WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДЫ И ДВИЖЕНИЕ НАГРЕТЫХ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ В ВЯЗКИХ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ СРЕДАХ (ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА)

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

 


СТУКАЛОВ Александр Анатольевич

 

Нелинейные характеристики среды и движение нагретых частиц сферической формы  в вязких неизотермических средах (при малых числах Рейнольдса)

 

 

 

01.04.07 – физика конденсированного состояния

 

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Белгород 2008


Работа выполнена на кафедре теоретической физики Белгородского государственного университета.

Научный руководитель:     доктор физико-математических наук, доцент

      Малай Николай Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

                                           Савков Сергей Анатольевич

      кандидат физико-математических наук, доцент

                                  Воронов Виталий Павлович

Ведущая организация:               Тамбовский государственный университет

им. Г.Р. Державина

         Защита состоится «  13  »     февраля     200 9 г. в   16  ч.  00  мин. на заседании диссертационного совета Д212.105.04 при Курском государственном техническом университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Курск ГТУ по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Автореферат разослан «  8  »        января       200 9 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук                              Рослякова Л.И.


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время все большее значение приобретает исследование физических и динамических свойств дисперсных систем и создание на этой основе математических моделей, позволяющих оценивать их поведение. Дисперсной системой называют однокомпонентную или многокомпонентную вязкую среду (жидкость или газ) с взвешенными в ней частицами.

Наибольший интерес представляют дисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть частицы, а вторая – газ или жидкость. Газ (жидкость) с взвешенными в нем частицами называют аэрозолями (гидрозолями), а сами частицы – аэрозольными (гидрозольными). При этом размер частиц дисперсной фазы находится в очень широких пределах: от макроскопических   до молекулярных  значений; варьирует в них соответственно и концентрация частиц – от одной частицы до высококонцентрированных систем. В настоящее время, с учетом развития нанотехнологий, большую перспективу представляет применение ультрадисперсных (нано-) частиц, в частности,  в наноэлектронике и нанотехнологиях в целом.

Аэрозоли играют большую роль в природе и жизни человека и находят все более широкое применение в технике, медицине, сельском хозяйстве и быту. В связи с интенсификацией производства увеличивается их выброс и в атмосферу вместе с промышленными дымами. Аэрозольные загрязнения наиболее динамичны и представляют собой непосредственную угрозу окружающей среде. Таким образом, важной причиной возрастающего интереса к изучению аэро(гидро)дисперсных систем является разнообразие и фундаментальный характер задач, которые возникают в этой области.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения аэрозольных частиц сферической формы, как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры в их окрестности. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы и температурой области вдали от нее к последней, то есть величину . Относительный перепад температуры считается малым при  и большим в противном случае.

Существенный вклад в изучение и применение аэродисперсных систем внесли ряд отечественных и зарубежных исследователей: Г.С. Эпштейн, Ж.Р. Брок, Н.А. Фукс, В.М. Волощук, Б.В. Дерягин, О.А. Волковицкий, П.Е. Суетин,  Ю.И. Яламов и др.

Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного их размера. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знание законов динамики движения и тепло-и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Поэтому исследование закономерностей движения отдельных частиц в газообразных средах (как однородных, так и неоднородных) является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса, как целенаправленное воздействие на аэрозоли.

Цель работы: изучение влияния нелинейных характеристик среды на движение нагретых частиц (твердых и капель) сферической формы в вязких неизотермических газообразных средах при малых числах Рейнольдса.

Для достижения  цели были поставлены следующие задачи: 

– разработать вариант математического метода решения линеаризованного по скорости уравнения Навье–Стокса с учетом зависимости коэффициента вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат; сравнить с уже полученными;

– решить конвективное уравнение теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры;

– изучить влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного движения слабо испаряющейся равномерно нагретой капли. Получить аналог формулы Адамара–Рыбчинского, позволяющей оценивать силу и скорость гравитационного дрейфа капли при произвольных перепадах температуры в ее окрестности;

– исследовать влияния движения среды на фотофорез нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы.

Объект исследования: физические и динамические свойства аэродисперсных систем. 

Предметом исследования является поведение нагретой аэрозольной частицы сферической формы в вязкой неизотермической газообразной среде.  

Методы исследований. Результаты работы получены с использованием теории дифференциальных уравнений, качественных свойств специальных функций, метода Фурье разделения переменных, уравнений математической физики.

Научная новизна работы. Разработан еще один вариант математического метода, позволявший найти аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье–Стокса, с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат (доказана теорема существования и единственности полученного решения). Исследовано влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез твердых нагретых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы. Проведен численный анализ влияния нагрева поверхности и движения среды на поведение аэрозольной частицы в вязкой неизотермической газообразной среде.

Разработанные математические методы могут быть использованы и при исследовании поведения нагретых частиц  в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной формой (сфероид, цилиндр и т.д.).

Практическая значимость работы. Результаты научного исследования могут быть применимы при описании процесса осаждения аэрозольных частиц в разнотемпературных каналах; при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц; при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей и т.п. 

Математические методы, используемые при решении уравнений гидродинамики и теплопереноса, могут быть применены в дальнейшем при теоретическом описании поведения нагретых частиц в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной геометрией, например, сфероидальной, цилиндрической и т.д.

Кроме того, результаты данной работы могут быть использованы при разработке спецкурсов по гидродинамике, газовой динамике, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов 3-5 курсов.

Положения, выносимые на защиту:

  • Решение в виде обобщенных степенных рядов линеаризованного по скорости уравнения Навье–Стокса с учетом степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры в сферической системе координат.
  • Влияние нагрева поверхности  на силу и скорость гравитационного дрейфа слабо испаряющихся равномерно нагретых капель и твердых частиц сферической формы.
  • Решение конвективного уравнения теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в сферической системе координат.
  • Влияние движения среды на фотофорез нагретых твердых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обусловлена корректностью постановки задачи исследования; корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений;  корректностью построения математических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции  «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность – 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); 2 Международной научной конференции «Х Белорусская математическая конференция» (г. Минск, 2008), на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 2 – в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежит обработка полученных результатов, участие в их обсуждении и подготовке материала для публикации в открытой печати и на конференциях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав и приложения,  библиографического списка (137 наименований), содержит 24 иллюстраций и 2 таблицы. Общий объем диссертации 130 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи, определяется его научная новизна, достоверность, обоснованность и практическая значимость.  Представлены положения, выносимые на защиту, результаты апробации и публикации по теме диссертации. Дан краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

 В первой главе диссертации получено аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье–Стокса с учетом степенного вида зависимости вязкости от температуры; доказана теорема существования и единственности полученного решения. Проведено сравнение с известными результатами.

В разделе 1.1 дается определение основных уравнений гидродинамики и свойства вязкой неизотермической газообразной среды, используемых в диссертации. Общая система гидродинамических уравнений нелинейна,  и в разделе 1.2  приведены допущения, позволяющие линеаризовать эту систему:

  • все процессы, происходящие в системе частица–газ, рассматриваются в квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса и Пекле;
  • движение нагретой аэрозольной частицы рассматривается при значительных (больших) относительных перепадах температуры в ее окрестности. В работе при описании свойств газообразной среды  и частицы рассматривается степенной вид зависимости динамической вязкости и теплопроводности от температуры: , , , где , , , , , , , Здесь и далее индексы «е» и «i» будем относить к газообразной среде и частице, индексом «s» – обозначены значения физических величин, взятых при средней относительной температуре частицы равной , а индексом «» – обозначены значения физических величин, характеризующие внешнюю среду в невозмущенном потоке;
  • коэффициент теплопроводности частицы по величине много больше коэффициента теплопроводности газа. Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте вязкости можно пренебречь зависимостью по углу  в системе «частица – газ» (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры) и считается, что вязкость связана только с температурой , т.е. . При этом , где ,  определяются из решения тепловой задачи. Это допущение позволяет рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществляется через граничные условия;
  • частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом;
  • при описании движения нагретой частицы во внешних заданных полях используется гидродинамический подход, т.е. модель сплошной среды. Решаются обычные уравнения гидродинамики и теплопереноса, учитывающие, однако, поправки, связанные с отличием числа Кнудсена от нуля в граничных условиях.  

