WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

Шевляков Артём Николаевич

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД КОММУТАТИВНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Омск 2010


Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных

методов алгебры и логики

Омского филиала Института математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:   доктор физико-математических наук

профессор Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты:   доктор физико-математических наук

профессор Мартынов Леонид Матвеевич

кандидат физико-математических наук

ассистент

Кукина Екатерина Георгиевна

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический

университет.

Защита состоится 23 сентября 2010г. в 16-00 часов на заседании дис­сертационного совета ДМ.212.179.07 при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу г. Омск, ул. Нефтезаводская 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. До­стоевского.

Автореферат разослан "____ " июля 2010.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук,                                                              A.M. Семёнов


Введение

Актуальность темы. Алгебраическая геометрия — это одна из клас­сических математических дисциплин, изучающая решения систем алгеб­раических уравнений над полем. Решения систем алгебраических урав­нений изначально искались во множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результа­тов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай про­извольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой поло­вине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным по­лем.

Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение си­стем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким обра­зом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого ПОЛЯ, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?

Решение данной проблемы составляет основное содержание универ­сальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины. Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов Л, задаваемых системами уравнений.

Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над алгебраическими системами) было начато в работах Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремес-ленникова [22] (для групп). Данные работы являются попытками тео­ретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении неко­торых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (на­пример, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона [18], К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20], Г.С. Маканина [19], А.А. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [И]).

За последние годы накоплен достаточно богатый материал об алгеб­раических геометриях над различными алгебраическими системами. К настоящему времени многие задачи и проблемы алгебраической геомет­рии были решены в следующих классах групп и алгебр:

3


  1. метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленни­ков, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко [32];
  2. разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];
  3. алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленни­ков [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленни­ков [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29];
  4. свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13, 14, 15], 3. Се­ла [34].

Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свобод­ной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением ве­лась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясникова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгеб­раических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.

Естественно, что после построения алгебраической геометрии над сво­бодной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмот­ря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем на один из результа­тов данной диссертации, утверждающий, что алгебраическая геометрия даже над однопорождённым бесконечным моноидом достаточна сложна.

В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраи­ческой системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложе­нии общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими систе­мами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий из Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме.

В данных работах были доказаны так называемые Объединяющие теоремы, позволяющие изучать координатные алгебры с семи разных точек зрения. Там же были сформулированы несколько проблем, реше­нию которых посвящена вторая часть данной диссертации.

4


Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объяс­няют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной ал­гебраической системы по-прежнему остаются интересным и требующим решения.

В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям ра­бот [5, 6, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого объ­екта — натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.

Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Z была решена в работе [22], где было доказано, что любая коор­динатная группа над Z изоморфна Zn, и наоборот: все декартовы степени Zn являются координатными группами алгебраических множеств HaflZ. Заметим также, что на самом деле в [22] были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.

К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных ре­зультатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абе­левой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не су­ществует универсального метода, позволяющего по заданному коммута­тивному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как дока­зано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями Nn.

Многие свои понятия и подходы универсальная алгебраическая гео­метрия берёт из классической алгебраической геометрии над полем. На­пример, заимствованными понятиями являются алгебраическое множе­ство и координатная алгебра — аналог понятия координатного кольца в классическом случае. На случай произвольной алгебраической системы обобщаются и некоторые результаты из алгебраической геометрии над полем (например, теорема о дуальной эквивалентности категории алгеб­раических множеств и координатных алгебр). Однако другие результаты (и их большинство) на случай произвольной алгебраической системы не переносятся. Это ставит перед исследователем задачу по поиску контр­примеров, не допускающих такое обобщение.

Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы Л мы можем брать произвольную модель про­извольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая гео-

5


метрия над ней не допускает переноса результатов с алгебраической гео­метрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра Л будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, Л будет группой).

Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нё-теровыми. Этот факт в классической алгебраической геометрии над по­лем к играет решающую роль, так как аффинное пространство кп ока­зывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией За-рисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством на­зывается нётеровой по уравнениям.

Во второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутатив­ных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [6, 7], и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.

Помимо построения примеров, показывающих переносимость неко­торых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универ­сальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым. В на­шей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.

Цель работы:

Описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с со­кращениями; доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств. Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраи­ческой геометрии, связанными с понятием нётеровости по уравнениям и его обобщениями.

Методика исследований. В качестве методов исследования исполь­зовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной ал­гебраической геометрии.

Научная новизна работы. Все полученные в диссертации резуль­таты являются новыми и перечислены ниже в порядке появления их в работе.

  1. Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом нату­ральных чисел Л/о в языке (+,0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-
  2. Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел J\f в языке (+,0,1,2...). Предло­жен метод разложения приводимых алгебраических множеств над

6


J\f в объединение неприводимых компонент. Дана удовлетворитель­ная аксиоматизация универсального замыкания Ucl(jV).

  1. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы про­извольный моноид ЛЛ являлся координатным для некоторого непу­стого алгебраического множества над ЛЛ Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия Qvar(jV) с помощью квазитож­деств простейшего вида. Получены структурные результаты о ко­ординатных моноидах алгебраических множеств над Л/".
  2. Построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в счётом языке С = (•, Со, Ci, Ci ...), показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компакт­ности (классов N, N', Q, U).

Теоретическая и практическая ценность. Была создана алгеб­раическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами), построены примеры коммута­тивных идемпотентных полугрупп в языке с счётным числом констант, решающие проблемы, поставленные в работах [6, 7]. Доказана неаксио­матизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идем­потентных полугрупп в языке С.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных мате­матических конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008-2010), "Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы ре­шения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 35, 38]. Работа [36] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы раз­биты на параграфы, список литературы содержит 38 наименований.

В первой главе изучается алгебраическая геометрия над аддитив­ным моноидом натуральных чисел и рассматриваются две алгебраиче­ские системы Л/о = (N; +, 0) и J\f = (N; +, 0,1, 2,...). В параграфе 1.1 да­но описание всех координатных моноидов алгебраических множеств над

7


Л/о и доказываем, что все алгебраические множества над Л/о неприводи-мы. В параграфе 1.2 описаны все моноиды геометрически и универсально эквивалентные моноиду Л/о- Это позволит распространить полученные до этого результаты на целый класс коммутативных моноидов. В пара­графе 1.3 описываются координатные моноиды неприводимых алгебраи­ческих множеств над Л/", а в параграфе 1.5 — все координатные моноиды над Л/". В параграфе 1.4 предложен метод разложения приводимого над J\f алгебраического множества в конечное объединение неприводимых и исследованы свойства такого разложения. Параграф 1.6 содержит метод вычисления радикала линейного уравнения t{X) = а, а Є N. Данные уравнения играют большую роль при аксиоматизации квазимногообра­зия, порождённого моноидом Л/".

Во второй главе настоящей диссертации все исследовния проводят­ся в в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп язы­ка С = (•, Со, Ci,...) (полугруппы такого языка здесь называются С-полугруппами). Найдены решения следующих проблемы, поставленные в работах [6, 7].

Проблема 1 [7]. Пусть V — некоторое многообразие алгебр. Суще­ствуют ли в V алгебры, показывающие различие классов N, U, Q, N', U'?

Проблема 2 [6]. Допустим, что каждая совместная над алгеброй Л система уравнений S эквивалентна некоторой своей конечной подсисте­ме. Будет ли из этого следовать, что алгебра Л нётерова по уравнениям?

Проблема 3 [6]. Пусть V — многообразие алгебр языка С Будет ли аксиоматизируемым класс всех нётеровых по уравнениям алгебр из V

Проблема 4 (Проблема вложения) [7]. Пусть В — q^-компактная алгебра языка С. Пусть С — координатная алгебра над В. Будет ли С вкладываться в конечное декартово произведение алгебр изЦс1(?>)? Если ответ "нет", то решить аналогичную проблему для u^-компактной алгеб­ры В.

Исторически проблеме 1 предшествовала проблема разделения клас­сов N, Q для групп. Эта проблема была решена Б.И. Плоткиным [24]. Проблема разделения пар классов пары N,N' и пары U,Q решена М.В. Котовым [16] для алгебраических систем языка ), состояще­го из счётного числа одноместных функциональных символов.

Полный набор примеров (/^-полугруппы Л11Л21Л31Л4), показываю­щих попарное несовпадение всех классов N^N^U^Q, приведён в пара­графе 2.1. Таким образом, проблема 1 полностью и положительно реше­на в многообразии коммутативных идемпотентных /1-полугрупп. Кроме

8


того, мы строим /1-полугруппу Ль, не принадлежащую всем указанным выше классам. К тому же /1-полугруппа А\ решает в отрицательном смысле проблему 2. Иными словами, любая совместная над А\ система уравнений эквивалентна своей конечной подсистеме, но в то же время над А\ существуют несовместные системы, каждая конечная подсисте­ма которых совместна.

Отрицательному решению проблемы 3 посвящен параграф 2.3. В этом параграфе найден критерий нётеровости по уравнениям /1-полугрупп (теорема 2.27). Следствием данного критерия является отрицательное решение проблемы 3.

В параграфе 2.2 будут определены /I-полугруппы В,С такие, что С — координатная полугруппа над u^-компактной /^-полугруппой В, и С не вложима ни в какое конечное декартово произведение /1-полугрупп из класса Ucl^)^. Таким образом, что построенные полугруппы В, С решают проблему 4 отрицательно.

Содержание работы

Диссертация начинается с вводной главы, в которой даются основные определения теории полугрупп, теории моделей и универсальной алгеб­раической геометрии. Приведём лишь некоторые из них.

Мы будем рассматривать язык стандартный теории моноидов Со = {•, Со} и его расширение С = {•, Со, Ci,.. .}, где • — двуместный функци­ональный символ, Cj — константы.

С-полу группой будем называть алгебраическую систему А языка С с ассоциативной операцией •, где в качестве константных символов Cj выбраны некоторые элементы основного множества алгебраической си­стемы А.

Носитель (основное множество) алгебраической системы А будем обо­значать через А соответственно. Элементы носителя, соответствующие константным символам Cj, для краткости будем называть константами.

Термы языка С будем обозначать с помощью греческих букв т, <т,. ... Термы, не содержащие константных символов, обозначаются с помощью латинских букв t, s,.. .. Множество переменных, входящих в терм г бу­дем обозначать через ХТ.

Универсальной С-формулой называется формула вида УХср(Х), где через УХ обозначено Ух\\/х2 .. .Ухп, и (f(X) бескванторная формула. Две ^-полугруппы Ai,A2 называются универсально эквивалентными, если А\ |= ф ^=> Аъ |= ф для любой универсальной /I-формулы ф.

9


Квазитождеством языка С называется универсальная формула с (f(X) равной Л™ \Т{{Х) = &i(X) —>¦ т(Х) = о~(Х) для квазитождеств.

Множества всех истинных на /1-полугруппе универсальных формул и квазитождеств определяют два важных в алгебраической геометрии класса алгебраических систем языка С. Универсальным замыканием Ucl(.A) (соответственно квазимногообразием Qvar(.A)) /I-полугруппы Л называется класс всех алгебраических систем языка /3, на котором ис­тинны все универсальные формулы (квазитождества) языка С, истинные на Л.

Дадим базовые определения универсальной алгебраической геомет­рии. Так как в своей работе мы будем работать в конкретном многооб­разии алгебр, то все определения статей [5, 6, 7] адаптируются ниже для коммутативных /1-полугрупп.

Пусть X = {жі, Х2, ¦ ¦ ¦ 1 хп} — конечное множество переменных.

Уравнением над С-полугруппой Л (/^-уравнением, ^.-уравнением) на­зывается атомарная формула т{Х) = о~(Х) языка С.

Система уравнений над Л (система /I-уравнений, система Л-уравнений) — это произвольное множество уравнений над Л. В своей работе мы будем рассматривать только системы уравнений, зависящие от конечного числа переменных X. Решение системы /^-уравнений S в /1-полугруппе Л обозначается как V^(<S) и определяется как пересечение решений всех уравнений системы S.

Множество Y С Ап называется алгебраическим над /^-полугруппой Л, если существует система /1-уравнений S такая, что V^(<S) = Y. Непустое алгебраическое над Л множество Y называется приводимым^ если оно является нетривиальным конечным объединением алгебраических над Л множеств.

/1-полугруппа Л называется нёгперовой по С-уравнениям, если любая система /1-уравнений S(X) эквивалентна над Л своей конечной подси­стеме.

Пусть Y С Ап — алгебраическое множество над /1-полугруппой Л. Тогда радикал ЫасЦ(У) множества Y есть множество всех /1-уравнений (следствий) т{Х) = сг(Х), которым удовлетворяют все точки множе­ства Y. В частности, радикал пустого множества совпадает с множе­ством всех /1-уравнений. Радикал системы уравнений S определяется как RacU(<S) = RacU(V^(<S)).

Пусть %с(Х) — свободная коммутативная /1-полугруппа. Другими словами, носитель %с(Х) состоит из термов языка С с определённой на них операцией умножения. Пусть S — система /1-уравнений. Каж-

10


дое из уравнений радикала ЫасЦ(с>) можно рассматривать как эквива­лентность двух элементов /1-полугруппы Tjc(X). Следовательно, радикал Rad^(<S) определяет на ^-полугруппе Тс{Х) конгруэнцию.

