WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема

Автореферат докторской диссертации по философии

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

 

На правах рукописи

 

Бычков

 Сергей Николаевич

Генезис теоретической математики

как историко-научная и историко-философская проблема

Специальность 09.00.08 – философия науки и техники

 

 

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора философских наук

 

Москва – 2008


Работа выполнена на кафедре философии естественных факультетов философского факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

 

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук                                 С.С. Демидов

Доктор философских наук, профессор                               В.И. Метлов

Доктор философских наук, профессор                               А.А. Печенкин

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

Защита состоится  «18» июня 2008 г. в 1625

на заседании Диссертационного совета по философским наукам Д.501.001.37 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова

по адресу: 119991, Москва, Ломоносовский проспект, 27, корпус 4, зал заседаний Ученого совета (ауд. А 518).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (119991, Москва, Ленинские горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов)

Автореферат разослан  «   »      марта   2008 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета                                               Е.В. Брызгалина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей. Осо­бый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном слу­чае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникнове­нии науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон стро­гости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой и идеал научности многие столе­тия формировался по математическому образцу.

Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики. Для современной мате­матики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т.д. Когда применяют эти словосо­четания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой матема­тической науки занимаются граждане России, США, Франции и т.д. Между тем в древние времена ситуация была существенно иной. Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определен­ное единство. Напротив, математические знания ученых Древней Греции от­личались более систематизированным и абстрактным характером. До сих пор геометрию во всём мире учат в соответствии с принципами, разработан­ными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представ­ляет сегодня исключительно историко-научный интерес.

Важно и то, что современная математика считает своей прародительни­цей именно греческую математику, которая по всем параметрам противопо­ложна математике стран Востока. В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры.

Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической ма­тематики в Древней Греции описывается в классических монографиях Б.Л. Ван дер Вардена и А. Сабо . Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедук­тивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её реше­ния, был А.Н. Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом соче­тались занятия математикой и интерес к истории. В известной энциклопеди­ческой статье «Математика», опубликованной в 1938 г., он связал первые попытки систематического построения математической теории с более раз­-

витой общественно-политической и культурной жизнью греческих госу­дарств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров пер­вым осознал реконструкцию картины возникновения теоретической матема­тики как проблему не внутриматематическую и не абстрактно-философскую, а как историко-научную проблему, которая именно так должна ставиться и решаться. При этом подлинная причина возникновения теоретической мате­матики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями.

О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А.Д. Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный – внутриматематический – способ объяснения, связывая появление теоретического способа вывода но­вых результатов и первых математических доказательств с накоплением ма­тематических знаний, с установлением зависимости между получаемыми ре­зультатами и унификацией правил решения задач.

Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теорети­ческой математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим. Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж.-П. Вернана, И.Н. Лосевой, А.Г. Барабашева, А.И. Зайцева, М.К. Петрова, В.М. Розина, В.С. Степина .

Среди исследователей данной проблемы, большинство которых явля­ются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответ­ствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древ­ней Греции VI–IV вв. до н.э. следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации. Ищутся те или иные факторы социокультурного ха­рактера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции. В числе специфических предпосылок, обусло­вивших возможность зарождения теоретической науки в Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненасле­дуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы.

Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе её решения. Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук. В подобной ситуации ис­следователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины – реконструкции. Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках ме­тодологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факто­ров, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством. Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструк­ции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой.

Предмет диссертационного исследования – воссоздание процесса воз­никновения теоретической математики в Древней Греции VI–IV вв. до н.э. в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Со­крата, Платона, Аристотеля и стоиков.

Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования – найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI–IV вв. до н.э. и в то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока.

Автор ставит перед собой следующие задачи:

  • Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на a priori выставленные гипотезы.
  • Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук.
  • Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фи­гур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала.
  • Проанализировать процесс формирования идеала теоретического зна­ния в древнегреческой математике.
  • Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания.
  • Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.
  • Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподава­нии математических дисциплин.
  • Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем. 
  • Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых понятий античной философии: «Ум-перводвига-тель», «смысл», «символ», «метафора».

Методологическая основа исследования вытекает из его первооче­редной задачи – попытки найти такой способ отыскания внешних по отно­шению к математике социокультурных предпосылок её возникновения, ко­торый, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как тако­вой. Такой способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-ак­сиоматического метода, выделяющего его среди всех других способов сис­тематизации научного знания.

Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» не­которой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматиче­ски сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к кри­тике. Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния историко-научной проблемы.

Во главу исследования поставлен один-единственный факт – уникаль­ность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсут­ствия аналогов в науке древневосточных цивилизаций. Анализ этого исто­рико-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения ак­сиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску по­добных – названных формальными – предпосылок. Данная идея возникает как бы способом «от противного»: мы не имеем никаких гарантий, что в ре­зультате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет.

Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необхо­димости в привлечении извне каких-либо общих методологических пред­ставлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала. По­следнее немаловажно по той причине, что формирование европейской фило­софии, начиная с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождав­шейся в то же время теоретической математики. Лишь отказавшись от ис­пользования современной методологии для решения рассматриваемой про­блемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доми­нирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической мате­матики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных исследований. Возможно, тема настоящей диссертационной работы – един­ственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной. В проблеме генезиса теоретической матема­тики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер.

Положения, выносимые на защиту, и их новизна.

1. Показано, что аксиоматический метод принципиально не может заро­диться в рамках практически ориентированной системы знаний. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знаний. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоре­тический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий ис­торическому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникно­вения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.

2. Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полу­ченному результату (например, исходя из потребностей максимально ком­пактного изложения материала в учебных целях). Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простей­ших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на аб­страктно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления со­фистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.

3. Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и ко­гда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эл­лады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых. Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планимет­рии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь за­меной реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.

Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объектив­ной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бур­баки данного метода основой для построения всего математического знания.

4. Показано, что превращение прикладных геометрических знаний егип­тян в теоретическую науку произошло не в сознании греческих математиков, а в более широком целом – жизнедеятельности всей эллинской цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчи­нены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных кон­струкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемер­ного искусства – единственно возможный способ усвоения мудрости древ­нейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограни­ченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения со­циокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии – способности души воспринимать форму тела без его материи. В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измери­тельного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные по­требностями общественной жизни, могли привести к возникновению соот­ветствующих представлений о невещественных геометрических объектах.

5. Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса ан­тичного полиса. Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её по­литического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.

Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и условиях своего возникновения делает её особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).

6. Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи – овладе­ния искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж. Дьедонне при пересмотре со­держания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и пере­воде его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации преиму­ществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линей­ной алгебры. Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядно­сти как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.

7. Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования спо­собности естественного интеллекта производить операцию целенаправлен­ного отбора имеющихся сведений в соответствии с предъявляемой для ре­шения задачей.

Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к тех­нической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способ­ность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не раз­вивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искус­ственного интеллекта».

8. Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представления об идеальных объектах и таких её понятий, как «смысл», «символ», «метафора».