В рамках сформулированных выше допущений в диссертационной работе исследовалась следующая система гидродинамических уравнений, описывающая распределения полей скорости , давления  и температур  вне и внутри нагретой частицы:

,    ,           (1)

()  = ,   ,                                     (2)

,                                                                                (3)

где декартовые координаты; постоянная Больцмана; плотность и масса молекул газообразной среды;плотность тепловых источников, неоднородно распределенные в объеме частицы, за счет которых и происходит ее нагрев.

Система уравнения (1) – (3) решалась со следующими граничными условиями вне и внутри аэрозольной частицы (в сферической системе координат ):

,          ,   ,

,       , , ,                          (4)

,         .                                                                                 

Здесь ,, ,  – единичные векторы сферической системы координат.

Значения  и , входящих в граничные условия на поверхности нагретой частицы радиуса    определяются конкретной физической задачей  (речь о которых пойдет в следующих главах)

В разделе 1.3 перечислены основные сведения из теории решения дифференциальных уравнений n-го порядка с помощью обобщенных степенных рядов, используемых в данной работе.

Одной из основных трудностей диссертационного исследования – это нахождение аналитического решения линеаризованного по скорости уравнения Навье–Стокса (1) с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат, которое получено в разделе 1.4.

Компоненты массовой скорости  и давления искались в виде разложения по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Они нужны нам для нахождения общей силы, действующей на частицу. Сила определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы. Используя свойство полиномов Лежандра и Гегенбауэра, легко показать, что эта сила определяется первыми членами этих разложений. Связь между радиальными функциями в этих разложениях находилась из уравнения непрерывности (1) при этом учитывалось зависимость плотности газообразной среды от температуры (уравнение состояния). Учитывая явный вид зависимости вязкости от температуры (допущение (3)) и подставляя все это в линеаризованное по скорости уравнение Навье–Стокса (1), которое затем решалось методом разделения переменных. В конечном итоге было получено следующее однородное дифференциальное уравнение 4 – го порядка:

                                                           (5)

в котором , , , , , , , , ,  , ,

с граничными условиями

,    ,                                                     (6)

,                                                    (7)

где .

Заметим, что при получении и нахождении решения уравнения (5) в виде обобщенных степенных рядов мы использовали переменную , впервые предложенную Е.Р. Щукиным

Точка  для  уравнения (5) является регулярной особой точкой и, следовательно, его решение может быть получено в виде обобщенных степенных рядов .

Решение уравнения (5)  ищем в виде обобщенного степенного ряда:

,   .                                                        (8)

Подставляя (8) в уравнение (5), получаем определяющее уравнение, корни которого равны  , , . Заметим, что разность корней (по модулю) определяющего уравнения равна целому числу. Следовательно, согласно общей теории решения дифференциальных уравнений в виде обобщенных степенных рядов (метод Фробениуса) в остальных решениях, кроме первого решения (в нашем случае )  появляется добавочное слагаемое с логарифмом.

Большему по модулю  из корней отвечает решение:

Щукин, Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Е.Р. Щукин. Моск. пед. ун-т. – МПУ.,1998. – 275 с.

Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон – М.: Иностр. Лит-ры. 1958. – 474 с.

,                                               (9)

Второе решение уравнения (5)  ищем в виде:

,                               (10)

Третье решение уравнения (5), отвечающее корню , равно:

,                     (11)

Здесь , рекуррентные соотношения для  определяются методом неопределенных коэффициентов, их явный вид приведен в диссертации, а в приложении I приведены численные значения коэффициентов    и   при  в интервале температур от  до .

Явный вид четвертого решения  уравнения (5) мы не приводим, т.к. оно не удовлетворяет граничному условию (7) при .

