WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 2 Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле © Г. Бузиелло, Р.В. Сабурова, В.Г. Сушкова, Г.П. Чугунова Dipartimento di Fisica „E.R. Caianiello“, Universit di Salerno, 84081 Baronissi — Salerno and INFM — Unit di Salerno, Salerno, Italy Казанский государственный энергетический университет, 620066 Казань, Россия Казанский государственный технологический университет, 420015 Казань, Россия (Поступила в Редакцию 23 июня 2003 г.) Развивается аналитический метод изучения эффекта старения в неупорядоченной квантовой системе, находящейся в контакте с внутренним окружением и подверженной действию внешнего переменного поля.

Диссипация включается посредством связи системы с набором независимых гармонических осцилляторов, имитирующих квантовую тепловую баню. С помощью формализма интегралов по замкнутым траекториям выводятся динамические уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика.

Исследуется влияние внешнего поля на поведение корреляции и отклика в спин-стекольной и парамагнитной фазах. Обнаружена зависимость обеих функций от величины спинового взаимодействия.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 01-02-16368).

1. Введение внешнем магнитном поле от температуры T > Tg (Tg — температура фазового перехода в спин-стекольную фазу) Исследование диссипативных эффектов в неравновес- до температуры T1 < Tg в момент времени t, который ной динамике квантовых стекол началось недавно [1]. принимаем равным нулю. В этот момент к образцу приВ настоящее время в квантовых спиновых стеклах ин- кладывается малое внешнее магнитное осциллирующее тенсивно исследуется роль квантовых флуктуаций [1–6]. поле h(t). Эволюция системы происходит в изотермичеВлияние внешнего переменного возмущения на нерав- ских условиях и магнитная восприимчивость измеряется новесную динамику квантовых спиновых стекол тео- при фиксированной угловой частоте как функция времени t, прошедшего с момента достижения образцом ретически еще не рассматривалось. Для классической температуры T1, т. е. с момента t = 0 [1,9].

модели спинового стекла влияние зависящей от времени Отметим, что функция корреляции C(t, t ) системы внешней силы рассмотрено в работе [7], в которой может служить мерой того, как быстро система теряет показано, что эффект старения (зависимость скорости память о своей предыстории и, следовательно, убыварелаксации от времени ожидания или „возраста“ систеет на больших временах. Чтобы узнать, как система мы) прослеживается в слабом возмущающем внешнем реагирует на внешнее возмущение, вводится функция поле.

отклика, связанная с восприимчивостью системы. АнаМы изучаем неравновесную динамику квантового спилогично функции корреляции функция отклика убывает нового стекла, связанного с внутренним окружением с увеличением времени, поскольку влияние возмущения (баней) и внешним периодическим полем. Используются постепенно забывается системой, находящейся в контакзамкнутые динамические уравнения для симметризованте с тепловой баней. Между откликом и корреляцией ной автокорреляционной функции и функции линейного есть существенное отличие. Корреляцию двух наблюдаотклика, аналогичные полученным в [8]; они решаются емых величин можно вычислить в любые произвольные численно для разных констант спинового взаимодеймоменты времени, в то время как отклик до начала возствия, разных констант связи с баней и различных действия внешнего возмущения равен нулю. Несмотря амплитуд и частот внешнего поля. Рассматривается на это различие корреляцию и отклик можно изучать на p-спиновая сферическая модель в приближении среднего равных условиях.

поля.

В рассматриваемой модели квантового спинового При измерениях магнитной восприимчивости в пестекла, связанного с окружением и находящегося в ременном внешнем магнитном поле, выполняемых в переменном внешнем магнитном поле, можно ожидать спиновых стеклах, наблюдается эффект старения, магпроявления неравновесной динамики, в том числе эфнитный отклик системы на малое внешнее поле завифекта старения.

сит от тепловой истории образца, т. е. от временного В настоящей работе описывается модель спинового интервала, в течение которого система находится при стекла и получены связанные динамические уравнения постоянной температуре в фазе спинового стекла. Рас- движения для функций корреляции и отклика системы.

смотрим следующую постановку эксперимента. Образец Дано численное решение уравнений, их анализ, обсуждеохлаждается бесконечно быстро в нулевом постоянном ние результатов работы и заключение.

Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле 2. Модель 3. Формализм интегралов по замкнутым траекториям Рассматривается квантовая система, состоящая из N взаимодействующих между собой спинов, связанная с Далее используем квантовую теорию поля [13]. Пусть баней из независимых квантовых гармонических осцил+(t), -(t) — N-векторные внешние источники, где ляторов и находящаяся под действием внешнего перезнак „+“ означает, что берется значение на поломенного магнитного поля. Гамильтониан этой связанной жительной ветке временного контура (идущей из системы дается следующим выражением:

в +), знак „-“ соответственно относится к отрицательной ветке (идущей в обратном направлении H = HS + HB + HSB + HSF, (1) из + в 0); степени свободы описываются полем = (1(t),..., N(t)) в гейзенберговском представлегде HS — гамильтониан системы, HB — гамильтониан нии [14,15]. Производящий функционал имеет вид [16] бани, HSB — гамильтониан взаимодействия системы и бани, HSF — гамильтониан взаимодействия системы и внешнего переменного поля, i Z[+, -] =Tr T exp - dt -(t)(t) N m HS = i2 + V, (2) i=i T exp - dt +(t)(t) (0), (7) Nb 1 pl HB = + mllx2, (3) l 2 ml l=где T означает упорядоченное по времени произведение, определяемое обычным образом, T означает произведеHSB = - Cixli, (4) l ние, упорядоченное по обращенному времени, (t0) — i,l матрица плотности в начальный момент времени tN (положим t0 = 0). Усреднение по ансамблю любого HSF = -h(t) i, h(t) =ht cos 0t, (5) оператора производится как обычно i= Tr [A(t)(0)] где m — масса объекта со спином i, точка обозначает A(t) =. (8) Tr (0) производную по времени; V — потенциал спинового взаимодействия; Nb — число осцилляторов; xl и pl — Симметризованная корреляционная функция Ci j(t, t ) координата и импульс l-го осциллятора; ml и l — определяется через производящий функционал как масса и угловая частота осциллятора. Баня представляет собой фононы решетки. Ci — константа связи между l i-м спином и l-м осциллятором. Внешнее магнитное Ci j(t, t ) i(t)j (t ) +j(t )i(t) переменное поле h(t) характеризуется своей амплитудой (в энергетических единицах) ht и угловой частотой 0. 2 = + ln Z, (9) Мы пренебрегаем взаимодействием между баней и 2 =i+(t)-(t ) +(t)i-(t ) j j внешним переменным полем. Переменное поле будем считать достаточно малым. Рассмотрим диагональное pфункция отклика Ri j(t, t ) на внешнее периодическое спиновое взаимодействие вида возмущение ht определяется как N V = Ji...i iz... iz, (6) i(t) 1 p 1 p Ri j(t, t ). (10) i1<...

= + ln Z. (11) i i+(t)+(t ) +(t)i-(t ) =Ограничимся рассмотрением случая p = 3. Модель, j j описываемая (2)–(6), предполагает наличие динамического фазового перехода, разделяющего две фазы: упо- Производящий функционал (7) позволяет провести рядоченную фазу (спиновое стекло) и неупорядоченную преобразования, аналогичные тем, которые проводятся (парамагнитную) фазу. в динамике классической системы [17]. Тогда можно Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 310 Г. Бузиелло, Р.В. Сабурова, В.Г. Сушкова, Г.П. Чугунова записать Это соответствует потенциальной случайной корреляции V(x) =-(1 - x/2)p/2 и приводит к эффективному, i Z[+, -] = D+D- exp S[+] - S[-] нелокальному во времени взаимодействию между спинами [19] p J2Ni + + dt +(t)+(t) - dt -(t)-(t) +|(0)|-, VD[+, -] = dt dt +(t) (t ) 4 N (12) p p + 1 + - - - где D+D- означает [di (t)di (t)], D+ и + (t) (t ) - +(t) (t ) i,t N N D- — функциональные меры, означающие интегрироp вание по всем траекториям. В (12) опускаем пределы у + - -(t) (t ), (20) N временных интегралов, везде подразумевая, что интегри рование идет от t0 = 0 до. S[] — действие системы, i являются непрерывными динамическими переменны +|(0)|- — матричный элемент матрицы плотноми - N

интегралов по траекториям [18] описывается с помощью переменных =(, vl), где =(1,..., N) — пере- Можно рассматривать и другие типы связи между баней и системой, отличные от (15); мы выбрали менные системы, vl =(v1l,..., vN l), l = 1,..., Nb, — b простейший случай. Если предположить, что начальпеременные бани. Полное действие S, которое состоит из действия спиновой системы, действия бани и дей- ная матрица плотности (0) = S(0)B(0), где B(0) — больцмановское распределение для переменных бани ствий система–баня и система–перменное поле, равно в равновесии при температуре kBT = 1/, то можно, S[] =SS[ ] +SB[vl] +SSB[, vl] +SSF[ ] проинтегрировав по переменным бани, получить эффек+ тивное тепловое действие ST [, ], которое входит в Nb Nb N функционал влияния Фейнмана–Вернона = SS[ ] + ml v2 - l v2 - Clvl - h(t) i.

l 2 l l=1 l=1 i= (15) + - + ST [, ] =- dt dt (t) - (t) Действие системы SS[, J] равно + - + SS[, J] =S0[ ] - dt V [, J]. (16) (t - t ) (t) + (t) +i dt dt (t) Та часть действия, которая не зависит от беспорядка, - (t) (t - t ) +(t) - -(t), (22) равна m z где шумовое и диссипативное ядра и задаются в виде 2 S0[, J] = dt - ( - N), (17) 2 где z — зависящий от времени множитель Лагранжа, (t - t ) = d I() cth cos (t - t ), (23) который обеспечивает выполнение сферического ограN ничения i2(t) =N в любой момент времени.

i= В нашей модели для гауссовского потенциального (t - t ) =-(t - t ) d I() sin (t - t ). (24) члена V [, J] имеем N ( - )Спектральная плотность бани I() определяется следуV [, J]V [, J] =- V, (18) 2 N ющим выражением:

Np-1 Np-I() =2 (/c)s-1 exp(-/c), (25) P[J] = exp - (Ji...i )2 = (Ji...i )1 p 1 p J2 p! J2 p! i1=... =i p где — безразмерная константа связи системы с баней, c — высокочастотное обрезание, 0 < s < 2.