Пусть ^Rad^r^) — конгруэнция, порождённая радикалом системыS над ^-полугруппой Л. Тогда ?-факторполугруппа

гд(г) = rc(x)/eRadAS)

называется координатной С-полугруппой алгебраического множества Y = VA(S).

Алгебраическое множество Y будем называть логически неприводи­мым над Л, если Гд(У) Є Ucl(.A).

Мы будем говорить, что /I-полугруппы Л11Л2 являются геометриче­ски эквивалентными, если для любой системы /1-уравнений S выполне­но равенство ЫасЦДс?) = ЫасЦ2(с>). Это означает, что множества коор­динатных /1-полугрупп над Л\ и Аъ совпадают.

^-полугруппа Л называется qw-компактной, если для произвольной системы /1-уравнений S(X) и уравнения т{Х) = о~(Х) такого, что V^(<S) С УА(т(Х) = и(Х)) существует конечная подсистема So(X) С S{X) с решением VA(S0) С Va(t(X) = а(Х)).

^-полугруппа Л называется и^-компактной, если для произвольной системы /1-уравнений S(X) и конечного множества уравнений Т{(Х) = о-г(Х) (1<г<тп) такого, что VA(S) С U™i Vл(тг(X) = аг(Х)), су-ществует конечная подсистема So(X) С S(X) с решением V^(<So) С и;і1Ул(т,(Х) = а,(Х)).

^-полугруппа Л называется слабо нётеровой по уравнениям,, если для любая система /1-уравнений S(X) эквивалентна некоторой конечной си­стеме /1-уравнений So(X) (здесь система /1-уравнений So может не яв­ляться подсистемой <S).

^-полугруппа Л называется слабо uw -компактной, если каждое логи­чески неприводимое множество над Л будет неприводимым.

В первой главе рассматриваются две алгебраические системы Л/о, Л/" с носителем N. Алгебраическая система Л/о определена в языке Со, систе­ма J\f является ?-моноидом с интерпретацией констант Cj н->¦ г. Операция • в обоих алгебраических системах интерпретируется сложением на мно­жестве N. Операцию • и константы Cj, входящие в уравнения над Л/о, Л/", будем обозначать с помощью + и чисел 0,1,... В лемме 1.8 мы доказы­ваем, что алгебраические системы Л/о, Л/" нётеровы по уравнениям.

Далее мы изучаем алгебраическую геометрию над моноидом Л/о и описываем координатные моноиды.

11


Следующее свойство моноида Л/о (аксиома позитивности)

Apos : УхУу(х + у = 0 —> ж = 0) используется при описании координатных моноидов над Л/о-

Теорема 1.3. Для моноида Л/*о верны следующие утверждения.

  1. МоноидС является координатным моноидом алгебраического мно­жества над Л/*о тогда и только тогда, когда С коммутативен, позитивен и имеет свойство сокращений.
  2. Все алгебраические множества над Л/*о, заданные системами Cq-уравнений, неприводимы.

Следствие 1.4. Пусть Y]_,...,Ym(т > 2) — алгебраические множе­ства над моноидом N$, uYj^Yj (г ф j). Тогда объединение Y\ U... U Уто не является алгебраическим множеством над моноидом No.

Из теоремы 1.3 следует аксиоматизация классов Ucl(Л/о), С^уаг(Л/*о) (см. Следствие 1.5 диссертации).

Также для моноида Л/о были описаны все моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-

Теорема 1.7.

./. МоноидС геометрически эквивалентенЛ/*о тогда и только тогда, когда С — ненулевой моноид, и С Є С^уаг(Л/*о) fmo ecmt> С является коммутативным позитивным моноидом с сокращениями).

2. Если моноидС геометрически эквивалентенЛ/*о, то С универсально эквивалентен Л/*о-

Приведём результаты, полученные для ?-моноида Л/".

ПуСТЬ Л/" Некоторый /І-МОНОИД С НОСИТелеМ N, В КОТОРОМ КОНСТаНТЫ Cj

образуют ненулевой подмоноид А (А ф N). Тогда справедливо следую­щее утверждение.

Лемма 1.9. Множество Y является алгебраическим над С-моноидом J\f при А ф {0} тогда и только тогда, когда Y — алгебраическое мно­жество над N'.

Поскольку основной задачей алгебраической геометрии является классификация алгебраических множеств, то согласно лемме 1.9 изуче­ние алгебраической геометрии над J\f может заменено на изучение ал­гебраической геометрии над ?-моноидом J\f.

12


Пусть в ?-моноиде ЛЛ истинны следующие формулы

Cj ~г Cj        ^-"i-\-j 1   ^О       

Это означает, что константы в ЛЛ также образуют подмоноид изоморф­ный N'. Следуя [5], такой ?-моноид ЛЛ будем называть J\f-моноидом.

Следующее определение является ключевым при описании неприво­димых координатных ?-моноидов над J\f и является обобщением понятия позитивности в языке /до­определение 1.10. Л[-моноид ЛЛ будем называть Л/'-позитивным, ес­ли для любой пары его элементов mi, т<і Є М таких, что т\ +ггі2 Є N выполнено т\ Є N и т<і Є N.

Следующая теорема описывает координатные ?-моноиды, соответ­ствующие неприводимым алгебраическим множествам над Л/".

Теорема 1.12. Пусть конечно порождённый моноид ЛЛ является ко­ординатным моноидом непустого алгебраического множества над N'. Моноид ЛЛ неприводим над Л/ тогда и только тогда, когда ЛЛ являет­ся N-позитивным.

Фактически доказывается более сильное утверждение.

Теорема 1.13. Конечно порождённый N-моноид ЛЛ является коор­динатным моноидом неприводимого алгебраического множества над Л/ тогда и только тогда, когда ЛЛ является коммутативным ЛҐ-позитивным с сокращениями Af-моноидом, и множество гомоморфиз­мов Нот(.М,ЛГ) не пусто.

Из теоремы 1.13 получаем аксиоматизацию класса Ucl(jV).

Следствие 1.14. Универсальное замыкание Ucl(jV) аксиоматизирует­ся всем/а истинными на Л/ квазитождествами и формулами Ах.щ_р08 языка С.

Далее в первой главе мы рассматриваем следующую проблему.

Проблема. Пусть Y — непустое приводимое алгебраическое множе­ство над 7V, заданное системой С-уравнений. Требуется найти разло­жение Y в объединение неприводимых компонент Y = Y\ U ... U Ym и исследовать свойства множеств Y{.

Переменную х Є X будем называть фиксированной, если х = а Є RaoV(y).

13


Лемма 1.17. Пусть Y — произвольное непустое алгебраическое мно­жество над ЛЛ Тогда Y представимо виде конечного объединения по­парно непересекающихся неприводимых множеств Y\} I2,..., Yj~. Более того, множества Y{ обладают одинаковым непустым набором фикси­рованных переменных.

Далее в диссертации приводится аксиоматизация класса Qvar(jV) с помощью квазитождеств простейшего вида (Следствие 1.27 настоящей диссертации).

Для координатных jV-моноидов над J\f справедлив следующий струк­турный результат.

Теорема 1.28. Конечно порождённый N-моноид ЛЛ является коорди­натным моноидом непустого алгебраического множества надМ тогда и только тогда, когда Л4 вкладывается в конечную декартову степень М -моноида N'.

Во второй главе диссертации мы работаем в многообразии комму­тативных идемпотентных /1-полугрупп и решаем проблемы 1-4, постав­ленные в работах [6, 7].

В параграфе 2.1 мы определяем коммутативные идемпотентные С-полугруппы Лі (1 < і < 5). Нами были описаны решения уравнений и некоторых бесконечных систем над /^-полугруппами А%. Из данного описания следует, что все /I-полугруппы Лі не являются нётеровыми по уравнениям.

Для /І-полугрупп Лі нами были получены следующие результаты, приводящие к решению проблем 1,2.

Теорема 2.7. С-полугруппа А\ обладает следующими свойствами

  1. А\ слабо нётерова по уравнениям;
  2. каждая совместная система над полугруппой А\ эквивалентна своей конечной подсистеме, однако существует несовместная над А\ система, у которой все конечные подсистемы совместны.
  3. каждое логически неприводимое над А\ алгебраическое множество является точкой;

4- алгебраическое множество Уд^х = х) не представимо в виде ко­нечного объединения логически неприводимых множеств.

14


Теорема 2.13. С-полугруппа А2 uw-компактна.

Теорема 2.17. С-полугруппа Az ({^-компактна, но не является uw-компактной.

Теорема 2.18. С-полугруппа Аа не принадлежит обзединению классов Q U N'; но АА Є U'.

Теорема 2.19. С-полугруппа Аъ не принадлежит классам Q и U'.

В параграфе 2.2 диссертации решается проблема 4. Мы определяем /I-полугруппы ?>,С, для которых доказываются следующие результаты.

Лемма 2.20.

  1. Полугруппа С конечно порождена;
  2. С  является координатной полугруппой алгебраического множе­ства Vb(x = х);
  3. С не вкладывается в конечное прямое произведение Т>\ х D2 х ... х Vn, zdeV% eUcl(B).

Лемма 2.25. Полугруппа В является иш-компактной.

Таким образом, проблема 4 решается отрицательно в многообразии коммутативных идемпотентных /1-полугрупп.

Параграф 2.3 посвящен решению проблемы 3. Был доказан следую­щий критерий нетеровости по уравнениям коммутативной идемпотент-ной /1-полугруппы.

Теорема 2.27. Коммутативная идемпотентная С-полугруппа А яв­ляется нётеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда С-подполугруппа С, порождённая константами С{, конечна.

Из данного критерия мы получаем отрицательный ответ на пробле­му 3.

Следствие 2.28. Класс нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных С-полугрупп не является аксиоматизируемым.

15


Список литературы

К. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc, 19, pp. 912— 918, 1968.

G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16-79, 1999.

E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra I: U-Algebras and Universal Classes // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3292-3310, 2006, arXiv:0710.3871vl [math.AG].

E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra II: Finite Field Case // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3311-3326, 2006, arXiv:0710.3872 [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math., 1, pp. 80-112, 2008, arXiv:0808.2522vl [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures II: Foundations // 2010, arXiv:1002.3562vl [math.AG].

E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures III: equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, submitted, 2010, arXiv: 1002.4243 [math.AG].

Э.Ю. Даниярова. Алгебраическая геометрия над свободными метабелевыми алгебра­ми Ли III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств // препринт, Омск, ОмГУ, С. 1-130, 2005.

Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика 44(3), С. 269-304, 2005.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, 560с, 2010.

R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

P. Grillet. Commutative semigroups, Springer, 456p, 2001.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200(2), pp. 472—516, 1998.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213-318, 2005.

M. Kotov. Equationally Noetherian Property and Close Properties, Southeast Asian Bulletin of Mathematics // submitted, 2010.

M.M. Ковалёв. Целочисленное программирование // УРСС, 192с, 2003.

16


[18] R. Lyndon. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc, 96, pp. 518— 533, 1960.

[19] Г.С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199-1273, 1982.

[20] А.И. Мальцев. Об уравнении [х,у] = [а,Ь] в свободной группе // Алгебра и Логика, 1 С. 45-50, 1962.

[21] D. Marker. Model Theory: an Introduction // Springer, 340p, 2000.

[22] A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

[23] B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties// Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64-97 (1997).

[24] B. Plotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math., 242 С 165-196, 2003.

[25] А.А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

[26] A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

[27] V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

[28] V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191-214, 2004.

[29] V. Remeslennikov, R. Stohr. The equation [x, u] + [y, v] = 0 in free Lie algebras // Preprint http://eprints.ma.man.ac.uk/272/, 2006.

[30] В.Н. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабеле-вой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873-885, 2000.

[31] В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

[32] В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологических размерностях -u-групп // Сиб. мат. журн., 47 №2 (2006), 415-431; translation in Sib. Math. J., 47 №2, С. 341-354, 2006.

[33] Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгеб­ра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

[34] Z. Sela. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group// GAFA, 16, pp. 707-730, 2006.

17


Работы автора по теме диссертации: опубликованные в журналах из списка ВАК

[35] А.Н. Шевляков. Алгебраическая геометрия над моноидом натураль­ных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Ин­ститута математики и механики УрО РАН, 16(4), С. 258-269, 2010.

другие работы по теме диссертации

[36] P. Morar, A. Shevliakov. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences, pp. 261-278, 2010.

[37] A. Shevlyakov. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The classifcation of coordinate monoids // Groups, Complexity and Cryptology, 2(1), pp. 91-111, 2010.

[38] A. Shevlyakov. Classes qw- and u^-compact and equationally Noetherian commutative semigroups ate pairwise distinct. Тезисы конф. "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраи­ческих системах Омск, 16-22 авг. 2009.

18


Шевляков Артём Николаевич

Алгебраическая геометрия над коммутативными

полугруппами.

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР №020380 от 29.01.97 Подписано в печать 17.06.10. Формат

бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ №591.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.


 
Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.