Новизна полученного результата заключается в демонстрации социо­культурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих исто­рико-научных исследований. Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративи­стике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей. Ма­териалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации на­шли отражение в 39 научных публикациях автора. Результаты работы неод­нократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах, использованы в чтении учебных курсов и написании учебного пособия по математике для студентов гуманитарных специальностей.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 307 страницах машинописного текста; состоит из введения, 3 глав, заключения, списка ли­тературы (на с. 276–305), включающего 394 источника (из них 308 – на рус­ском и 86 – на иностранных языках) и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

 

Введение обосновывает актуальность темы и показывает степень и ха­рактер её разработанности, содержат постановку задачи исследования как историко-научной проблемы. В этой части работы сформулированы эле­менты новизны и положения, выносимые на защиту, а также охарактеризо­вана значимость проведенного исследования.

В первой главе «Формальные предпосылки возникновения дедук­тивной науки» разрабатывается подход к построению реконструкции гене­зиса теоретической математики, исключающий необходимость обращения к тем или иным априорным гипотезам исторического характера, на которые обычно опираются исследования данной проблемы.

В первом параграфе «Исторические и формальные предпосылки воз­никновения древнегреческой геометрии» предметом анализа становится, прежде всего, сама целесообразность привлечения понятия предпосылки для построения исторической реконструкции процесса превращения математики в науку с присущим ей дедуктивным выведением теорем из определений и аксиом. Доминирование на протяжении тысячелетий в математике аксиома­тического метода приучило к мысли о естественности подобного способа ор­ганизации знания, что и было, по существу, зафиксировано А.Д. Александ-ровым: «…наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретические способы вывода новых результатов и пер­вые математические доказательства. В конечном итоге это привело к качест­венному скачку: сложилась чистая математика с ее дедуктивным методом» . Ясно, что объяснение возникновения дедуктивной математики посредством применения закона перехода количественных изменений в качественные не требует отыскания каких-либо особых предпосылок исторического процесса преобразования математического знания на принципах логического вывода: всё происходит совершенно автоматически под напором разрастающегося объема сведений, вследствие чего конкретно-исторические особенности раз­вития математики в той или иной цивилизации не должны играть никакой роли. Вместе с тем, объем математических сведений, накопленных в средние века в Индии и Китае, был сопоставим с познаниями древних греков IV в. до н. э. – времени возникновения аксиоматического способа построения знания. Следовательно, в своем исходном виде гипотеза Александрова не в состоя­нии дать удовлетворительное объяснение сугубо греческому происхождению дедуктивной математики. В параграфе показывается, что попытки модифи­цировать данную гипотезу неизбежно приводят к поиску причин, лежащих за пределами математики как таковой, а это и означает необходимость оты­скания специфических «греческих» предпосылок возникновения дедуктив­ного способа рассуждений.

Социокультурные концепции генезиса теоретической математики, наи­более ранняя из которых была предложена А.Н. Колмогоровым, в конечном счете, сводятся к выделению среди особенностей античной цивилизации од­ного или нескольких признаков, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме и характерных для одной только Эллады. Таким способом можно надеяться одновременно объяснить как зарождение дедуктивной математики именно в Греции, так и отсутствие подобного способа систематизации мате­матического знания в других древних цивилизациях.

Этому способу присущ важный с методологической точки зрения не­достаток: при абстрагировании из конкретной исторической ситуации Гре­ции VI–IV вв. до н. э. одного или нескольких признаков, внешних по отно­шению к математике, но являющихся существенными – по замыслу исследо­вания – для её преобразования в теоретическую дедуктивную науку, мы ли­шены в самый момент абстрагирования какого-либо объективного критерия для предпочтения одних признаков по отношению к другим возможным их выборам. Данное обстоятельство и приводит к появлению множества более или менее правдоподобных реконструкций, ни одной из которых нельзя от­дать решительного предпочтения перед остальными.

Выход из данной ситуации можно искать только на одном пути, стре­мясь произвести отбор тех или иных предпосылок из наличной картины ис­торической действительности Греции VI–IV вв. до н. э. на основе строго объек­тивного критерия, внешнего по отношению к истории как таковой. По­добный критерий можно «извлечь» только из анализа «идеи» дедуктивно-ак­сиоматического метода. Иного «источника» просто не существует.

В качестве критерия для различения дедуктивно организованной сис­темы знания от недедуктивной науки можно взять образную характеристику специфики аксиоматического метода, принадлежащую С.А. Яновской: «Ма­тематик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в оп­ределении и не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, ко­торым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредст­венно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кегель руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т.е. строго соблюдая все пра­вила игры» . Сущность приведенной характеристики аксиоматического ме­тода заключается в том, что в соответствии с ней всякая дедуктивная наука должна «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополни­тельного подтверждения собственных предложений сравнением с действи­тельностью. Исходя из этого и можно попытаться отыскать интересующие нас предпосылки возникновения дедуктивной математики.

Так как целесообразная деятельность по воспроизведению и прираще­нию содержания уже сформировавшейся дедуктивной науки не зависит от времени и места её протекания, то и найденные на этом пути предпосылки будут лишены «исторической плоти» и потому будут носить сугубо фор­мальный характер. По этой причине их естественно назвать формальными предпосылками возникновения дедуктивной математики. Вместе с тем их нельзя противопоставлять историческим предпосылкам в собственном смысле этого слова. Каждая формальная предпосылка является потенци­ально также и исторической предпосылкой, но оказаться таковой она может только после дополнения теоретического анализа конкретным историческим исследованием. Формальные предпосылки призваны играть роль того самого критерия, на основе которого выбор исторических предпосылок может быть осуществлен объективным образом. Самой простой и абстрактной среди них должна быть та, которая отражает связь (или отсутствие таковой) между де­дуктивным способом построения теории, в максимальной степени изоли­рующим её утверждения от воздействия чув­ственно воспринимаемой реаль­ности, и практической деятельностью, кото­рая в эту реальность погружена.

Второй параграф «Дедуктивный метод и практика» посвящен анализу возможности зарождения идеи аксиоматического способа построения знания в рамках прикладной науки. Деятельность ученого, занимающегося исследо­ваниями практической направленности, подчинена схеме: делопонятиедело. И исходный, и конечный пункт работы исследователя-прикладника об­ращены к реальности, что исключает, казалось бы, саму возможность воз­никновения свойственной дедуктивным наукам противоположной установки на ограничение контактов с действительностью только стадией формулиро­вания исходных основоположений теории. Тем не менее, и здесь могут встретиться ситуации, когда будет востребована идеология аксиоматиче­ского метода.

Во-первых, она может оказаться полезной на заключительной стадии проверки прикладных разработок, если логические рассуждения окажутся в состоянии заменить проведение реального эксперимента, который может быть затруднен из-за большой стоимости или каких-либо иных причин. Во-вторых, не исключено, что она могла бы помочь в процессе проектирования новых разработок.

В параграфе показывается, что, несмотря на возможную полезность ло­гической дедукции в задачах прикладного содержания, зародиться идея вы­вода сложных утверждений из принятых без доказательства основоположе­ний в рамках практической деятельности всё же никак не может. Косвенно на это указывает отсутствие на сегодняшний день успешных примеров при­менения аксиоматического метода как в первом, так и во втором перечис­ленных случаях.

