WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений

Автореферат докторской диссертации по философии

 

На правах рукописи

Зайцев Дмитрий Владимирович

Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений

09.00.07 - логика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Москва - 2012


Работа выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:          Доктор философских наук, профессор

Брюшинкин Владимир Никифорович

Доктор философских наук, профессор Карпенко Александр Степанович

Доктор философских наук, профессор Меськов Валерий Сергеевич

Ведущая организация:                 Кафедра логики философского

факультета Санкт-Петербургского Государственного университета

Защита состоится «19» апреля 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.48 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, г. Москва, Ломоносовский проспект, д.27, корпус 4, философский факультет, ауд. А-518.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова в Шуваловском учебном корпусе по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, корпус 4, сектор "Б", 3 этаж, комната 300.

Автореферат разослан «__ »___________ 2011 г.

И. о ученого секретаря

диссертационного совета Д 501.001.48

доктор философских наук, профессор                                         Маркин     В.И.


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Сто лет назад, в 1908 году, увидела свет статья Лейтзена Эгберта Яна Брауэра «О недостоверности логических принципов», в которой молодой голландский ученый, совсем недавно защитивший докторскую диссертацию, представил широкой научной общественности свою критику оснований классической математики, послужившую основой интуиционизма — нового направления в философии математики.

С этого момента ведет свое начало неклассическая логика — широкий спектр исследований в современной логике, связанных с отказом от принципов, лежащих в основе классической логики. Этот же момент стал, как выяснилось значительно позже, поворотным пунктом в развитии философской логики. С начала XX века философы-логики стали активно использовать строгий математический аппарат символической логики для постановки и решения философских проблем.

В последующие годы неклассическая логика бурно развивалась. Возникали новые сферы применения и новые направления — нечеткая логика, немонотонная логика, динамическая логика, логика квантовой механики и т.п. Все более и более усложнялся формальный аппарат логики, постепенно менялась и проблематика исследований, зачастую теряя прямую и непосредственную связь с философией. Так, модальная логика, ведущая свою историю еще от аристотелевской модальной силлогистики и изначальная представлявшая собой классический образец чисто философской логики, в конце XX века приобретает новые черты благодаря расширяющимся применениям в сфере computer science. В середине 70-х годов появился даже специальный термин «продвинутая модальная логика» (advanced modal logic) для обозначения современных исследований в сфере модальной логики, тесно связанных с развитием математики и компьютерных наук, в первую очередь направленных на проблемы разрешимости и сложности. Другой подобный пример той же тенденции дает многозначная логика, эволюционировавшая от моделирования аристотелевского опровержения логического фатализма в сторону изучения алгебраических   структур,   связанных   с   различными   многозначными   логиками,

моделирования экспертных систем и формализации нечеткой (fuzzy) теории множеств.

3


Важно отметить, что процесс диверсификации бренда «философская логика» сопровождался отвлечением от чисто философских проблем, которые, вызвав неклассическую логику к жизни, оказались в определенном смысле внешними по отношению к ней (поскольку были в большинстве своем поставлены в рамках более широкого философского дискурса).

Сегодня логика переживает новый этап развития, когда на смену экстенсивному развитию логики «вширь», характерному для начала прошлого века, приходит тенденция, направленная на преодоление «логического плюрализма», на развитие так называемых мета-логических исследований, позволяющих установить взаимоотношения между различными логическими теориями. Если, скажем, середина и вторая половина прошлого века - это время, когда новые логические теории, все возможные и невозможные разновидности и ответвления неклассической логики возникали чуть ли не каждый день, то в конце XX - начале XXI века картина меняется - постепенно исследовательский интерес склоняется к обобщению и классификации полученного множества «логик», к попыткам установления связей и отношений между разными логическими теориями, иногда даже сформулированным в разных языках.

Представляется, что кроме совершенно очевидного и ясного желания навести, наконец, «логический порядок», за этой тенденцией усматривается и более серьезное стремление найти ответ на вопрос, что же представляет собой сегодня философская логика, каков ее предмет, какое место она занимает в ряду так называемых наук о мышлении. В ходе таких исследований зачастую не только обобщаются и классифицируются ранее построенные логики - происходит своеобразный синтез, приводящий к появлению принципиально новых обобщенных логических теорий с нетривиальными свойствами, открываются новые перспективы. При этом старые, хорошо известные и стандартно определяемые логические понятия проявляются в новом свете, открывают себя с неожиданной точки зрения, которая была просто невозможна в рамках традиционного подхода.

Важно отметить ту роль, которую в этой новой парадигме исследований играет релевантная логика вообще и четырехзначная семантическая логика Данна-Белнапа

4


для первоуровневого фрагмента релевантной логики в частности. Оказалось, что изящный формализм, первоначально предложенный для описания рассуждений абстрактного компьютера в условиях неполной и противоречивой информации, послужил методологической основой для целого комплекса исследований в современной философской логике и моделировании аргументативных рассуждений. Это произошло по целому ряду причин. Во-первых, релевантная логика представляет собой совокупность исчислений, свободных от парадоксов импликации и следования и в силу этого наиболее адекватно формализующих так называемые естественные рассуждения. Во-вторых, в ряду этих исчислений система первоуровневого релевантного следования отличается относительной простотой формальных построений и разрешимостью. В-третьих, разработанная М.Данном и Н. Белнапом алгебро-семантическая система объединила в себе сразу два отношения порядка -логический и информационный, что существенно расширило возможности применения этого семантического каркаса, послужив основой для построения так называемых би-решеточных логик. В-четвертых, способ порождения значений неклассической логики как элементов множества-степени некоторого исходного базового множества значений, использованный М.Данном и Н.Белнапом, положил начало новому подходу к обобщенным системам значения.

Одной из перспективных сфер приложения обобщенной релевантной логики представляется моделирование аргументативных рассуждений. Несмотря на отмеченное родство с логикой, судьба теории аргументации складывается принципиально по-другому. С одной стороны, хорошо известно, что исследования в области анализа аргументативной деятельности стимулировали возникновение логики. С другой — за прошедшие века логика успела сформироваться как вполне строгая наука, а теория аргументации, не уступающая логике количеством работ и персоналий, так и не превратилась в единую, общепризнанную научную дисциплину. С середины прошлого века теория аргументации переживает вторую молодость. Одной из причин активизации исследований в этой сфере является изменение в политическом устройстве послевоенного мира и потребности в новых стандартах полемической     коммуникации.     Другая     причина     повышенного     интереса     к

5


аргументативному   дискурсу   связана   с    развитием    искусственного    интеллекта, логического программирования и computer science.

Обращение философов-логиков к моделированию аргументативных рассуждений имеет еще один важный бонус. В споре о том, изучает современная (философская) логика рассуждения или нет, оказывается возможным развитие третьей конструктивной линии, предлагающей современным исследователям просто снять этот непростой вопрос, обратив внимание на естественные рассуждения в полемике как одну из сфер приложения символической логики.

Именно такие пограничные исследования, направленные на обобщение, универсализацию, и через это - на открытие нового и поиск ответов на вечные философские вопросы, и определяют ближайшую перспективу логической семантики и, тем самым, делают актуальным данное исследование.

Объектом       исследования      являются       естественные       (аргументативные) рассуждения, используемые в широких полемических контекстах.

Предметом исследования является представление этих рассуждений средствами обобщенной релевантной логики и ее расширений и модификаций.

Степень разработанности проблемы.

Релевантная логика, представляющая собой одно из направлений современной неклассической логики, окончательно сформировавшееся во второй половине 20-го века, возникла как вариант решения проблемы формализации логического следования и условной связи, то есть изначально была связана с задачей моделирования естественных рассуждений. Основы релевантной логики были заложены в работах В. Аккремана , А. Андерсона и Н. Белнапа . Дальнейшее развитие релевантной логики связано с вкладом Дж.М. Данна , Р. Роутли и Р. Мейера . В конце прошлого века были

  • Ackerman, W. Bergundung einer strengen Implikation, The journal of symbolic logic, 1956, vol.21, pp.113-28.
  • Anderson, A.R. "Some Nasty Problems in the Formal Logic of Ethics" Nous 1967, Vol. 1, pp 354-360
  • Anderson, A.R.  and N. Belnap, ? modification of Ackermann's "rigorous implication'", (abstract), Journal of Symbolic Logic, 1958, Vol.23, pp. 457-458.
  • Dunn, J. M.: The algebra of intensional logics, Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh, Ann Arbor, 1966 (University Microfilms). Dunn, J.M. : An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract). The Journal of Symbolic Logic, vol. 36, pp. 362-363

Dunn, J. M.: Intuitive semantics for first-degree entailment and 'coupled trees', Philosophical Studies 29 (1976). Dunn J. M., Partiality and its Dual, Stadia Logica 65: 5-40, 2000.

6


опубликованы фундаментальные исследования по релевантной логике, подготовленные целыми авторскими коллективами . В нашей стране релевантная логика развивалась в работах Е.К. Войшвилло , Е.А. Сидоренко , В.А. Смирнова , П.И. Быстрова11, В.Л. Васюкова12, В.М. Попова13, В.И. Шалака14, также нельзя не упомянуть принципиально важные для развития релевантной логики статьи Н.М. Емолаевой и А.А. Мучник  .

Подход к обобщению релевантной логики, основанный на операции взятия множества-степени от исходного множества значений и последующего обобщения функции приписывания значений, восходит к уже упомянутым работам Дж.М. Данна и Н. Белнапа. На современном этапе это направление развивается в работах Я.

  • Richard Routley and Valerie Routley Semantics of frstdegree entailment. Nous, 3:335-359, 1972. Routley R. The American plan completed: alternative classical-style semantics, without stars, for relevant and paraconsistent logics // Studia logica, vol. 43, pp. 131-158, 1984.
  • Meyer, R.K. New axiomatics for relevant logics - I. Journal of philosophical logic, 1974, vol.3, pp.53-86. Richard Routley and Robert K. Meyer. Semantics of entailment. In Hugues Leblanc, editor, Truth Syntax and Modality, pages 194-243. North Holland, 1973. Proceedings of the Temple University Conference on Alternative Semantics.
  • Routley R. Exploring Meinong's Jungle and Beyond. Philosophy Department, RSSS, Australian National University, 1980, Interim Edition, Departmental Monograph number 3. Routley R., R. with Plumwood, V., Meyer, R.K. and BradyR. Relevant logics and their rivals. Part I. The basic philosophical and semantical theory, Atascadero, California, 1982. Anderson, A.R., Belnap, N.D., Jr. Entailment. The logic of relevance and necessity, vol.1, Princeton, 1975 Anderson, A.R., Belnap, N.D., Jr., and Dunn, J.M. Entailment. The logic of relevance and necessity, vol.2, Princeton, 1992.
  • Войшвилло Е.К. Семантика релевантной логики и вопрос о природе логических законов // Разум и культура. Труды международного франко-советского коллоквиума. М., 1983. Войшвилло Е.К. Логическое следование и семантика обобщенных описаний состояний // Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки, М., 1984 Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики, М.,1988. Войшвилло Е.К. Символическая логика. Классическая и релевантная. М., 1989.
  • Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. М., 1983. Сидоренко Е.А. Реляционная семантика релевантных исчислений. В Логические исследования. Вып.З. М., 1995, ее 53-71. Сидоренко Е.А. Релевантная логика. М., 2000

10  Смирнов В.А. Так называемы парадоксы материальной импликации и логические системы с понятием сильного вывода // Исследования

логических систем. М., 1970 Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1970. 271 с.