Решение + формально удовлетворяет уравнению (5) по построению. Легко показать, что радиус сходимости степенных рядов равен единицы. Кроме того ограниченность функций  и  обусловлена выбором переменной . Постоянные интегрирования  и  однозначно определяются из граничных условий (6) – (7): , . Для определения постоянных  и  имеем следующую линейную систему уравнений:

 

Эта система имеет единственное решение, если ее определитель отличен от нуля. Определитель  в силу линейной независимости решений , . Следовательно:

,        

Таким образом, в результате проведенного исследования доказана следующая теорема.

Теорема. Существует единственное решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям (6) – (7), которое имеет вид:

.

В разделе 1.5 проведено сравнение полученного решения с известными решениями.

Таким образом, в первой главе диссертации разработан математический метод решения линеаризованного по скорости уравнения Навье – Стокса с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры.  

В качестве примера применения разработанного в первой главе метода, во второй и третьей главах диссертации исследуются гравитационное и фотофоретическое движения нагретой аэрозольной частицы сферической формы.

Во второй главе получены аналитические формулы, обобщающие формулы Адамара–Рыбчинского и Стокса. Формулы, позволяющие оценить силу и скорость гравитационного падения нагретой твердой аэрозольной частицы и слабо испаряющейся капли при произвольных относительных перепадах температуры в ее окрестности. В разделах 2.1 и 2.2  приведены основные уравнения и граничные условия.

В частности, в случае движения равномерно нагретой твердой сферы радиуса  в поле силы тяжести система уравнений гидродинамики и граничные условия, в системе координат, связанной с центром масс частицы (см. рис. 1), имеют  вид (12) – (16):

Рис.1. Схема обтекания неподвижной равномерно нагретой сферы плоскопараллельным потоком со скоростью .

,                                (12)

,                                                                     (13)

с   граничными условиями:

    ,   ,   ,                                                          (14)

 .                                               (15)

Решая уравнения теплопереноса методом Фурье и используя результаты первой главы, были получены аналитические выражения для силы сопротивления и скорости гравитационного падения равномерно нагретой твердой частицы сферической формы при произвольных относительных перепадах температуры в ее окрестности (аналог формул Стокса):

 ,                                  (16)

где , первая производная по  от соответствующей функции ().

В случае, когда величина нагрева поверхности частицы достаточно мала, т.е. средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей среды вдали от нее (), зависимостью плотности и коэффициентов молекулярного переноса от температуры можно пренебречь. В этом случае полученные формулы  (16) переходят в известные выражения для сферы .

Для иллюстрации относительного влияния нагрева поверхности на силу сопротивления и скорости гравитационного падения на рис.2 – 3 приведены кривые, связывающие значения функций  и  со значениями  для частиц меди с радиусом 0.1 мм, взвешенных в воздухе при нормальных условиях. Кривые 1, 2 и 3 строились соответственно при  .

        Рис. 2.                                                            Рис.3.

Численные расчеты показали, что нагрев поверхности оказывает существенное влияние на силу вязкого сопротивления и скорость гравитационного падения аэрозольной частицы и зависит от показателей . Эти факты можно использовать в практических приложениях.

В разделе 2.2  проведено  качественное сравнение полученных в диссертации формул для равномерно нагретой сферы с экспериментом . В эксперименте исследовалось влияние температуры газовой среды и температуры горящих угольных частиц (разогретых антрацитовых частиц) на коэффициент аэродинамического сопротивления с погрешностью  . Температура частиц, взвешенных в нейтральной (азотной) и в окислительной (воздушной и кислородной) газовой среде, изменялась от  до . Размеры угольных частиц в опыте – от 0,1 до 1,0 мм. В экспериментальной работе была предложена формула расчета коэффициента аэродинамического сопротивления частицы в неизотермических условиях , . Здесь ,  температура поверхности частицы.

Если привести полученную в диссертационном исследовании формулу (2.2.8) к аналогичному виду, то она примет вид:

,                                             (17)

На рис.4 проведено сравнение коэффициентов  и  в интервале температур от  до . Кривые 1,2 и 3 строились соответственно при  . Численные оценки показали очень хорошее согласие с экспериментальными данными.

Рис. 4.

Сравнение формул (17) с формулами Стокса, при коэффициенте вязкости в формуле Стокса взятый при средней температуре поверхности частицы  проведено в разделе 2.2. Численные оценки показали завышенный характер формулы Стокса, который тем существеннее, чем выше нагрета частица.  

Особенности гравитационного движения неравномерно нагретой (внутри частицы действуют внутренние источники тепла) твердой частицы сферической формы рассмотрены в разделе 2.3. Получены аналитические выражения для силы и скорости и проведены численные оценки. 

В разделе 2.4  рассмотрено гравитационное движение равномерно нагретой слабо испаряющейся капли в газообразной среде. В ряде случаев, представляющих практический интерес, сфера, поступательно движущаяся при малых числах Рейнольдса, сама состоит из жидкости, в которой, в свою очередь, может возникнуть движение, и желательно выяснить, какое влияние оказывает эта внутренняя циркуляция и нагрев ее поверхности на силу сопротивления и скорость ее гравитационного дрейфа.

Предполагается, что при движении равномерно нагретая капля сохраняет сферическую форму. Физически это означает, что силы поверхностного натяжения на ее границе значительно больше сил внешнего давления, стремящихся нарушить сферическую форму. Математически отмеченное условие сохранения сферической формы капли можно представить в виде следующего неравенства:

.                                                              (18)

Здесь коэффициент поверхностного натяжения на границе капля–внешняя среда, величина скорости капли, имеющая в случае гравитационного движения порядок:

.                                                   (19)

После подстановки (19) в (18) получаем условие (20), позволяющее оценить допустимые размеры капель, сохраняющих сферическую форму при их движении в поле силы тяжести:

.                                             (20)

Так, например, оценки, проведенные по (20), для жидкости, имеющей на границе раздела поверхностное натяжение порядка м,  и движущееся в газе с , дает верхний предел радиуса капли м = 320 микрон.

К системе уравнений (14) – (16) для учета влияния внутренних течений необходимо добавить уравнения Стокса внутри слабо испаряющейся капли. Это приводит и к изменению граничных условий на поверхности частицы. В сферической системе координат кинематические условия на поверхности раздела фаз требуют: для нормальных компонентов скорости выполнения условия , касательные компоненты скорости непрерывны , и непрерывны касательные компоненты тензора напряжений  и при , , , . Таким образом, мы получаем замкнутую систему уравнений, из решения которой были получены аналитические выражения для силы сопротивления и скорости гравитационного дрейфа равномерно нагретой слабо испаряющейся капли сферической формы (аналог формулы Адамара–Рыбчинского):

,                                         (21)

На рис. 5 приведены численные оценки по формуле (21) – кривые, связывающие значения  со значениями  для крупной капли калия радиусом , движущейся в азоте при  , . Кривые 1, 2 и 3 строились  при   соответственно

Рис.5.

Из рис. 2 и 5 видим, что учет внутренних течений приводит к уменьшению силы сопротивления.

В разделе 2.5 рассмотрена задача о возможности термокапиллярного дрейфа слабо испаряющейся капли с однородным внутренним тепловыделением в поле силы тяжести.

Известно, что наличие градиента температуры на поверхности капли обуславливает возникновение градиента силы поверхностного натяжения и может вызвать движение капли. Это движение связано с касательными напряжениями на поверхности капли за счет изменения коэффициента поверхностного натяжения   с температурой  (эффект Марангони) и направлено в сторону более нагретых участков внешней среды при   или в противоположную сторону при   (термокапиллярный дрейф).

В диссертации исследуется важный пример термокапиллярного дрейфа, в котором не симметрия температурного поля возникает благодаря движению капли и усиливается за счет действия равномерно распределенных внутренних источников тепла. Рассматривается ситуация, когда неоднородное распределение температуры на поверхности капли есть следствие ее собственного движения . Получены аналитические формулы для силы и скорости термокапиллярного дрейфа слабо испаряющейся капли в поле силы тяжести при произвольных относительных перепадах температуры. Количественное исследование обсуждаемого явления в диссертации для нагретых слабо испаряющихся капель представляет собой вполне реальную экспериментальную задачу.