Действительной причиной отсутствия успехов в первом случае при этом оказывается принципиальная невозможность учета общей физической тео­рией всех особенностей поведения сконструированной технической новинки в сложных внешних условиях. Качественная новизна воплощенных в объ­екте технических идей вынуждает осуществлять проверку не в мысленном или компьютерном, а в реальном эксперименте. А это и означает, что на ста­дии проверки правильности разработанных практических предписаний при­менение аксиоматического метода не сулит никаких реальных выгод. При­чиной неудач попыток применения аксиоматического метода в задачах про­ектирования оказывается максимально «недедуктивный» характер операции синтеза: если построение проекта содержит 10 отдельных шагов, то на каж­дом шаге, т.е. 10 раз, приходится привлекать информацию, не заложенную с самого начала в исходные основоположения дедуктивной теории, построен­ной специально для осуществления синтеза плана.

Тем самым показано, что подлинный источник становления дедуктив­ного метода может быть найден только в теоретической сфере деятельности, ценность и значение которой не зависят от наличия сиюминутной выгоды, определяясь факторами иного – не материального – характера. Наличие тео­ретической сферы «знания ради знания» становится, таким образом, первой формальной предпосылкой возникновения дедуктивного метода.

В третьем параграфе «Стихийность и сознательность в возникновении аксиоматического метода» рассматривается вопрос о возможности зарожде­ния идеи аксиоматического способа построения знания в качестве побочного продукта действий, имеющих внешний характер по отношению к данному результату (именно так возникает дедуктивный метод согласно концепции А.Д. Александрова).

В первой части параграфа показано, что исключение повторов в изло­жении учебного материала с целью достижения максимальной его компакт­ности недостаточно для автоматического преобразования какой-либо об­ласти знания в дедуктивную науку.

Во второй части параграфа показано, что в действительности основная функция дедуктивного метода не прагматическая (как выглядит дело в «учебной» концепции его возникновения), а идеологическая, когда на пер­вый план выходит задача сужения возможностей для оспаривания предъяв­ляемых выводов со стороны оппонентов теории. Наиболее эффективным средством защиты конкретного утверждения теории является предваритель­ная формулировка всех используемых в нем без доказательства фактов до формулировки результата и реального осуществления рассуждения.

В случае, когда принятые без доказательства факты преподносятся оп­поненту после формулировки неприемлемого для него утверждения, он про­сто переносит свою отрицательную установку с конечного вывода на одну (или несколько) из посылок. Если же все указанные факты были сообщены ему до формулировки результата (в таком случае они просто формируют предметную область будущего рассуждения), то тогда оппонент должен оп­ределить свое к ним отношение исходя из них самих, а не из внешней по от­ношению к ним установки, связанной с критической оценкой рассматривае­мого утверждения. Поскольку их отрицание равносильно отрицанию самой предметной области теории, то до спора по существу одного из её конкрет­ных результатов дело попросту не дойдет. Коль скоро отрицание всей теории лишено смысла, то тогда оппонент будет вынужден согласиться и с неприят­ным для него выводом, избежать которого при иной линии поведения автора результата он всеми силами постарался бы. Никакой лучшей стратегии в деле защиты результатов «чистой» теории от предполагаемых возражений не существует. Дедуктивный метод построения науки предстает в этой связи как максимально эффективный способ защиты как отдельных, так и всех ре­зультатов теории от возможного их опровержения.

Сомнение обычно вызывают лишь наиболее сложные вопросы теории. В каждом из этих случаев речь идет о возможных спорах между специали­стами, которым нет необходимости ставить под сомнение сами основы своей теории, а, следовательно, и требовать максимально возможной строгости с первых шагов её построения. Последнее необходимо лишь в том случае, ко­гда подозрение вызывают все результаты теории независимо от специфики их содержания. А это происходит тогда, когда критика ведется не изнутри, а с внешней по отношению к теории позиции. Именно при наличии такого об­щего критического настроя и возникает потребность в преобразовании науки в форму дедуктивной теории.

Охарактеризовав аксиоматический способ построения теории как мак­симально эффективное средство защиты её результатов от внешней критики, можно констатировать, что преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и пред­ложения. Устранение повторов в изложении теории на основе выявленных постулатов и аксиом, что вполне может диктоваться и имеющими внешний характер по отношению к сущности логической дедукции учебными целями, и должно в итоге привести к расположению материала в соответствии с ка­нонами аксиоматического метода. Отказ от использования содержательных представлений об объектах в процессе построения теории, формализм его отдельных шагов гарантируют непреложность выводов для самого придир­чивого критика, если только он имел неосторожность согласиться с исход­ными основоположениями.

Тем самым мы получаем вторую формальную предпосылку возникнове­ния дедуктивного метода: в обществе должна возникнуть релятивистская ус­тановка, защищающая тезис: у каждого – истина своя. Доказательный вывод на основе предварительно сформулированных начальных положений стано­вится в таком случае неизбежной защитной реакцией науки от разрушитель­ного для неё софистического релятивизма.

Четвертый параграф «Роль геометрии в становлении дедуктивного метода» посвящен проблеме: имеется ли для дедуктивного метода какая-либо «предпочтительная» предметная область или же он может рассматри­ваться как универсальный способ построения математического знания? Для Д. Гильберта и Н. Бурбаки, безусловно, правильным является второй вариант ответа. Однако С.А. Яновская в 1956 г. поставила и дала ответ на вопрос о причинах, по которым арифметика более чем на два тысячелетия позже гео­метрии приняла аксиоматическую форму . Тем самым геометрия оказыва­ется более приемлемой кандидатурой на роль прародительницы аксиомати­ческого метода, нежели арифметика, что, очевидно, противоречит универса­листским притязаниям дедуктивного метода построения научного знания.

В первой части параграфа показано, что аксиоматический метод не мо­жет зародиться не только в естественнонаучных теориях, где существует «внешний» способ проверки утверждения теории, не сводящийся к удосто­верению отсутствия ошибок в его выводе, но и в арифметике. Каждое пред­ложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, не уступающим по степени убедитель­ности формальной дедукции. Аксиоматический вывод всегда может быть преобразован в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и историче­ски могли быть осознаны только благодаря рефлексии над фактически осу­ществляемым пересчетом предметов путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления. Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость лю­бого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием исходных основоположений, в то время как после «квазипред­метной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает. А это означает, что переход на точку зрения аксиоматики не дает никакого выиг­рыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений. Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает её «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму. Вследствие этого арифметика также ни при каких обстоятельствах не могла стать первой дедуктивной дисципли­ной.

В геометрии, напротив, наряду с утверждениями, не требующими обра­щения к логической дедукции (например, доказываемого путем перегибания равенства углов при основании равнобедренного треугольника), значитель­ное количество предложений не может быть доказано «предметным» обра­зом. Поэтому геометрия вправе претендовать на роль «прародительницы» аксиоматического метода. Но это само по себе не означает, что никакая дру­гая наука на подобную роль претендовать не может.