11   См. например, Быстров П.И. Нестандартный метод табличных конструкций для модальных и релевантных логик // Логические

исследования. Вып. 1. М.: Наука 1993. ее 156-170

  • См., например, Васюков В.Л. ??-категории для релевантных логик//Логические исследования. Вып. 1. М.: Наука 1993. ее 114-124
  • Попов В.М. О разрешимости релевантной логики RAO // Модальные и интенсиональные логики (Тезисы координационного совещания). М., 1978 Аналитические формулировки и модели Крипке некоторых пропозициональных логик первопорядкового следования // Релевантные логики и теории следования. 2-ой Советско-финский коллоквиум по логике. М., 1979 Попов В.М. Система И.Е. Орлова и релевантные логики // Философские проблемы истории логики и методологии науки. М., 1986. 4.1, ее 93-98.
  • См., например, Шалак В.И. На пути к категорной характеризации релевантной логики // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука 1989. ее 112-120
  • Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам.  М.:  Наука,   1974, ее  172-193   Ермолаева Н.М., Мучник А.А.  Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976, ее 229-246 Ермолаева  Н.М.,  Мучник  А.А.   Функционально замкнутые  4-значные  расширения  булевой  алгебры  и  соответствующие  логики  // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979, ее 229-246

7


Шрамко и X. Ванзинга , а также С. Одинцова . В дальнейшем такой тип обобщения будем называть «релевантным обобщением».

Моделирование естественных, и в особенности аргументативных, рассуждений - тема огромного количества исследований. Условно эти работы можно разделить на три направления. Во-первых, исследования, ориентированные на практическое применение в аргументативной коммуникации и переговорном процессе. В этом отношении весьма показательны результаты, полученные голландской школой прагма-диалектики, возглавляемой Ф. ван Еемереном Во-вторых, работы посвященные построению формальных моделей аргументации. Здесь следует отметить исследования предпринимаемые Т. Бенч-Капоном, Г. Праккеном, Дж. Поллоком , а также некоторые фундаментальные работы других специалистов . В-третьих, исследования, ставящие своей задачей приложение аргументативного подхода к рассуждениям в computer science и искусственном интеллекте. В этом направлении формального    моделирования    аргументации    выделяются    работы    Ф.    Дунга    с

91                                                                99                                                                  9^

коллегами  ,   М.   Гинзберга     и  В.К.   Финна  .   Детальную   информацию   и   обзор

  • Shramko, Y., Dunn, J. M. and Takenaka, Т.: The trilattice of constructive truth values, Journal of Logic and Computation 11 (2001), 761-788 Shramko, Y. and Wansing, H., Some useful 16-valued logics: How a computer network should think, Journal of Philosophical Logic 34, 2005 Shramko, Y. and Wansing, H., 'Hyper-contradictions, generalized truth values and logics of truth and falsehood', Journal of Logic, Language and Information 15: 403-424, 2006. Shramko Y, and H. Wansing, Entailment Relations and/as truth values, Bulletin of the Section of Logic Volume 36:3/4 (2007), pp. 131-143
  • См., например, Odintsov S.P On axiomatizing Sramko-Wansing's logic. Studia Logica (2009) 91: 407-428
  • См., например, Еемерен Ф. ван, Гроотендорст РБ Аргументация, коммуникация и ошибки. - СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2002. - 160 с. Еемерен Ф. ван, Гроотендорст РБ Хенкеманс Ф.С. Аргументация: анализ, проверка, представление: Уч. пособие. - СПб.: «Васильевский остров», 1992. Еемерен Ф. ван. Современное состояние теории аргументации // Важнейшие концепции теории аргументации. СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2006, ее. 14-34
  • Например, Bench-Capon T.J.M., Н. Prakken, Argumentation. In A.R. Lodder & A. Oskamp (eds.): Information Technology & Lawyers: Advanced technology in the legal domain, from challenges to daily routine. Berlin: Springer Verlag, 2006, 61-80. Pollock J L Defeasible Reasoning // Cognitive Science 1987, 11, 481-518 Prakken H. Logical Tools for Modelling Arguments. Kluwer, 1997.
  • Handbook of the Logic of Argument and Inference (Studies in Logic and Practical Reasoning) by D.M. Gabbay North Holland, 2002.

Kraus S., K. Sycara, and A. Evenchik. Reaching agreements throughs argumentation: a logical model and implementation. In Artificial Intelligence, 104: 1-69, 1998. Lodder, A., Herzog, ADialaw: a dialogical framework for modelling legal reasoning. In In Proc. of the 5th International Conference on Artificial Intelligence (1995), pp. 146-155. ACM , New York. Hage, J.C., Verheij, B. Reason-based Logic: a logic for reasoning with rules and reasons. Law, Computers & Artificial Intelligence: 1994, 3 (2-3), 171-209.

  • Например, Bondarenko, A. G., Dung, P. M., Kowalski, R. A., and Toni, F. An Abstract, Argumentation-Theoretic Approach to Default Reasoning. Articial Intelligence 93, 1-2 (1997), 63-101. Dung P.M., R.A. Kowalski, and E Toni Dialectic proof procedures for assumptionbase, admissible argumentation. In Artificiallntelligence, 170: 114-159,2006.
  • См., Ginsberg, M.: Multivalued logics: Auniform approach to reasoning in AI, Computer Intelligence 4 (1988), 256-316.
  • См., например, Финн B.K. Стандартные и нестандартные логики аргументации I. // Логические исследования, выпуск 13, М., 2006, сс157-

8


современной литературы можно найти в работе К. Чезневара, А. Магвитмана и Р. Лои24.

Цель и задачи исследования.

Диссертационная работа преследует две основные цели:

  • Рассмотреть различные направления и соответствующие им варианты обобщения релевантной логики, выделив среди них те, которые могут служить основой для моделирования рассуждений.
  • На этой основе предложить формальные модели для представления естественных (в первую очередь, аргументативных) рассуждений.

Достижение поставленных целей предполагает решение ряда задач:

  • Рассмотреть различные варианты семантического и синтаксического построения релевантной логики.
  • Проанализировать перспективы развития семантического обобщения релевантной логики на основе содержательных семантик Е.К. Войшвилло, предложить варианты построения содержательных семантик для релевантной логики первого и более высоких уровней.

1.3.        Развивая линию «релевантного обобщения», предложить обобщенные

варианты релевантизированной логики Клини и гибридной

«паранормальной» (параполной и паранепротиворечивой) логики с

некоторыми классическими свойствами.

  • Критически проанализировать так называемые «американский» и «австралийский» планы построения семантик возможных миров для систем релевантной логики высокого уровня, построить вариант семантики, максимально приближенной к «американскому» варианту для системы R.
  • Построить синтаксически и семантически первоначальный вариант обобщенной чистой теории релевантного следования.

2.1.      Осуществить критический анализ различных подходов к построению

189.

24 Chesnevar, С; Maguitman, A.; and Loui, R. Logical models of argument. ACM Computing Surveys, 2001, 32:337-383.

9


теории      аргументации,       дать      определения      основных      терминов, характеризующих процесс аргументативных рассуждений.

  • На основе рассмотренных выше подходов к обобщению релевантной логике предложить ряд обобщенных релевантных моделей аргументации.
  • Проанализировать основные подходы к формальной экспликации теории понятия и предложить варианты построения формальной теории понятия на основе идей комбинаторной логики и лямбда-исчислений.

Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что впервые в отечественной литературе систематически излагаются подходы к обобщению релевантной логики и предлагаются модели естественных рассуждений, основанные на этих подходах.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

  • На основе определения логического следования через информационный порядок построена семантика для первоуровневой релевантной логики, обобщающая подход Е.К. Войшвилло, доказана ее адекватность.
  • С использованием процедуры «релевантного обобщения» на основе восьми-элементной тетра-решетки построена семантическая логика с двумя типами пропозициональных связок, предложена ее аксиоматизация, доказана адекватность.
  • Построена семантически паранепротиворечивая и параполная логика, представляющая собой гибрид логики Данна-Белнапа и классической импликативной логики, предложена ее адекватная аксиоматизация.
  • Построена информационная семантика, представляющая собой обобщение аналогичной семантики Е.К. Войшвилло для системы релевантной логики R, продемонстрирована ее адекватность.
  • Построена семантика возможных миров, максимально приближенная к так называемому «американскому плану», для системы релевантной логики R, доказана ее адекватность.
  • Аксиоматически    построена    обобщенная    чистая    теория    релевантного

10


следования,    предложены    теоретико-множественная    и        комбинаторная семантики получившейся системы, доказана их адекватность.

  • Критически рассмотрены основные подходы к построению теории аргументации, выявлены особенности аргументативных рассуждений, предложена и обоснована авторская трактовка аргументации.
  • На основе обобщения классических истинностных значений построена формальная четырех-значная модель аргументации, предложена ее аксиоматизация в виде исчисления выводимо стей.
  • Семантически построена шести-значная обобщенная логика аргументации, показана ее совпадение по множеству валидных выводимостей с логикой Данна-Белнапа.
  • Предложена обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации, предполагающая формальную экспликацию модифицируемых аргументативных рассуждений.
  • Критически проанализированы основные подходы к логико-философской трактовке и формальной экспликации понятий.
  • Предложены варианты построения формальных теорий понятия на основе типового и бестипового лямбда-исчисления.

Теоретическое и практическое значение диссертации. С теоретической точки зрения, в диссертационной работе, во-первых, систематизированы основные результаты, связанные с использованием обобщенной и/или модифицированной релевантной логики в качестве основы для моделирования естественных рассуждений, во-вторых, предложены различные варианты обобщенных релевантных моделей процесса аргументации и аргументативных рассуждений.

Полученные результаты могут быть использованы при чтении общих и специальных курсов по теории и практике аргументации, неклассической (релевантной и многозначной) логике и логической семантике.

Возможна и практическое приложение полученных результатов в логическом программировании и проекте искусственного интеллекта.

11


Апробация работы. Рассматриваемые в диссертации проблемы, предложенные пути их решения и полученные при этом результаты обсуждались на заседаниях научного семинара кафедры логики философского факультета МГУ, научно-исследовательского семинара сектора логики Института философии РАН, семинара Института философии РАН «Логика и философия языка», в рамках совместного российско-украинского логического семинара, были представлены в докладах и сообщениях автора на российских и международных научных конференциях и конгрессах.

Основные результаты диссертационного исследования отражены в научных публикациях автора, в том числе в монографии «Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений» (М., 2010).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, содержащих девять глав, заключения и списка литературы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Во Введении содержится обоснование актуальности темы исследования, характеристика ее степени разработанности. Ставятся задачи и цели исследования, характеризуется теоретическое и практическое значение работы, описывается ее апробация.

Первая глава первого раздела работы Релевантная логика первого уровня озаглавлена Основные понятия. Ее цель - ввести основные алгебраические, теоретико-множественные, синтаксические и семантические понятия, связанные с релевантной логикой первого уровня.

В первом параграфе Алгебра FDE описывается решетка Демограна -алгебраическая структура, соответствующая первоуровневой релевантной логике (FDE от английского First-Fegree Entailment). Кроме того вводятся такие теоретико-множественные понятия как кольцо, поле, фильтр.

Во втором параграфе Язык и исчисления первоуровневого следования задается пропозициональный язык логики первого уровня, строятся два вариант исчисления   -   со   схемами   выводимо стей   для   языка   без   символа   релевантной

12


импликации, и со схемами аксиом для языка с символом релевантной импликации. Приводится натуральная формулировка системы FDE.

Третий параграф Семантика FDE посвящен рассмотрению различных семантических подходов к построению релевантной логики. В современной литературе по релевантной логике кроме алгебраических семантик принято выделять среди теоретико-множественных семантик два основных плана построения: Американский и Австралийский. Территориальное разделение представляется достаточно условным, поскольку семантики американского плана были построены как в работах американцев Н.Белнапа и М.Данна так и в трудах нашего соотечественника Е.К.Войшвилло. Австралийские семантики развиты благодаря усилиям австралийца Р.Роутли, американца Р.Майера и новосибирского логика и математика Л.Л.Максимовой ([Максимова 1970]).

Начинается рассмотрение семантик первоуровневой логики с австралийской семантики системы FDE. Модель для FDE - это тройка ? <К, ^,*>, где К -множество возможных миров (обобщенных описаний состояния, теорий, ситуаций и т.п.); f - функция интерпретации, ставящая в соответствие парам <формула -возможный мир> ровно один элемент из множества значений {t,f},TaK что для каждой формулы А и для каждого возможного мира а из К имеет место а или а одноместная функция на множестве К такая, что а**=а.

Американская семантика для системы FDE может быть построена как в русле

теоретико-множественного   (крипкевского)   подхода,   так   и   в   рамках      семантик

многозначных (матричных)  логик.   В  основе  многозначной  семантики Н.Белнапа

лежат четыре исходных значения 4 = {T,B,N,F}, трактуемых весьма оригинально. Т

означает,   что   формула   оценена   как   истинная   и   не   оценена   как   ложная;   В

соответствует случай,  когда формуле приписаны как значение "истинно",  так и

значение   "ложно";   N   выражает   ситуация,   когда   формула   вообще   не   имеет

истинностного значения; наконец, F может быть приписано формуле, которая приняла

значение "ложно" и не приняла значения "истинно". Четыре значения Н.Белнапа

можно представить как все подмножества множества {и, л}: 4= {{и},{л},{и, л},{0}}.

Выделенными значениями являются Т = {и}иВ={и, л}.

13


Примером семантики возможных миров для этой системы является информационная семантика Е.К.Войшвилло. Отличительными особенностями этого подхода можно считать относительную простоту предпринимаемых построений и ясную содержательную интерпретацию семантических понятий. Е.К.Войшвилло исходит из понимания логического следования, предложенного В.Аккерманом: А |= В сз> логическое содержание В составляет часть логического содержания А. Однако, если сам В.Аккерман не уточнил понятия логического содержания, используя данное определение как интуитивное оправдание построенной им системы, то Е.К.Войшвилло предлагает трактовку логического содержания через семантическое понятие информации.

Во второй главе FDE: философско-методологические аспекты акцент сделан на семантических проблемах релевантной логики первого уровня. Первый параграф этой главы Американский план против австралийского продолжает сравнительный анализ двух основных подходов к построению семантике релевантной логики, что позволяет сделать некоторые важные для целей данной работы выводы и наметить пути дальнейшего обобщения семантически построенной релевантной логики.

Истинность пропозициональной переменной в возможном мире a (a |=t р) понимается «американцами» и «австралийцами» стандартным образом - как наличие переменной в мире e а). Основное, главное различие заключается в трактовке противоречия (и соответственно, случая пустоты). Следствием этого фундаментального различия являются не только правила приписывания значений формулам, но и формулировки метатеоретических законов, и их проекций в объектном языке.

Для «американца» одна и та же формула может быть истинной и ложной, а также не истинной и не ложной. В терминах семантики это означает, что условие ложности для переменных принимается в виде a |=fp <ї>—*p еаи совпадает с условием истинности для отрицания переменной - a |=t—? <ї>—*p e а.

Австралийский подход характеризуется в противоположность американскому внешней    "неклассичностью",    за   которой,    на   мой   взгляд,    скрывается    более

14


последовательно реализованная трактовка отрицания. Для «австралийца» одна и та же формула не может быть истинной и ложной, равно как неистинной и неложной одновременно. Зато, формула и ее отрицание могут быть вместе истинными и вместе ложными.

Подводя промежуточные итоги, можно заметить, что по американскому плану трактовка отрицания представляется более классической, чем понимание ложности. В то же время, отрицание в австралийских семантиках выглядит менее классическим, что компенсируется привычным соотношением истинности и ложности.

Во втором параграфе Отрицание, истина и ложь выявляется неклассический характер отрицания в релевантной логике. Сравнивая американский и австралийский семантические планы, полезно обратить внимание на две традиции понимания ложности, сложившиеся в теории моделей. Согласно одному подходу, который можно условно назвать линией А.Тарского, условие истинности для отрицания получается просто подстановкой в Т-схему при этом ложность формулы эквивалентна истинности ее отрицания: [FI] Тне-А сз> FA Второй подход - линия Кейслера - исходит из трактовки ложности формулы как не-истинности: [F2] FA сз> нёТА. Очевидно, что ни в том ни в другом варианте семантик релевантной логики нельзя принимать сразу оба условия. Тогда по свойствам эквивалентности выводимым станет условие [F3] Тне-А cн> неТА, что сразу же тривиализует семантику, возвращая все парадоксы классической логики.

На специфику отрицания и связанных с ним понятий истинности и ложности проливает свет реконструкция известного определения Истинного и ложного Аристотеля (Метафизика, V. 7, 1011b, 25-30). Когда речь идет о семантическом рассмотрении классической логики, то смысл отрицательных вхождений пропозициональных переменных в описание состояния ясен: не-р e ? сз> р <? А. В семантиках релевантной логики по любому из рассмотренных планов это соотношение не проходит. Таким образом, эквивалентные части аристотелева определения ложного распадаются на две различные части: Fi«p» ?/?? Аи F2«p» Cн> не-р   e   ?.   Тем  самым  возникает  возможность  ввести  два  типа  семантического

15


отрицания, соответствующие двум типам ложности: Т«не1-/7» сз> Fi«p» и Т«не2-р» Cн> F2«p». Оказалось, что только трактовка отрицание типа 2 позволяет избежать парадоксов первого уровня. Поэтому идеологам австралийского плана пришлось изобрести еще одно отрицание, связанное с понятием ложности типа 1: Т«не3-р» сз> Fi *«/?»!

В третьем параграфе FDE как матричная логика предлагается интерпретация четырех значений Данна-Белнапа как последовательностей классических истинностных значений. В обобщенном описании состояния в смысле Е.К. Войшвилло каждая пропозициональная переменная может встречаться четырьмя различными способами. Это позволяет разделить классические истинностные значения следующим образом:

щ(р) о /? e а, и2 (р) Cн> -?р <? а, Л1 (р) Cн> р <? а, и2 (р) Cн> e а. Таким образом, фактически получается, что произвольная формула принимает в качестве значения пару <ai,a2>, где aЎ e {и, л}.

Пусть теперь множество В есть результат второй декартовой степени множества {и, л}. Сконструированные выше значения как пары будут элементами матрицы В4, а пара <и,и> выделенным значением. Новые матричные операции конъюнкции (л), дизъюнкции (V) и отрицания (? ) задаются покомпонентно на элементах В4 через обычные классические операции &, v and —i. Показано, что построенная семантика адекватна системе FDE.

Последний четвертый параграф этой главы Еще раз об интуитивной семантике следования возвращает к информационной семантике Войшвилло. Как уже отмечалось выше, одной из фундаментальных интуиции, лежащих в основе релевантной логики, является представление о следовании как об отношении информационного толка: Из А логически следует В, если и только если (логическая) информация В составляет часть (логической) информации А. Задача данного параграфа состоит в том, чтобы показать, что определенное стандартным образом в семантике Белнапа отношение логического следования соответствует информационной трактовке следования Е.К. Войшвилло, то есть A? В если и только

16


если 1(B) с 1(A).

Будем исходить из понятия стандартного языка релевантной логики первого уровня со связками л, ?, -i. Рассмотрим бирешетку FOUR2 = < 4, <t, п, и, -, <Ў, П, U, * >, где п, и, - представляют собой пересечение, объединение и дополнение на решетке <4, <t >, а П, U, * - те же операции на решетке <4, <t >. Зададим на ней две функции V и /, понимаемые как функция приписывания значений и функция «информатизации», ставящая каждой формуле в соответствие ее информацию и для произвольных формул А и В определим стандартным образом отношение следования: A\=BiffVv (v(A) <t v(B)).

Для решения поставленной в данном параграфе задачи необходимо доказать основную теорему - показать, что А 1= В <=> V/ (i(B) Q i(A)), то есть, Vv (v(A) <t v(B)) <=> V/ (?(?) i(A)), что достигается через доказательство двух лемм:

ЛЕММА 2.4.1. V/ 3v ((v(A) <t v(B)) =? (i(B) i(A))\

ЛЕММА 2.4.2. Vv 3/ ((i(B) i(A)) => (v(A) <t v(B))).

Третью главу Обобщения первоуровневого следования открывает параграф Мультирешетки и полезная 16-тизначная логика, в котором рассматривается понятие бирешетки. Впервые понятие бирешетки ввел Метью Гинзбург и он же указал, что четырехзначная логика Белнапа задает наименьшую нетривиальную бирешетку. Для определения бирешетки удобнее, следуя М.Фиттингу, начать с понятия пред-бирешетки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.1. Пред-бирешетка — это структура В = <В, <t, <Ў> , где В — непустое множество, a <t, <Ў - отношения частичного порядка такие, что <В, <tЎ> и <В, <i>    представляют собой решетки.

Пред-бирешетка является полной, если для каждого упорядочивания существуют объединение и пересечение.

При этом под <t интуитивно понимается логический порядок, а под <Ў — информационный. Наиболее ясный и простой пример пред-бирешетки представляет би-решетка 4, порождаемая четырьмя полезными значениями Белнапа. Оказалось, что бирешетки весьма полезны для представления неклассических теорий истинности

17


(например, теория С.Крипке), для формализации немонотонных рассуждений и моделирования естественных рассуждений.

В работах Я. Шрамко и X. Ванзинга понятие бирешетки обобщается до понятия мультирешетки. Как оказалось, одна из таких мультирешеток - трирешетка SIXTEENз - позволила обобщить логику Данна-Белнапа до полезной 16-тизначной логики для целой сети белнаповских компьютеров и послужила основой нового перспективного направления в философской логике. Шрамко и Ванзинг развивают компьютерную метафору, задаваясь вопросом, какая логика получится у сервера, коммунипирующего с целой сетью четырехзначных компьютеров. Поиск ответа на этот вопрос приводит к дальнейшему обобщению истинностных значений. В распоряжении сервера должна находиться логика, базирующаяся на 16-тизначном семантическом каркасе, представляющим собой множество-степень множества 4.

Если на множестве 2 можно задать всего один единственный нетривиальный порядок: л <2 и, то множество 4 представляет возможность для определения двух отношений порядка - логического и информационного - и, соответственно, для задания бирешетки. По-другому дело обстоит дело с множеством 16. Кроме информационного порядка, на этом множестве оказывается возможно определить два взаимно независимых отношения порядка по истинности и по лжи.

Для каждого из отношений порядка могут быть заданы свои собственные операции объединения и пересечения, а также на решетке SIXTEENsопределяется несколько инверсий. Таким образом становится возможно использовать обощенный семантический подход для выявления свойств различных операций в рамках единой алгебраической конструкции. Обобщенный язык Ltf включает пропозициональные связки At,v t,—i t, Af,v f,—i f, ассоциированные с соответствующими алгебраическими операциями. Для задания семантики рассматривается функция оценки, понимаемая как отображение множества пропозициональных переменных в множество 16 и стандартным образом распространяемая на произвольные формулы. Логика компьютерной сети любой степени сложности, в частности аксиоматизации отношений   следования, задаваемых через порядок по истинности и по ложности в

языках Lt и Lf соответственно, совпадают с известной системой выводимостей FDE, то

18


есть представляет собой релевантную логику первого уровня.  В выступлении X.

Ванзинга на конференции «Шестые Смирновские чтения по логике» (Москва, 17-19

tf июля   2009)   была   анонсирована   аксиоматизация   системы   FDEt ,   язык   которой

включает оба типа связок.

Развиваемый Шрамко и Ванзингом подход к обобщению релевантной логики имеет, кроме очевидного компьютерного приложения, интересные перспективы для логической семантики и философской логики. Дело в том, что возможность по-разному, независимым образом определить логическое следование (выводимость) в рамках одной формальной системы позволяет не только получать новые обобщенные системы с нетривиальными свойствами, но и открывает новые аспекты весьма актуального сегодня вопроса о том, что же представляет собой символическая логика как наука.

Пусть исходное множество значений V содержит два непустых подмножества: множество  выделенных значений D+ и множество  анти-выделенных значений D .

Структура   <V,   D+,   D,   F>,   известна   как   п-значная   q-матрица   (квази-матрица),

представляющая собой обобщение стандартной логической матрицы для многозначной логики. Это позволяет ввести целый спектр попарно независимых отношений логического следования, в определениях которых используются требования сохранения выделенного значения (от посылок к заключению), сохранения анти-выделейного значения (от заключения к посылкам) и запрета перехода от (анти)-выделенного значения к выделенному (анти-выделенному).

Несмотря на всю новизну и оригинальность обобщений Шрамко и Ванзинга, оказывается, что в истории логической семантики уже были близкие к ним идеи. 20 лет назад в работах Е.Д. Смирновой был предложен обобщенный подход к определению логического следования.

В следующем втором параграфе этой главы Тетрарешетка 8: другой путь обобщения   предлагается   другой   вариант   релевантного   обобщения,   в   качестве

25 [Смирнова 1986, ее. 91-106].

19


стартовой точки которого выбирается трех-элементное множество значений логики Клини.

. Белнаповский компьютер оценивает информацию (отвечает на запросы), исходя из как минимум двух важных в данном контексте предпосылок.

  1. Источники могут сообщить компьютеру информацию, обязательно сопровождающуюся ровно одной оценкой из множества 2 = {True, False}.
  2. Оценка компьютером информации как N является исходной и не может быть приписана никакому высказыванию, полученному компьютером от внешних источников.

Вполне естественно отказаться от, по крайней мере, второй предпосылки. Точнее, заменить ее предпосылкой

2#. Источники могут сообщить компьютеру три оценки информации -True, False и «Не знаю».

Поскольку последнюю оценку интуитивно трудно отнести к множеству told values, а также для избегания путницы с оригинальной терминологией Белнапа, предлагается ниже использовать термин «reported values» для обозначения обобщенного множества 3 «сообщенных значений». Его элементами будут:

а (от asserts), что соответствует ответу «Да»,

d (от denues), что соответствует ответу «Нет», и

и (от uncertainty) - ответ «Не знаю» . Далее от множества 3 мы переходим к его множеству-степени 8 = Р(3) и в нашем распоряжении имеется восемь полезных значений, алгебраическая структура которых позволяет задать четыре независимых отношения порядка: а-порядок, d-порядок, и-порядок, и информационный i-порядок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.1.

Пусть          ха = {zex| z= а},   х'а = {zex| ? Ф а},

х = {zex\z = d},   х~ = {???\???}

хи = {zexI z= u},   x'u= {zex| zФи}.

Тогда x<a y Cн> ха с уа и уа с х'а,

20


x <uy оxaс/и/ex"11,

Получающаяся в результате комбинации четырех полных решеток <8, <а>, <8, <d>, <8, <и> и <8, <Ў> алгебраическая структура, представляет собой тетрарешетку EIGHT4. Решетка EIGHT4 в качестве алгебраического базиса позволяет ввести обобщенный логический каркас для дальнейших построений. Пусть Laнj - базовый язык со связками Aa,v a,-i а, Ad,Vd,-i d- Определим функцию оценки v как отображения множества пропозициональных переменных в множество 8, удовлетворяющее следующим условиям для сложных формул:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.3.

v(A ла В) = v(A) na v(B);v(A Ad В) = v(A) nd v(B);

v(A va В) = v(A) ua v(B);v(A vd B) = v(A) ud v(B);

v(-i aA) = -av(A);v(-i dA) = -dv(A).

Логика, формулируемой в языке La со связками Aa,v a,-i а и определением следования для произвольных формул языка La: А ра В <=> Vv (у(А) v(B)), есть в точности релевантная логика первого уровня FDE. Вполне ожидаемо логика над языком Ld со связками Ad,v ?,—. d и определением d-варианта отношения следования (для произвольных формул языка Ld, А ^?В <?$ Vv (у(В) <d v(A))) оказывается той же самой стандартной первоуровневой релевантной логикой.

В работе рассматривается нестандартная система выводимостей FDE^d, представляющая собой логику со связками, порождаемыми обоими порядками: <а и <d, образующими язык Lad, дополнительно снабженный константой t. Дается ее аксиоматизация, доказывается адекватность.

Последний третий параграф этой главы Классическая (релевантная) паранепротиворечивая и параполная логика посвящен особой гибридной логике получающейся через комбинацию матриц Данна-Белнапа для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с классически заданной импликацией. Выделенными значениями являются Т и В.

21


Предлагается следующий вариант аксиоматизации построенной логики, назовем ее FDEP.

Al.     /1d(Bd4

А2.     (A^(B^Q)^((A^B)^(A^Q);

A3.     ((А=>В)=>А)=>А;

A4.     -п(А=>А)=>В

А5.     -п^А=>А

А6.    A id -i-А

А7.     -п(А з -, (Б з В)) з (^4 з ^(Б з Б))

А8.     (^4 з -п(В з Б)) з -,(,4 з ^(? з ?))

RI.    ?^?, ?^ В

R2.     ЛэВ^ ^Вз^4

Удобно в дальнейшем использовать следующие определения:

DFl.Fopf -п(А=>А)

DF2. AvB c^pf (tIdF)dB

DF3. ?&? c^pf (Л з (Б з F)) з F

DF4. ~A ci>pf Л 3 F.

Логика FDEP является паранепротиворечивой и параполной, но при этом содержит в качестве фрагмента классическую логику высказываний с учетом принятых определений. Доказывается, что класс теорем FDEP совпадает с множеством семантически общезначимых формул.

Второй раздел работы Релевантная логика высокого уровня открывает глава 4 Основные понятия, содержащая необходимую информацию об алгебре, синтаксисе и семантике основных систем релевантной логики. Первый параграф этой главы Алгебра релевантной логики посвящен рассмотрению базовой для релевантной логики высокого уровня алгебраической структуры моноида Деморгана. Моноид Де Моргана это структура <S, п, и, -,, о, e >, где

I.        <S, п, и, -?> - решетка Де Моргана,

22


  1. <S, о, e > - Абелев моноид,
  2. моноид является решеточно упорядоченным, то есть, a (bи с) < (ab) и (ас),
  3. о обладает свойством квадратов, то есть а <аа,

V.          ab<c<ї> а—?с < —Ўb,

VI.       ab<c<ї> a<b-» с.

В следующем втором параграфе Семантика рассматривается в качестве базиса реляционная семантика для системы R. модель системы R представляет собой пятерку ?=<?, R, О, k*>, где К, \, * определяются, как и в семантике FDE, R - трехместное отношение на К (R с К ), выделенный мир О является элементом К (О e К). Формулируются условия наследования и приписывания значений, задаются понятия общезначимости и логического следования.

В параграфе третьем Исчисления приводятся аксиоматические формулировки основных систем релевантной логики. Рассматриваются системы R, Т, Е, мингл-варианты, NR и некоторые другие.

В последнем четвертом параграфе этой главы Комбинаторы и релевантная логика рассматриваются комбинаторы и их связь с доказательствами импликативных формул в релевантной логике. В последнее время достаточно активно исследуется соотношение между импликативными формулами, комбинаторами Карри и некоторыми алгебраическими структурами. Полученные в этой области результаты позволяют применить комбинаторный подход к решению семантических проблем релевантной логики. Комбинаторная логика появилась в работах Шейфинкеля и Карри как эквивалент ?-исчисления Черча и является, по сути, одним из способов представления функции через указание ее значений для произвольного аргумента.

Применение идей комбинаторной логики к классификационному анализу импликативных логик становится возможным благодаря так называемому изоморфизму Карри-Ховарда, устанавливающему соответствие между комбинаторами и доказуемыми импликативными формулами. Изоморфизм Карри-Ховарда имеет свое

видимое воплощение, которое заключается в возможности построения доказательства

23


импликативной формулы по соответствующему комбинатору. В принципе, эта идея достаточно явно содержится в работах самого Х.Карри, который указывал, что каждый комбинатор задает определенную "конструкцию". Под "конструкцией" вполне можно понимать доказательство соответствующей формулы.

Например, аксиоме самодистрибутивности импликации соответствует комбинатор S: Sxyz = xziyz). Если сопоставить переменным шаги доказательства соответствующей формулы, то легко обнаружить, что порядок записи и число переменных слева от знака равенства в точности соответствуют принятым допущениям, в то время как правая часть уравнения представляет собой указание на последовательность применения правила МР. Все это позволяет по структуре доказательства формулы сформулировать соответствующий ей комбинатор и наоборот, по комбинатору восстановить соответствующую ему импликативную формулу.

