WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования

Автореферат докторской диссертации по педагогике

 

На правах рукописи

Корнилов Виктор Семенович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ  ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ГУМАНИТАРИЗАЦИИ ВЫСШЕГО

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания

(математика)

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

доктора педагогических наук

Москва – 2008

Работа выполнена на кафедре информатики и прикладной математики

Государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования города Москвы

“Московский городской педагогический университет”

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор

ДОБРИЦА Вячеслав Порфирьевич

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук,

профессор

ГУСЕВ Валерий Александрович

доктор педагогических наук,

профессор

МИРАКОВА Татьяна Николаевна

доктор физико-математических наук,

профессор

ГРУШИН Виктор Васильевич

Ведущая организация:

Татарский государственный

гуманитарно-педагогический университет

Защита диссертации состоится ”___” __________ 2008 г. в __ часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ850.007.03 при Московском городском педагогическом университете  и Тульском государственном педагогическом университете по адресу: 127512, г. Москва, ул. Шереметьевская, д.29, ауд. 311

С  диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского городского педагогического университета

Автореферат разослан  ”      ” ___________ 2008 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

д.п.н., профессор

 

В.В. Гриншкун 

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность исследования. Экономический рост современного общества, как известно, инициируется научным потенциалом, в том числе и прикладной математики, и образованностью членов этого общества. Это необходимые условия прогресса общественных отношений, но они не являются достаточными. Для решения задач обеспечения экономического роста недостаточно подготовить высококвалифицированных, исполнительных работников. Современное информационное общество и его развивающаяся экономика нуждаются в энергичных и инициативных высококвалифицированных специалистах, умеющих принимать и грамотно реализовывать самостоятельные творческие решения, отвечать за их осуществление. В современной России в условиях перехода к правовому государству, к демократическому обществу, к рыночной экономике интересы общества, в целом, и ее отдельных личностей начинают объективно совпадать. Запросы развития экономики и социальной сферы, науки, техники, технологий, федерального и территориальных рынков труда, а также перспективные потребности их развития выступают в качестве основного фактора реформирования такого важного института социальной сферы, как система образования. К образованию предъявляются новые духовно-нравственные и социально-экономические требования, предусматривающие качественное обновление педагогической науки, усиление внимания к личности, развитию ее сознания и самосознания, профессионального потенциала.

Большую роль в системе человеческих знаний и человеческой культуры современного общества играет прикладная математика. Существенные результаты в области прикладной математики получены А.А. Андроновым, С.Н. Бернштейном, О.М. Белоцерковским, Е.П. Велиховым, В. Вэлковичем, Н.М. Гюнтером, Н.Е. Жуковским, М.В. Келдышем, А.Н. Колмогоровым, С.П. Королевым, Н.Е. Кочиным, Н.Н. Красовским, А.Н. Крыловым, М.А. Лаврентьевым, А.М. Ляпуновым, О.Э.Х. Лявом, Г.У. Марчуком, Ю.Н. Павловским, Л. Прандтлем, О. Рейнольдсом, А.А. Самарским,  Л.И. Седовым С.Л. Соболевым, Д.Г. Стоксом, А.Н. Тихоновым, С.А. Чаплыгиным, В.Н. Челомеем, Э. Шредингером и другие учеными. Фундаментальные результаты отмеченных авторов внесли весомый вклад в научно-технический прогресс, ставший неотъемлемой гранью современной цивилизации, – это атомная энергетика, термоядерный синтез, освоение космического пространства, спутниковое телевидение, прогнозирование погоды, предупреждение атмосферных катастроф, исследование земной среды и мирового океана, поиск полезных ископаемых и др.  При этом человеческая цивилизация, в том числе “благодаря” и достижениям прикладной математики, за свое существование, к сожалению, накопила немало печальных фактов научной деятельности и экспериментов над природой, повлекших за собой ряд экологических катастроф, истощение природных ресурсов, гибель и страдания людей. Ученые, фактически, были освобождены от моральной ответственности за последствия открытий и применения полученных результатов на практике. Создавались и испытывались, в том числе и на людях, химические, атомные, ядерные, бактериологические и другие виды оружия. В последние десятилетия из-за создавшихся экологических проблем происходят необратимые изменения климата Земли, появляются и расширяются озонные дыры, гибнет фауна Мирового океана и т.д., которые могут способствовать тому, что глобальный климат и окружающая среда понесут непоправимые потери, и вследствие чего может произойти гибель всего живого на Земле. Широкими слоями человеческого сообщества стал подвергаться сомнению тот факт, что научно-технический прогресс является главным критерием развития цивилизации. Достаточно вспомнить критику проектов гонки вооружений, ядерных испытаний, строительства атомных электростанций, поворота некоторых западносибирских рек в Среднюю Азию, тотальной мелиорации и др., реализация которых не имела никаких морально-этических оснований и попадала в конфликтные ситуации технологичности науки и ее моральных ограничений.

На современном этапе эти проблемы должны осознавать не только ученые. Идеями гуманизации и сопутствующей ей гуманитаризации должно быть пронизано и вузовское прикладное математическое образование. Неслучайно современное развитие российского общества характеризуется совершенствованием системы образования, в основе которой лежат принципы гуманизации и гуманитаризации, направленные на развитие общекультурных компонентов и формирование личностной зрелости обучаемых. Как известно, одним из направлений реформирования системы российского образования, в настоящее время, является гуманитаризация математического образования, концепция содержания которого активно стала разрабатываться с девяностых годов прошлого столетия. Определенный вклад в решение проблемы гуманитаризации математического образования внесли: Международный конгресс “Образование и наука на пороге третьего тысячелетия” (1995), XV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов “Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе”(1996), Федеральная научно-практическая конференция “Математическое образование: традиции и современность” (1997), Всероссийская научно-практическая конференция “Гуманитарное образование в школе: состояние, проблемы обновления” (1999), Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года (2002). Содержание этих документов определяет главную задачу российской образовательной политики – обеспечение современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным  и перспективным потребностям личности, общества и государства. Проблема гуманитаризации математического образования затрагивается и на различных российских научных конференциях. На одном из таких международных форумов “Проекты будущего: междисциплинарный подход” Ю.Н. Павловский обратил внимание на то, что для внедрения технологий, объединяющих как гуманитарные, так и математические средства анализа и прогноза сложных процессов в практику исследований и принятия практических решений необходим другой уровень взаимопонимания гуманитарной и математической сфер исследований, чем тот, который имеется в настоящее время. Очевидно, что для повышения этого уровня необходима соответствующая модификация системы образования.

Неслучайно в высших учебных заведениях России в настоящее время находит свое развитие идея гуманитаризации математического образования, существенный вклад в развитие которой внесли А.Д. Александров, С.И. Архангельский, М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Е.Г. Глаголева, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Доро­феев, Т.А. Иванова, Н.Б. Истомина, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, Т.Н. Миракова, Н.В. Метельская, В.М. Мона­хов, А.Г. Мордкович, К.И. Нешков, И.Л. Никольская, Е.И. Смирнов, И.М. Смир­нова, Г.И. Саранцев, А.И. Семушин, Н.Л. Стефанова, А.А. Столяр, Н.А. Терешин, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин, В.Н. Худяков, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгина, Р.И. Шварцбурд, и др. Гуманита­ризация математического образования предполагает изучение математи­ки в контексте всех достижений мировой культуры, что несомненно способствует воспитанию высокой духовности, формирова­нию культуры будущих выпускников вузов, в том числе выпускников физико-математических факультетов.

В процессе обучения любой учебной дисциплине реализуются идеи развития творческой личности студентов. Определенный вклад в развитие творческой личности студентов физико-математических специальностей вузов вносит обучение учебному курсу обратных задач для дифференциальных уравнений, содержание которого формируется на основе теории обратных задач для дифференциальных уравнений – одной из современных и сравнительно молодых направлений прикладной математики. Обычно в основе получаемых дифференциальных уравнений, при исследовании какого-либо реального процесса или явления, лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое число произвольных функций (в случае линейных уравнений – это коэффициенты уравнений), определяющие свойства физической среды. Если свойства среды известны, то дифференциальное уравнение в сочетании с краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для дифференциальных уравнений. В теории обратных задач подобные задачи называются “прямыми”. В докторских диссертациях Р.М. Асланова, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, Ю.В. Сидорова, М.И. Шабунина,  кандидатских диссер­тациях Г.И. Баврина, Х.А. Гербекова, Т.И. Глушковой, Б.А. Найманова, К. Сурганова и других находит свое развитие профессиональная и прикладная направленность обучения дифференциальным уравнениям в высших учебных заведениях.

При исследовании прикладных задач типична ситуация, когда интересующие характеристики объекта недоступны или труднодоступны для непосредственного наблюдения (например, глубинные свойства Земли и Мирового океана, астрофизические явления, проблема неразрушающего контроля качества изделий и конструкций, выявление дефектов внутри работающего объекта, медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека, и многие другие исследования). Проведение самого эксперимента может быть вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, исследование здоровья человека), либо слишком опасен (например, при исследование экологических явлений), либо исследуемый объект существует в единственном экземпляре. Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае приобретается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой исследуемого объекта и используемым при этом экспериментальным комплексом. Так как основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений, то исходная задача сводится к задаче определения коэффициентов дифференциальных уравнений  (обыкновенных или в частных производных), правой части, начальных условий по некоторым известным функционалам их решения. Такие задачи, в отличие от обычных задач для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение (прямые задачи), получили название обратных задач для дифференциальных уравнений – обратных в причинно-следственном отношении (восстановление неизвестных причин известных следствий). При этом “причины” конкретизируются в виде неизвестных  коэффициентов, правой  части,  начальных условий. В качестве “следствий” выступают функционалы от решения дифференциального уравнения.

Основы теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений заложены и развиты фундаментальными работами А.С. Алексеева, В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, И.М. Гельфанда, И.С. Красновидовой, М.Г. Крейна, М.М. Лаврентьева, Б.М. Левитана, М.Т. Нужина, А.И. Прилепко, В.С. Рогожина,  В.Г. Романова, А.Н. Тихонова, Г.Г. Тумашева и других. В настоящее время это научное направление активно развивается представителями как отечественных математических школ: Ю.Е. Аниконовым, А.В. Баевым, А.С. Барашковым, М.И. Белишевым, А.С. Благовещенским, А.Л. Бухгеймом, П.Н. Вабишевичем, А.О. Ватульяном, А.В. Гончарским, А.М. Денисовым.  В.И. Дмитриевым, С.И. Кабанихиным, В.И. Прийменко, Т.П. Пухначевой, А.М. Федотовым, В.А. Чевердой, В.Г. Чередниченко, В.А. Юрко, В.Г. Яхно и другими, так и зарубежными учеными: G. Anger, H.D. Bui, Y. Chen, D. Colton, R. Durridge, H.W. Engl, J.Gottlieb, M. Grasselli, He S., R. Kress, G. Kunetz, J.Q. Lin, A. Lorenzi, J.M. Mendel, R.D. Murch,  A. Roger, M. Sondhi, S. Strom, H. Zhang, M. Yamamoto и другими. 

Учебный курс обратных задач для дифференци­альных уравнений, с одной стороны, весьма сложен, имеет свою специфичную терминологию, использует сложные математические модели и методы исследования. В процессе обучения студенты не всегда понимают значение полученных знаний по обратным задачам в своей будущей профессии. С другой стороны, в учебном курсе присутствуют широкие межпредметные связи изучаемых вузовских математических курсов. Опыт показывает, что решение обратных задач способствует реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитывающей, управляющей, иллюстративной, образовательной функций обучения, формированию и развитию межпредметных и общеучебных умений и способностей студентов, функции контроля проверки знаний и умений студентов. В процессе обучения студентам прививаются черты самой гуманитаризации – применение методов рассуждений, свойственных гуманитарным наукам: словесный способ построения исследования, широкое применение аналогий, убедительных рассуждений, полемика, научный спор, апелляция к чувству, к воображению.

При этом, до настоящего времени не проводилось исследований в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование существенного гуманитарного потенциала обучения обратным задачам, а также на создание научно-обоснованных методических систем обучения соответствующим учебным курсам, что могло бы внести весомый вклад в пропагандируемую сегодня гуманитаризацию математического образования.  

Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что традиционная система прикладного математического образования испытывает противоречие между необходимостью гуманитаризации математического образования, возможностью использования обратных задач для дифференциальных уравнений как фактора гуманитаризации математического образования и отсутствием систем обучения обратным задачам, способствующих формированию  у студентов общекультурных компонентов, таких, как прикладная математическая культура мышления, волевые качества личности, эстетика, базирующаяся на способности оценить красоту математических идей и формул, история создания теории обратных задач, основ гуманитарного анализа прикладных исследований, в том числе и с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий.

Необходимость устранения указанного противоречия за счет разработки методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, по которым педагогические исследования практически отсутствуют, делает актуальной тему, выбранную для исследования

Указанные доводы и вышеотмеченное противоречие определяют научную проблему настоящей диссертационной работы, заключающейся в отсутствии методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, ориентированной на подготовку студентов – будущих специалистов в области прикладной математики, обучающихся на физико-математических специальностях высших учебных заведений, в условиях гуманитаризации высшего математического образования. Для устранения указанного противоречия необходимо провести целостное педагогическое исследование, посвященное выявлению гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференци­альных уравнений; разработке учебного курса обратных задач для дифференци­альных уравнений в условиях гуманитаризации математического образования; выявлению вклада обучения обратным задачам для дифференци­альных уравнений в гуманитаризацию прикладного математического образования.

Целью исследования является разработка теоретических и методических основ обучения обратным задачам для дифференци­альных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, позволяющих подготовить специалистов в области прикладной математики, понимающих гуманитарный потенциал обратных задач, умеющих применять знания в области обратных задач для дифференциальных уравнений и с их помощью видеть последствия практической реализации прикладных исследований.

Объектом исследования выступает прикладная математическая подготовка студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений.

Предмет исследования – методическая система обучения обратным задачам для дифференци­альных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования

Гипотеза исследования заключается в том, что обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений на основе использования специально разработанных методических систем и теоретических подходов будет способствовать гуманитаризации подготовки специалистов в области прикладной математики, что позволит:

– повысить эффективность обучения студентов физико-математических специальностей обратным задачам для дифференциальных урав­нений;

– выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;

– повысить готовность будущих специалистов в области прикладной математики к применению знаний в области обратных задач для дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований;

– приобрести еще один инструмент для познания мира и сформировать образное и научное представления о реальном физическом пространстве.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку и необходимость решения следующих задач:

1) проанализировать содержание понятия “гуманитаризация математического образования” и выявить вклад прикладного математического образования в гуманитаризацию высшего математического образования;

2) выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;

3) проанализировать существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений;

4) сформулировать цели и раскрыть основные принципы обучения обратным задачам; ввести классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений;

5) разработать содержание учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений, типовую программу, методы обучения обратным задачам, подходы к индивидуализации обучения; спроектировать систему гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений;  

6) разработать методику обучения обратным задачам с применением информационных и телекоммуникационных технологий и  выявить их роль как дидактического средства интенсификации обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений;

7) экспериментально подтвердить эффективность применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

Для  решения задач, поставленных перед исследованием, использовались следующие методы: анализ отечественных и зарубежных научных трудов по педагогике, психологии, философии, обратным задачам для дифференциальных уравнений, обобщение опыта преподавания обратных задач, анализ учебных программ, пособий, диссертаций, материалов конференций, беседа, наблюдение, проведение лекционных и практических занятий со студентами, педагогический эксперимент и анализ экспериментальной деятельности.  

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фундаментальные работы в области гуманитаризации образования (А.Д. Александров, Ю.Н. Афанасьев, М.Н. Берулава, С.Э. Зуев, М.С. Каган, А.С. Кравец, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, И.М. Орешников, В.И. Рыжик, И.М. Смирнова, В.М. Тихомиров и др.); профессиональной подготовки специалистов и проблем развития личности средствами обучения математике (С.И. Архангельский, И.И. Баврин,  В.В. Грушин, В.А. Гусев, В.П. Добрица, Г.В. Доро­феев, Ю.И. Игнатьев, Т.А. Иванова, А.Н. Колмогоров, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович,  Т.Н. Миракова, Н.X. Розов, А.С. Симонов, Е.И. Смирнов, Г.Г. Хамов, В.Н. Худяков, М.И. Шабунин и др.); по общедидактическим принципам и критериям оптимизации организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, В.С. Ильин, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, А.В. Усова и др.); по проблемам информатизации образования (Е.Ы. Бидайбеков, Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и др.); по проблеме реализации межпредметных связей (Р.Л. Исаева, Б.С. Каплан, О.Е. Кириченко, Я.М. Котляр, А.А. Кузнецова, Г.М. Морозов, Н.К. Рузин, А.А. Столяр, В.Н. Федорова Н.В. Чхаидзе и др.); в области обратных задач для дифференциальных уравнений (А.Л. Бухгейм, П.Н. Вабищевич, А.М. Денисов, С.И. Кабанихин, М.М. Лаврентьев, А.В. Поляков, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, Ю.М. Тимофеев, А.Н. Тихонов, В.Г. Яхно и др.); по методическим аспектам использования информационных и телекоммуникационных технологий в вузе при обучении физико-математическим дисциплинам (В.В. Алейников, И.В. Беленкова,  Д.П. Голоскоков, И.Б. Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В. Поршнев,  С.Е. Савотченко и др.).

Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра информатики и прикладной математики Московского городского педагогического университета, Курский государственный университет, Курский государственный технический университет.

Научная новизна исследования:

1) выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, заключающийся в том, что такое обучение является фактором расширения мировоззрения студентов, развивает логическую культуру мышления, позволяющую пра­вильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов и явлений, позволяет реализовать межпредметные связи и прикладную направленность обучения, что способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей. Обосновано, что решение обратных задач выполняет мотивационную, познавательную, развивающую, воспитательную и другие функции, что приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов. Показано, что осмысление истории развития теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире, о развитии методов познания, позволяет увидеть прикладную математику с “живым лицом”, глубже осознать гносеологический процесс познания в прикладной матема­тике;

2) выявлено влияние обучения обратным задачам на формирование личностных качеств студентов в рамках гуманитаризации математического образования. Показано, что при обучении обратным задачам студенты овладеваютсловесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, применением аналогий;формулировкой гипотез, аксиом, постулатов и убедительных рассуждений; научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, способностью построения и корректировки модели исследуемого объекта. Вышеотмеченные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях, которые в процессе человеческого познания одинаковы для гуманитарных, социальных или естественнонаучных дисциплин, и каждый из которых выражает определенную часть реальности;

3) отобраны существующие и разработаны новые обратные задачи для дифференциальных уравнений, необходимые для обучения. Среди них: одномерные обратные задачи определения неизвестных коэффициентов, входящих в телеграфное уравнение, в уравнение колебания струны, в волновое уравнение; двумерная обратная задача одновременного определения двух коэффициентов, входящих в гиперболическое уравнение, многомерная обратная задача одновременного определения всех коэффициентов, входящих в многомерное гиперболическое уравнение и др. Эти задачи могут быть применены для исследования свойств процессов и явлений, порожденных импульсными источниками типа дельта-функции Дирака. Для вновь сформулированных обратных задач доказаны конструктивные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решений в пространствах непрерывных функций, в банаховых пространствах аналитических функций и др. Обосновано, что овладение математическими методами решения таких задач способствует гуманитаризации подготовки студентов – будущих специалистов в области прикладной математики;

4) определены научные основы для проектирования гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающие математический и дидактический анализ содержания учебного материала; отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам, которые ориентированы на создание ситуаций, требующих от студента принятия решений по важным для человечества вопросам, обоснованного выбора правильной позиции в обществе, преодоления нравственных противоречий. Подобные занятия должны приобщать студентов, как к проблеме гуманитаризации математического образования, так и к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований, которым необходим гуманитарный анализ с участием экспертов-гуманитариев и рассматривать обратные задачи как морально-нравственное приложение к различным физическим, экологическим, социальным, экономическим и другим процессам и явлениям;

5) раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам с использованием математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab, среди которых принципы творчества и инициативы студентов, научности, системности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия и другие. У студентов должен формироваться необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, которые позволяют в дальнейшем применять их в своей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.

Теоретическая значимость проведенного исследо­вания заключается в выявлении гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений и его роли в формировании и развитии у будущих специалистов в области прикладной математики гуманного отношения к обществу и окружающей среде; обосновании целесообразности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений как фактора гуманитаризации высшего математического образования; раскрытии принципов отбора содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, среди которых: принципы единства учебного материала и содержательных линий, обобщенности, полноты, оптимальности, дидактической значимости и др., а также принципов отбора модульных обратных задач как самостоятельной дидактической единицы усвоения содержания обучения; разработке теоретических основ обучения, позволяющих обеспечить высокий уровень предметных знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений, осознать необходимость проведения гуманитарного анализа результатов прикладных исследований, использовать информационные и телекоммуникационные технологии в решении прикладных задач.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что: 

1) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении обратным задачам, среди которых: гипотезы, разумные аналогии при решении задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи и др.;

2) разработаны методические рекомендации по проектированию системы гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающей: математический и дидактический анализ содержания учебного материала, отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений; разработана типовая программа по курсу обратных задач для дифференциальных уравнений;

3) разработаны рекомендации по использованию компьютерных математических пакетов Maple и Mathematica на лабораторных занятиях в процессе решения  учебных обратных задач для дифференциальных уравнений;

4) создано учебное пособие, включающее  описание  математических  методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений.

Результаты и рекомендации, полученные в ходе  исследования, могут  быть

использованы при обучении дисциплинам прикладной математики в вузах в условиях гуманитаризации математического образования, при написании учебных пособий по курсам прикладной математики, теории и методике обучения прикладной математике для студен­тов и преподавателей вузов.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивалась непротиворечи­востью логических выводов в ходе теоретического анализа проблем исследования и их согла­сованностью с концепциями прикладных и педагогических наук и принципиальным соот­ветствием основным результатам других исследователей; чет­костью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических, дидактических  и методических позиций; корректным применением к проблеме исследования системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов; использованием из­вестных методов исследования прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений; согласованностью результатов исследова­ния с 20-летним опытом проведения автором исследований в данной научной области и 15-летним опытом обучения автором студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях, учетом опыта коллег по работе, использованием в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений информационных и телекоммуникационных технологий, повышением качества обучения и характеристик личностного развития студен­тов.

Работы в рамках исследования проводились с 1986 по 2008 годы и могут быть условно разделены на три основных этапа.

На первом этапе (1986-2000 г.г.) исследовались новые постановки как модельных, так и учебных обратных задач для дифференциальных уравнений, имеющих реальную физическую интерпретацию, результаты которых отвечают внутренним потребностям развития теории обратных задач для дифференциальных уравнений; анализировались философские, психолого-педагогические, методолого-математические, методические источники, диссертационные исследования по вопросу трактовки понятия гуманитаризации математического образования.

На втором этапе (2001-2005 г.г.) выявлялся гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; анализировались существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений; разрабатывались теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования.

На третьем этапе (2006-2008 г.г.) проводилась экспериментальная проверка эффективности применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; исследовалось влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики. Описание основных положений и результатов исследования оформлялось в виде диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1) обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений способствует гуманитаризации подготовки специалистов в области прикладной математики, поскольку такое обучение обладает высоким гуманитарным потенциалом, влекущим за собой расширение мировоззрения студентов, развитие логической культуры мышления, способность пра­вильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов, реализацию межпредметных связей и прикладную направленность обучения. В свою очередь, это способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей, приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов, формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире и развитии методов познания;

2) сформулированные научные основы для проектирования гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений способствуют формированию и развитию гуманного отношения к окружающей среде, приобщают будущих специалистов в области прикладной математики к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований. Отмеченное влияние достигается благодаря формированию специфического содержания обучения и отбору системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планированию системы учебных занятий по обратным задачам, ориентированных на создание ситуаций, требующих от студента умений принимать решения по важным для человечества вопросам, обосновано занимать правильную позицию в обществе, преодолевать нравственные противоречия;

3) внедрение разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений обеспечивает высокий уровень предметных знаний по обратным задачам, способствует приоритетному рассмотрению общекультурных компонентов, таких как прикладная математическая культура мышления, волевые качества личности, эстетика, базирующаяся на способности оценить красоту математических идей и формул, история создания теории обратных задач. Отмеченная эффективность обучения достигается за счет того, что в разработанной методической системе учтены принципы отбора содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, такие как единство учебного материала и содержательных линий, обобщенность, полнота, оптимальность, дидактическая значимость и другие, отобраны модульные обратные задачи как самостоятельные дидактические единицы усвоения содержания обучения, среди которых обратные задачи аналитического конструирования регуляторов, распространения электрических колебаний в проводах, определения концентрации вещества, определения свойств струн, мембран, процессов гидродинамики, акустики и другие, применены методы рациональных рассуждений, среди которых гипотезы, разумные аналогии при решении задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи, осмысление физических свойств исследуемого объекта в процессе решения обратной задачи и другие;





4) выявленные подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений, в числе которых выполнение курсовых и дипломных работ, написание рефератов по материалам научных статей, посвященным обратным задачам, самостоятельная работа по выполнению индивидуальных учебных заданий по обратным задачам для дифференциальных уравнений с логическими выводами прикладного и гуманитарного характера и другиеоказываютпозитивное влияние на формирование у студентов личностных качеств, среди которых овладение словесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта. Перечисленные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях. Разработанные подходы повышаютготовность будущих специалистов в области прикладной математики к применению знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований;

5) информатизация обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанная на использовании компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab, способствует повышению эффективности подготовки будущих специалистов в области прикладной математики. Это обусловлено  возможностью реализации дидактических принципов обучения, среди которых, принципы творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, научности, системности, наглядности, межпредметных связей. Это способствует формированию высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых для  решения обратных задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов;

6) предложенные критерии, в числе которых коэффициент и полнота усвоения содержания понятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, уровень гуманитарной составляющей обучения и другие критерии, могут использоваться для выявления степени влияния обучения обратным задачам на формирование профессиональных качеств и воспитание студентов физико-математических специальностей вузов, а также позволяют оценить эффективность использования разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования при подготовке специалистов в области прикладной математики. Экспериментальная деятельность, осуществленная с использованием предложенных критериев, позволила подтвердить гипотезу исследования.

Результаты исследования внедрены в учебный процесс Московского городского педагогического университета, Курского государственного университета, Курского государственного технического университета.

Апробация результатов исследования. Полученные результаты докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции “Теория и практика решения обратных задач геоэлектрики” (Алма-Ата, КазПТИ, 1991); Всесоюзной конференции “Условно-корректные задачи математической физики и анализа”, посвященной 60-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, ИМ СО РАН, 1992); II Республиканской конференции “Научно-практические основы повышения качества подготовки учителей математики и информатики в условиях многоступенчатого образования” (Алма-Ата, АГУ, 1994); Международной конференции “Обратные и некорректно поставленные задачи”, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (Москва,  МГУ им. М.В. Ломоносова, 1996); 1-ом Съезде математиков Казахстана (Чимкент, 1996); Международной конференции “Обратные задачи математической физики” (Новосибирск, ИМ СО РАН, 1998); Международной научно-практической конференции “Проблемы вычислительной  математики  и  информационных технологий” (Алма-Ата, КазГУ, 1999); Международной конференции “Математические модели и методы их исследования” (Красноярск, КрасГУ, 1999); Международном симпозиуме “Академик К.И. Сатпаев и его роль в развитии науки, образования и индустрии в Казахстане”, (Алма-Ата, КазНТУ, 1999); Международной  конференции “Дифференциальные уравнения и их приложения” (Алма-Ата, ИМ МОН РК, 2001); Международной конференции “Математические модели и методы их исследования” (Красноярск, ИВМ СО РАН, 2001); Первой Международной  научно-практической конференции “Наука и образование на современном этапе развития общества” (Алма-Ата, АР, 2002); Международной конференции “Некорректные и обратные задачи”, посвященной академику М.М. Лаврентьеву (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2002); Международном симпозиуме “Обратные задачи в прикладной механике (ISIP 2003)” (Япония, Ногано, 2003); XIV, XV Международных конференциях-выставках “Информационные технологии в образовании  (ИТО)”  (Москва, МИФИ, 2004, 2005); I, II, III  Международных научно-методических конференциях “Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН)” (Алма-Ата, АГУ, 1998, 2003, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов “Современные проблемы школьного и вузовского математического образования” (Саратов, СГУ, 2005); VI Международной конференции “Системы компьютерной математики и их приложения (СКМП-2005)” (Смоленск, СГПУ, 2005); Международной научной конференции “МГПУ в Московском и Российском образовательном пространстве” (Москва, МГПУ, 2005); Международных научно-практических конференциях ”Информационные технологии в образовании” (“ИТО-Поволжье 2006”, Самара, СФ МГПУ, 2006; “ИТО-Черноземье 2006”, Курск, КГУ, 2006; “ИТО-Сибирь – 2007”, Иркутск, ИГУ, 2007); XV, XVI, XVII, XVIII Международных конференциях  “Применение  новых  технологий  в  образовании”  (Троицк, ФНТО “БАЙТИК”, 2004, 2005, 2006, 2007); Международной научно-практической конференции “Информационные технологии в образовании и науке” (Казань, ТГГПУ, 2007); Международной конференции “XXI век: Проблема подготовки специалистов в системе педагогического образования” (Москва, МГПУ, 2007); Научно-практическом семинаре “Нечеткое и четкое математическое моделирование” (Курск, КГТУ, 2008) и др.

Основные результаты исследования опубликованы в 74 научных работах общим объемом более 90 печатных листов, в том числе в одной монографии, двух учебных пособиях, семи типовых программах и девяти публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулирована цель исследования, его объект, предмет, гипотеза и задачи, характеризуются методы, научная новизна и практическая значимость исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту, данные об апробации и внедрении разработанных результатов, краткое содержание диссертации.

В первой главе “Гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений” анализируются процессы гуманитаризации математического образования, вузовская система прикладной математической подготовки, ее вклад в гуманитаризацию высшего математического образования; выявляется гуманитарный потенциал обучения обратных задач для дифференциальных уравнений.

Одним из направлений реформирования системы российского образования в настоящее время является гуманитаризация образования, которая, согласно педагогическому энциклопедическому словарю, есть “система мер, направленных на приоритетное развитие общекультурных компонентов в содержании образования и, таким образом, на формирование личностной зрелости обучаемых. Исследование проблемы гуманизации и гуманитаризации образования находит свое развитие  в научных работах не только педагогов и методистов, но и специалистов, как в области естествознания, так и гуманитарных и социальных наук. Среди них: М.М. Бахтин, М.Н. Берулава, Г.Ю. Буракова, Л. Вербицкая, З. Гельма­н, Б.С. Гершунский, Г.В. Дорофеев, В.П. Зинченко, Л.Я. Зорина, С.Э. Зуев, Т.А. Иванова, А.А. Касьян, Б.В. Кондаков, А.С. Кравец, В.В. Краевский, Э.А. Красновский, Т.В. Кузнецова, В.И. Купцов, В.С. Леднев, И.Я. Лернер, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, Э. Мирский, Ф.Т. Михайлов, А.Г. Мордкович, А.Х. Назиев, A.M. Новиков, И.М. Орешников, Ю.Н. Павловский, Т.С. Полякова, В.А. Разумный, Г.И. Саранцев, Ю.В. Сенько, В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, Л.В. Тодоров, В.М. Шепель и др. В своих исследованиях авторы объединяются подходом к гуманитаризации образования как к составной части и средству процесса гуманизации, направленного на приобщение обучаемых к гуманитарной культуре как целостному социальному феномену, что такое образование направлено на развитие глубоких и действенных знаний, мыслительных операций, опыта творческой деятельности. По мнению Т.Н. Мираковой, гуманитаризация в широком смысле означает обновление средств совершенствования культуры и ее путь пролегает через расширение общекультурной составляющей образования, которое означает не столько увеличение доли гуманитарных дисциплин в учебном плане, сколько освоение новых пластов гуманитарного знания в других областях, в том числе и в математике. Авторы обращают внимание на то, что гуманитаризация необходима в логике самого учебного процесса. В реальном педагогическом процессе взаимодействуют не преподаватель и студент, а живые люди, которых смыслы образования свели друг с другом и в этом контексте, как замечает Ю.В. Сенько, учебный предмет является не целью а поводом и условием взаимодействия участников педагогического процесса.

При таком подходе становится ясно, что ни одна учебная дисциплина не имеет привилегии заранее считаться гуманитарной. Каждая из них может оказаться как гуманитарной, так и не гуманитарной в зависимости от того, как она будет преподаваться. Познание человека едино и всегда гуманитарно, потому что оно направлено на получение информации об окружающем мире и на решение встающих перед ним практических задач. Поэтому нельзя разделить знание, как отмечает Ф.Т. Михайлов, на знание природы и знание человека. Гуманитаризация образования предполагает переосмысление всех компонентов системы обучения:  целей,  содержания,  методов,  форм  и средств обучения (моделей и технологий обучения) (Т.А. Иванова). На современном этапе характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. При этом достижения современных наук о природе, имеющие общеобразовательное значение, не могут оставаться достоянием только ученых. Сущность и практическая роль этих достижений должны быть раскрыты на уровне, доступном студентам высших учебных заведений. Эти идеи находят отражение в концепции современного вузовского образования. Решить такую задачу в рамках одного учебного предмета невозможно, поэтому в теории и практике обучения наблюдается тенденция к интеграции учебных дисциплин, которая позволяет студентам достигать межпредметных обобщений и приближаться к пониманию общей картины мира. Это особенно важно в обучении дисциплинам прикладной математики, методы которой используются во многих областях знаний и человеческой деятельности. Важным звеном в осуществлении задачи вузовской подготовки будущего специалиста в области прикладной математики, всесторонне разви­того, с широким кругозором, владеющего глубокими теоретическими знаниями и прикладной математической культурой, является овладение ими интегративной системой знаний. Принцип интегративности знаний предполагает широкое исполь­зование межпредметных связей при изучении прикладной математики. Это позволяет раскрыть значимость прикладной математики не только для развития других наук, но и для разви­тия мировой культуры. Обучение дисциплинам прикладной математики в органической связи с ее историей, научными методами, людьми, делавшими в ней открытия, зависимости любой науки от прикладной математики позволяют приобщить будущих специалистов в прикладной области к человеческой культуре в целом. Прикладным математикам, как считает Ю.Н. Павловский, необходима гуманитарная культура, гуманитарии должны обладать основами математической культуры. Это возможно только в результате глубоких преобразований в системе образовании.

Задача формирования научного мировоззрения личности будущего выпускника вуза – специалиста в области прикладной математики – определяет структуру и содержание любого математического учебного курса. Необходимы не только знания современной прикладной математики, соответствующего учебного предмета, но и знания прикладных возможностей, методологических проблем, исторического процесса раз­вития прикладной математики. Решение проблемы фор­мирования мировоззрения студентов в процессе обучения математике отражено  в работах Г.И. Баврина, В.Г. Болтянского, Х.А. Гербекова, Г.Д. Глейзера, Т.И. Глушковой, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, А.Л. Жохова, Н.М. Зверевой, Д. Икрамова, А.А. Касьяна, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, Т.Н. Мираковой, Б.А. Найманова, Г.И. Саранцева, Ю.В. Сидоровой, З.И. Слепкань, А.А. Столяра, К. Сурганова, Н.А. Терешина, Ю.Ф. Фоминых, Л.М. Фридмана, А.Я. Хинчина, М.И. Шабунина и других. В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студенты овладевают математическими методами решения различных задач определения коэффициентов дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), правой части, начальных условий по некоторым известным функционалам его решения, осмысливают методологию  исследования неизвестных свойств объектов и явлений, которая опирается на принципы организации теоретических и практических исследований. Среди них: принцип междисциплинарного подхода, принцип структурно-функционального и динамического единства, принцип многоуровневости, принцип причинно-следственных связей. Такой подход к обучению обратным задачам способствует расширению мировоззрения студентов, которые осознают взаимопроникновение и взаимообогащение научных методов, подходов и приемов, разработанных в разных областях знаний. 

Одной из фундаментальных проблем в психологии является проблема исследования личности, которая находит свое развитие в работах Р.М. Асланова, А.Г. Асмолова, Б.М. Бим-Бада, П. Вайнцвайга, Г.Д. Глейзера, В.В. Давыдова, И.К. Журавлева, Т.А. Ивановой, В.С. Леднева, И.Я. Лернера, А.В. Петровского,  К.К. Платонова и других. Рассмотрим  проблему обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в плоскости психологических аспектов. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений играет важную роль в подготовке будущих специалистов в области прикладной математики. Достижение полноценного результата в обучении обратным задачам возможно при условии применения конкретных методов их решения. В этом случае решение обратных задач выступает и как цель, и как средство обучения. Этот вид учебной деятельности студентов служит средством формирования и развития прикладного математического мышления; способствует глубокому и прочному усвоению сложных определений, понятий, методов и подходов, используемых при решении обратных задач; способствует формированию умений и навыков исследования обратных задач; создает условия для осуществления профессиональной ориентации. Опираясь на исследования Н.М. Амосова, А.К. Артемова, А.Я. Блоха, Г.Д. Бухаровой, В.В. Давыдова, В.А. Гусева, М.И. Зайкина, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Е.С. Канина, В.И. Крупича, Л.Д. Кудрявцева, Г.Л. Луканкина, Н.Г. Салминой, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, Р.С. Черкасова, П.М. Эрдниева, Л.М. Фридмана, И.А. Кузнецовой,  Ю.М. Колягина, А.И. Фетисова, Н.Ф. Четверухина и других, выявлено, что решение обратных задач для дифференциальных уравнений выполняет в учебно-воспитательном процессе мотивационную, познавательную, развивающую, воспитывающую, управляющую, иллюстративную, контрольно-оценочную и другие функции. Успешное решение обратных задач для дифференциальных уравнений является достоверным способом проверки знаний и умений студентов не только по обратным задачам, но и  по многим математическим дисциплинам, которые им преподавались ранее: математический анализ, функциональный анализ, алгебра и геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, методы оптимизации, интегральные уравнения, численные методы и др.

Одним из необходимых условий для формирования знаний, умений и навыков, необходимых студентам для решения обратной задачи, является хорошее владение математическим языком. К перечню языковых навыков относят и умение формулировать определения различных понятий. Оно играет важную роль при решении обратных задач для дифференциальных уравнений, представляющее собой, в большинстве случаев (ввиду их нелинейности и некорректности), доказательство условной корректности решения данной обратной задачи – теорем существования, единственности и условной устойчивости. При исследовании физических процессов или явлений с помощью обратных задач для дифференциальных уравнений понятия и рассуждения часто имеют такой же характер, как и в нематематических дисциплинах. Это объясняется тем, что исследуемые реальные объекты, свойства которых мы изучаем, неформальны. Конкретной математической моделью обратной задачи  описаны реальные физические процессы, которые ею идеализированы. Поэтому эти понятия включают в себя больше, чем содержится в формальном определении. Развитие логической культуры мышления студентов – будущих специалистов в области прикладной ма­тематики – определяет направленность обучения обратным задачам, умению обосновы­вать реальные ситуации в прикладных областях. Логические рассуждения представляют собой метод математики, поэтому ее изучение воспитывает логическое мышление, позволяет пра­вильно устанавливать причинно-следственные связи. Причинная связь является необходимой, так как при наличии причины следствие обязательно наступит. Стиль изложения математики, ее язык оказывают влияние на развитие речи будущих специалистов в области прикладной математики, которые дол­жны иметь представления об основных понятиях, а именно: математическая модель, корректность математической модели, вычислительный эксперимент, конструктивный алгоритм, вероятность, оптими­зация и др., которые являются важными в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений. Речь идет именно об основных понятиях и идеях, а не о наборе конкретных формул и теорем, с помощью которых можно успешно решить ту или иную обратную задачу. Тем более что не существует таких “универсальных” методов, приемов и формул, с помощью которых можно было бы решать те или иные классы обратных задач для дифференциальных уравнений. Такое отсутствие обусловлено математическими особенностями и индивидуальностями обратных задач. Здесь, конечно, подразумевается знание студентами и самих математических методов и приемов исследования обратных задач. Изучение чистой математики и обратных задач взаимно дополняют друг друга, как в смысле развития логической культуры мышления, так и в смысле освоения методов познания мира.

В педагогике большое внимание уделяется проблеме межпредметных связей, выражающих всевозможные объективно существующие связи между содержанием различных учебных дисциплин. “Все, что находится во взаимной связи, должно преподаваться в такой же связи, – говорит Я.А. Коменский. Межпредметным связям уделяли внимание И.Ф. Гербарт, А. Дистервег, Д. Локк, В.Ф. Одоевский, И.Г. Песталоцци, К.Д. Ушинский и др. Проблеме межпредметных связей в области общего и среднего образования посвящены работы Н.С. Антонова, И.Ф. Борисенко, И.Д. Зверева, Д.М. Кирюшкина, К.П. Королевой, П.Г. Кулагина, И.Я. Лернера, Н.А. Лошкаревой, В.Н. Максимовой, В.Н. Федоровой и других; в области профес­сионально-технического образования – П.Р. Атутова, С.Я. Батышева, А.П. Бе­ляевой, Г.Н. Варковецкой, В.А. Саюшева, В.А. Скакун и других. Определенный вклад в исследование проблемы межпредметных связей математики внесли Г.А. Бокарева, В.А. Гусев, А.Г. Головенко, Т.А. Иванова, Р.Л. Исаева, Р.А. Исаков, Б.С. Каплан, В.Н. Келбакиани, О.Е. Кириченко, А.А. Кузнецова, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, Л.А. Пржевалинская, Н.К. Рузин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Ю.Ф. Фоминых, Г.Г. Хамов, Н.В. Чхаидзе и другие. Среди обсуждаемых авторами аспектов межпредметных связей математики с другими предметами, близкими к нашему исследованию, являются ориентация на понимание обучаемыми прикладной математики, привлечение знаний из других учебных дисциплин в обучении и закреплении нового материала.

Взаимопроникновение  методов  исследования  в  учебный  процесс, характерное  для естественных  и математических наук, особенно для обратных задач для дифференциальных уравнений, способствует обеспечению систематичности и развитию знаний у студентов в процессе обучения обратным задачам. Последовательное осуществление межпредметных связей в обучении обратным задачам в значительной степени способствует приобретению обобщенных знаний студентами по различным дисциплинам естествознания путем реализации единого подхода к формированию понятий, общих для этих курсов, математического моделирования физических и других явлений и процессов. В процессе обучения обратным задачам привлекаются сведения из различных предметных областей, в котором межпредметные связи раскрываются на уровне знаний. Математическое моделирование является одним из основных путей реализации межпредметных связей курса обратных задач. Таким образом, обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений способствуют более глубокому пониманию студентами идеи целостности мира, глубокому усвоению как дисциплин прикладной математики, так и дисциплин из других предметных областей. Умение составлять математические модели реальных процессов и их исследовать, исполь­зуя не только математические методы, но и методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений способствует развитию составной части общей культуры специалиста в области прикладной математики.

На развитие личности будущих специалистов в области прикладной математики оказывают влияние не только обучение физико-математическим дисциплинам, в том числе и обратным задачам, но и знания ис­торических предпосылок и фактов создания и развития тех научных теорий, которых касаются эти дисциплины; вклада этих научных теорий в научно-технический прогресс человеческого общества. История развития прикладной математики является неотъемлемой составляющей гумани­тарного потенциала математики. “Под историей науки в школе понимается отражение в содержании образо­вания единства двух процессов: истории развития конкретной науки, ее идей, понятий, взглядов, проблем теории и истории тех или иных откры­тий”(Л.Я. Зорина). Историко-математическая линия обучения находит свое развитие в диссертацион­ных исследованиях Д. Икрамова, Т.А. Ивановой, И.М. Смирновой, О.В. Шабашовой и других авторов. Понимание взаимосвязи в развитии теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений и общественного про­гресса позволяет студентам, будущим специалистам в области прикладной математики, глубже осознать специфику учебного курса обратных задач и методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Знание истории создания и развития теории обратных задач для дифференциальных уравнений позволяет студентам глубже осознать гносеологический процесс познания в прикладной матема­тике.

Таким образом, выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, компоненты которого  представлены на рисунке 1.

 


Рисунок 1. Гуманитарный потенциал обучения обратным

задачам для дифференциальных уравнений

Во второй главеПостроение методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений” проанализированы существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений; сформулированы цели и раскрыты основные принципы обучения; введены классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений; разработано содержание обучения, описаны организация лекционных и семинарских занятий, методы обучения, подходы к индивидуализации обучения, самостоятельной работы, методы проверки знаний, умений и навыков студентов; cпроектирована система гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Эффективность и результативность педагогической деятельности в учебных заведениях, в том числе и в высших, во многом зависит от сформулированных целей и принципов обучения, отбора и формирования содержания обучения, форм организации учебных занятий, методов обучения, намеченных путей их реализации. В традиционном учебном процессе одним из средств обучения являются печатные издания, к которым относятся учебники, учебно-методические пособия, методические разработки, указания и рекомендации, справочники. Обеспечение ими в обучении конкретной дисциплине является одной из важных составляющих эффективности организации учебного процесса. На сегодняшний день имеется большое количество монографий и научных статей, как российских, так и зарубежных ученых, посвященных теории и практике исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Вместе с тем, несмотря на то, что обратные задачи для дифференциальных уравнений начали преподаваться в высших учебных заведениях России с начала 70-х годов прошлого столетия, к настоящему времени имеется сравнительно небольшое количество опубликованных учебных пособий, адресованных студентам. Авторами таких пособий являются П.Н. Вабищевич, А.М. Денисов,М.М. Лаврентьев,  Ю.П. Петров, А.В. Поляков, К.Г. Резницкая, В.Г. Романов, А.А. Самарский, В.С. Сизиков, Ю.М. Тимофеев, В.Д. Фурасова, В.Г. Яхно и другие. Этому есть объяснения: теория обратных задач для дифференциальных уравнений является сравнительно молодой; число ученых, работающих в этой области, относительно невелико. На университетских сайтах в Интернете размещено содержание специальных курсов по обратным задачам для дифференциальных уравнений, читаемых В.В. Васиным, А.Л. Агеевым, П.С. Мартышко, В.Б. Гласко, А.В. Баевым, А.О. Ватульяном, В.В. Сухановым, С.М. Берсеневым и другими, соответствующее современным достижениям теории обратных задач для дифференциальных уравнений.

Содержание вышеотмеченных пособий и спецкурсов по обратным задача соответствует современным достижениям теории обратных задач для дифференциальных уравнений. Авторы обращают внимание на физическую интерпретацию исследуемых физических процессов, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историю возникновения той или иной постановки обратной задачи. Цели обучения, являющиеся системообразующим фактором любой методической системы и отраженные в прогностической модели специалиста, позволяют осуществить отбор содержания об­учения, которое прописывается в учебных планах соответствующих специальностей, типовых и рабочих программах конкретных учебных курсов. Методическая система обучения, согласно определению А.М. Пышкало, представляет собой целостное образо­вание целей, содержания, методов, форм и средств обучения. Подобные вопросы исследовалась в работах С.И. Архангельского, Н.Я. Виленкина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, Т.И. Ивановой,  В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н. Мираковой, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, И.П. Подласого,  И.А. Рейнгарда, Е.А. Рябухиной, Г.И. Саранцева, Ю.В. Сидорова, Е.И. Смирнова, А.М. Сохора, Н.Л. Стефановой, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и других авторов. При формировании целеполагания обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений необходимо исходить из объективных факторов социального заказа обще­ства в подготовке специалистов в области прикладной математики, дидактических принципов обучения: наглядности, доступности, профессиональной направленности, научности, системности, связи теории с практикой, межпредметных связей и др.; задач ассоциативного и когнитивного научения, в том числе необ­ходимости формирования у студентов знаний, уме­ний, навыков и методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, задач воспитания и развития. Эти факторы определяются в любой педагогической системе обучения и используются в диссертации при разработке теоретических и методических основ обучения обратным задачам для дифференциальных  уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования. В обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений главным являются сформулированные цели и  принципы обучения обратным  задачам для дифференциальных уравнений.

Целями обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: обучить студентов современным методам исследований обратных задач для дифференциальных уравнений; развить навыки математического исследования прикладных задач, связанных с восстановлением неизвестных свойств исследуемых объектов и интерпретации результатов исследования; раскрыть гуманитарный  потенциал обучения; сформировать основы гуманитарного анализа прикладных исследований; обосновать роль прикладной математики в современном мире; научить умению самостоятельно работать со специальной математической литературой. Основными принципами обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: принципы наглядности, доступности, профессиональной направленности, научности, системности, связи теории с практикой, межпредметных связей. Обратные задачи способствуют более глубокому пониманию студентами идеи целостности мира, усвоению как дисциплин прикладной математики, так и дисциплин из других предметных областей. Прикладная направленность обучения обратным задачам включает в себя реализацию межпредметных связей не только с общеобразовательными и специальными курсами математического анализа, функционального анализа, алгебры и геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, методов оптимизации, интегральных уравнений, численных методов и демонстрирует широкое применение математического аппарата для исследования процессов и явлений реальной действительности, но и с учебными курсами физики, химии, биологии, экологии и др.

В соответствии с перечисленными целями и принципами обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений введены классификационные признаки и целевые модули, которые могут играть роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений. К классификационным признакам, в рамках настоящего исследования, относятся прикладные знания, методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, сведения об их преподавании, полученные в результате познавательной, практической и педагогической деятельности. Под целевыми модулями понимаются элементы программы курса обратных задач для дифференциальных уравнений, представляющие собой совокупность выбранных классификационных признаков. В диссертации выделены три целевых модуля, включающие квалификационные признаки, определяемые целями обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, и модуль научного метода, включающий квалификационные признаки, соответствующие содержанию научных методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, а именно: целевой модуль № 1. Теория и методика обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений – педагогическая наука; целевой модуль № 2. Обратные задачи для дифференциальных уравнений – научная область прикладной математики; целевой модуль № 3. Физическая картина исследуемых процессов и явлений – категориально-понятийный аппарат методологии целостного исследования обратных задач для дифференциальных уравнений; модуль научного метода. Математические методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Разработке критери­ев отбора содержания обучения посвящены исследования С.И. Архангельского, Н.Я. Виленкина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н. Мираковой, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, И.А. Рейнгарда,  Ю.В. Сидорова, Е.И. Смирнова, А.М. Сохора,  Н.Л. Стефановой, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и других авторов.

Содержание и профессиональная направленность обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений должны учитывать характер современных и разумно-прогнозируемых требований к будущему специалисту в области прикладной математики, которые отражаются как на отборе материала по обратным задачам, так и на роли практических навыков решения обратных задач студентами, применения их в своей будущей профессиональной деятельности. Планирование, разработка методики обучения и осуществление самого процесса обучения студентов обратным задачам должно проводиться преподавателями – специалистами в области обратных задач для дифференциальных уравнений. Для правильной постановки обучения обратным задачам необходимо достичь определенного уровня взаимопонимания при планировании содержания обучения студентов физико-математическим дисциплинам, учитывающее “интересы” курса обратных задач как внутри кафедры, так и между кафедрами физико-математического и специального профилей соответствующих специальностей вузов. Разумным представляется положение, когда объем знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений, степень владения ими и характер приобретаемых студентами навыков определяется совместно с ведущими специалистами в области будущей специализации студентов. Содержание обучения определяется отбором конкретных обратных задач, которые имеют математические особенности (обратные задачи, как правило нелинейны, неединственны, некорректны); подразделяются на типы (коэффициентные, граничные, геометрические, эволюционные обратные задачи); обладают индивидуальностью; решаются различными математическими методами.

Разработанное содержание учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений включает следующие разделы:

1. Обратные задачи для обыкновенных дифференциальных  уравнений.  Обратные задачи определения коэффициентов линейных дифференциальных уравнений и анализ подходов и идей восстановления неизвестных причин по известным следствиям. Обратные задачи определения коэффициентов нелинейных дифференциальных уравнений и оценка красоты математических методов их решения. Обратные задачи определения правой части дифференциальных уравнений и оценка вклада методов их решения в развитие математических методов решения дифференциальных уравнений. Обратные задачи теории управления и оценка идей и подходов, используемых для восстановления свойств объектов, труднодоступных или недоступных для человека.

2. Обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одномерные обратные задачи для гиперболических уравнений и анализ особенностей рациональных рассуждений при решении обратных задач. Многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений и их гуманитарная роль в анализе характера загрязнения воздушного бассейна. Одномерные обратные задачи для уравнения теплопроводности и их применение в экологическом анализе окружающей среды. Многомерные обратные задачи для параболического уравнения и их ценность в анализе влияния функционирующих объектов на здоровье человека. Обратные задачи для эллиптических уравнений и их применение в гуманитарном анализе свойств стационарных процессов. Обратные задачи для системы уравнений Максвелла и их применение в гуманитарном анализе свойств земной среды. Обратные кинематические задачи сейсмики и их значение в развитии представлений о внутреннем строении Земли.

3. Задачи определения функции по значениям интегралов. Задача определения функции одной переменной по значениям ее интегралов  и оценка математических методов ее решения для теории интегральных уравнений Фредгольма. 3адачи  компьютерной томографии, их информативность и гуманитарная ценность. Задача об отыскании функции по ее сферическим средним и оценка вклада математических методов ее решения в теорию интегральных уравнений Вольтерра. Задачи интегральной геометрии и их связь с обратными задачами для дифференциальных уравнений.

4. Конечно-разностные методы решения обратных задач для дифференциальных уравнений. Приближенные методы решения обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Приближенные методы решения одномерных обратных задач для гиперболических уравнений. Приближенные методы решения обратных задач для уравнения теплопроводности. Приближенные методы решения одномерных обратных задач для уравнений эллиптического типа. Применение полученных численных результатов решений обратных задач в гуманитарном анализе прикладных исследований.

Остановимся на одном из разделов разработанного учебного курса. Непосредственное изучение внутреннего строения Земли с помощью бурения ограничено, поэтому главную роль здесь играют геофизические методы, основанные на изучении земной поверхности какого-либо физического поля, которое несет информацию о глубинном строении Земли. Таким полем,  в частности, является электромагнитное поле, создаваемое с помощью специального источника электромагнитных колебаний. Процессы взаимодействия электромагнитного поля со средой описываются системой уравнений Максвелла  каждое из которых эквивалентно трем скалярным уравнениям. Здесь ,  – вектора электрической и магнитной напряженности поля;  – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды;  – проводимость среды; – плотность внешнего электрического тока;  –  роторы векторов . Выписанные уравнения для векторов  выполнены отдельно для точек  и  = , а при  тангенциальные компоненты векторов удовлетворяют условиям  непрерывности  ,    При исследовании нестационарных задач принято, что электромагнитные колебания до момента времени  отсутствуют  а затем индуцируются сторонним (внешним) током  , носитель которого содержится в области .

Рассмотрим процесс взаимодействия электромагнитного поля с изотропной неоднородной средой, параметры которой зависят только от глубины порождаемый импульсным источником вида  что соответствует мгновенному включению тока, параллельного оси , сосредоточенного на земной поверхности , плотность которого описывается функцией . В формуле источника:  – дельта-функция  Дирака,  – тета-функция Хевисайда, T – знак транспонирования. В этом случае, расписав систему уравнений Максвелла,  учтя, что в этом случае , можно получить двумерное волновое уравнение относительно второй компоненты вектора напряженности электрического поля :  где  ,

,

. Если считать, что плотность источника  представляет собой сумму конечного числа гармоник вида  где черта над  – знак комплексного сопряжения, то выписанное волновое уравнение может быть сведено к - одномерным телеграфным уравнениям вида  ,

в которых .

Теперь сформулируем постановку обратной задачи для простейшего телеграфного уравнения, вошедшей в разработанный курс, и полученные по отношению к ней результаты. Из телеграфного уравнения   при начальных и граничных условиях  , где а   – предельные значения функции  при , вычисленные изнутри областей  и  соответственно,  – дельта-функция Дирака,  известные постоянные, определить неизвестный коэффициент  в области  по дополнительной информации о решении прямой задачи вида  .

Теорема 1. Пусть для функции  выполнено соотношение . Тогда для достаточно малого   решение обратной задачи, заключающееся в определении , существует, единственно и принадлежит классу .

Теорема 2. Пусть коэффициенты  и – отвечающие этим коэффициентам следы решения обратной задачи на полуоси  Тогда имеет место неравенство .

В процессе обучения до понимания студентов доводится тот факт, что по результатам решения данной обратной задачи, определив проводимость среды , можно сделать логические выводы гуманитарного характера, например, об экологическом состоянии окружающей среды и возможных последствиях его изменения.

Исследованию методов и форм обучения, особенностей организации и проведения учебных занятий и самостоятельной работы студентов в высших учебных заведений посвящены работы  С.И. Архангельского, Р.М. Асланова, Н.Я. Виленкина, Н.А. Волгина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, К.А. Звягина, Т.И. Ивановой, В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н. Мираковой, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, Ю.Г. Одегова, И.П. Подласого, А.М. Пышкало, Б.В. Ракитского, И.А. Рейнгарда, Е.А. Рябухиной, Г.И. Саранцева, Н.Л. Стефановой,  Ю.В. Сидорова, Е.И. Смирнова, А.М. Сохора, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и др. Формами организации учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений являются лекционное занятие, семинарское занятие, лабораторное занятие. Передовой педагогический опыт отмеченных авторов был использован для организации лекционных и семинарских занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений: в постановке целей лекционных и семинарских занятий с точки зрения формы обучения; в определении функций лекционных занятий; в анализе лекционного материала учебной темы курса и семинарских занятий по обратным задачам. Лекционное занятие является основной формой организации учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, на котором преподавателем в устной форме (слово преподавателя является основным средством обучения) с использованием доски и мела, а в некоторых случаях – мультимедийных технологий, излагается учебный материал по обратным задачам. Семинарское занятие по обратным задачам для дифференциальных уравнений является активной формой обучения обратным задачам, дополняющей лекционные занятия и призванной помочь студентам освоить методы решения обратных задач; представляет собой комплексную форму обучения решению обратных задач, сочетающая: участие в решении обратных задач студентов и преподавателя; обсуждение мнений студентов по решению обратной задачи и полезными советами преподавателя; приобретение студентами опыта и навыков по решению обратных задач, способствующих освоению прочных знаний в области теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Особенность семинарского занятия по обратным задачам для дифференциальных уравнений заключается в возможности активного участия каждого студента в обсуждении постановки обратной задачи, рассматриваемой на занятии, подходов и методов ее решения, применения результатов решения обратной задачи в гуманитарном анализе прикладных исследований и др. На семинарском занятии преподавателем могут быть подведены итоги самостоятельной и индивидуальной работы студентов по усвоению методологии решения обратных задач для дифференциальных уравнений.

Самостоятельная работа студентов высших учебных заведений в настоящее время является важной и необходимой учебной деятельностью, способствующей эффективному обучению. Роль преподавателя в ней – содействовать эффективному обучению студентов. Цель самостоятельной работы студентов по обратным задачам – систематическое обучение обратным задачам в течение учебного курса, закрепление и углубление полученных знаний и навыков исследования обратных задач, подготовка к предстоящим учебным занятиям, формирование прикладной математической культуры и самостоятельности в поиске и приобретении новых прикладных знаний. В процессе обучения студентов обратным задачам в качестве контроля знаний и умений предусмотрены текущий, промежуточный и итоговый контроль. Форма текущего контроля – устная или письменная. Видытекущего контроля: индивидуальный или групповой опрос студентов.  Вид  промежуточного контроля – коллоквиум в устной или письменной форме по пройденной части учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений. Промежуточный контроль, как правило, проводится в середине семестра. Итоговый контроль знаний и умений студентов, полученных ими в процессе обучения обратным задачам, проводится по завершению курса обратных задач для дифференциальных уравнений в форме зачета или экзамена.

Одно из наиболее существенных различий между чистой  и прикладной математикой, по мнению И.М. Блехмана, А.Д. Мышкиса, Я.Г. Пановко,  связано с характером применяемой логики рассуждений при решении математических задач. Логика прикладной математики обладает характерными чертами, связанными со способами доказательств, выбором критериев достоверности и т.д. При этом аналогичные способы и критерии, известные в чистой математике, в приложениях не всегда работают. Стиль рассуждений, составляющий логическую основу прикладной математики, состоит из дедуктивных и рациональных рассуждений, которые могут быть неприемлемы с точки зрения чистой математики, но способные при разумном их применении приводить к правильным результатам. Подобные рациональные рассуждения применены нами в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений (см. таблицу 1).

Таблица 1. Методы рациональных рассуждений в обучении

обратным задачам для дифференциальных уравнений

Методы рациональных рассуждений в обучении

обратным задачам для дифференциальных уравнений

Выдвижение и обоснование гипотез при решении

обратной задачи

Уточнения в ходе решения

обратной задачи

Разумные аналогии при

решении обратной задачи

Контроль замкнутости

системы уравнений

обратной задачи

Рассмотрение частных случаев при решении обратной задачи

Осмысление физических свойств  исследуемого объекта

Воспитание математической интуиции

Прикидки в решении

обратной задачи

Поиск неожиданностей при решении обратной задачи

Анализ и интерпретация

решения обратной задачи

Представление результатов

исследования обратной задачи

Разработка технологий индивидуализации обучения студентов является одной из перспективных задач педагогической науки. Научное осмысление проблемы индивидуализации обучения отражено в работах Я.А. Коменского, Д. Локка, И.Г. Песталоцци, А. Дистервега, К.Д. Ушинского. Развитие дидактических аспектов индивидуализации обучения, идеи индивидуально-ориентированного обучения, индивидуальных способностей студентов в процессе учебной деятельности, индивидуального подхода в обучении как средства

формирования индивидуального стиля деятельности преподавателя находит отражение в работах многих педагогов и психологов современности,  а именно: Ю.К. Бабанский, М.Н. Берулава, Е.Д. Божович, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Е.А. Климов, П.П. Машков, А.П. Околелов, С.Л. Рубинштейн,  Ю.А. Самарин, И.С. Сергеев, И.Э. Унт, А.В. Хуторский, В.В. Шрейдер, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др. В педагогической энциклопедии индивидуализация обучения определяется как “организация учебного процесса, в котором выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия студентов, уровень развития их способностей к учению”. При индивидуализации обучения студентов учитываются такие показатели, как обучаемость, обученность, познавательные интересы, профессиональная направленность обучения. В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений преследуются конкретные цели обучения, реализуются дидактические принципы обучения обратным задачам, что обеспечивает студентам овладение системой знаний, умений и навыков, дающей представление о теории обратных задачах для дифференциальных уравнений, математическом моделировании физических процессов и явлений, о конструктивных алгоритмах и методах исследования обратных задач, исторических периодах развития теории обратных задач; овладение основными общенаучными методами познания, используемыми в прикладной математике; формирование научного мировоззрения; логической составляющей мышления, воспитание нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности; эстетическое воспитание, базирующееся на способности оценить красоту математических идей и формул; воспитание трудолюбия, ответственности за принятие решений, стремления к самореализации; формирование умений строить и исследовать корректные математические модели обратных задач; умения выводить из решенной обратной задачи следствия математического, прикладного, гуманитарного характера. Студентов необходимо научить умению самостоятельно работать со специальной математической литературой, добывать и осознанно применять полученные знания в своей будущей профессиональной деятельности; развить способности к самостоятельному математическому мышлению. Этим инициируется реализация индивидуальных подходов к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Целями индивидуализации обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: реализация учебных программ по курсу обратных задач; повышение знаний, умений и навыков каждого студента учебной группы; улучшение их учебной мотивации; усиление профессиональной направленности обучения; формирование и развитие логического мышления; формирование познавательных интересов; формирование личности, интересов и математических способностей студентов, направленность студентов на научно-исследовательскую деятельность в области обратных задач для дифференциальных уравнений. Индивидуальный подход в обучении обратным задачам выступает как дидактический принцип обучения, воспитания и развития студентов, учитывающий личные особенности обучаемых, уровень интеллектуального развития, познавательные интересы и другие факторы, оказывающие влияние на успешность обучения. Индивидуальная работа студента является формой осуществления данного принципа. В качестве наиболее значимых форм индивидуальной работы в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений являются: работа студентов над курсовыми и дипломными работами по обратным задачам для дифференциальных уравнений; написание студентами рефератов по материалам научных статей, посвященным обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в научно-исследовательской работе по обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в научных семинарах, посвященных обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в студенческих научных конференциях; самостоятельная работа студентов по выполнению индивидуальных учебных заданий по обратным задачам для дифференциальных уравнений; консультации и беседы при подготовке к семинарским и лабораторным занятиям; участие студентов в студенческих научных кружках. Реализация индивидуального подхода в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений основывается на следующих положениях: методы и формы обучения и воспитания необходимо выбирать с учетом индивидуальности студентов; индивидуальный подход требует соблюдения психолого-педагогического такта в отношении студентов; качественная подготовка студента обеспечивается повседневной деятельностью преподавателя, выстроенной на основе знаний индивидуальных особенностей каждого студента  обучаемой группы.

Ориентация высшего математического образования на гуманитарное развитие студентов является одним из актуальных принципов функционирования системы современного российского образовательного пространства. Одним из средств, реализующих идеи гуманитаризации естественнонаучного образования, считается задачный подход. Если в основу задачного подхода, по мнению Н.А. Алексеева, Г.А. Балла, В.И. Данильчука, Г.И. Ковалевой, Г.С. Костюка, И.Я. Лернера, Н.Ю. Посталюка, В.В. Серикова, В.М. Симонова, И.Г. Ступака, О.К. Тихомирова и других, будет заложена гуманитарно-ориентированная система задач, то в этом случае можно говорить о задачной технологии гуманитарного развития личности. Е.А. Смирновым, следуя Ю.М. Колягину и А.Г. Мордковичу, выделены основные функции математических задач в обучении в педвузе: обучающая, развивающая, воспитывающая, контролирующая, методическая. Это ставит задачу рассмотрения возможностей задачного подхода на технологическом уровне. Е.В. Бондаревская, А.И. Кузнецов, В.В. Гура обращают внимание на требования, которые связаны с воспитанием личной ответственности обучаемых за состояние окружающей среды, последствия своих действий по отношению к ней, за состояние своего здоровья и здоровый образ жизни, которые составляют важную грань принципа природосообразности, основы которого были заложены авторами природосообразной революции в педагогике – Я.А. Коменским,  Д. Локком, И.Г. Песталоцци. Поэтому для целостного исследования свойств физических объектов необходим природосообразный подход и разнообразные интегративные способы их исследования. С позиции такого подхода появляются субъективные и гуманитарные начала знаний об окружающем мире. В ходе проведенного исследования были разработаны подходы к проектированию гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанные на математическом и дидактическом анализе содержания учебного материала, отборе системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планировании системы учебных занятий по обратным задачам.

При определении теплофизических или фильтрационных параметров среды, а также плотности распределения тепловых источников естественным образом возникают обратные задачи для уравнений параболического типа. Сформулируем одну из таких обратных задач, вошедшую в разработанный учебный курс. Пусть в области , пространства переменных , , , функция  удовлетворяет параболическому уравнению   при начальных и граничных условиях , , где  – заданная функция, – известная константа,  – неизвестная функция. Постановка обратной задачи:из выписанных соотношений определить плотность тепловых источников , действующих в полупространстве , если о решении прямой задачи известна дополнительная информация .

Эта обратная задача имеет конкретный физический смысл. Если функция , то она связана с задачей определения плотности радиоактивных источников тепла по тепловому излучению на поверхности Земли. При этом  – период полураспада радиоактивного элемента.

В процессе обучения студенты совместно с преподавателем обосновывают, что сформулированная обратная задача обладает гуманитарным потенциалом, так как по результатам ее решения можно сделать логические выводы об экологии окружающей среды, о влиянии функционирующих объектов на здоровье человека и другие выводы.

Учебные занятия по обратным задачам направлены на создание ситуаций, требующих от студентов, по результатам решения обратной задачи, сделать логические выводы прикладного и гуманитарного характера, преодолеть нравственные противоречия, сделать обоснованный выбор правильной позиции в обществе. Подобные занятия приобщают студентов, как к проблеме гуманитаризации математического образования, так и к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований, которым необходим гуманитарный анализ с участием экспертов-гуманитариев. С этой точки зрения обратные задачи для дифференциальных уравнений могут быть рассмотрены как морально-нравственное приложение к различным физическим, экологическим, социальным, экономическим и другим процессам и явлениям.

В третьей главе Использование информационных технологий при обучении  обратным задачам для дифференциальных уравнений” проведен психолого-педагогический анализ использования компьютерных математических пакетов в высших учебных заведениях; сравнительный анализ исследований методических аспектов использования компьютерных ма­тематических пакетов в вузе при обучении дифференциальным уравнениям; описана организация проведения лабораторных работ по обратным задачам с использованием компьютерных математических пакетов; раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам при использовании компьютерных математических пакетов; излагается методика учебного исследования модельных обратных задач для дифференциальных уравнений с использованием компьютерных математических пакетов.

Процессы информатизации современного общества, свидетелями которых мы сегодня являемся, характеризуются совершенствованием и распространением информационных технологий во многие сферы человеческой деятельности, в том числе в сферу образования. Фундаментальный вклад в развитие информатизации образования, создание и применение средств информатизации в педагогической деятельности внесли Е.Ы. Бидайбеков, Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и другие авторы. Внедрение информационных технологий в науку и образование инициировало рост прикладных исследований во многих гуманитарных, социальных и естественнонаучных областях. В немалой степени успешные исследования прикладных задач с использованием ЭВМ стали возможны, благодаря тому что современные информационные технологии позволяют получать виртуальные трехмерные модели, включают различные компьютерные математические пакеты, реализуют современные вычислительные алгоритмы решения прикладных задач, осуществляют информационную поддержку поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых  вычислений и правильности работы применяемых программ. В результате осуществляются мобильные исследования прикладных задач.

В настоящее время в учебном процессе высших учебных заведений используются компьютерные математиче­ские пакеты, которые начали создаваться в начале 80-х годов прошлого столе­тия. Среди них: Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и другие. Студентам предоставляются большие возможности творчески применять компьютерные математические пакеты при решении математических задач, что способствует развитию таких компонентов мышления, как гибкость, структурность и т.д. Студенты избавляются от рутинной работы, связанной с громоздкими математическими вычислениями и преобразованиями; приобретают уверенность в символьных вычислениях и практические навыки проведения математических рассуждений и анализа полученных результатов; получают возможность самостоятельно и быстро решать разнообразные математические задачи. Использование компьютерных математических пакетов в обучении дисциплинам прикладной математики дает преподавателю возможность использовать наглядно-демонстрационный метод обучения: на экране компьютера возможно быстро демонстрировать аналитические и приближенные решения математических задач, двухмерные и трехмерные графики их решения, таблицы, рисунки и т.д. Проведенный в диссертации психолого-педагогический позволяет сделать вывод о том, что использование в обучении компьютерных математических пакетов способствует развитию у студентов визуального мышления и наглядности обучения, что подтверждает целесообразность разработки методик обучения дисциплинам, в том числе прикладной математики с их использованием.

Включение в процесс обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, помимо лекционных и семинарских занятий, такой формы организации обучения, как лабораторные занятия с использованием компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и других, позволяет достичь высокого уровня усвоения знаний, овладения необходимым прикладным математическим аппаратом путем активизации учебно-познавательной деятельности студентов и делает целесообразным использование данной формы организации обучения. В обучении обратным задачам с ее высоким математическим уровнем, сложным понятийным аппаратом, математическими методами исследования обратных задач и трудоемкостью исследований реализация этой формы организации обучения с использованием компьютерных математических пакетов не только возможна, но и методически оправдана. Лабораторные занятия по обратным задачам интегрируют теоретико-методологические знания, практические умения и навыки студентов в едином процессе деятельности учебно-исследовательского характера. При правильной организации лабораторной работы студенты выступают в роли исследователей обратных задач для дифференциальных уравнений. Содержание лабораторной работы по обратным задачам включает систему умственных и практических действий по овладению методами исследования обратной задачи для дифференциальных уравнений. Для проявления самостоятельности студентам может быть рекомендовано самостоятельно рассмотреть обратную задачу при аналогичных данных и дополнительной информации и применить компьютерный математический пакет для ее исследования. Организация и проведение лабораторных работ по обратным задачам не исключают общения преподавателя со студентами. При этом лабораторная работа как организационная форма учебной деятельности при обучении обратным задачам предполагает усиление роли преподавателя по консультационному и контролирующему сопровождению учебно-познавательной деятельности студентов, а также увеличение самостоятельной работы студентов с учебной и научной литературой по обратным задачам для дифференциальных уравнений. Применение компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам для дифференциальных уравнений способствует реализации ряда дидактических принципов обучения: творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, профессиональной направленности, научности, системности, наглядности, интерактивности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия. У студентов формируется необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, который позволит в дальнейшем применять их в своей будущей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений, как правило, нелинейны – одновременно определяются и неизвестные функции  (коэффициенты, правые части дифференциального уравнения), и само решение дифференциального уравнения. Поэтому в большинстве случаев решение соответствующей прямой задачи удается представить лишь в виде интегрального или интегро-дифференциального уравнения. Хотя, иногда, встречаются постановки обратных задач, решения которых, несмотря на их нелинейность, могут быть получены в виде формул. Схема исследования обратных задач для дифференциальных уравнений включает два этапа. На первом этапе конструируется решение прямой задачи и исследуются его свойства в предположении, что искомые функции являются известными и принадлежат конкретным функциональным пространствам. На втором этапе исследуется сама обратная задача. Используя построенное уравнение прямой задачи, последовательно строится соответствующая система уравнений обратной задачи. Затем доказываются теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения обратной задачи, выявляются условия согласования данных обратной задачи. Цель исследования обратной задачи для дифференциального уравнений – конструктивное построение ее решения. В процессе исследования обратной задачи преодолеваются математические трудности: построение решения прямой задачи, которое имеет сложный вид; анализ свойств построенного решения прямой задачи; дифференцирование и интегрирование громоздких математических выражений, включая интегральные уравнения, применение приближенных методов решения и т.д. На это тратится много времени, есть вероятность сделать ошибку в вычислениях, которая может привести к неверному результату и ошибочным выводам.

С аналогичными трудностями сталкиваются и студенты при решении обратных задач  для  дифференциальных  уравнений. Использование  компьютерных математических пакетов на  лабораторных  занятиях  по  обратным задачам позволяет избежать некоторых трудностей при решении модельных обратных задач, хотя специальных команд, с помощью которых можно было строить решения обратных задач, у них нет. Студенты имеют возможность, не обращаясь к преподавателю, в результате последовательного выполнения соответствующих команд, находить аналитические и приближенные решения прямых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, (см. рисунок  2) которые в дальнейшем будут использованы   для   выбора   дополнительной   информации  о  решении   прямой  задачи,  

 


Рисунок 2. Использование компьютерного математического  пакета Maple 9 при обучении методам приближенного решения неоднородного обыкновенного дифференциального  уравнения третьего порядка.

построения   системы  интегральных  уравнений  обратной задачи; применять методы решения дифференциальных или интегральных уравнений; в процессе решения обратной задачи  для  наглядного  анализа  строить  графики  сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например,  оцениваются решения прямых и обратных задач, что существенно облегчает их анализ; находить решения различных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; освободится тем самым от сложных рутинных математических преобразований;  избавиться от страха допустить ошибку в процессе решения обратной задачи и т.д. Использование на лабораторных занятиях компьютерных математических пакетов в процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений вносит позитивные изменения в деятельность студентов.

В четвертой главеЭкспериментальная проверка эффективности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений” описана организация экспериментальной проверки эффективности  применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений. Проанализировано влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

В педагогическом эксперименте принимали участие студенты кафедры информатики и прикладной математики математического факультета Московского городского педагогического университета, Курского государственного университета специальности 01.02.00 – прикладная математика и информатика, Курского государственного технического университета специальности 23.01.05 – программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем. При этом было задействовано 230 студентов и 12 преподавателей.

В ходе педагогического эксперимента определялись: коэффициент усвоения учебного материала по обратным задачам для дифференциальных уравнений по формуле В.П. Беспалько: , где – количество баллов, набранных студентами,  – максимальное количество баллов; полнота усвоения содержания понятий, используемых в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений по формуле А.В. Усовой: , где  – число существенных признаков понятия, усвоенных  -м студентом; – общее число признаков понятия; – число студентов в группе; коэффициенты системности и функциональности знаний по обратным задачам, которые представляют собой количественные показатели полноты реализации студентами связей и функций теоретических знаний. Они определялись по формулам Н.Е. Кузнецовой: , где – число признаков или связей;  – максимальное число признаков; – общее количество проанализированных ответов; , где  – число функций, использованных в -м проанализированном ответе; – максимальное число функций, которые могли найти применение при решении предложенных задач;  – общее количество студентов; уровень гуманитарной составляющей обучения методом анкетирования.

В таблице 2 приведены значения коэффициента полноты усвоения понятий учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений, вычисленные  по результатам  контрольных  работ  у учебной группы из 23 студентов Курского государственного университета.  В таблице 2 приведены данные о количестве ответов на каждую из десяти тем и значение коэффициента полноты усвоения. Для каждой темы были определены пять признаков (p=5) и использованы следующие сокращения: ПП – правильный полный ответ (отражено пять признаков); ПН – правильный неполный ответ  (отражено четыре либо три признака); НП – неправильный ответ (отражено менее трех признаков); НО – нет ответа.

Таблица 2. Значения коэффициента полноты усвоения понятий

учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений

Тема

Число ответов

К

ПП

ПН

НП

НО

1. Понятие обратной задачи для дифференциального уравнения

15

3

4

1

0,79

2. Корректность обратных задач для дифференциальных уравнений

14

4

3

2

0,77

3. Математические методы решения обратных задач для дифференциальных уравнений

15

5

2

1

0,84

4. Понятие замкнутой системы уравнений обратной задачи для дифференциального уравнения

12

7

1

3

0,77

5. Понятие решения обратной задачи для дифференциального уравнения

17

2

2

2

0,83

6. Понятие приближенного решения обратной задачи для дифференциального уравнения

14

7

1

1

0,86

7. Рациональные рассуждения при решении обратных задач для дифференциальных уравнений

12

4

4

3

0,70

8. Познавательная сила обратных задач для дифференциальных уравнений

11

5

1

6

0,66

9. Гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений

16

2

4

1

0,80

10. Гуманитарный анализ прикладных исследований

10

7

2

4

0,70

Диаграммой 1 иллюстрируются показатели усвоения содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Для выявления гуманитарной составляющей обучения  проводилось анкетирование. В анкеты были включены вопросы по экологическому воспитанию, мировоззрению, гуманистичности. Среди таких вопросов, на которые нужно было ответить либо да либо нет: необходимо ли обучать философии? Варианты ответов: 1) да, т.к. она дает общее представление о процессах, развитии материи, мире и т.д.; 2) нет, т.к. она требует значительного времени для изучения, а оно необходимо для освоения предметов специализации (ответ да – более предпочтительный); все ли средства можно использовать для повышения жизненного уровня населения? Варианты ответов: 1) да, т.к. благосостояние народа важнейшая цель производства. 2) нет, т.к. можно нарушить экологию, что приведет к непредсказуемым последствиям и даже может быть к гибели человечества; (ответ нет – более предпочтительный) и другие. Кроме того, для выявления гуманитарной составляющей студентам было предложены задания, в которых необходимо обосновано оценить красоту конкретной идеи, подхода, математического метода, формулы, используемых при решении обратных задач.

Среди таких заданий: оценить красоту метода С.Л. Соболева, который позволяет свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода задачу Коши для волновых уравнений, содержащих не только переменные коэффициенты, но и градиентные слагаемые; красоту идеи использования операции свертки фундаментального решения для обращения гиперболических операторов; красоту подходов теории обратных задач для восстановления свойств труднодоступных или недоступных человеку объектов и другие. Результаты анкетирования позволяют сделать вывод о возросшем уровне гуманитарной составляющей обучения.

Таким образом, результаты, полученные в ходе описанных в диссертации педагогических экспериментов, позволили подтвердить эффективность разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей вузов в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее позитивное влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики. Все вышесказанное позволяет утверждать, что гипотеза, выдвинутая в начале исследования, экспериментально подтверждена.

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования были получены следующие основные выводы и результаты:

1) выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений: доказано, что такое обучение способствует расширению мировоззрения студентов, развивает логическую культуру их  мышления, позволяет пра­вильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов и явлений, реализует межпредметные связи и прикладную направленность обучения. Это способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей, реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитательной и других функций обучения, что приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов, формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире, о развитии методов познания;

2) выявлено влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование значимых личностных и профессиональных качеств студентов физико-математических специальностей, заключающихся в овладении словесным способом описания хода исследования свойств процессов и явлений, методами формирования образных представлений, применением аналогий;формулировкой гипотез, аксиом, постулатов и убедительных рассуждений; научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, способностью построения и корректировки модели исследуемого объекта. Указанные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях, являющихся одинаковыми для гуманитарных, социальных или естественнонаучных областей человеческого познания;

3) разработаны подходы к проектированию гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанные на математическом и дидактическом анализе содержания учебного материала, отборе системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планировании обучения по обратным задачам. Учебные занятия ориентированы на создание ситуаций, требующих от студентов формулирования логических выводов прикладного и гуманитарного характера по результатам решения обратной задачи,  преодоления нравственных противоречий, обоснованного выбора правильной позиции в обществе;

4) разработан учебный курс обратных задач для дифференциальных уравнений, в содержание которого вошли: раздел обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, в числе которого обратные задачи определения коэффициентов линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, обратные задачи теории управления и другие, раздел обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка,в числе которого одномерные обратные задачи для уравнения колебания струны, телеграфного уравнения, многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений, одномерные обратные задачи для уравнения теплопроводности, многомерные обратные задачи для параболического уравнения, обратные задачи для эллиптических уравнений и другие, раздел приближенных методов решения обратных задач для дифференциальных уравнений, в содержании которого конечно-разностные методы  решения  обратных задач для гиперболических и обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков и другие. В содержание разработанного учебного курса обратных задач включены темы, посвященные анализу и оценке красоты идей, подходов, математических методов, формул, используемых при решении обратных задач, применению результатов исследования обратных задач в гуманитарном анализе прикладных исследований, логическим выводам гуманитарного характера об экологии окружающей среды, влиянии функционирующих объектов на здоровье  человека и другие;

5) обоснована целесообразность применения в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab и раскрыты дидактические принципы обучения с их использованием, среди которых, принципы творчества и инициативы студентов, научности, системности, наглядности, интерактивности,  межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия и другие;

6) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений, среди которых гипотезы, разумные аналогии при решении обратной задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи, осмысление физических свойств  исследуемого объекта и другие;

7) в ходе отбора и разработки учебного материала, необходимого для обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, были получены результаты в области прикладной математики, вошедшие в содержание методической системы обучения обратным задачам. В числе таких результатов: доказанные конструктивные локальные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решений одномерных обратных задач для телеграфного уравнения, уравнения колебания струны, волнового уравнения в классах непрерывных функций. Рассмотрены случаи, когда искомые коэффициенты вышеуказанных уравнений меняют свои свойства на границе раздела среды. Доказана локальная разрешимость двумерной и многомерной обратных задач для гиперболических уравнений в классах коэффициентов, обладающих конечной гладкостью по одной переменной и аналитических по остальным пространственным переменным. Математические модели отмеченных обратных задач описывают процессы и явления, инициированные импульсными источниками типа дельта-функции Дирака;

8) разработаны типовая программа и учебное пособие по курсу обратных задач, содержание которых включает современные математические методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, среди которых метод Даламбера, метод характеристик, метод  Кирхгофа, метод С.Л. Соболева, метод шкал банаховых пространств аналитических  функций, метод разностных схем и другие;

9) на основе сформулированных критериев,  в  числе которых коэффициенты полнота усвоения содержания понятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, уровень гуманитарной составляющей обучения и другие критерии, экспериментально доказана эффективность разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей вузов в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее позитивное влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

Вместе с тем настоящее исследование не претендует на достижение полноты выявления и исследования всех возможных средств и методов гуманитаризации математического образования. Нерешенные проблемы гуманитаризации  могут стать предметом дальнейших исследований в области  педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование гуманитарного потенциала обучения физико-математическим дисциплинам в вузе, а также на создание соответствующих научно-обоснованных методических систем обучения, что могло бы внести весомый вклад в гуманитаризацию высшего математического образования.  

Основные результаты работы отражены в 74 публикациях по теме диссертации объемом более 90 печатных листов. Проведено извлечение из общего списка работ, содержащего 117 наименований.

I. Монографии, учебные пособия, программы.

1. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор гуманитаризации математического образования: Монография.  –  М.: МГПУ, 2006. – 320 с.  

2. Некоторые обратные задачи идентификации параметров математических моделей: Учебное пособие. – М.: МГПУ, 2005. – 359 с.

3. Некоторые обратные задачи для волновых уравнений: Специальный курс. – Новосибирск: СибУПК, 2000. – 252 с.

4. Обратные задачи для дифференциальных уравнений: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.93-96.

5. Математическое моделирование: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.78-81(в соавторстве Баков А.А., 50 %).

6. Компьютерное моделирование: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.84-88 (в соавторстве Лесневская С.В., 50%).

7. Информационные технологии  в математике: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей  педагогических  университетов).  – М.: МГПУ,  2006. – С.91-93

(в соавторстве Баков А.А., 50 %).

8. Численные методы: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.75-78.

9. Методы оптимизации: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.81-84 (в соавторстве Баков А.А., 50 %).

10. Исследование операций: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). – М.: МГПУ, 2006. – С.88-91 (в соавторстве Муравьева О.В., 50 %).

II. Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

11. Компьютерные технологии – эффективный инструмент идентификации математических моделей // Вестник Российского университета дружбы народов.  Серия  “Информатизация образования”.  – М.: Изд-во РУДН,  2004.  № 1. –

С.81-85.

12. Основы методической системы обучения дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” // Вестник Самарского государственного  экономического  университета. – Самара: СГЭУ,  2005. № 3 (18). – С.190-196. 

13. Вузовская подготовка специалистов по прикладной математике – история и современность // Наука и школа. – М., 2006. № 4. – С.10-12.

14. Методы формирования прикладной математической культуры студентов // Вестник Самарского государственного экономического университета. – Самара: СГЭУ, 2006. № 2 (20). – С. 247-252.     

15. Реализация дидактических принципов обучения при использовании  образовательных электронных ресурсов в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. – М.: Изд-во РУДН, 2006. № 1 (3). – С.40-44.

16. Гуманитарные аспекты вузовской системы прикладной математической подготовки // Наука и школа. – М., 2007. № 5. – С.23-28.

17. Современные информационные и коммуникационные  технологии в гуманитарных исследованиях математических моделей обратных задач для дифференциальных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. – М.: Изд-во РУДН, 2007. № 1. – С.64-68.

18. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях информатизации образования // Вестник Российского университета дружбы народов.  Серия  “Информатизация образования”.   – М.:  Изд-во  РУДН,  2007. № 2-3. – С.57-61.

19. Психологические аспекты обучения обратным задачам  для  дифференциальных уравнений // Наука и школа. – М., 2008. № 2. – С. 31-33. 

III. Статьи в журналах, научных, научно-методических сборниках, трудах и материалах международных конференций.

20. Оценка условной устойчивости решения одномерной  обратной задачи для телеграфного уравнения // Методы решения условно-корректных задач: Сб.науч. тр. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1991. – C.90-101.

21. Условная устойчивость одномерной обратной задачи об одновременном определении двух коэффициентов, входящих в гиперболическое уравнение // Методы решения условно-корректных задач: Сб.науч. тр. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1991. – C.102-122.

22. О локальной разрешимости одной одномерной обратной задачи геоэлектрики // Ред “Сиб.мат.журн.”. –  Новосибирск, 1991. –  Деп. в ВИНИТИ 25.01.92. № 258-B92. – 46 с.

23. О локальной разрешимости одной двумерной обратной задачи для уравнения гиперболического типа // Исследования по теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. науч. тр. – Алма-Ата: КазГПУ им. Абая, 1992. – С.73-79.

24. Oдномерная обратная задача для телеграфного уравнения // Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики: Межвуз. сб. науч. тр. – Алма-Ата: КазГАСА, 1995. Часть 2. – С.108-111.

25. Математическое моделирование – неотъемлемый компонент спецкурса “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” // Научно-практические основы повышения качества подготовки учителей математики и информатики в условиях многоступенчатого образования: Сб. научно-метод. тр. Часть II. – Алма-Ата: АГУ, 1995. – С.17-20.

26. О познавательной силе обратных задач // Вопросы информатизации педагогического образования: Межвуз. сб. науч. тр. – Алма-Ата: АГУ им. Абая, 1995. – С.51-55.

27. Об одной обратной задаче для уравнения колебания струны // Вестник КазГУ. Серия “Математика, механика, информатика”. – Алма-Ата, 1998. Вып.11.– С.65-74.

28. Об одной задаче для телеграфного уравнения // Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр. – Алма-Ата: АГУ, 1998. – С.26-31.

29. Об одной задаче определения диэлектрической проницаемости среды // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН): Материалы международной научно-методической конференции. – Алма-Ата: АГУ, 1998. – С.66.

30. О некоторых постановках обратных задач для одного трехмерного телеграфного уравнения // Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности: Материалы II Казахстанско-Российской научно-практической конференции. – Алма-Ата: КазГНУ, 1998. – С.113-114.

31. Об обратной задаче определения коэффициента из одного волнового уравнения // Проблемы вычислительной математики и информационных технологий: Материалы международной научно-практической конференции. – Алма-Ата, 1999. – С. 252-253.

32. Об обратной задаче восстановления коэффициента при младшей производной одного волнового уравнения // Вестник КазГУ. Серия “Математика, механика, информатика”. – Алма-Ата, 1999. № 3 (17). – С. 89-94.

33. О некоторых одномерных обратных задачах для одного волнового уравнения // Академик К.И. Сатпаев и его роль в развитии науки, образования и индустрии в Казахстане: Труды международного симпозиума. – Алма-Ата, 1999. Часть 3. – С.93-96.

34. Об условной корректности некоторых одномерных обратных задач для одного волнового уравнения // Cовременные проблемы механики жидкостей, многофазных сред и распространение волн в сплошных средах: Труды  международной  конференции. – Ташкент, 1999. – С.78-80.

35. О восстановлении одномерных коэффициентов одного гиперболического уравнения // Вестник АГУ. Серия физико-математическая. – Алма-Ата, 2000. № 1 (1). – С.28-35.

36. Об одной динамической многомерной обратной задаче для гиперболического уравнения // Математические  модели и методы их исследования: Труды международной конференции. – Красноярск:  ИВМ СО РАН, 2001. Том 2. – С.18-21.

37. Некоторые обратные задачи для интегро-дифференциального телеграфного уравнения в среде с памятью // Вестник АГУ. Серия  физико-математическая. – Алма-Ата, 2002. № 2 (6). – С.137-144.

38. Об  одной  обратной  задаче акустики в среде с памятью //  Вестник   АГУ.   Серия физико-математическая.  – Алма-Ата,  2003. № 2 (8). – С.84-90.

39. Некоторые обратные задачи геоэлектрики // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН): Материалы II Международной научно-методической конференции. – Алма-Ата: АГУ, 2003. – С.231-232.

40. Причинно-следственные обратные задачи – единство теории и эксперимента // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия  “Информатика  и  информатизация  образования”.  – М.: МГПУ,  2003. № 1 (1). – С.61-67.

41. О методах операторных уравнений Вольтерра решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета.  Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2003. № 1 (1). – С.67-83.

42. Использование компьютерных технологий в исследованиях обратных задач математической физики // Применение новых технологий в образовании: Материалы XV  Международной  конференции. – Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2004. – С.78-79.

43. О междисциплинарном характере исследований причинно-следственных обратных задач // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2004. № 1 (2). – С.76-79.

44. К вопросу о типовой программе по дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2004. № 1 (2). – С.79-83.

45. Роль дисциплины “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” в формировании прикладной математической культуры студентов // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия  “Информатика  и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2004. № 2 (3). – С.87-93.

46. Применение теории причинно-следственных обратных задач в телекоммуникационных технологиях // Информационные технологии в образовании: Сборник трудов XIV Международной конференции-выставки (ИТО-2004). – М.: МИФИ, 2004. Часть 3. – С.191-192.

47. Гуманитарный потенциал курса “Обратные задачи для дифференциальный уравнений” // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2005.  № 1 (4). – С.100-114.

48. Компьютерные математические пакеты в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” как дидактическое средство обучения // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2005. № 1 (4). – С.114-121.

49. О системном подходе в обратных задачах математической физики // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ. – М.: МГПУ, 2005. – С.35-41.

50. Методы рациональных рассуждений в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2005. № 2 (5). – С.63-66.

51. Математические пакеты как компьютерная поддержка дисциплины “Обратные задачи для дифференциальных уравнений”  // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI Международной конференции (СКМП-2005)”. – Смоленск: СГПУ, 2005. Выпуск 6.– С.33-35.

52. Дидактические принципы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений с использованием математических пакетов // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке: Материалы III Международной научно-методической конференции (ММ ИТОН). – Алма-Ата: КазНПУ, 2005. Том 1. – С. 306-311.

53. Профессиональная направленность обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета.  Серия  “Информатика  и  информатизация  образования”. –

М.: МГПУ, 2005. № 2 (5). – С.67-70.      

54. Компьютерные и телекоммуникационные технологии в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” //  Применение новых технологий в образовании: Материалы XVI Международной конференции. – Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2005. – С.128-129.

55. Образовательные электронные ресурсы в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Электронные образовательные издания и ресурсы. Теория и практика: Бюллетень Центра информатики и информационных технологий в образовании Института содержания и методов обучения Российской академии  образования.  Выпуск 1. – М.: ИСМО РАО, 2006. – С.30-36.

56. Вузовская система прикладной математической подготовки в России // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, Самара: СФ МГПУ, 2006. № 1 (6). – С.111-117.

57. Гуманитарная компонента прикладного математического образования // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика  и информатизация образования”. – М.: МГПУ, Курск: КГУ, 2006.  № 2 (7). – С.94-100.

58. Информационные и телекоммуникационные технологии в вузовской подготовке специалистов по прикладной математике // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. – Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2006. – С.153-154.

59. Гуманитарная культура в вузовской подготовке по прикладной математике // Вестник Московского городского педагогического университета. Математический выпуск. – М.: МГПУ, 2007. – С.180-187.

60. Информационные технологии в гуманитарном анализе математических моделей обратных задач // Информационная образовательная среда. Теория и практика: Бюллетень Центра информатики и информационных технологий в образовании Института содержания и методов обучения Российской академии образования. Выпуск 2. – М.: ИСМО РАО, 2007. –  С.48-52.

61. Использование компьютерных систем в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, Иркутск: ИГУ, 2007. № 2 (9). – С.131-132.

62. Применение компьютерных технологий в гуманитарных исследованиях обратных задач // Информационные технологии в образовании и науке: Материалы Международной научно-практической конференции “ИТО-Поволжье-2007”. – Казань: ТГГПУ, 2007. – С.188-190.

63. Использование информационных технологий в гуманитарном анализе причинно-следственных обратных задач // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2007. № 1 (8). – С.50-54.

64. Использование компьютерных математических систем в обучении дисциплинам прикладной математики // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. – М.: МГПУ, 2007. № 2 (10). – С. 79-82.

65. Информационные технологии и обратные задачи в гуманитарном анализе прикладных исследований // Применение новых технологий в образовании: Материалы  XVIII  Международной  конференции. – Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2007. – С.160-162.

IV. Тезисы докладов всесоюзных, международных, всероссийских конференций, съездов, семинаров.

66. Задача определения коэффициента проводимости из системы уравнений Максвелла // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тезисы Всесоюзной конференции, посвященной 60-летию академика М.М. Лаврентьева. – Новосибирск: СО АН СССР, 1992. – C.61-62.

67. About the rightness of one poly-dimensional inverse problem // Inverse and Ill-Posed problem (IIPP-96): Abstracts of the Internation conference dedicated to the memory of academician A.N. Tikhonov. – Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1996. – P.102.

68. О корректности одной многомерной обратной задачи для серии гиперболических уравнений // 1-й съезд математиков Казахстана: Тезисы докладов. – Чимкент: Наука, 1996. – С.118.

69. Об одной обратной задаче для уравнения колебания струны // Обратные задачи математической физики: Тезисы докладов международной конференции. – Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. – С.41.

70. Об условной корректности некоторых одномерных обратных задач для гиперболического уравнения второго порядка // Математические модели и методы их исследования: Тезисы докладов международной конференции. –  Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. – С.123-124.

71. О некоторых одномерных обратных задачах для волнового уравнения // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: Тезисы докладов 2-й Международной научной конференции. – Актюбинск, 1999. – С.34.

72. Об условной корректности некоторых обратных задач для волновых уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов международной конференции. – Алма-Ата: Институт математики МОН РК, 2001. – С.86-87.

73. Some inverse problems for wave equations // International conferens Ill-Posed and inverse problems. Dedicated to prof. M.M. Lavrent’ev on the occasion of his 70th anniversary: Abstracts. – Novosibirsk: Sobolev Institute press, 2002. – P.96.  

74. Основы методической системы обучения дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений” // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тезисы докладов XXIV Всероссийского семинара преподавателей математики  университетов и педвузов. – М.: РИО МГПУ, Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2005. – С.107-108.

 





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.