WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 3 Особенности неравновесной функции распределения при рассеянии электронов на полярных оптических фононах в полупроводниках AIIIBV © С.И. Борисенко Cибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова, 634050 Томск, Россия (Получена 12 июля 2000 г. Принята к печати 26 июля 2000 г.) Проведен численный анализ неравновесной функции распределения для рассеянии электронов на полярных оптических фононах в полупроводнике GaAs. Уравнение Больцмана для неравновесной функции решалось численно итерационным методом с учетом распределения электронов по состояниям. Показано, что неравновесная добавка к функции распределения при низких температурах имеет сложный вид. Значения подвижности, рассчитанной с этой функцией, сравниваются с величиной, полученной в широко используемом приближении.

Как известно, одним из основных механизмов рассея- методом итераций. При выводе этого уравнения исния в алмазоподобных полупроводниках АIIIBV является пользовано приближение слабого поля и эффективной рассеяние на продольных полярных оптических (LO) массы, учтена экранировка рассеяния на LO-фононах и фононах. Учет этого рассеяния в области неупругости распределение электронов по состояниям. На примере представляет определенные трудности, связанные с необ- GaAs проведен численный расчет и анализ неравновесходимостью численного решения уравнения Больцмана ной добавки к функции распределения и температурной вне рамок приближения времени релаксации. Во многих зависимости подвижности. Проведено сравнение полуработах [1–4], связанных с анализом эспериментальных ченных результатов с результатами расчетов другими данных по температурной зависимости подвижности в методами.

рассматриваемых полупроводниках, определяемой рассеянием на LO-фононах, в основном используется формула, полученная авторами [5,6] с помощью вариацион1. Методика численного решения ного метода, уравнения Больцмана 2 8 T [exp(/T ) - 1] Как известно, в преближении слабого электрического µLO = (/T ) поля с напряженностью E уравнение Больцмана для 3 2k0(m)3e неравновесной добавки к функции распределения g(k) = µ0(T ) (/T ), (1) можно записать в виде g(k) =0(k) g(k ) wk k + f0(E)(wkk - wk k) где m — эффективная масса носителей заряда, k = s/(s - ), s, — низкочастотная и высокочастотная диэлектрические проницаемости, T — тем f+ e Evk, (2) пература, = /k0 — эффективная температура длинE новолнового LO-фонона. Эта формула наряду с параметрами электронного и фононного спектров содержит где задаваемую численно функцию, аргументом которой является отношение энергии фонона к величине k0T.

0(k) =1 wk k + f0(E )(wk k - wkk ), (3) В области высоких ( k0T ) и низких ( k0T ) k температур значение этой функции приводит к формуf0(E) = 1/[exp(E - ) +1] — равновесная функция лам, полученным в приближении времени релаксации [7].

Недостатком этих формул является то, что она не учи- распределения Ферми–Дирака; E = E(k), E = E(k ) — энергия электрона, зависящая от волнового вектора;

тывает экранировку потенциала LO-фононов, а также wkk — вероятность перехода в единицу времени из распределение электронов по состояниям в окрестности состояния с волновым вектором k в состояние с k ;

дна зоны проводимости. Все сказанное может оказаться существенным в случае образцов с частично или полно- vk = kE/ — скорость электрона. Для рассеяния электронов на LO-фононах в полупроводниках AIIIBV стью вырожденным электронным газом.

c учетом их испускания (+) и поглощения (-), как В данной работе получено функциональное уравнеизвестно, ние, с помощью которого уравнение Больцмана для рассеяния электронов на LO-фононах решается численно wkk = w+ + w-, (4) kk kk 314 С.И. Борисенко где В этом случае для (n + 1)-го приближения получаем итерационное уравнение 1 w+ = w(q) N + ± (E -E ± )k,k ±q, (5) kk 2 n+1(E) =0(E) S+(E)n(E+ )+S-(E)n(E- )+1.

(10) q2 eПри E из уравнения (7) получается формуw(q) =C, C =, (q2 + 2)2 ла для высокотемпературного времени релаксации с учетом экранировки дальнодействующего потенциала N = (6) LO-фононов exp( /k0T ) - — функция распределения Бозе–Энштейна, — коэфE (E) =, (11) фициент экранирования Дебая, q — волновой вектор 2A(2N + 1)(E) фонона.

Выбирая неравновесную добавку в виде, соответ- где ствующем приближению времени релаксации g(k) = 2 2 2E + (E) = ln + 4. (12) = e( f0/E) (E)Evk, для неизвестной функции (E) с E 4E + 2 4E + учетом (2) получаем функциональное уравнение При 0 функция (E) 2 и формула (11) принимает обычный вид для высокотемпературного времени (E) =0(E) S+(E) (E + ) +S-(E) (E - ) +1, релаксации на LO-фононах без учета экранировки.

(7) Как известно, в случае низких температур время регде лаксации для рассеяния на LO-фононах строго ввести + 1/0(E) =S0 (E) +S0 (E). (8) нельзя. Приближенный подход к решению этой задачи приводит к формуле, полученной Калленом [8], которая В приближении эффективной массы для энергетического ввиду ее относительной сложности для анализа подвижспектра электронов выражения для функций, входящих ности носителей заряда практически не применяется.

в уравнение (7), с учетом (4)–(6) принимают аналитиС учетом экранировки эту формулу в приближении ческий вид эффективной массы можно записать в виде 1 1 f0(E ) S±(E) =A N + ± f0(E) 2 2 f0(E) = 2AE-3/2 N-(E)+(N +1)+(E)(E- ), (E) (E + E + 22) (13) S(E, E ) E =E±, E E где (x) — функция Хевисайда, 1 1 ± S0 (E) =A N + ± f0(E) S0(E, E ) E =E, ±(E) =2 E(E ) 2 E E 2 + E + E (22 ) E + E + 2 - ln S(E, E ) =ln 2 + E - E E - E + 22(2 ) E(E ) EE (E -E)2 + 32(E + E) ++. (14) - 4, (9) 2 2+ E + E 2+ E - E (E + E + 22)[(E -E)2 + 22(E + E) +4] E + E + 2 В приближении упругого рассеяния при E, как S0(E, E ) = ln и следовало ожидать, формула (13) переходит в форму E - E + лу (11).

EE - 4, 2. Численный анализ времени (E -E)2 + 22(E + E) +релаксации и подвижности где f = f0(E)/E, 2 = 2/2m, A = 0(E) =( 2m/322 )C, m — эффективная масса электро- На рис. 1 представлены результаты численного ренов на дне зоны проводимости. шения уравнения (7) для функции LO(E) = (E) Уравнение (7) для функции (E), которую будем при различных температурах (см. кривые 1–3) с параназывать, как обычно, временем релаксации, решает- метрами, соответствующими невырожденному n-GaAs:

ся численно методом итераций. В качестве нулевого m/m0 = 0.067, s = 13.7, = 11.6, = 37 мВ, приближения можно воспользоваться функцией 0(E). = -k0T. Из рисунка следует, что в области азотных Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Особенности неравновесной функции распределения при рассеянии электронов... Это следует из рис. 2, где представлены результаты расчета LO(E), выполненные для вырожденного n-GaAs ( = 5k0T ).

Результаты расчета дрейфовой подвижности в области температур от 50 до 600 K представлены на рис. 3.

Сплошная линия соответствует расчету µLO с функцией LO(E), полученной из численного решения уравнения (7), а пунктирная — расчету по формуле (1). Из Рис. 1. Вид функции LO(E) для невырожденного электронного газа ( = -k0T ) при температурах T, K: 1 — 77, 2 — 300, 3 — 600. 4 — расчет по формуле Каллена для T = 77 K.

Рис. 3. Температурная зависимость подвижности: 1 — = = -k0T, 2 — = 5k0T. Пояснения в тексте.