Главу 5 Логико-семантические исследования открывает 1 параграф Модальность и импликация. В этом параграфе рассматривается вопрос о соотношении систем модальной и релевантной логики, а также о критерии выражения модальных операторов через пропозициональные связки.

С формальной точки зрения, унарный оператор п должен обладать рядом свойств, позволяющих интерпретировать формулу п(Л) как утверждение "необходимо, что Л". К числу желательных свойств следует отнести (N1) ?(?) >??; (N2) п(А —»2О) —>¦ п(А) —>п(.В), к числу нежелательных - (N3) А —>п(Л). Для модальных систем, построенных Льюисом и Лэнгфордом, в качестве такого определения можно принять -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.1. "необходимо, что Л" iff^A ->А.

Однако, оказывается, что в других системах, например системе E релевантной логики, где модальности соответствуют модальностям S4, такое определение не проходит. Это заставляет говорить об еще одном способе определения модальностей через импликацию:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.2. ?? iffА -> А -> А.

24


Имеются еще две эквивалентные между собой возможности для определения модальностей. В языках, содержащих пропозициональную константу t, определение необходимости выглядит следующим образом :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.3.     DA iffi -> А.

В то же время, если рассмотреть системы, получаемые введением пропозициональных кванторов, то оказывается, что, во-первых, константа t определима через квантор общности и импликацию: t iff?\/? —»р), а во-вторых, необходимость получает новое выражение -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.4.     UAiffU\fp{p^p)^A.

Если в качестве определения необходимости использовать все-таки ОПР. 5.1.2., то N1-N4 соответственно примут вид:

1.((А —>А) —» А) —» А - подстановочный случай аксиомы Специального Утверждения ((А А)-> В)^> В,

2.П((А ->А) ?->?)->? (А -+В) ->((В -+В )->В)) - ослабленная Ограниченная Перестановочность;

З.Л —» ((А —» Л) —» Л) - Демодализатор;

4. {А В) -+ ((А -^ В) -^ D А В)) -^Di^ В)) - подстановка в Ограниченное Утверждение.

Таким образом, условие выражения модальности через импликацию в смысле ОПР. 5.1.2. сводится к наличию ослабленных аксиом Утверждения и Ограниченной Перестановочности и отсутствию Демодализатора. Развивая эту идею, можно говорить о минимальной импликативной модальной логике, как об импликативной логике, характеризуемой перечисленными выше условиями.

Во втором параграфе Семантика Войшвилло для системы R предлагается вариант информационной семантики для одной из основных систем релевантной логики. Системы релевантной логики более высокого порядка получаются из языка FDE введением интенсиональной импликации —» и соответствующим переопределением понятия формулы. Информационный подход к таким системам связан с необходимостью установления отношения логического следования между

25


формулами, содержащими вхождения релевантной импликации. А это в свою очередь требует определения информации формул импликативного вида. Таким образом, главная проблема заключается в задании множества МА, где А - формула, содержащая -».

Союз "и" естественного языка, используемый в задании условия ложности для интенсиональных формул импликативного вида языка релевантной логики, следует понимать как утверждение о совместимости истинности антецедента и ложности консеквента, то есть, как метаязыковой аналог интенсиональной конъюнкции (·). Соответственно, искомое определение принимает следующий вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.3.1.

М(А _>я> = (МА *М^ВУ;М<А _>? )= МА ·?^?.

При построении модели для системы R, в качестве исходного пункта используется модель для FDE, в которую добавлена операция совместимости: < М, ·, с, | | >. Кроме того, принимаются следующие постулаты: p.l-р.З. - свойства частичного порядка,

р.4.    асЪ cн>b~с а~;

f.5.     а · b = b · а;

f.6.     а · (b · с) = (а · b) · с;

f.7.     а · (b и с) = (а · b) и (а · с);

pf.8.   аса»а;

pf.9.   (а · Ь) с с <ї> (а · с~) с Ь~.

Доказывается адекватность построенной семантики системе релевантной импликации R.

Последний параграф пятой главы Завершенный Американский план посвящен рассмотрению так называемого «американского» семантического плана для релевантной логики. Предлагается семантика системы R, максимально приближенная к американской. Это означает, во-первых, понимание ложности формулы любого вида как истинности ее отрицания; во-вторых, отсутствие * в условиях истинности формул с отрицанием и импликацией; в-третьих, удаление функции звезды из семантических

26


постулатов.

R-модель ? - это <0, К, R, ?,    |= >, для которой формулируются следующие

определения и семантические постулаты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.1.              а < Ъ о ROab.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.2.              R2abcd о Зх (Rabx & Rxcd).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.3.              R2a(bc)d о Зх (Raxd& Rbcx).

Семантические постулаты:

р.1.              ?????;

р.2.              Rabc=> Rbac;

р.З.              R abed => R a(bc)d;

p.4.              Raaa;

p.5.              Rabc л x < a => Rxbc;

Кроме того, ? удовлетворяет постулату рб-7. RaZ>c => Roxy, где Ъ = у, с = х.

Оценка:                ?(/?,?) = 1о/?е а;

?(?,?) = 0 cн> -,? <? а.

Наследование:      для любых a, bир

1. а<Ь& v(p,a) = 1 ^> v(p,b) = 1;

2.a<b& v(p,a) = 0 => v(p,b) = 0.

Условия истинности (интерпретация) для случая истинности формулируются в точности также, как и в обычной «австралийской» семантике системы R, условия для случая ложности совпадают с классическими для всех связок, кроме импликации: a \=f А —» В cн> 3b3c(Kbca & b |=t А & с |=f В). Определение следование - стандартное. Доказывается адекватность построенной семантики системе R.

В главе 6 Теория чистого релевантного следования подробно рассматриваются основные особенности и некоторые недостатки известных систем релевантной логики. На основании этого анализа предлагается подход к построению новой теории релевантного следования и аксиоматизация этой теории.

27


В первом параграфе этой главы Выбор аксиом обсуждается вопрос об основаниях принятия или отвержения дедуктивных принципов теории следования, относительно систем E и R можно сформулировать утверждение

УТВЕРЖДЕНИЕ   6.1.2.   (Кг):   "Всякое   следствие   закона   тождества   является теоремой".

В этом, состоит определенная парадоксальность релевантной импликации и соответствующего отношения следования. На смену известным предпосылкам о полноте и непротиворечивости, выявленным в информационном подходе Е.К.Войшвилло, приходит предпосылка о, скажем, "самотождественности". Получается, что все положения информационного подхода Е.К.Войшвилло о привнесенной информации при оценке информативности законов классической логики можно применить и к анализу законов релевантной логики.

Кроме того, имеется еще ряд формул, доказуемых в системе ?^., но вызывающих определенные сомнения с интуитивной точки зрения. К их числу в первую очередь относятся —» В) —» ((В —>А) —» —» В)), представляющая собой подстановочный случай закона утверждения консеквента, и —» В) —» ((В -^ А) —» —» А)), также получающаяся подстановкой из явно парадоксальной А —» —» В).

В связи с этим следует упомянуть систему Т^>. В ней не доказуемы парадоксальные релевантные формулы ни одного из упомянутых видов, в этом смысле она являет вполне удовлетворительным кандидатом на выражение понятия релевантной условной связи и, возможно, следования.

Негативные аксиомы релевантной логики не отличаются разнообразием и не варьируются от системы к системе. Вот этот список:

N1. (Cont)       (А -> В) -> (-.В -> -А);

N2. (N1)           (А & -пВ) -> -п(А -> В);

N3. (DNI)        А -> -,^4;

N4. (DNE)        -,^4->А

Наиболее спорной в этом списке выглядит N2. Сомнения вызывает ее "контрапозитивнная"   формулировка   —» В)   —» з В).   Она   сразу   же   делает

28


теоремами все истинно-значные тавтологии классической логики.  В  самом деле, простая подстановка А вместо В в сочетании с modus ponens приводит к закону исключенного третьего, этой архетипичной форме классических тавтологий. Существует целый ряд формул, не противоречащих интуиции, и в то же время не доказуемых в известных релевантных исчислениях.

В первую очередь речь идет о формуле, известной как replacementofdisjoinedconsequent, то есть

RDC              (Л -> (Б v Q) & (? -> D) ->(,4 -> (Dv Q).

Кроме RDC имеются еще как минимум две любопытные формулы.

RCA              (А -> В) & ((В & Q -> D) -> ((А & Q -> D)

- (replacement of conjoined antecedent) в контексте системы R эквивалентна RDC, и точно так же интуитивно приемлема. Формула

Cut                ((А     ->(С     V     В))     &     ((В     &     A)     ->Q)     ->(,4->С)

является самой сильной из приведенных расширений, но также вполне интуитивно допустимой. Ее принятие требует пересмотра правила введения &, и поэтому она, пожалуй, выглядит наиболее проблематично. Как бы то ни было, очевидно, что системы релевантной логики могут быть расширены, по крайней мере, одним из трех дедуктивных принципов.

Первый результат на пути построения теории релевантного следования адекватно применимой для моделирования аргументативных рассужждений будет состоять в "исправлении" системы E и ведет к следующей формулировке исходной системы "of true entailment" ТЕ: Схемы аксиом - I, В, В\ W, CE, CI, DI, DE, Dis, ContЎ , DNE; правило вывода MR

Второй параграф Алгебра ТЕ содержит описание алгебраической структуры, лежащей в основе ТЕ. Подходящая для ТЕ структура может быть получена из моноида Де Моргана, и поэтому будем говорить о псевдо-моноиде Де Моргана, имея в виду алгебру ТЕ.

Итак, псевдо-моноид Де Моргана, это Т= <D, n, u,-i, °, е>, где выполняются свойства 1, 3, 6, а также

29


2.0.       e - единица, то есть e ° а = а;

2.Н.*     о Ь) ос о оС);

2.2.#      (а о Ь) о с о ос);

23*     аоЪ<(аоЪ)оЪ\

5*.        а о Ъ  < с cн> а о -,с  <  -ib cн> Ъ о -,с  <  -,?.

Свойство квадратов (свойство 4 в перечне свойств моноида Де Моргана) отсутствует.

Свойство 5  обеспечивает 7. Кроме того укажем еще ряд полезных свойств: решеточная упорядоченность дает монотонность

(8)          a<Z>=>coa<c°Z>;

а резидуальность - своеобразный "modus ponens" в форме

(9)          а -> b ° а  <  ?>.

Свойство 2.0.  и резидуальность позволяют доказать "теорему следования" - а < Ъ<^> e < a^b.

Учитывая эти производные свойства, постулаты 2.1 -2.3  можно переписать в более привычном "импликативном" виде:

2.1##     а^Ъ  <  (с-> а)-> (с-> ?>);

2.2.##    а^Ъ  <  (Ь -> с) -> -> с);

2.3.##    а^(а^Ь)<  а^Ъ.

В следующем третьем параграфе Теоретико-множественная семантика ТЕ осуществляется построение семантики возможных миров для системы ТЕ. Модель <К, О, R, *, г>, где К Ф 0, О e К, R с К3, *: К -> К,   f= с К ? {Л}.

Определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.1.       а<а        iffROaa.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.2.       R2abcdiffЗх (RabxnRxbc)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.3.       R2a(bc)diff3x (Raxdи Rbcx)

Модель на основе приведенных определений удовлетворяет семантическим постулатам:

30


r.l.        a<a;

r.2.        a < x и Rxbc => Rabc;

r.3.        R2abcd=>R2a(bc)d;

r.4.        R2abcd => R2b(ac)d;

r. 5.        Rabc => Rac *b *;

r.6.        a** = a,

a также условиям:

I. Условие наследования: Для произвольной пропозициональной переменнойр верно, что еслиа |= риа<Ь, то ?> |=/?.

П. Условия истинности формул:

(-i)       а \^-А cн> неверно, что а* \А;

(&)       а\А&Воа\Аиа ^В;

(?)        ?^?? ??[=4 или af=Z?;

(->)      а М -> ? c^ VZ>,c e К ((Rabc и * f*4) => с ^B).

Ниже речь пойдет о семантике системы ТЕ, но если вспомнить о ее t-формулировке, то соответствующее условие примет вид: a \=t сз> О й а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.4.       Формула А истинна в модели iffО |= А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.5.       Из А следует В iffMa e К (а \А => а ^В).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.6.       Формула А общезначима iffА истинна во всякой модели.

Доказываются метатеоремы о семантической непротиворечивости и полноте.

В последнем четвертом параграфе этой главы Комбинаторная семантика ТЕ построена оригинальная семантика системы ТЕ, в основу которой положены идеи о соответствии комбинаторов релеватно-доказуемым импликативным формулам.

Еще РРоутли и Р.Майер замечали, что для тернарного отношения достижимости имеет место следующее соотношение: Rabc<=> а ° Ъ й с . М.Данн и Р.Майер, обсуждая семантические способы представления комбинаторов, приходят к такому соотношению: А°В = {у. За e А, 3 ?? В, Rafiy\, где А, В - некоторые множества. Все

31


это послужило основанием для предположения о том, что в контексте семантики ТЕ можно переформулировать условие истинности для импликативных формул: а \А—>В cн> VZ>, с e К ((с = а о Ъ и Ъ \А) => с f=Z?). Такое определение в некоторой мере напоминает семантический подход А.Уркварта, в основе которого лежит полурешеточная структура.

Алгебраическая структура ТЕ также претерпевает определенные изменения. Теперь это не моноид, а группоид: <D, п, и, -., °>, где

  1. <D, п, и, -?> - решетка Де Моргана;
  2. а о ф и с) = ° Ь) и (а ° с) - решеточная упорядоченность; Ъ.а°Ь <с<^а < Ъ -^ с - резидуальность;

4.  свойства °:

  1. (а о Ь) о с < а о (Ь о с);
  2. (а о Ь) о с < Ъ о (а о с);
  3. а о Ь < (а о Ь) о Ь;

5.а о Ь < с ю> а о —,с < —ib cн> b о —,с < —??.

Комбинаторная семантика ТЕ строится по тому же принципу, что и торетико-множественная. Модель С = <К, ·, #, ||>, где К Ф0, #: К-> К, |Ў= с К х{А}, а · -бинарная операция на К.

Принимаются следующие определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4.1.       (?·?)·? = ?   #3?(?·? = ???·? = ?)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4.2.      ?·(?·?) = ? iff3? (?·? = ???·? = ?).

Семантические постулаты, которым удовлетворяет С, следующие:

с.1. ?·? = ?;

С.2. ?· ? = ? => (? · ?) · ? = ?;

С.З. (? · ?) · ? = ? => ?· (? · ?) = ?;

С.4. (? · ?) · ? = ? ^> ?· (? ·? ) = ?;

С.5. ?·? = ?^?·?=?;

32


сб. ?   = ?. 26

Условия истинности формул:

(-i)       ? |Ў=-u4 cн> неверно, что a* \А;

(&)       a\мfA&B^a\Ana^B;

(v)        a \\A V В<ї>a\A или a f=fi;

(->)      a ||i4 -> Д о ??,? e К ((?? = ? и ? |Ў*4) ^ ? Щ.

Формула А —» В истинна в модели С (С |Ў= А —> В) iffИз А следует В iffУ a e К (а^А^а^В).

Формула А общезначима iffА истинна во всякой модели (VC С|[=Л).

Показано, что комбинаторная семантика адекватна системе ТЕ.

Третий раздел работы Релевантная логика и аргументация состоит из трех глав. Седьмая глава Аргументация и логика открывается параграфом Понятие аргументации.

С середины прошлого века теория аргументации переживает вторую молодость. В то же самое время, несколько парадоксальным образом обнаруживается, что теория аргументации как теоретическая дисциплина до сих пор несмотря на свою многовековую историю так и не сформировалась как строгая и точная наука.

Обосновываемое в диссертации рабочее определение аргументации принимает следующий вид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.1.    Аргументация - это явная речевая деятельность, цель которой - изменить позицию какого-либо субъекта с помощью рассуждений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.2.    Позиция {точка зрения) субъекта - это совокупность предложений, относящихся к какой-либо теме, которые субъект аргументации считает приемлемыми.

Позиция субъекта не однородна, в нее включаются убеждения, мнения, научные знания, иногда заблуждения, верования, ценности и т.п.

Предлагается следующая модель аргументативного процесса. Пусть, позиция субъекта     есть     множество     предложений     естественного     языка,     снабженных

26 Условимся ниже записывать ?? вместо a · ?

33


специальными маркерами, выражающими отношение субъекта к этим предложениям. Тогда для произвольного предложения существуют следующие возможности. Во-первых, оно может включаться в позицию какого-то субъекта или отсутствовать в этой позиции. Во-вторых, если предложение включается в точку зрения субъекта, оно может быть помечено маркером «приемлемо» (что соответствует субъективной интерпретации оценки «истинно» - субъект согласен с данным предложением, он его принимает) или «неприемлемо» (что соответствует субъективной интерпретации оценки «ложно» - субъект не согласен с данным предложением, он его отвергает). Следует заметить, что основания для принятия или отвержения различных возможных компонентов позиции могут быть совершенно разными. Будем считать, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.3. позиция (точка зрения) субъекта изменилась только в том случае, когда какое-либо предложение, включавшееся ранее в позицию, изменило оценку на противоположнную.

Именно такое изменение, по сути, соответствует понятию эффективной (результативной) полемики.

Аргументация всегда направлена изменение точки зрения субъекта, поэтому оправданно различать негативное изменение позиции и позитивное. Под позитивным изменением позиции будем понимать случай, когда субъект под влиянием аргументации поменял маркер какого-то компонента своей точки зрения с «неприемлемо» на «приемлемо». Обратное изменение назовем негативным изменением позиции.

В следующем втором параграфе этой главы Основные подходы к построению теории аргументации рассматриваются основные варианты построения теории аргументации. Сегодня исследователи выделяют несколько направлений и подходов к построению теории аргументации, каждое из которых обладает своими достоинствами и недостатками. Единой общепринятой теории аргументации (в научном смысле этого слова) на сегодняшний день не существует.

Оправданно выделять описательные {дескриптивные) теории, решающие главным   образом   задачи   описания   и   упорядочения   эмпирического   материала,

34


нормативные теории, в которых законы и правила представляют собой обязательные требования для обеспечения корректности и теоретических рассуждений и практических применений, и продуктивные теории, содержащие описания процедур и действий, необходимых для получения определенного результата.

Наиболее характерным представителем нормативной теории аргументации является логический подход. Основные черты логического подхода таковы.

•     Это нормативный подход.

К аргументации применяется оценка «корректно/некорректно», и корректность аргументации трактуется как соответствие определенному идеалу.

•     Это объективистский подход.

Из процесса моделирования практически полностью исключается субъект, а вместе с ним и характеристика аргументации как убедительной. Фактически, убедительность аргументации приравнивается к ее корректности. В результате аргументация трактуется как деятельность по основанию какого-либо высказывания.

Примером описательной теории может служить лингвистический подход О. Дюкро и Ж.-К. Анскомбра, согласно которому любой речевой акт имеет аргументативный аспект. Задачу построения теории аргументации сторонники этого подхода видят в детальном описании и анализе аргументативного дискурса, что в идеале должно обеспечить адекватное понимание любого аргументативного текста. Другой вариант описательного подхода можно найти в работах нашего соотечественника В. Н. Брюшинкина, предложившего системную модель аргументации. Основу системной модели составляет выявление логико-кгнитивно-риторических структур в аргументативном тексте.

И нормативный, и описательный подходы к аргументации позволяют решать достаточно важные задачи, но в принципе не претендуют на создание единой комплексной   теории.   Значительно   плодотворнее   в   этом   отношении   оказались

теоретические   подходы,   условно   названные   продуктивными.   Самый   известный

35


пример продуктивного подхода - это новая риторика X. Перельмана. Краткая характеристика неоритирики такова. Основная цель: представить свою позицию в привлекательном для аудитории виде. Средством достижения этой цели являются многочисленные риторические приемы и варианты неформальных (недедуктивных) рассуждений. В рамках этого подхода корректность аргументации приносится в жертву ее эффективности.

Другой, пожалуй, не менее известный вариант продуктивного подхода, получивший развитие в таких, казалось бы, плохо совместимых сферах, как образовательная тренинговая технология «Парламентские дебаты» и аргументативный подход у искусственному интеллекту, это модель аргументации С. Тулмина.

Где-то между этими полярными позициями находится прагма-диалектический подход, предложенный Франсом Ван Еемереном. В рамках этой теории делается попытка совместить элементы диалектики с нормативным вариантом построения теории. На смену логическому идеалу приходит так называемая модель критической дискуссии, которая «является не только средством определения правильности прохождения дискуссии, но и также и инструментом ее конструктивного анализа». С одной стороны, его отличает от логического явно декларируемая практическая направленность и учет субъекта. С другой, - аргументация в рамках прагма-диалектики оценивается как корректная в соответствии с нормами так называемой рациональной дискуссии.

В следующем третьем параграфе седьмой главы Логика в аргументации акцент сделан на выявлении логической составляющей как непосредственно процессе самой аргументации, так и при ее моделировании. Очевидно, выбор того или иного аппарата моделирования зависит от целого ряда параметров.

Первым среди этих параметров можно назвать цели исследования. В важный аспект, влияющий на выбор аппарата изучения аргументации, связан с комплексной

природой_ самого    феномена   аргументации.    Аргументация   представляет   собой

принципиально неоднородное, «многослойное» образование. Изучение аргументации, по крайней мере, так обстоит дело на сегодняшний день, преимущественно акцентировано на том или ином уровне или слое аргументативного процесса.  В

36


результате использование логических или нелогических средств существенным образом зависит от уровня анализа аргументации. Последним аспектом, влияющим на выбор средств аргументации, наряду с целями моделирования и уровнем аргументации, является концептуальная основа предпринимаемого исследования.

И логика и теория аргументации связаны с анализом рассуждений. Но если для логики рассуждения служат (или, по крайней мере, служили и, возможно, должны служить) объектом изучения, то для теории аргументации рассуждения — это средство, способ изменить позицию противоположной стороны в полемике. Пусть имеется конечное непустое множество пропозициональных форм S, на котором задано формальное отношение выводимости Ь, аналог отношения подтверждения между аргументами и тезисом (Г). Под аргументацией (аргументативным каркасом) обычно понимается некоторое (наименьшее) подмножество S А такое, что А \- Т. На множество А можно накладывать дополнительные ограничения, оно может быть непротиворечивым, замкнутым относительно Ь и т.п. Таким образом аргументация представляет собой тройку <А, Ь, Т>, удовлетворяющую соответствующим условиям. Иногда на множестве S дополнительно задаются еще некоторые отношения. В первую очередь, это отношение «атакует» (attacks) между аргументами. В самом общем виде один аргумент атакует другой, если в составе второго имеется такая подформула (иногда литерал), что ее отрицание выводимо (в смысле Ь) из первого аргумента.

Оказалось, что аргументация и лежащее в ее основе модифицируемые рассуждения представляют собой еще один вариант немонотонных рассуждений, так что вполне естественно, что обращение к логическому анализу аргументации проходило и происходит в более широком контексте формализации немонотонных рассуждений.

Рассматриваются варианты моделирования аргументативных рассуждений, предложенные Дж. Поллоком, Г. Праккеном, Ф. Дунгом, В. Финном.

Глава 8 Обобщенные релевантные модели аргументации объединяет несколько вариантов моделирования аргументации на основе обобщенной релевантной логики.  Первый параграф этой главы Релевантная логика  первого

уровня и естественные рассуждения призван прояснить связь между обобщенной

37


релевантной логикой и моделированием аргументации.

Рассмотрение релевантной логики в качестве базовой модели для аргументативных рассуждений представляется достаточно очевидным. Поскольку при анализе аргументации мы сталкиваемся с содержательными естественными рассуждениями, очевидно, что такие рассуждения должны быть свободны от многочисленных парадоксов классической логики, связанных с формализацией условной связи и логического следования.

Понимание аргументативного обоснования как связи между ситуациями, утверждаемыми в аргументах и тезисе, находит свое развитие в содержательных (неформальных) соображениях о специфике непарадоксального следования, состоящих в трактовке этого отношения как выражающего связь по содержанию (по смыслу) между высказываниями, и естественным образом приводит к формальному построению системы релевантной логики.

Один из вариантов формализации немонотонных аргументативных рассуждений на основе четырехзначной логики (фактически, логики Белнапа, снабженной, по мере необходимости, дополнительным «классическим» отрицанием), был предложен А. Бохманом . В основе этого подхода лежит понятие би-выводимости, представляющее собой фактически комбинацию двух отношений выводимости (следования). Такой подход оказывается в определенном смысле близок идеям Я. Шрамко и X. Ванзинга, обсуждавшимся выше, и может служить примером использования обобщенной релевантной логики для формализации естественных (аргументативных) рассуждений.

Во втором параграфе этой главы Нестандартная 4-значная логика аргументации представлена оригинальная модель аргументации, основанная на логике Данна-Белнапа.

Традиционно считается, что значением предложения (истинностным значением) являются два особых абстрактных объекта - Истина и Ложь. Такая трактовка предложений как знаков языка восходит к работам Г.Фреге. Не обсуждая актуальность

27 См., например, Bochman A. Biconsequence Relations: A Four-Valued Formalism of Reasoning with Inconsistency and Incompleteness, Notre Dame J. Formal Logic Volume 39, Number 1 (1998), 47-73.

38


позиции Фреге в контексте современной логики, обратимся к анализу феномена аргументации. Очевидно следующее. Во-первых, в процессе аргументации используются не только декларативные повествовательные предложения (высказывания), но и оценочные суждения, вопросы и императивы. Во-вторых, даже для стандартных декларативных предложений с четко зафиксированным смыслом и однозначно устанавливаемым истинностным значением оценка в процессе аргументации не сводится к установлению их истинности. Субъект - участник полемики может быть согласен с каким-то положением (принимать его, включать в свою позицию) или не согласен (отвергать, исключать из своей позиции). При этом далеко не всегда оказывается важно, каким - истинным или ложным - на самом деле является это положение. Фактически это означает, что предложение как знак языка получает две параллельные и почти независимые оценки, с одной стороны, в зависимости от соответствия ли не соответствия действительности подразумеваемого в нем положения дел предложение оценивается как истинное или ложное. С другой стороны, в зависимости от исходных установок субъекта и аргументативной поддержки (соотношения аргументов «за» и аргументов «против») высказывание может быть оценено субъектом как приемлемое или неприемлемое.

Если значение предложения - это комплекс (сочетание онтологической и аргументативной составляющих), и если таких составляющих по две (истинно/ложно и приемлемо/неприемлемо), то очевидно, что число их возможных сочетаний-комплексов равно четырем. Примем для обозначения значения «Истина» символ Т, а для обозначения оценки «приемлемо» - знак 1. Пусть исходное множество II состоит из двух элементов: II = {Т, 1}. Вполне естественно отождествить наши новые значения-комплексы с элементами множества всех подмножеств П. Тогда Р(П) = {{Т, 1}, {Т}, {1}, 0}. Для дальнейшего рассмотрения удобно определить следование для произвольны позитивных формул языка Lav .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2.3.

А 1= В iffVv(v(A) v(B)X тжх<ьу iffxюzy.

Оказывается, что развиваемая биполярная оценка высказываний открывает новые

возможности    для     определения     отрицания.     Первый    вариант,     назовем     его

39


«онтологическим», состоит в понимании отрицания как связки, меняющей истинностное значение высказывания на противоположное. При этом аргументативная составляющая значения никак не затрагивается. Второе полу-отрицание представляет собой чисто «аргументативную» связку, меняющую аргументативную оценку и не затрагивающую онтологическую. Получившаяся в результате суперпозиции двух полу-отрицаний связка является полноценным классическим отрицанием.

Итак, для получения семантической логики аргументации рассмотрим в качестве модели решетку A4, снабженную унарной операцией полу-дополнение! и функцией оценки v. <Р(П), П, U, —ь ?>, где V/?Ў(v(/?i) e Р(П). В окончательном виде определение оценки для произвольной формулы принимает вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2.4.

v(A А В) = v(A) П v(B); v(A VB) = v(A) U v(B); уЫ) = -AA).

В работе предложена аксиоматизация отношения следования для данной логики аргументации.

Третий параграф восьмой главы Полезная 6-значная логика аргументации содержит обобщение четырех-значной логики Данна-Белнапа. Согласно развиваемому в работе подходу, любое положение (А) по отношению к точке зрения некоторого субъекта по некоторой теме может быть отмечено трояко. Таким образом, «субъективная» функция оценки v задает отображение из множества пар {<положение, позиция>} в множество 3. В качестве значений выберем подмножество множества 3 , состоящее из шести элементов:

t

<+,+>.

- «взаимоприемлемо»

т

<+,0> ¦

¦ «односторонне приемлемо»

в

<+,-> -

¦ «противоречиво»

N

<0,0> -

«нейтрально»

F

<0,->

- «односторонне неприемлемо»

f

<—> -

¦ «взаимонеприемлемо»

Далее будем обозначать это множество как 6. Условие приписывания значений

40


для отрицания задается таблично:

А

t

f

Т

F

В

В

N

N

F

Т

f

t.

Конъюнкция, как обычно, понимается как минимум значений ее составляющих. Примем, что функция оценки v6 ставит каждому положению, представленному в процессе аргументации, элемент из множества 6. Тогда определение корректного аргументативного перехода примет следующий вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3.1.      А > В <^> Vv6 (v6(A) <6 v6(B)).

Доказывается утверждение о совпадении новой шести-значной логики и четырехзначной логики Данна-Белнапа.

Последний четвертый параграф этой главы Обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации посвящен конструированию модели полемического взаимодействия двух субъектов. Рассматривается самый простой вариант такой модели для так называемой двух-субъектной аргументации, основанной на множестве 3 . Естественно распространить оценку комплексных (сложных) положений на элементы множества 9. Сделаем это покомпонентно, учитывая оценки, данные этим положениям каждым субъектом:

<аь а2> л <??9 ?2> = <?? & ??, а2 & ?2>;

<аь а2> V <??9 ?2> = <?? ? ??, ?2 ? ?2>;

-1<аь ?2> = <~аь ~?2>.

В результате получаем так называемую решетку 9. Интересная особенность этой решетки состоит в том, что ее можно рассматривать как би-решетку. В нашем случае порядок «снизу — вверх» с наименьшим элементом f и наибольшим t является логическим порядком, а второй порядок «слева — направо» характеризует изменение

41


в позициях субъекта от одного противоречия до другого, что соответствует максимальной смене позиций. Это сразу же предоставляет возможность для разведения двух базовых типов оценки аргументации — ее логической корректности и ее эффективности (в смысле изменения позиции субъекта).

Развиваемый формализм позволяет принять целый ряд полезных определений.

Пусть L - множество литералов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.1 S - множество возможных выступлений, удовлетворяющее следующим условиям:

  1. S*0;
  2. Vнн^eS^SнcL);

(53)              У Si Vpj (-,pj <? Si ИЛИ Pj ? Si).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.2.         Множество реальных выступлений Sr - это такое

подмножество S, что для всяких sh Sj e Sr имеет место s,- < s, <=> j = i + 1, удовлетворяющее условиям:

(RI)        ? Sj (sj e Sr и —.? Sj (s,-< ?/)) - существование первого выступления;

(R2)        ? st (st e Sr и —.? sЎ (st<sЎ )) - существование последнего выступления.

Пусть теперь Wr ^ Sr - множество реальных стадий аргументации, задаваемых индуктивно:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.4

(W1)     <sj,s2> e Wr;

(W2)     <s„.j,s„> e Wr => <s„,s„+1> e Wr, где n + 1 < t. Дополнительно введем специальную итоговую стадию аргументации - Wf, такую что Wf g Wr. Итоговая стадия отличается от последней стадии (Wt) и конструируется посредством специальной процедуры финализации.

Итак,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.5.     аргументативный фрейм ? это структура <L, S, Sr, Si,

S2, sh 5/>W, Wf >, удовлетворяющая сформулированным выше определениям и

42


условиям.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.6.     Пусть ? - функция оценки, которая каждой пропозициональной переменной в каждом выступлении (возможном или реальном) ставит в соответствие элемент множества 3.

v(p,sf) = + iff рe su

v(p,sї) = - iff^p e su

V(p, SМ) = 0   iff p <? SiH^p<? Si.

Стандартным образом оценка распространяется на произвольную формулу А.

Ассоциированная с оценкой функция приписывания значений || задается уже не на выступлениях субъектов, а на стадиях полемики, и представляет собой отображение из множества пар пропозициональных переменных и стадий полемики (в свою очередь представляющих собой пары выступлений двух разных субъектов) в множество 9.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.9.     Структура 74= < ?, v, ||>представляет собой модель

аргументации.

Построенная модель аргументации не является в чистом виде логической, скорее она может быть охарактеризован как «пред-программный» продукт, поскольку ее задача - строго описать процесс реальной полемики и предложить формально эксплицируемые параметры и критерии оценки аргументации, что в большей степени соответствует парадигме логического программирования и искусственного интеллекта, чем логики.

Последняя девятая глава диссертационной работы Понятие как (релевантная) функция посвящена анализу понятийных структур, используемых в естественных рассуждениях. Начинается этот анализ в первом параграфе Логические теории понятия Фреге и Войшвилло с рассмотрения основных подходов к содержательной трактовке и формальной экспликации понятия.

В современной отечественной логической традиции превалирует концепция понятия   Е.К.   Войшвилло,   активно   разрабатываемая   В.А.   Бочаровым   и   В.И.

43


Маркиным. Несомненным достоинством этой трактовки понятия является тот факт, что благодаря работам Войшвилло, Бочарова и Маркина теория понятия стала частью курса современной логики, для ее изложения используется аппарат символической логики, обеспечивающий не только точность и однозначность построений, но и возможность практических приложений теории понятия в логике и методологии научного познания.

По Е.К. Войшвилло, «понятие как форма (вид) мысли, или мысленное образование, есть результат обобщения предметов некоторого класса и мысленного выделения самого этого класса по определенной совокупности общих для предметов этого класса - и в совокупности отличительных для них - признаков» . Примерно также понятие определяют В.А. Бочаров и В.И. Маркин. По Войшвилло, понятие представляет собой смыл общего имени, соответственно знаковыми формами для выражения понятий служат общие описательные имена. Говоря о языковой форме выражения понятий, Бочаров и Маркин указывают на универсалии - языковые конструкции вида: <??, аг,..., ??>?(??, аг,..., а„), где префикс в угловых скобках указывает на род (универсум) предметов, а выражение А(а\, аг,..., а„) - на видовое отличие. Понятие трактуется как смысл универсалии.

Согласно подходу Фреге, понятие представляет собой одноместную функцию, значением которой является истинностное значение. Понятие как особая разновидность функции играет фундаментальную роль в онтологии Фреге, состоящей из двух типов сущностей: объектов (включающих «Истинное» и «Ложное») и функций. Сильной стороной фрегевского понимания понятия является «встраиваемость» теории понятия в современное понимание логики. Примерно та же онтология, схожая трактовка смысла и значения языковых выражений продуцируют сходство подходов к теории семантических категорий и функциональному анализу языка.

Во втором параграфе девятой главы Понятие и бестиповое лямбда-исчисление развивается формализм бестипового лямбда-исчисления для представления понятий.

28 Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеологический анализ. М., 1989 с. 93-

44


Будем, следуя Фреге, понимать понятия как специфические функции, которые из исходного множества-универсума выбирают предметы по определенному признаку (закону). Такой подход позволяет трактовать понятийные функции как предметно-истинностные. При этом область определения предметно-истинностной функции представляет собой универсум соответствующего понятия, область истинности (т.е. подмножество области определения, на котором функция принимает значение "истина") - объем понятия, а предикатор - содержание понятия.

Для выражения понятийных конструкций естественного языка средствами символического языка можно использовать аппарат ?-абстракций. Пусть ?? . А (а) -синтаксическая формальная запись для понятия. Для сравнения атрибутивных и понятийных форм высказываний обогатим язык логики предикатов дополнительной операцией применения (функции к аргументу), называемой также аппликацией. Зададим аппликацию на множестве пар <лямбда-терм, константа>, ставящую им в соответствие формулы языка логики предикатов. Выражение вида ?<??, ..., ?„>?(??, ..., х„) · kj, ..., к„ будем понимать как формальную экспликацию процедуры подведения предметов, обозначенных константами к], ..., к„, под понятие ?<??, ..., ?„>?(??, ..., х„). Аппликативные формулы, полученные из предикатно-функциональных и реляционно-функциональных абстрактов, как раз и представляют формальную запись понятийных высказываний. Их соотношение с обычными предикативными высказываниями устанавливает известное в комбинаторной алгебре требование ?-конверсии: X<Xj, ...,хгр-А(х1, ...,хп) · кь ..., кп=А (хь ...,хпIкь ..., кп).

Последний третий параграф этой главы Понятия и типовое лямбда исчисление представляет попытку построения исчисления понятий.

Рассмотрим вариант языка, содержащий индивидные переменные и константы, функциональные переменные и константы, специальные переменные по типам, символы лямбда-абстракции, функционального отображения (импликации —>) и аппликации (приложения »)а также технические символы.

Пусть к], ..., к„-метапеременные для констант, vЎ, ..., vm- метапеременные для переменных, a AЎ, ...,Ag— метапеременные для типов.

45


Терм (t)

  1. Произвольная переменная есть терм.
  2. Произвольная константа есть терм.
  3. Если ti и ?2 - термы, то ti*i2 - терм.
  4. Если ti- терм, a v - переменная, то ??. ti - терм.

Понятийный терм (П)

  1. Произвольная переменная есть понятийный терм.
  2. Если к - функциональная константа, a v - индивидная переменная, то к · v есть понятийный терм.
  3. Если V - функциональная переменная, а к - индивидная константа, то v · к есть понятийный терм.

Тип

  1. Произвольная переменная по типам есть тип.
  2. Если А, В - типы, то (А —> В) есть тип. Формула (Ф)

Если t - терм, а А - тип, ???:?-формула.

ПРАВИЛА ВЫВОДА:

Правила введение/исключения

—>в:                t : В [Г, у : А], где v свободна в t

??.?: -> В) [Г]

^и:               ?,: А -^В [Г1 h : A [?1

Ut2: В [Г, ?]

Правило перестановки характеристик

Per              Ф ??,?,?,??

Ф [?,?,?,?]

Правила аппликации

АррВ          Ху.Ы : В ГП

k(vt) : В [Г]

46


AppC          Iv.vkt : В ГП

(yt)k : В [Г]

Appi            ?(??)? : В ГП

??? : В [Г],   где ? и ? -произвольные термы или пустые символы.

Теоремой системы является формула с пустой характеристикой зависимости.

Построенное исчисление в первую очередь задумывалось как исчисление понятий, позволяющее формализовать процедуру подведения предмета под понятие, лежащую в основе образования так называемых понятийных форм высказываний. При бестиповом подходе эта процедура соответствовала ?-конверсии. Такая формальная экспликация позволяет решить сразу две проблемы: во-первых, впервые в теории понятия удается учесть процедурный подход, описав, как образуются понятийные формы высказываний, во-вторых, четко и однозначно решить вопрос о соотношении понятийных и предикативных форм высказываний, постулировав сводимость первых ко вторым.

В Заключении диссертации подводятся итоги исследования, формулируются полученные результаты и намечаются перспективы дальнейших исследований.

По диссертации соискателем опубликованы следующие работы: Монография

Зайцев Д.В. Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений, М.: Креативная экономика, 2010, 312 с. (13,3 а.л.)

Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

  1. Зайцев Д.В. Релевантное отрицание и воображаемая логика Васильева // ж. "Вестник МГУ", сер.7, 1993, N5
  2. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования I: Аксиоматика // Логические исследования. Вып.5., М., 1998 (119-128)
  3. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования II: Семантика // Логические исследования. Вып.6., М., 1999 (109-115)
  4. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования III: Семантика // Логические исследования. Вып.8., М., 2001 (38-50)

47


  1. Зайцев Д.В. Оценка аргументации: би-решеточная модель // Вестник Российского государственного университета им. Иммануила Канта. Вып. 6: Сер. Гуманитарные науки, Калининград, 2008 (11-17)
  2. Зайцев Д.В. Философская логика и аргументация // ж. «Полигнозис», М., 2009 (34) №1,(3-11)
  3. Зайцев Д.В. Обобщенные модели рассуждений, инференциальная многозначность и квази-матрицы // ж. «Полигнозис», М., 2010 (38) №1-2, (116-125)
  4. Zaitsev D.V. Yet Another Semantics for First-Degree Entailment // Bulletin of the section of logic, vol.27, number 1/2, March-June 1998 (63-65)
  5. Zaitsev D.V Two Variations on the Theme of "Useful Four-Valued Logic" // Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing, Volume 11, Number 3-4, 2005
  6. Zaitsev D.V. A few more usefull 8-valied logics for reasoning with tetralattice EIGHT4 // Studia Logica (2009) 92: 265-280

Статьи

1.   Зайцев Д.В., Зайцева Н.В. Moroz и солнце. Интерсубъективность в

аргументации // В кн.: Мысль. Ежегодник С.-Петербургского философского

общества, №6 (Аргументация), СПб., 2006

  1. Зайцев Д.В., Сидоренко Е.А. Релевантная логика // Новая философская энциклопедия, М. 2001 (434-435)
  2. Зайцев Д.В., Шрамко Я.В. Логическое следование и выделенные значения // Логические исследования. Вып.П., М., 2004 (126-138)
  3. Зайцев Д.В. Содержательная семантика системы Е, понятия реального и идеального типа и вопрос об экспликации противоречия познания в методологии науки // Логико-философские исследования, вып. 1, М., 1989
  4. Зайцев Д.В. Интенсиональная конъюнкция и следование // Логико-философские исследования, вып.2, М., 1991
  5. Зайцев Д.В. Модальности и импликация // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН, М., 1998 (85-91)
  6. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования II: Семантика // Логические исследования. Вып.6., М., 1999 (109-115)
  7. Зайцев Д.В. Отрицание // Новая философская энциклопедия, М. 2001 (180)
  8. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования III: Семантика // Логические исследования. Вып.8., М., 2001 (38-50)
  9. Зайцев Д.В. Понятие: функциональный подход // Я. (А. Слинин) и Мы: к 70-летию профессора Ярослава Анатольевича Слинина. СПб, 2002, ее. 169-178.

48


11. Зайцев Д.В. Информационная семантика системы R // Логико-философские

штудии-2, СПб, 2003 (47-56)

12. Зайцев Д.В. Релевантная логика понятий // Логика и В.Е.К.: Сб. Науч. тр.: К 90-

летию со дня рождения проф. Войшвилло Евгения Казимировича. М., 2003

(130-138)

11. Зайцев Д.В. Логика и аргументация // Модели рассуждений - 1, Калининград,

2007 (17-36)

  1. Зайцев Д.В. Обобщенная семантическая модель двухсубъектной аргументации // Модели рассуждений - 2, Калининград, 2008 (78-96)
  2. Зайцев Д.В Аргументативные рассуждения и логика // Миссия интеллектуала в современном обществе: Сб. статей / Ред. Кол.: Ю.Н. Солонин (пред) - Спб.: Изд-во С-Петерб. Ун-та, 2008. С. 446-460
  3. Зайцев Д.В. Истина, следование и современная логика // Логическая семантика: перспективы для философии языка и эпистемологии: Сборник научных статей, посвященный юбилею Е.Д. Смирновой / Отв. Ред. Е.Г. Драгалина-Черная и Д.В. Зайцев, М.: Креативная экономика, 2011, сс109-125.
  4. Dmitry Zaitsev and Oleg Grigoriev: Relevant Generalization Starts Here (and Here = 2) // Logic and Logical Philosophy, Vol. 19 (2010), 329-340

49

 





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.