В третьей главе исследуется влияние нагрева поверхности частицы и движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез.

В разделе 3.1 дана постановка задачи, основные уравнения и граничные условия для крупной и умеренно крупной неравномерно нагретой аэрозольной частицы.

Физическая постановка задачи сводится к следующему. До момента времени  частица не облучалась и находилась в термодинамическом равновесии с газом; в момент  на частицу падает плоская монохроматическая волна интенсивностью  и длиной волны  (см. рис. 6). Энергия электромагнитного излучения, поглощаясь частицей, превращается в тепловую энергию, которая неоднородно распределяется в ее объеме. Тепловая энергия может быть описано некоторой функцией (), называемой объемной плотностью внутренних источников тепла. Функция () считается заданной. Тепло передается с неравномерно нагретой поверхности частицы в окружающую среду за счет излучения и  взаимодействия с молекулами окружающего газа. Эффект разреженности, отвечающий за возникновение фотофореза, учитывается через граничные условия, допускающие возможность теплового скольжения газа вдоль неоднородно нагретой поверхности частицы. Под действием фотофоретической силы аэрозольная частица приходит в движение. Наряду с фотофоретической силой на частицу действует силы вязкого сопротивления среды. Когда величина фотофоретической силы становится равной величине силы вязкого сопротивления среды, частица начинает двигаться равномерно. Скорость равномерного движения частицы называют фотофоретической скоростью.

С учетом выше сказанного задачу можно сформулировать в общей постановке (как это принято в научной литературе). Рассматривается установившееся движение твердой умеренно крупной (крупной) аэрозольной частицы, нагреваемой внутренними источниками тепла (произвольной природы), неоднородно распределенные в ее объеме с плотностью , в вязкой неизотермической газообразной среде. На бесконечности газ покоится. Это позволяет получить выражения для силы и скорости фотофореза в более общем виде.

Рис. 6.   Схема фотофоретического движения сферической частицы.

Основная трудность в описании фотофореза (кроме нахождения решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса) заключалось в необходимости учесть влияние на него движения среды. При больших перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее конвективный член в уравнении теплопроводности ()  по порядку величины, может быть, сравним с основным членом . Корректно решить эту задачу, учитывая, что конвективное уравнение теплопроводности нелинейное, можно используя метод сращиваемых асимптотических разложений . Это связано с тем, что нам известно граничное условие для нулевого приближения и неизвестно граничное условие для первого приближения поля температуры вдали от частицы. До настоящего времени авторы, рассматривая это явление, либо предполагали, что граничное для первого приближения вдали от частицы пропорционально , либо фотофорез рассматривали совместно с термофорезом, диффузиофорезом и т.д., т.е. с аналогичными по своей физической природе явлениями, где известно граничное условие для первого приближения вдали от частицы. Этот недостаток устранен в разделе 3.3.

В разделе 3.2. кратко излагается основная идея метода сращиваемых асимптотических разложений, а в разделе 3.3. получено аналитическое решение конвективного уравнение теплопроводности с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры 

()  = ,                                (22)

и уравнение Пуассона внутри частицы, с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности частицы, от температуры:

                                                (23)

Уравнения (22) и (23) решались со следующими граничными условиями для крупной аэрозольной частицы в сферической системе координат:

,  ,   ,  ,               (24)

, ,, , ,                         (25)

, (26)

В граничных условиях (24) на поверхности частицы учтено, соответственно: условие непроницаемости и теплового скольжения для нормальной и касательной компонент массовой скорости, равенства температур и непрерывность радиального потока тепла.

Уравнение (22) нелинейное и оно решалось методом сращиваемых асимптотических разложений. Суть этого метода заключается в следующем. Внутренние и внешние асимптотические разложения безразмеренной температуры представим как:

,  (),                        (27)

                                            (28)

где  – "сжатая" радиальная координата.