Рис. 2. Вид функции LO(E) для вырожденного электронного газа ( = 5k0T ) при температурах T, K: 1 — 77, 2 — 300, 3 — 600. 4 — расчет по формуле Каллена для T = 77 K.

температур функция LO(E) имеет осциллирующий вид.

Период осцилляций равен энергии LO-фонона. С ростом энергии электрона и температуры амплитуда осцилляций уменьшается. Функция (E), рассчитанная по формуле Каллена (13) (кривая 4), имеет вид, близкий к Рис. 4. Значения функции для электронного газа с разогибающей LO(E) снизу. С ростом уровня Ферми изме- личной степенью вырождения: = -10k0T (1), -k0T (2), няется вид осцилляций, но период их остается прежним. 2k0T (3), 3k0T (4), 4k0T (5), 6k0T (6). Пояснения в тексте.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 316 С.И. Борисенко основе — например, в сверхрешетках и других низкоразмерных структурах, специфические свойства которых проявляются при низких температурах.

Список литературы [1] В.М. Ардышев, М.В. Ардышев, С.С. Хлудков. ФТП, 34, (2000).

[2] М.Б. Коханюк. Фосфид индия в полупроводниковой электронике (Кишинев, 1988).

[3] Я.Э. Кирсон, Э.Э. Клотыньш, Р.К. Круминя. Изв. АН Латв.

ССР. Сер. физ. и техн. наук., №3, 47 (1982).

[4] B. Podor, N. Nador. Acta Phys. Academ. Sci. Hungaricae, 37, (1974) p. 317.

[5] A. Fortini, B. Diguet, J. Lugand. J. Appl. Phys., 32, Suppl., (1961).

[6] H. Ehrenreich. Phys. Rev., 120, 1951 (1960).

[7] А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников (М., Наука, 1978) гл. 8, c. 481.

[8] Б. Ридли. Квантовые процессы в полупроводниках (М., Мир, 1986) гл. 3, с. 131.

Рис. 5. Зависимость LO (1) и g (2) в относительных единицах от энергии для n-GaAs при T = 77 K и = -k0T. Редактор Л.В. Шаронова Particularities of non-equilibrium distribution function for electron scattering рисунка следует, что наибольшее различие между кривыми, рассчитанными двумя способами, наблюдается, как by polar optical phonons in AIIIBV и следовало ожидать, для вырожденного электронного semiconductors газа. На рис. 4 представлена функция, вычисленная по S.I. Borisenko формуле (/T ) =µLO(T )/µ0(T ), (15) V.D. Kuznetsov Siberian Physicotechnical Institute, 634050 Tomsk, Russia где µLO(T ) — подвижность, рассчитанная с учетом численного решения уравнения (7); µ0(T ) — подвижность

Abstract

Numerical analysis of a nonequilibrium distribution в приближении времени релаксации для невырожденного function for electron scattering by polar optical phonons in GaAs электронного газа — см. (1). Значениям этой функции semiconductor has been made. The Boltzmann equation for при различной степени вырождения электронного газа a nonequilibrium function was solved by iteration method with соответствуют сплошные кривые 1–6. Точки соотregard to electron distrubution on the states. It was shown ветствуют значениям этой функции, полученным при that a nonequilibrium addition of the distribution function had a выводе формулы (1) [2]. Согласно рисунку, значения complicated form. A mobility value, calculated with the help of the функции, вычисленные с учетом заполнения электроabove mentioned function was compared with the mobility value, нами состояний в зоне проводимости и без учета, для expressed by a conventional approximation formula.

образцов с вырожденным электронным газом в области азотных температур различаются существенно. Это может привести к увеличению подвижности, рассчитанной по формуле (1), по сравнению с точным расчетом в несколько раз.

Заключение Согласно результатам численного решения уравнения Больцмана для GaAs показано, что в полупроводниках AIIIBV в области низких температур при учете рассеяния на LO-фононах зависимость неравновесной добавки к функции распределения от энергии имеет сложный вид (рис. 5). Это может проявиться в сильных магнитных полях в собственных или слабо легированных полупроводниках данного типа и структурах на их Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.