«Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы»

СТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Работа выполнена на кафедре математики и методики обучения

математике ГОУ ВПО «ВосточноСибирская государственная академия

Научный руководитель: доктор физикоматематических наук,

Официальные оппоненты: доктор физикоматематических наук,

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам существования стабильных элементов относительно всех автоморфизмов нильпотентной группы ступени 12.

Стабильные элементы свободных нильпотентных групп относительно всех автоморфизмов группы тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариантов Ли были найдены в работах Ф. Вефера (1949 г.)1 и М. Барроу (1958 г.)2 3. Это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиальные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы. Отметим, что вопрос о существовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS4 (вопрос N1):

Пусть G свободная нилъпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g Є G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1?

Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блудовым5 в 1998 году, который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободной нильпотентных групп ранга 2. Например, элемент [а, Ъ, а, [а, Ъ, Ь], [а, Ц] — стабилен относительно лю

1Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische Annalen. 1949. Vol.120. P. 563580.

2Burrow M.D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. Vol.11. P. 419431.

3Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants // Communications on pure and applied mathematics. 1967. Vol.20. P. 401411.

4Nilpotent groups [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.sci.ccny.cuny.edu/ shpil/gworld/problems/probnil.html (5 марта 2011)

бБлудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах. Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тез. докл. часть 5. Новосибирск, 1998.

бого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.

В 2001 году независимо друг от друга А. Папистас6 и Е. Форманек7, основываясь на работах Ф. Вефера и М. Барроу, классифицировали все пары (г,п), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени п. Так, для г = 3 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы равна 12. При этом конкретный вид стабильных элементов в этих работах не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность. Первые примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 3 получены в 2004 году и опубликованы в 2008 году в работе соискателя [3].

Методика исследования. Использованы методы комбинаторной теории групп и приемы исследования автоморфизмов свободных нильпотентных групп.

6Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups // Communications in algebra. 2001. Vol.29. P. 46934699.

7Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. Vol.30. P. 10331038.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп, при чтении специальных курсов лекций по алгебре и при написании монографий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на Международной конференции по теории групп (Екатеринбург, 2001), международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004), международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2008), международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010) а также неоднократно докладывались на семинарах Иркутского государственного университета и ВосточноСибирской государственной академии образования.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, в том числе три работы в журналах, рекомендованных ВАК РФ [3, 6, 7].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов, заключения, списка литературы (19 названий), занимает 79 страниц текста, набранного в системе ЖЩХ. Дополнительно представлено приложение на 34 страницах. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы или леммы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации относятся теоремы 3.1, 4.1, 5.1 и 5.2, а также метод нахождения стабильных элементов.

Во введении дается обоснование актуальности темы исследований.

Первая глава является вводной. В первом параграфе поясняется терминология и основные обозначения, принятые в работе. Во втором параграфе дается определение базисных коммутаторов и рассматривается пример разложения небазисного коммутатора по базисным. Третий параграф посвящен автоморфизмам свободной нильпотентной группы ступени 12. Указаны автоморфизмы, применение которых к элементу группы достаточно для проверки стабильности этого элемента. Приводится замечание 1.1, из которого следует одно из достаточных условий нестабильности элемента (если автоморфный образ элемента представлен в определенном виде).

Во второй главе приводится первый основной результат диссертации — описывается метод нахождения стабильных элементов. Метод заключается в разбиении множества всех базисных коммутаторов на 48 подмножеств М\, Мг и Aj, j = 1,..., 46, коммутаторов определенного вида и установлении связей между этими подмножествами. В первом параграфе вводится понятие вида (расположение скобок) базисного коммутатора и определяются все возможные подмножества базисных коммутаторов каждого вида. Установлены связи между этими подмножествами в зависимости от автоморфных образов элементов этих множеств. Нетривиальная линейная комбинация элементов из Aj, j = 1,..., 46 обозначена через Uj(rhW). Во втором параграфе на основании достаточного условия нестабильности элемента, отмеченного в первой главе, и полученных связей между всеми подмножествами базисных коммутаторов, описывается общая схема нахождения стабильных элементов. В третьем параграфе, в качестве иллюстрации применения метода нахождения стабильных элементов, приводится пример стабильного элемента, который представлен в виде суммы 22 базисных коммутаторов из Дзз