J2p! =. (19) Рассмотрим омическую баню, когда s = 1. При малых 2Np-Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Неравновесная динамика квантового спинового стекла в переменном магнитном поле (например, = 0.2) имеем парамагнитную фазу, а при 3.1. Д и н а м и ч е с к и е п а р а м е т р ы п о р я д к а.

= 1 — фазу спинового стекла [19]. При изучении Введением оператора Op(t, t ) [19] неупорядоченных систем величины необходимо усреднить по беспорядку с распределением P[J].

Op++(t, t ) Op+-(t, t ) Op(t, t ) = = {Op(t, t )}, Рассмотрим динамику в реальном времени с некотоOp-+(t, t ) Op--(t, t ) рым случайным начальным условием в момент t0 = 0, (29) когда система приводится в контакт с баней и при кладывается внешнее переменное поле. Это условие не + Op++(t, t ) = mt2 + z (t) (t - t ) - 2i(t - t ), зависит от беспорядка, поэтому также не зависит от беспорядка и, следовательно, производящий функционал Op+-(t, t ) =2(t - t ) +2i(t - t ), в отсутствие источников и поля h(t) тоже не зависит от беспорядка: Z[+ = 0, - = 0, J] =Tr[(0)]. Как и в классическом случае, возможно записать динамические Op-+(t, t ) =-2(t - t ) +2i(t - t ), уравнения со случайными начальными условиями, не вычисляя среднее по беспорядку от ln Z[+, -, J] и Op--(t, t ) = mt2 + z (t) (t - t ) - 2i(t - t ), (30) не используя метод реплик. С помощью усредненного производящего функционала квадратичные члены в действии SEFF можно собрать в одно слагаемое. В этом случае получаем Z[+, -] = dJ P[J]Z[+, -, J] (26) + - SEFF[, ] =- dt dt (t)Op(t, t )(t ) получаем следующее среднее значение для любого оператора (t):

- VD[+, -], (31) ln Z[+, -, J] (t), =+, - и по повторяющимся индексам подразуме+(t) =0,h=вается суммирование. С помощью тождества 1 Z[+, -, J] = Z[0, 0, J] +(t) =0,h= 1= DQ (t) (t )- Q DQD N =, (27) Z[0, 0, J] i exp - (t) (t ) - NQ(t, t ), (32) черта сверху означает усреднение по беспорядку.

Таким образом, наша система описывается следуюподставленного в производящий функционал, перепищим производящим функционалом:

шем полное действие в виде i + - + Z[+, -, J] = D D exp SEFF[, ] + S = SEFF + dt +(t) (t) - dt -(t) (t) + + dt +(t) (t) - dt -(t) (t) + + + dt h+(t) (t)- dt h+(t) (t) =SEFF+ dt +(t) + + + dt h+(t) (t) - dt h-(t) (t), (28) + h+(t) (t) - dt -(t) +h-(t) (t), (33) + где SEFF[+, -] =S0[ ] - S0[-] +ST [+, -]. Кван- где товые динамические уравнения движения можно полу чить, выполняя преобразования, аналогичные классиче+ - SEFF[, ] =- dt dt (t) Op(t, t ) скому случаю в [17,20].

Далее введем макроскопические параметры порядка и N с помощью приближения седловой точки производящего + (t, t ) (t ) + dt dt (t, t )Q(t, t ) функционала Швингера–Келдыша (которое становится точным в приближении среднего поля при N ) N iJ2N p + получим динамические уравнения движения. Поскольку + dt z (t) - z (t) + dt dt Q++(t, t ) 2 рассматривается динамика системы для больших, но p p p конечных времен, ожидается появление неравновесных + Q--(t, t ) - Q+-(t, t ) - Q-+(t, t ). (34) явлений.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 312 Г. Бузиелло, Р.В. Сабурова, В.Г. Сушкова, Г.П. Чугунова Значения параметров порядка Q(t, t ),, =+, - В седловой точке уравнение для Q(t, t ) дает связаны с „критическими“ корреляциями и откликом, определенным в (13), (14) следующим образом: i pJL(t, t ) =- F[Q](t, t ). (45) + + NQ++(t, t ) = (t) (t ) Уравнения (44) и (45) можно записать в компактном i виде = N C(t, t ) - R(t, t ) +R(t, t), (35) i pJOp Q = I - F[Q] Q, (46) + NQ+-(t, t ) = (t) (t ) 2 где I — тождественный оператор: I(t, t ) =(t - t ).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.