Для того чтобы в какой-то теоретической дисциплине могла зародиться идея логической дедукции необходимо, чтобы утверждения о свойствах её объектов не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми требо­ваниями. Такой дисциплиной могла бы, в принципе, стать и логика, пред­метная область которой вообще не ограничена никакими рамками. Во второй части параграфа, однако, показано, что осмысление практики дискуссий не может привести к возникновению идеи аксиоматического метода.

Существо дискуссии требует выхода за рамки формализованных пред­ставлений о предмете спора, поскольку с точки зрения дедуктивного метода оппонентам пришлось бы иметь дело одновременно с двумя противореча­щими друг другу системами аксиом. Последний удобен тогда, когда излага­ется и, соответственно, оспаривается только одна точка зрения.

Если содержательная сторона дискуссии служит препятствием для её эффективной аксиоматизации, то формальный её аспект вполне поддается изложению в духе логической дедукции. О чем бы ни шла полемика и кто бы в ней ни участвовал, в её «структуре» содержатся такие элементы, отказ от которых равносилен разрушению всей «конструкции спора». Если один из оппонентов согласился с тем, что из утверждения A следует утверждение B, а затем признал справедливость A, то он будет вынужден принять и утвержде­ние B, как бы это не было ему невыгодно или неприятно. Поставить под со­мнение заключительный вывод означало бы лишить в дальнейшем также и себя самого какого-либо способа принуждения противника. Аналогичным образом, нельзя не согласиться с одним из двух взаимоисключающих выска­зываний при условии, что оба они не могут быть одновременно ложными, а также с другими подобными «метаутверждениями», обязательность которых вытекает не из специфики «материи» спора, а из одной лишь его формы, «предполагающей» равные права участников дискуссии.

По мере накопления подобных универсальных правил и под напором критики вездесущих оппонентов рано или поздно придется поставить вопрос и об их обосновании. И тогда придется выделить среди этих правил про­стейшие и показать, что все остальные к ним сводятся. Но это и было бы де­дуктивным построением «теории ведения спора», или, в современной терми­нологии, – логики высказываний. При таком сценарии первой дедуктивной наукой оказалась бы не геометрия, а логика. Однако на пути его реализации также возникают трудности.

Формальные правила, регулирующие поведение спорящих сторон, не зависят не только от содержания дискутируемых вопросов, но и от способа вывода заключений. Совершенно не важно, имеет ли он форму дедуктивного вывода из заранее оговоренных посылок, апеллирует ли к реальности или является всего лишь более или менее правдоподобным, рассчитанным на не­опытность оппонента рассуждением, – во всех этих случаях в узловые мо­менты спора нейтральный судья-наблюдатель в состоянии вынести вердикт по поводу отдельных утверждений, ссылаясь на один только факт согласия каждого из участников спора с некоторыми из предшествующих предложе­ний. Апелляция к формальной схеме умозаключения может быть целесооб­разной лишь тогда, когда доказательство посылок вывода произошло доста­точно давно и оппонент мог уже и позабыть о нём, однако эта схема никогда не приводится в абстрактно-логическом виде, но всегда только в её содержа­тельном «обрамлении». Поэтому те правила вывода, которые создатель «тео­рии спора» мог бы извлечь из реальной практики дискуссий, расположив за­тем их в соответствии с канонами аксиоматического метода, всё равно ис­пользовались бы на деле в их неформальном, «дотеоретическом» виде, и особенности дедуктивного построения логики высказываний никак не отра­зились бы на реальном предмете теории. Для того чтобы подобная теория «работала», а только это и могло бы оправдать её существование (и после­дующую её аксиоматизацию), она должна способствовать отысканию таких новых способов умозаключений, которые в практике дискуссий прежде не встречались и появились в ней затем именно благодаря дедуктивной форме данной теории. Но это в действительности невозможно.

В дискуссии формальный момент всегда подчинен её предметному со­держанию. Если открытая дедуктивно-теоретически новая схема вывода «внедряется» в материальную ткань полемики, становясь ведущей стороной в одной из критических точек дискуссии, то это означает, что не зависящая ни от какого содержания схема в состоянии сформировать из «материи спора» адекватное себе содержательное умозаключение, способствующее достижению целей одного из участников диспута. Само собой понятно, что детерминируемая своим собственным содержанием структура дискуссион­ного процесса не допустит «вторжение» в неё со стороны «вещи», никак с этим содержанием не связанной. По этой причине если исторически дедуктивное изложение логики высказываний всё же возникает (как это имело место у стоиков), то оно должно быть привнесено в неё извне. Отсюда, в свою очередь, следует, что должна существовать особая предметная область, специфическое содержание которой, как и в геометрии, способно породить из себя идеи аксиоматики.

Специфическая роль геометрии в историческом становлении идей ак­сиоматического метода объясняется парадоксальным сочетанием двух про­тивоположных обстоятельств: хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности могут быть открыты и разъяснены независимо от ка­кой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформули­рованные аксиомы и постулаты. Равенство внешнего угла треугольника сумме внутренних не смежных с ним углов не предполагает для объяснения его смысла каких-либо особых познаний в геометрии, однако для его доказа­тельства пришлось бы углубиться в основы аксиоматического метода.

В арифметике и догадка, и проверка истинности сделанного утвержде­ния вполне могут обходиться без явного формулирования дедуктивных ос­новоположений, касающихся свойств натуральных чисел, что, собственно, и делает в ней аксиоматический метод «излишней роскошью». В логике вы­сказываний сложные правила умозаключений невозможно, как и в геомет­рии, обосновать вне рамок аксиоматического метода, но уже сам способ их получения, коль скоро они не извлечены из реальной практики рассуждений, фактически является также и их доказательством. Если помимо геометрии никакая другая наука не обладает указанными ранее свойствами, это и озна­чало бы, что ставшее умозрительной дисциплиной искусство землемерия яв­ляется единственной областью знания, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод. Двойственный характер объектов «первой дедук­тивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении её результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувст­венной реальности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает дос­таточно жесткие условия, чтобы отождествить их с геометрическими фигу­рами. Обоснованию этого утверждения и посвящена заключительная часть параграфа.

Пятый параграф «Дедуктивный метод и математика восточных циви­лизаций» занимает промежуточное положение в диссертации. Рассмотрение формальных предпосылок в первой главе представляет собой вспомогатель­ное средство для реконструкции исторического процесса, при этом условия места и времени в их конкретной определенности не играют никакой роли (хотя то обстоятельство, что человеческая деятельность не может протекать вне пространства и времени, весьма существенно для полученных выводов). Это и дает основание для «применимости» их к любой цивилизации, будь то Индия, Китай или Вавилон. Вместе с тем, даже самое поверхностное обра­щение к истории этих цивилизаций указывает на недостаточность найден­ных предпосылок для выявления причин уникального характера эллинской математики. В Вавилоне и других восточных государствах с древнейших времен были известны многие свойства фигур, включаемые ныне в курс ак­сиоматически построенной геометрии. А с появлением во второй половине I тыс. до н. э. в Индии и Китае противостоящих друг другу философских школ неминуемо должна была возникнуть потребность в защите их базисных по­ложений от нападок оппонентов. Тем не менее, несмотря на наличие необхо­димых формальных предпосылок, дедуктивный способ рассуждений так и не сформировался ни в индийской, ни в китайской науке. А это означает, что для объяснения уникального характера греческой дедуктивной геометрии желательно более конкретно определить её специфику по отношению к гео­метрическим знаниям стран Востока.

Значение математики для философии вообще и философии науки в ча­стности связывают, в первую очередь, с фактом открытия неевклидовой гео­метрии. Создание на базе отрицания постулата о параллельных теории столь же непротиворечивой, сколь и «Начала» Евклида, выявило «недоказуемость» возможности построения на заданном отрезке самой простой и главной фи­гуры в землемерном искусстве – прямоугольника. Существование прямо­угольника на заданном основании, в свою очередь, логически эквивалентно утверждению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым. А это свойство стало предметом изучения только у греческих ученых.

Хотя формулировки обоих утверждений относятся к ограниченным фи­гурам, строгое их доказательство предполагает «выход в бесконечность»: и то, и другое требуют использования понятия параллельности, а там, где в чертеже возникают параллельные линии, неотъемлемой его частью стано­вятся и заключающиеся между ними части плоскости. Поскольку неограни­ченная часть плоскости может рассматриваться как корректно определенное целое лишь в предположении однозначности продолжения прямой (угол как неограниченное подмножество плоскости должен однозначно определяться любой своей конечной частью), важно знать, можно ли её гарантировать в рамках предметно осуществляемых построений. В параграфе показано, что при помощи реальных циркуля и линейки прямую в действительности одно­значно продолжить нельзя. Тем самым понятие бесконечного угла оказыва­ется принадлежащим уже не «геометрии чертежей», а науке, изучающей свойства идеальных, невещественных объектов.

Ключевую роль у Евклида в доказательстве однозначности продолже­ния прямой играет предложение I, 14, обратное к предложению I, 13, утвер­ждающему постоянство суммы двух углов: заданного угла и смежного с ним. Уже сама формулировка  этих двух предложений предполагает IV постулат о равенстве всех прямых углов. Именно этот постулат и является «ответствен­ным» за превращение геометрии из науки о реальных чертежах в теорию, ис­следующую фигуры и тела, существующие исключительно в человеческом воображении.

Если бы в древнегреческой математике не возник раздел, изучающий свойства углов в треугольнике, то не было бы необходимости в переходе от «предметной» геометрии Фалеса к идеальной евклидовой геометрии. В ма­тематике восточных цивилизаций геометрия углов не рассматривалась, вследствие чего все её утверждения могли быть обоснованы наглядно-пред­метным образом при неявно и бессознательно принимаемой «аксиоме суще­ствования прямоугольника» – предположении, впервые поставленном под сомнение Ламбертом лишь в XVIII в.

Утверждение об обязательности для преобразования геометрии в дедук­тивную науку наличия в ней раздела, изучающего свойства углов, может быть обосновано и чисто логическими рассуждениями. Поэтому её право­мерно рассматривать в качестве формальной предпосылки возникновения аксиоматического метода. Обращение же к истории математики восточных цивилизации было использовано в работе исключительно с целью упроще­ния рассуждений.

Приведенное объяснение уникального характера греческой геометрии является неполным, так как необходимо также понять причины, воспрепят­ствовавшие изучению свойств произвольных углов в науке восточных циви­лизаций. Эти причины могут иметь только конкретно-исторический харак­тер. Их исследованию посвящена вторая глава «Исторические предпо­сылки формирования дедуктивной математики».

Первый параграф «Формирование идеала теоретического знания в древнегреческой математике» посвящен выяснению обстоятельств, способ­ствовавших становлению геометрии как абстрактной науки о свойствах фи­гур и тел.

Проблемы чисто теоретического характера появились в математике за­долго до возникновения аксиоматического метода. В Вавилоне уже в эпоху Хаммурапи решались многочисленные задачи наподобие нахождения сторон прямоугольника по известным периметру и площади. Такого рода проблемы, возникающие в качестве обратных к непосредственно связанным с хозяйст­венной деятельностью прямым вычислительным задачам, не имели никогда никакого практического значения и относятся поэтому к теоретической ма­тематике. Вместе с тем, вавилоняне не смогли выработать представления об абстрактных математических объектах. В то же время Платон и Аристотель едины в том, что математические объекты относятся к области умопостигае­мого и ни в коем случае не могут отождествляться с их чувственными изо­бражениями. Поэтому подразделение знаний на теоретические и практиче­ски ориентированные, послужившее основой для нахождения первой из формальных предпосылок возникновения дедуктивной науки, недостаточно для выявления исторической специфики древнегреческой геометрии.

Поскольку ранее уже была установлена особая роль учения о свойствах углов в становлении дедуктивной математики, то естественно выяснить, ка­ким образом в греческой геометрии закрепился такой его основополагающий факт, как равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Подлинное значение данного утверждения в том, оно является единствен­ным опосредующим звеном между свойствами сторон и свойствами углов в треугольнике, а следовательно, ни одна цивилизация, не зная его, не в со­стоянии приобщить к числу принадлежащих её науке сведений неочевидный факт постоянства суммы углов в каждом треугольнике независимо от вели­чин составляющих его элементов. А без этого факта нет шансов и на созда­ние дедуктивного способа построения математического знания силами «рес­публики ученых» данной цивилизации.

Первая часть параграфа посвящена анализу обстоятельств, способство­вавших открытию и фиксации в «памяти цивилизации» свойства углов рав­нобедренного треугольника. Показывается, что единственным «стимулом» для этого могло стать обеспечение симметрии при сооружении конструкций пирамидальной формы.

Хотя данный анализ опирается на сообщение Прокла о египетском про­исхождении геометрических познаний Фалеса, тем не менее, его, по суще­ству, логический характер позволяет задним числом рассматривать вывод о решающей роли архитектуры египтян в обнаружении равенства углов в рав­нобедренном треугольнике в качестве формальной предпосылки возникнове­ния дедуктивной науки: где бы и когда бы ни появилось построение теоре­тической геометрии на основе постулатов и аксиом, этому обязательно должна была предшествовать практика строительства пирамид. Тем самым отсутствие всюду кроме Древнего Египта построек, имеющих форму полной пирамиды, объясняет невозможность возникновения дедуктивной геометрии в Вавилоне, Индии и Китае.

Вместе с тем, являясь всего лишь необходимым условием возникнове­ния аксиоматического метода, факт строительства пирамид сам по себе еще не предопределяет появление идеи логической дедукции. Причины преобра­зования практических геометрических сведений египтян в науку о свойствах абстрактных фигур могут быть найдены только в конкретных обстоятельст­вах жизни эллинской цивилизации VI—IV вв. до н. э.

Первая же попытка приступить к реализации данной программы натал­кивается на препятствие, разрушающее рамки истории науки, внутри кото­рых до сих пор велось исследование. Дело в том, что для Платона наиболее совершенным созданием человеческого ума является диалектика, причем именно в том отношении, которое выделяет аксиоматическую геометрию среди прочих дисциплин. Характеризуя специфику диалектического разума, Платон пишет в конце VI книги «Государства», что «бытие и все умопости­гаемое при помощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассмат­ривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из пред­положений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощуще­ний, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположе­ний, не восходя к первоначалу, то... они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало» .

