1(4) = щее выражение для лапласиана: = 5.32, P1(3) =6.38 [6]. Важно подчеркнуть, что урав нение для производной имеет нулевой корень, P1(0) =0, 2 1 1 1 которому будет соответствовать энергия, равная нулю 2 = + +. (19) r2 n2 2 для движения вдоль длинной оси. Как упоминалось выше, этот корень — лишний, и в дальнейшем случай Этот оператор похож на лапласиан (2) цилиндрической с M = 0 будет отброшен. Для упрощения процедуры системы координат с заменой z r, R n ·. Такой определения корней уравнений (21) приведем приближе вид будет иметь лапласиан вне ямы. Отметим, что женную формулу для безразмерных корней производной вывод оператора (19) из исходного оператора кинетичефункции Бесселя PS (M):

ской энергии в декартовой системе координат возможен только для изотропного квадратичного закона дисперсии PS (M) =M - 3.1 + 3.07S электрона, т. е. в параболическом приближении.

+ S (0.55M + 0.2), M = 2, 4,.... (22) 4. Разделение переменных Для нечетных значений M корень определяется формув квазисферических координатах лой (9). Эти формулы не дают ошибки при определении числа состояний (см. рис. 2), тогда как сами корни при Решение уравнения Шредингера (1) с лапласиамалых M и S(S ) получаются с некоторой погрешностью.

ном (19) будет иметь вид, аналогичный (3):

В этих случаях точные значения корней приведены = exp(iM) · JM(pn) cos(kr). (20) выше. Каждая кривая на рис. 2 соответствует определенному номеру корня S, S = 1, 2, 3. Таким образом, корни Здесь k и p — дискретные компоненты волнового уравнений (21) описываются кружками и зачерненными вектора, значения которых определяются граничными квадратиками. Последние являются также и решениями уловиями данной задачи. Граничные условия по переуравнения (7).

менной r состоят в непрерывности волновой функции и ее производной по нормали на поверхности сферы r = a, что приводит к уравнению (5), такому же, как и в 5. Результаты расчетов случае квантовой ямы. Граничные условия по переменным и являются условиями цикличности волновой Для указанных моделей они представлены на функции. Ввиду периодичности волновой функции по рис. 3, a, b. На рис. 3, a дана зависимость числа элекпеременной квантовое число M должно быть целым:

тронных уровней N в цилиндрической КТ от квадрата M = 0, 1, 2, 3,.... Энергия E, аналогично (4), является диаметра цилиндра. Зависимость представляет собой суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, E(k) — гистограмму, поскольку число уровней есть дискретная это энергия уровней, соответствующих движению новеличина. Если по оси абсцисс откладывать квадрат сителя по радиусу r. Спектр этих энергий, даваемый диаметра, то оказывается, что медиана гистограммы уравнением (5), будет основной структурой, которая будет прямой линией. Более того, при N > 100 зависиимеет большие расстояния между уровнями. Второе мость N(D2) практически не отличается от этой прямой.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.