При этом требуется, чтобы    ,    при . Недостающие граничные условия для внутреннего и внешнего разложений вытекают из условия тождественности продолжения асимптотических разложений того и другого в некоторую промежуточную область, т.е.

                                  (29)

Асимптотическое разложение решения внутри частицы, как показывают граничные условия на поверхности частицы, следует искать в виде, аналогичном (27):

                                    (30)

Относительно функций  и  предполагается, что порядок их малости по увеличивается с ростом п.

В разделе 3.3 получены нулевые и первые приближения для распределения температуры вне и внутри аэрозольной частицы и проведено сравнение с известными результатами.

При исследовании влияния на фотофорез движения среды природа тепловых источников, неоднородно распределенных по объему частицы, не конкретизировалась, что позволило получить аналитические выражения для силы и скорости фотофореза в общем виде. Эта сила будет аддитивно складываться из силы вязкого сопротивления среды ; силы , пропорциональной дипольному моменту плотности тепловых источников ("чистый" фотофорез, если под  понимать тепловые источники, обусловленные поглощением электромагнитного излучения), и силы  , обусловленной движением среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности):

В качестве примера влияния нагрева поверхности  на силу "чистого" фотофореза и фотофореза с учетом движения среды на рис. 7, 8 приведены численные оценки для частиц меди, взвешенных в воздухе при нормальных условиях.

Рис. 7.                                                            Рис. 8.

Численные оценки показали, что при увеличении средней температуры поверхности частицы происходит монотонное увеличение скалярных коэффициентов, входящих в выражения для "чистого" фотофореза и фотофореза с учетом движения.

Представляет интерес, какой вклад движение среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) оказывает на величину силы и скорости "чистого" фотофореза. Для этого необходимо конкретизировать природу тепловых источников. В  разделе  3.4  такие оценки были приведены для наиболее простого случая, когда частица поглощает излучение как черное тело. В этом случае поглощение происходит в тонком слое толщиной ?R<< R, прилегающем к нагреваемой части поверхности частицы. При этом плотность тепловых источников внутри слоя толщиной ?Rопределяется с помощью формулы:

где   интенсивность падающего излучения.   

В результате были получены выражения для силы и скорости фотофореза абсолютно черных твердых частиц сферической формы. На рис.9 приведены численные оценки функции , показывающей влияние движения среды на "чистый" фотофорез.

Рис.9

Анализ полученных формул для силы и скорости фотофореза показал, что вклад движения среды пропорционален произведению числа Прандтля на относительный перепад температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее (момент тепловых источников нулевого порядка). В газах число Прандтля порядка единицы и все зависит от относительного перепада температуры. Численные оценки показали, что в случае малых относительных перепадов температуры его вклад ~ 5 – 12%, а в случае больших перепадов температуры его вклад зависит от показателей  и момент тепловых источников нулевого порядка, но основной вклад в силу и скорость фотофореза дает дипольный момент плотности тепловых источников.

В разделе  3.4 получены аналитические выражения для силы и скорости фотофореза умеренно крупной и крупной аэрозольной частицы сферической формы с учетом влияния движения среды и проведены аналогичные численные оценки.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении I приведены численные значения коэффициентов   ,   и функций  вместе с производными до 3-го порядка при  в интервале температур от  до .

Основные результаты, полученные в диссертации:

  1. Получено аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом зависимости плотности газообразной среды и степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры. Доказана теорема существования и единственности полученного решения.
  2.  Получены аналитические формулы для силы и скорости гравитационного дрейфа слабо испаряющейся капли и равномерно нагретой твердой частицы при произвольных перепадах температуры в их окрестности. Получено обобщение формул Стокса и Адамара–Рыбчинского.
  3. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы сопротивления и скорости ее гравитационного движения. Их величина также существенно зависит от показателей . Проведено сравнение с экспериментом, которое показало хорошее согласие.
  4. Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, получено аналитическое решение конвективного уравнения теплопроводности с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры.
  5. В квазистационарном приближении исследовано влияние движения среды на фотофорез нагретых умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц сферической формы при произвольных перепадах температуры в окрестности аэрозольной частицы.
  6. Анализ полученных формул показал, что вклад движения среды пропорционален произведению числа Прандтля на относительный перепад температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее (момент тепловых источников нулевого порядка). В газах число Прандтля порядка единицы и все зависит от относительного перепада температуры. Проведенный численный анализ показал, что основной вклад в силу и скорость фотофореза дает дипольный момент плотности тепловых источников. Влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) – это дополнительная поправка к основному эффекту и с увеличением средней температуры поверхности ее вклад увеличивается. Кроме того, сила и скорость фотофореза существенно зависит от показателей  .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

  1. Стукалов А.А., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Рязанов К.С. К вопросу о гравитационном движении равномерно нагретой частицы в газообразной среде. // Новосибирск, СО РАН, ПМТФ. 2008, № 1, т. 49, с. 74-80
  2. Стукалов А.А., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев А.А. Особенности фотофоретического движения умеренно крупной аэрозольной частицы сферической формы //Оптика атмосферы и океана. 2006. Т. 19. № 5. С. 413-418
  3. Стукалов А.А., Малай Н.В., Аматов М.А. К вопросу о фотофорезе в жидкости //Дифференциальные уравнения. 2005. Вып. 9. С. 42-47
  4. Стукалов А.А., Малай Н.В., Щукин Е.Р. Влияние движения среды на фотофорез крупных аэрозольных частиц сферической формы //Дифференциальные уравнения. 2005. Вып. 9. С. 48-58
  5. Стукалов А.А., Малай Н.В., Щукин Е.Р., Плесканев А.А. Особенности фотофоретического движения крупных аэрозольных частиц сферической формы при малых относительных перепадах температуры в их окрестности // Деп. в ВИНИТИ 19.08. 2005.  №  1169 – В 2005
  6. Стукалов А.А., Малай Н.В.Использование метода сращиваемых асимптотических разложений в задаче о фотофоретическом движении нагретой твердой аэрозольной частицы сферической формы  // Международная научная конференция "Современные методы физико-математических наук". г. Орел, ОГУ. 9-14 октября 2006 г. 
  7. Стукалов А.А., Малай Н.В. Влияние на фотофорез нагрева поверхности аэрозольной частицы // Экология: образование, наука, промышленность и здоровье: тезисы докладов на II Международная научно-практическая конференции. Белгород. БГТУ им. В.Г. Шухова. 2004. С. 109
  8. Стукалов А.А., Малай Н.В., Щукин Е.Р. Влияние движения среды на фотофорез аэрозольной частицы сферической формы //Тезисы докл. Международной научно-практической конференции "Аэрозоли и безопасность- 2005". Обнинск. 2005. С. 137-139
  9. Стукалов А. А., Малай Н. В., Рязанов К. С., Щукин Е. Р. О некоторых особенностях решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса // Тезисы докл. Первая международная конференция "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения" г. Минск, БГУ, 2-5 октября 2007г.
  10. Стукалов А. А., Малай Н. В.  О некоторых особенностях решения конвективного уравнения теплопроводности, с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры // Тезисы докл. часть 2 Международная научная конференция "Х Белорусская математическая конференция" г. Минск, БГУ, 3-7 ноября 2008г.
  11.  Стукалов А.А. К вопросу о гидродинамическом сопротивлении сферической частицы с однородным внутренним тепловыделением.//Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. БелГУ. №9 (49). Вып. 14. – Белгород, 2008. – С. 274 –278

 

 

Редников, А.Е. О термокапиллярном движении капли с однородным внутренним тепловыделением / А.Е. Редников, Рязанцев Ю.С. // ПММ. – 1989. – Т. 53. № 2. – С. 271-277 .

Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк – М.: Мир. 1967. – 310 с

Найфе, А. Введение в методы возмущений / А. Найфе – М.: Мир. 1984. – 535 с.

Бабий, В.И. Аэродинамическое сопротивление частицы в неизотермических

условиях / В.И. Бабий, И.П. Иванова //Теплоэнергетика. 1965. – № 9. – С. 19-23.

 
Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.