Проводимые в диалектике рассуждения роднит с геометрическими до­казательствами стремление отказаться от помощи недостоверных чувствен­ных ощущений, в максимально возможной степени заменив их «идеями» са­мими по себе. Поскольку, согласно Аристотелю , источником учения об идеях были проблемы поиска правильных определений «предметов нравст­венности», то именно этику допустимо, хотя бы гипотетически, рассматри­вать в качестве одной из исторических предпосылок возникновения дедук­тивной геометрии. Причем «формальный прообраз» такой исторической предпосылки никак не мог быть обнаружен на предшествующей стадии ис­следования, поскольку между этикой, «предметы» которой не относятся к чувственно воспринимаемому, и аксиоматико-дедуктивной геометрией не просматривается никакой содержательной связи . Проблема реконструкции исторической картины возникновения аксиоматического метода сводится, с учетом сделанных замечаний, к выбору между следующими альтернативами: 1) дедуктивный метод зарождается внутри геометрии независимо от фило­софии; 2) опыт «работы» с невидимыми и неосязаемыми объектами при об­суждении этической проблематики аккумулируется внутрифилософии, ко­торая затем способствует «идеализации» и геометрии.

Недоступность области умопостигаемого для чувств можно интерпре­тировать с современной точки зрения по-разному: как свидетельство бесте­лесности идей справедливости и рассудительности или, напротив, как при­знание их особого совершенства в отношении «телесного состава» и место­положения. Тексты Платона и Аристотеля дают достаточно указаний для выбора правильной интерпретации причин доступности эйдосов лишь «кормчему души – уму» .

Слова элейца из фрагмента 131d–e диалога «Парменид»: «Но, положим, кто-нибудь из нас будет иметь часть малого: малое будет больше этой своей части; таким образом, само малое будет больше, а то, к чему прибавится от­нятая от малого часть, станет меньше, а не больше прежнего», – невозможно понять, если полагать эйдос малого бестелесным. Что касается естественного для нашего сознания отождествления идей с мыслями, то там же анализиру­ется (132b–d) и после рассмотрения отбрасывается и эта попытка интерпре­тации . Вывод напрашивается сам собой: идеи в учении Платона столь же «вещественны», сколь и уподобляющиеся им предметы. И если аристоте­левы аналоги платоновых идей – «формы» – определяются Стагиритом как сущность без материи , то, следовательно, именно Аристотелю, а не Пла­тону принадлежит понимание общего как «бестелесного».

Аристотель прекрасно сознавал отличие собственного понимания форм-эйдосов от платоновских эйдосов-идей, замечая, что «нелепо утверждать, что существуют некие сущности помимо имеющихся в небе, а с другой – что эти сущности тождественны чувственно воспринимаемым вещам, разве лишь что первые вечны, а вторые преходящи. Действительно, утверждают, что есть сам-по-себе-человек, сама-по-себе-лошадь, само-по-себе-здоровье, и этим ограничиваются, поступая подобно тем, кто говорит, что есть боги, но они человекоподобны. В самом деле, и эти придумывали не что иное, как вечных людей, и те признают эйдосы не чем иным, как наделенными вечно­стью чувственно воспринимаемыми вещами» . Признающие эйдосы «не в состоянии показать, каковы такого рода – непреходящие – сущности помимо единичных и чувственно воспринимаемых. Так вот, они объявляют их тож­дественными по виду с преходящими (эти-то сущности мы знаем), изобре­тают “самого-по-себе-человека” и “самое-по-себе-лошадь”, присоединяя к чувственно воспринимаемым вещам слово “само-по-себе”» .Труды Аристотеля приоткрывают дверь в его творческую лабораторию, позволяя проследить ход его мысли в разрешении затруднений, из которых не могла выбраться мысль ортодоксальных последователей Платона. Так, для превращения эйдосов в бестелесные формы Аристотель строит для них «вместилище»: «форму форм» (или «эйдос эйдосов») – Ум-перводвигатель. Для обоснования его существования Стагирит замечает, что «в некоторых случаях само знание есть предмет [знания]: в знании о творчестве предмет – сущность, взятая без материи, и суть бытия, в знании умозрительном – определение и мышление», вследствие чего раз «постигаемое мыслью и ум не отличны друг от друга у того, что не имеет материи, то они будут одно и то же» .

В «Метафизике» Аристотель ставит творческие и умозрительные науки на одну ступень, однако по другим его работам можно проследить, что «рав­ноправия» здесь нет. На основе VII и VIII книг «Метафизики», а также трак­татов «Физика» и «О небе» в работе показывается, что представление о предмете «творческих наук» как о лишенном материи у Стагирита является производным от аналогичного представления о предмете теоретических наук (точнее – в силу установленного ранее – геометрии). Тем самым, ни диалек­тика Платона, ни «первая философия» Аристотеля не могли выполнить роль «катализатора» в процессе преобразовании геометрии в дедуктивную дисци­плину. Данный процесс протекал всецело в рамках «созревания» соответст­вующих формальных предпосылок, а именно – возникновения теоретиче­ской науки о свойствах фигур и углов, а также формирования «критической установки» по отношению к знанию вообще.

Становление теоретической геометрии в Древней Греции VI–IV вв. до н. э. могло происходить одним из двух способов. В случае, если заимство­ванные в Египте геометрические познания получали какие-либо практиче­ские приложения в новой цивилизации, теоретическая геометрия должна была развиваться наряду с практическим искусством землемерия. Но возмо­жен и другой вариант, когда по тем или иным причинам подобные примене­ния оказались невозможны и геометрия на земле Эллады стала теоретиче­ской наукой поневоле.

В.Д. Блаватский описывает следующие виды общественных работ в Древней Греции: вырубка лесов на склонах гор, создание в колониях Ю. Италии и Сицилии в VIII–VII вв. до н. э. садов и виноградников, осуше­ние болот, строительство, разработка каменоломен и рудников, прокладка дорог, сооружение каналов и гаваней. К этому списку можно добавить пла­нировку наделов (клеров) в греческих колониях. В Метапонте, к примеру, предположительно уже в VII вв. до н. э. применялась довольно сложная сис­тема планировки клеров, в которой наделы вместе образовывали поле в виде параллелограмма с перпендикулярными диагоналями. Всё это свидетельст­вует, казалось бы, в пользу широкого практического применения методов геометрии в античности.

Прокл в комментариях к Евклиду приписывает родоначальнику грече­ской геометрии Фалесу знание теорем о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов в равнобедренном треугольнике, равенстве вертикальных углов, а также признак равенства треугольников по стороне и двум приле­жащим углам. Но все эти предложения в задачах землемерия не играют су­щественной роли, поскольку основными при измерении земли являются фи­гуры с прямыми углами. Острые и тупые углы не могут быть предметом спе­циального интереса в практической геометрии. Источником указанных фак­тов могло быть лишь египетское искусство строительства пирамид, в кото­ром наряду с вопросами о величинах площадей и объемов важное значение придавалось также элементам возводившихся сооружений, имеющим тре­угольную форму.