Третья глава посвящена исследованию условий нестабильности элементов. Найдены все виды базисных коммутаторов, такие что среди линейных комбинаций коммутаторов каждого вида нет

стабильных элементов. Для этого были вычислены коэффициенты базисных коммутаторов, с которыми они входят в представление стабильного элемента. Рассмотрено 19 подмножеств базисных коммутаторов определенного вида. После всех вычислений, все значения выражений, определяющих коэффициенты элементов этих подмножеств, оказались равны нулю.

В первом параграфе доказывается лемма 3.1, которая позволяет установить нестабильность элемента, в представление которого входит линейная комбинация элементов из М\ или Мг. Во втором параграфе, используя эту лемму, получаем теорему о строении нестабильных элементов группы Fst\2

Теорема 3.1 Пусть К = {1,..., 12} |J{22, 26, 27, 28, 35}. Тогда для любой последовательности целых чисел тУк> и любой нетривиальной комбинации базисных коммутаторов к Є К, существует автоморфизм up, под действием которого ([/fc(mW))^[/fc(#)).

Данную теорему мы будем считать главным критерием нестабильности элемента. Теорема 3.1 является вторым основным результатом диссертации.

В четвертой главе рассматриваются 28 подмножеств базисных коммутаторов, которые мы разделили на три набора, используя связи между подмножествами в зависимости от автоморфных образов элементов этих множеств. Доказательство того, что в каждом наборе существуют нетривиальные стабильные элементы проводится в следующей серии утверждений:

Утверждение 4.1 Пусть К = {23,24,25,34,39,40,44,45}. Тогда существуют последовательности целых чисел mSk\ к Є К, такие что элемент g = J2 Uk{rnSk>) является нетривиальным

Утверждение 4.2 Пусть К = {41,43,46}. Тогда существуют последовательности целых чисел mSk>, для к Є К, такие что элемент g = J2 Uk{rnSk>) является нетривиальным стабиль

Утверждение 4.3 Пусть К — множество, состоящее из натуральных чисел от 13 до 21 и чисел 29, 30, 31, 32, 36, 37, 38, 42. Тогда существуют последовательности целых чисел mSk>, к Є К, такие что элемент g = J2 Uk(rh^k') является нетривиальным

Второй параграф содержит третий основной результат диссертации, которой следует из утверждений 4.1 — 4.3 и примера, представленного в главе 2.

Теорема 4.1 Существует подгруппа Н ранга 33, любой элемент которой является стабильным элементом группы і'здг

Данная теорема позволяет получить полное описание стабильных элементов с однородным вхождением образующих группы ^з,12 Они записываются в виде линейных комбинаций 2011 базисных коммутаторов. В зависимости от выбора базисных коммутаторов и их коэффициентов, получаются различные нетривиальные стабильные элементы.

В пятой главе описаны стабильные элементы свободной нильпотентной группы ранга 2, ступени 12:

Теорема 5.1 Пусть К = {1, 3,..., 11,16, 22, 27, 28, 33}. Тогда для любой последовательности целых чисел mSk> и любой нетривиальной комбинации базисных коммутаторов к Є К, существует автоморфизм up, под действием которого (C4(m(fc)))^ ф Uk(rh№).

Теорема 5.2 Существует подгруппа Н ранга 9, любой элемент которой является стабильным элементом группы і^дг

Приложение содержит явный вид базисных коммутаторов, используемых при построении стабильных элементов, и коэффициенты этих коммутаторов.

Стабильные элементы автоморфизмов свободной

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата

Отпечатано в издве Байкальского государственного университета

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы