WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

КОВЫРШИНА АННА ИВАНОВНА

СТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ

НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел


Работа выполнена на кафедре математики и методики обучения

математике ГОУ ВПО «ВосточноСибирская государственная академия

образования»

Научный руководитель:   доктор физикоматематических наук,

профессор Блудов Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физикоматематических наук,

профессор Романьков Виталий Анатольевич

кандидат физикоматематических наук,

доцент

Соломатин Денис Владимирович

Ведущая организация:      Сибирский федеральный университет



АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук

Иркутск — 2011


Защита состоится 28 апреля 2011 г. в 1430 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при ОмГУ им. Ф.М. До­стоевского по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.

Автореферат разослан «21» марта 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.179.07, к.ф.м.н., доцент

A.M. Семенов


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам су­ществования стабильных элементов относительно всех автомор­физмов нильпотентной группы ступени 12.

Стабильные элементы свободных нильпотентных групп отно­сительно всех автоморфизмов группы тесно связаны с инвариан­тами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариан­тов Ли были найдены в работах Ф. Вефера (1949 г.)1 и М. Бар­роу (1958 г.)2 3. Это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиаль­ные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы. Отметим, что вопрос о суще­ствовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS4 (вопрос N1):

Пусть G свободная нилъпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g Є G неподвижен относительно всех авто­морфизмов группы G. Верно ли, что g = 1?

Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блудовым5 в 1998 году, который привел примеры нетривиальных ста­бильных элементов свободной нильпотентных групп ранга 2. На­пример, элемент [а, Ъ, а, [а, Ъ, Ь], [а, Ц] — стабилен относительно лю

1Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische Annalen. 1949. Vol.120. P. 563580.

2Burrow M.D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. Vol.11. P. 419431.

3Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants // Communications on pure and applied mathematics. 1967. Vol.20. P. 401411.

4Nilpotent groups [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.sci.ccny.cuny.edu/ shpil/gworld/problems/probnil.html (5 мар­та 2011)

бБлудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах. Третий Сибирский конгресс по приклад­ной и индустриальной математике. Тез. докл. часть 5. Новосибирск, 1998.


бого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.

В 2001 году независимо друг от друга А. Папистас6 и Е. Форманек7, основываясь на работах Ф. Вефера и М. Бар­роу, классифицировали все пары (г,п), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени п. Так, для г = 3 наименьшая сту­пень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы равна 12. При этом конкретный вид ста­бильных элементов в этих работах не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность. Первые при­меры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 3 получены в 2004 году и опубликованы в 2008 году в работе соискателя [3].

Цели работы:

  1. получение метода нахождения стабильных элементов сво­бодной нильпотентной группы.
  2. описание всех стабильных элементов с однородным вхожде­нием образующих в свободных нильпотентных группах ран­га 2, ступени 12 (в терминах базисных коммутаторов).
  3. описание всех стабильных элементов с однородным вхожде­нием образующих в свободных нильпотентных группах ран­га 3, ступени 12 (в терминах базисных коммутаторов).

Методика исследования. Использованы методы комбина­торной теории групп и приемы исследования автоморфизмов сво­бодных нильпотентных групп.

6Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups // Communications in algebra. 2001. Vol.29. P. 46934699.

7Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. Vol.30. P. 10331038.



3


4


Научная новизна. Все результаты диссертации являются но­выми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп, при чтении специальных курсов лекций по алгебре и при написа­нии монографий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации бы­ли представлены на Международной конференции по теории групп (Екатеринбург, 2001), международной конференции «Ал­гебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004), международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2008), между­народной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Крас­ноярск, 2010) а также неоднократно докладывались на семи­нарах Иркутского государственного университета и ВосточноСибирской государственной академии образования.

Публикации. Основные результаты диссертации опублико­ваны в семи работах, в том числе три работы в журналах, реко­мендованных ВАК РФ [3, 6, 7].

Структура и объем работы. Диссертационная работа со­стоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов, за­ключения, списка литературы (19 названий), занимает 79 страниц текста, набранного в системе ЖЩХ. Дополнительно представлено приложение на 34 страницах. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы или леммы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации относятся теоремы 3.1, 4.1, 5.1 и 5.2, а также метод нахождения стабильных элементов.

Во введении дается обоснование актуальности темы исследо­ваний.


Первая глава является вводной. В первом параграфе пояс­няется терминология и основные обозначения, принятые в работе. Во втором параграфе дается определение базисных коммутато­ров и рассматривается пример разложения небазисного коммута­тора по базисным. Третий параграф посвящен автоморфизмам свободной нильпотентной группы ступени 12. Указаны автомор­физмы, применение которых к элементу группы достаточно для проверки стабильности этого элемента. Приводится замечание 1.1, из которого следует одно из достаточных условий нестабильности элемента (если автоморфный образ элемента представлен в опре­деленном виде).

Во второй главе приводится первый основной результат дис­сертации — описывается метод нахождения стабильных элемен­тов. Метод заключается в разбиении множества всех базисных коммутаторов на 48 подмножеств М\, Мг и Aj, j = 1,..., 46, ком­мутаторов определенного вида и установлении связей между эти­ми подмножествами. В первом параграфе вводится понятие ви­да (расположение скобок) базисного коммутатора и определяют­ся все возможные подмножества базисных коммутаторов каждого вида. Установлены связи между этими подмножествами в зависи­мости от автоморфных образов элементов этих множеств. Нетри­виальная линейная комбинация элементов из Aj, j = 1,..., 46 обо­значена через Uj(rhW). Во втором параграфе на основании до­статочного условия нестабильности элемента, отмеченного в пер­вой главе, и полученных связей между всеми подмножествами базисных коммутаторов, описывается общая схема нахождения стабильных элементов. В третьем параграфе, в качестве иллю­страции применения метода нахождения стабильных элементов, приводится пример стабильного элемента, который представлен в виде суммы 22 базисных коммутаторов из Дзз

Третья глава посвящена исследованию условий нестабильно­сти элементов. Найдены все виды базисных коммутаторов, такие что среди линейных комбинаций коммутаторов каждого вида нет



5


6


стабильных элементов. Для этого были вычислены коэффициен­ты базисных коммутаторов, с которыми они входят в представ­ление стабильного элемента. Рассмотрено 19 подмножеств базис­ных коммутаторов определенного вида. После всех вычислений, все значения выражений, определяющих коэффициенты элемен­тов этих подмножеств, оказались равны нулю.

В первом параграфе доказывается лемма 3.1, которая поз­воляет установить нестабильность элемента, в представление ко­торого входит линейная комбинация элементов из М\ или Мг. Во втором параграфе, используя эту лемму, получаем теорему о строении нестабильных элементов группы Fst\2

Теорема 3.1 Пусть К = {1,..., 12} |J{22, 26, 27, 28, 35}. Тог­да для любой последовательности целых чисел тУк>   и любой нетривиальной комбинации базисных коммутаторов к Є К, существует автоморфизм up, под действием которого ([/fc(mW))^[/fc(#)).

Данную теорему мы будем считать главным критерием неста­бильности элемента. Теорема 3.1 является вторым основным ре­зультатом диссертации.

В четвертой главе рассматриваются 28 подмножеств базис­ных коммутаторов, которые мы разделили на три набора, исполь­зуя связи между подмножествами в зависимости от автоморфных образов элементов этих множеств. Доказательство того, что в каждом наборе существуют нетривиальные стабильные элемен­ты проводится в следующей серии утверждений:

Утверждение 4.1 Пусть К = {23,24,25,34,39,40,44,45}. Тогда существуют последовательности целых чисел mSk\ к Є К, такие что элемент g =   J2 Uk{rnSk>) является нетривиальным

к&К

стабильным элементом группы і*зд2

Утверждение 4.2 Пусть К = {41,43,46}. Тогда существу­ют последовательности целых чисел mSk>, для к Є К, такие что элемент g =   J2 Uk{rnSk>) является нетривиальным стабиль

к&К


ным элементом группы і*зд2

Утверждение 4.3 Пусть К — множество, состоящее из натуральных чисел от 13 до 21 и чисел 29, 30, 31, 32, 36, 37, 38, 42. Тогда существуют последовательности целых чисел mSk>, к Є К, такие что элемент g =   J2 Uk(rh^k') является нетривиальным

к&К

стабильным элементом группы Fstu

Второй параграф содержит третий основной результат дис­сертации, которой следует из утверждений 4.1 — 4.3 и примера, представленного в главе 2.