Форма объекта существенна лишь тогда, когда незначительная погреш­ность на отдельной стадии процесса его построения может обернуться непо­правимыми потерями. Греческий храм, например, хотя и содержит элементы треугольной формы (обладающие зеркальной симметрией фронтоны), од­нако в них вполне допустимы незначительные отклонения от симметрии в силу плоского характера конструкции, так что контроль за равенством углов при основании фронтона не должен быть таким же строгим, как в случае пи­рамиды. То обстоятельство, что для практических потребностей греческой цивилизации, по крайней мере на протяжении VI–IV вв. до н. э., вполне дос­таточно было использования свойств прямоугольных фигур, в то время как заимствованная из Египта геометрия занималась изучением «произвольных углов», и обусловило теоретический характер последней.

Последняя часть § 2.1 посвящена выяснению специфики древнегрече­ской геометрии в том виде, как она сформировалась на рубеже V–IV вв. до н.э., а также выяснению её роли в формировании логики стоиков.

В дедуктивной геометрии человек впервые сталкивается с ситуацией, когда оформленная в виде речи мысль оказывается замкнутой сама на себя. И если в «творческих логосах» душа направлена в первую очередь на созда­ваемые при помощи них вещи, в то время как сопутствующие слова играют сугубо подчиненную роль, то в «теоретических логосах» слово становится решающим и единственным фактором утверждения их истинности. Хотя представления о геометрических объектах первоначально возникают в инди­видуальной душе не без помощи чувственных восприятий, в доказательст­вах их свойств опираются не на эти впечатления, а исключительно на сло­весно сформулированные предположения. Поэтому именно геометрия выну­дила стоиков подразделить представления на чувственные, которые воспри­нимаются посредством одного или нескольких органов чувств, и внечувст­венные, возникающие в человеке при помощи речи. Последние стоики стали называть специально изобретенным термином lektOn. Существование по­добного бестелесного лектон стоики обосновывали, ссылаясь на пример с восприятием речи: «…обозначаемое – тот предмет, выражаемый звуком, ко­торый мы постигаем своим рассудком, как уже заранее существующий, а варвары не воспринимают, хотя и слышат звук…»

Если Платон, имея в виду практическое назначение языка, уподоблял имена орудиям , то стоики своим примером зафиксировали ситуацию «незаинтересованного», созерцательного отношения к иностранному языку, благодаря чему и смогли расширить свою концепцию «бестелесных выска­зываний» с предложений, касающихся свойств геометрических объектов, на суждения общего вида. Подобным образом вместе с геометрическими пред­ложениями статус бестелесных получают и все высказывания, служащие объектом изучения стоической логики.

Во втором параграфе «Софистика и математическая строгость» пред­метом анализа является общественная атмосфера древнегреческих полисов с точки зрения наличия в ней условий, благоприятствовавших преобразованию теоретической геометрии в форму дедуктивной науки. Обращение к источ­никам без труда позволяет найти «исторический аналог» найденной в первой главе формальной предпосылке. Для выявленной при помощи сугубо логи­ческих рассуждений релятивистской установки, характеризующейся тези­сом: «у каждого – истина своя», имеется выразитель соответствующих взгля­дов – Протагор, полагавший, что «о всяком предмете можно сказать двояко и противоположным образом» .

Распространение в греческих полисах практики словесных споров, в ко­торых участники ради победы были готовы на самые изощренные ухищре­ния, не могло не затронуть и геометрию. Стоило только поставить под со­мнение само существование основной фигуры землемерного искусства – квадрата, и неявно принимавшаяся «аксиома прямоугольника» неизбежно должна была быть эксплицирована в виде требований, касающихся условия параллельности двух прямых и равенства всех прямых углов (V и IV посту­латы Евклида), а вслед за этим обязательно должны были появиться и ос­тальные постулаты геометрии.

Первые три геометрические постулата не только не являются очевид­ными, но, в каком-то смысле, даже противоречат обыденному опыту только приступающего к занятиям этой наукой: в реальной практике землемерных построений нельзя гарантировать ни проведение прямой между произволь­ными точками, ни проведения окружности малого или, напротив, очень большого радиуса. Поэтому Аристотель и говорит про постулат, что он представляет собой «нечто противное мнению изучающего или нечто такое, что, будучи доказываемым, принимается или применяется недоказанным» .

Новая геометрия, имеющая дело с идеальными точками, линиями и по­верхностями, включает в качестве составной части прежнюю геометрию чертежей, расширяя сферу её применения в область сколь угодно больших и сколь угодно малых расстояний. При этом она может даже не затрагивать употреблявшиеся в ней прежде словесные обороты, за что платоновский Со­крат не без основания упрекал геометров. Именно это обстоятельство делает затруднительными нападки на её утверждения со стороны последователей протагоровского релятивизма.

Теоретический характер древнегреческой геометрии, наличие в её со­ставе учения о свойствах углов делали неизбежным её превращение в дедук­тивную науку в конкретных исторических условиях кризиса античного по­лиса. То обстоятельство, что данное преобразование не вытекает из «при­роды» математики как таковой, а обусловлено внешними по отношению к ней причинами, было очевидно для Платона, на глазах которого происходил этот процесс. Указывая математикам на недостаток способа изложения, ко­гда при использовании предположений они не отдают в них отчета, Платон пытался исправить его, подчинив построение наук принципам диалектиче­ского метода. Этот метод, исходящий из рассмотрения беспредпосылочного начала – Блага, по мнению философа, единственный в состоянии сделать геометрию и следующие за ней науки подлинным знанием .

Аристотель, допуская возможность ниспровержения геометрии «на ос­новании принципов, более достоверных, чем ее аксиомы» , считал, в противоположность учителю, его космологические гипотезы менее достоверными, чем допущения математиков. И именно геометрические постулаты он и положил в основание собственных философских построений.

Третий параграф «Геометрия египтян и дедуктивная математика» по­священ оставшемуся открытым в § 1.5 вопросу о причинах отсутствия де­дуктивного метода в египетской геометрии. Вряд ли подлежит сомнению на­личие теоретической установки относительно собственного землемерного искусства у жрецов Египта. Кроме того, поскольку засвидетельствовано «ог­рабление гробниц Двадцатой династии, к которому… были с выгодой для себя причастны высшие власти» , указывающее на ослабление древних религиозных традиций, в Египте к концу первого тысячелетия до н.э. сложи­лись объективные предпосылки также для роста софистических умонастрое­ний. Могло ли в таком случае что-либо воспрепятствовать созданию египтя­нами аксиоматической геометрии?

Если бы египтяне построили свою геометрию на принципах дедукции, то в таком случае им пришлось бы, как и сделавшим это в IV в. до н.э. гре­кам, поставить под сомнение возможность построения прямоугольника. Что же мог бы возразить хранитель египетской геометрической мудрости софис­тически настроенному оппоненту? Достаточно сослаться на факт успешной постройки пирамид: если бы при разметке основания вместо квадрата полу­чился четырехугольник, имеющий только два или три прямых угла, то это с самого начала нарушило бы симметрию сооружения и не позволило бы све­сти вверху воедино все четыре боковых грани.