Теорема 4.1 Существует подгруппа Н ранга 33, любой эле­мент которой является стабильным элементом группы і'здг

Данная теорема позволяет получить полное описание стабиль­ных элементов с однородным вхождением образующих группы ^з,12 Они записываются в виде линейных комбинаций 2011 ба­зисных коммутаторов. В зависимости от выбора базисных комму­таторов и их коэффициентов, получаются различные нетривиаль­ные стабильные элементы.

В пятой главе описаны стабильные элементы свободной нильпотентной группы ранга 2, ступени 12:

Теорема 5.1 Пусть К = {1, 3,..., 11,16, 22, 27, 28, 33}.  Тог­да для любой последовательности целых чисел mSk>   и любой нетривиальной комбинации базисных коммутаторов к Є К, существует автоморфизм up, под действием которого (C4(m(fc)))^ ф Uk(rh№).

Теорема 5.2 Существует подгруппа Н ранга 9, любой эле­мент которой является стабильным элементом группы і^дг

Приложение содержит явный вид базисных коммутаторов, используемых при построении стабильных элементов, и коэффи­циенты этих коммутаторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

На защиту выносятся следующие результаты.

  1. Получен метод нахождения стабильных элементов свобод­ной нильпотентной группы.
  2. Найдены условия на линейные комбинации базисных комму­таторов свободных нильпотентных групп ступени 12, рангов 2 и 3, при которых эти комбинации не являются стабильны­ми элементами.
  3. В свободных нильпотентных группах ступени 12, рангов 2 и 3, найдены подгруппы рангов 9 и 33 соответственно, любой элемент которых является стабильным.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Ковыршина А.И. Неподвижные точки автоморфизмов сво­бодных нильпотентных групп // Межд. семинар по теории групп, посвященный 70летию А.И. Старостина и 80летию Н.Ф. Сесекина: Тез. докл. Екатеринбург: Инт мат. и мех. УрО РАН; Издво Урал. Унта, 2001. С. 101102.
  2. Клейменов В.Ф., Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных нильпотентных группах // «Алгебра, логика и кибернетика: материалы межд. конф.»: Тез. докл. Ир­кутск, 2004. С. 5354.
  3. Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных ниль­потентных группах ранга три // Вестник НГУ Серия: Ма­тематика, механика, информатика. 2008. Т.8, вып.2. С. 8591.

  1. Ковыршина А.И. Неподвижные элементы свободных ниль­потентных групп ранга три // «Современные проблемы обу­чения математике и информатике»: материалы II всерос­сийской научнопрактической конференции преподавателей математики и информатики школ, инновационных учебных заведений и вузов. Иркутск, ГОУ ВПО ИГПУ, 2009. С. 132133.
  2. Ковыршина А.И. Описание неподвижных элементов свобод­ных нильпотентных групп ранга три //Межд. конф. «Ал­гебра, логика и приложения»: Тез. докл. Красноярск, 2010. С. 4849.
  3. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных ниль­потентных группах ранга три // Вестник Омского универ­ситета. 2010. №4 (58). С. 2023.
  4. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных ниль­потентных группах ранга два // Известия Иркутского го­сударственного университета. Серия: Математика. 2010. Т.З, № 4. С. 5059.


9


10


Ковыршина Анна Ивановна

Стабильные элементы автоморфизмов свободной

нильпотентной группы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата

физ.мат. наук

Подписано в печать 16.03.2011. Заказ Na 5135

Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0,75. Тираж 112 экз.

Отпечатано в издве Байкальского государственного университета

экономики и права 664003, Иркутск, Ленина, 11

 
Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.