Подобный ответ выглядит неубедительным только с позиций человека, различающего идеальные и реальные геометрические фигуры. С подобной точки зрения любой, даже самым тщательным образом построенный, квад­рат в действительности таковым не является, поскольку обязательно откло­няется от «совершенного образца». Но такое противопоставление идеальных и реальных объектов возможно только на базе уже возникшей дедуктивной геометрии и не должно приниматься во внимание в процессе анализа её гене­зиса. В действительной истории становления аксиоматического метода пере­ход к постулированию «идеальных геометрических построений» приходится осуществлять тогда, когда критерий практики – в самом буквальном пред­метном смысле – перестает работать. Именно это и произошло в процессе обоснования греками «аксиомы прямоугольника», когда были сформулиро­ваны сначала пятый и четвертый, а затем и остальные постулаты евклидовых «Начал».

Заключительная часть параграфа посвящена объяснению причин невоз­можности стереометрического обоснования «аксиомы прямоугольника» в конкретных исторических условиях существования эллинской геометрии, чем и завершается историческая часть диссертационной работы.

То или иное объяснение причин возникновения определенного явления не может не отразиться на понимании его наличного состояния и оценке перспектив развития в будущем. В третьей главе «Аксиоматический метод и современное научное познание» аксиоматический метод рассматривается прежде всего в аспекте настоящего, что выдвигает на первый план проблемы математического образования. Будущее аксиоматического метода – это ши­рящиеся попытки создания эффективно действующих интеллектуальных систем. Проблематика подобного рода естественным образом возникла в § 1.2 при анализе первой из формальных предпосылок возникновения ак­сиоматического метода, где она рассматривалась под углом зрения про­шлого. В данной главе акцент переносится с прошлого на настоящее и буду­щее.

Первый параграф «Аксиоматический метод и преподавание матема­тики» посвящен педагогическим аспектам преподавания школьного курса геометрии. Сомнение в целесообразности продолжения преподавания гео­метрии в классическом стиле евклидовых «Начал» высказал в 60-х гг. про­шлого столетия Ж. Дьедонне. Вместо изучения свойств треугольников, че­тырехугольников и окружностей он предложил «попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий…»

Поскольку аксиоматика возникла как средство убеждения в истинности уже найденных каким-то образом утверждений, то нет никакой уверенности, что она может быть использована также и как эффективное эвристическое средство решения новых для учащихся задач. В § 1.2 отмечалось, что реально проводимое доказательство является «максимально недедуктивным» из-за содержательного характера цели, «организующей» отбор релевантных логи­ческих посылок. Дедукция из аксиом при решении задачи может оказаться полезной, если ученику посчастливилось выбрать среди множества всех ут­верждений теории те несколько предложений, от которых действительно за­висит успех в её решении. Поскольку в удачности выбора можно убедиться, только решив задачу, то подобный, опирающийся на аксиоматическую структуру теории, способ решения превращается в бессистемный набор проб и ошибок с далеко не гарантированным успешным результатом из-за боль­шого количества возможных «стартовых предложений».

Главная польза от изучения геометрии не в тренировке дисциплины мышления, которую за пределами этой науки человеку, не собирающемуся посвятить себя теоретической математике, едва ли удастся когда-нибудь применить, а в развитии совсем иного искусства, связанного не с дедуктив­ной формой изложения, а с её наглядным содержанием. Развитое теоретиче­ское мышление предполагает умение находить связи между явлениями, не­доступные обыденному взгляду. Это достигается путем нахождения одной или нескольких «промежуточных ситуаций», совмещающих в себе характе­ристики двух, выглядящих на первый взгляд совершенно не связанными ме­жду собой, явлений. Такие новые явления находятся как бы «посередине» между исходными наличными явлениями, и потому их поиск называется опосредствованием. Искусству нахождения подобного рода опосредующих звеньев геометрия способна учить как никакой другой школьный предмет.

Если на место евклидовой геометрии в основу школьного геометриче­ского курса положить понятия и методы абстрактной линейной алгебры, как предлагал Дьедонне, то возможность обучения на наглядном материале ис­кусству опосредствования будет безвозвратно утеряна. А обучение «линей­ному мышлению», которое действительно способен привить указанный курс, далеко не равнозначно обучению искусству самостоятельно думать. Ссылки на важность линейной алгебры для теории чисел, теоретической физики, ана­лиза, геометрии и топологии плохо коррелируют с возможностью эффектив­ного использования её идей при обучении учащихся искусству правильно ставить и умело разрешать вопросы, постоянно возникающие в многообраз­ной человеческой жизни. «Линейное мышление» связано с математическим аппаратом научных дисциплин, а не с их действительным содержанием. По­этому даже овладение школьником в полном объеме глубоким трудом Дье­донне не окажет ему впоследствии автоматической помощи в решении ка­кой-то проблемы физики, биологии или экономики.

Линейная алгебра отражает своими достоинствами не содержание ис­пользующих её аппарат дисциплин, а лишь их формальную количественную сторону. В то же время содержание курса евклидовой геометрии вполне со­ответствует свойствам реальных фигур и тел. Поэтому успешное овладение идеями традиционного курса геометрии в не меньшей степени полезно с точки зрения развития универсальных мыслительных навыков, нежели овла­дение методами линейной алгебры, где до реальности надо еще уметь «доб­раться» посредством содержания той конкретной научной дисциплины, в ко­торой используется её элегантный аппарат. Если же учащийся вообще не планирует заниматься в будущем научной деятельностью, то с точки зрения развития его мышления традиционная школьная геометрия должна иметь несомненное преимущество. Курс геометрии Евклида в большей мере при­способлен для развития универсальных навыков творческого мышления, и с этой точки зрения оригинальный проект Дьедонне изначально был обречен на неудачу.

Во втором параграфе «Теоретическая математика как социокультурное образование» предметом анализа является место математики в современной культуре.

Упорядочение математического мира на основе понятия структуры, достигнутое в XX веке усилиями Н. Бурбаки, не избавляет от основной про­блемы, состоящей во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического: «В своей аксиоматической форме математика представля­ется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказыва­ется (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспе­риментальной действительности как будто в результате предопределения ук­ладываются в некоторые из этих форм» . Это признание Бурбаки возвра­щает нас, по сути, ко времени построения Аристотелем «первой филосо­фии», объяснившей эффективность применения математики к описанию движения небесных тел тем, что математические формы находятся в Уме-перводвигателе, а тот, в свою очередь, управляет посредством мышления движением обнимаемого им Космоса . И в концепции Бурбаки, и в первой философии Аристотеля факт соответствия математических форм явлениям окружающего мира попросту констатируется, поскольку основная идея «объяснения» не подлежит дальнейшей конкретизации.

Главный вывод, вытекающий из исторического рассмотрения проблемы возникновения принятого в математике способа рассуждений, состоит в том, что словесная дедукция частных утверждений науки из общих начальных положений вызвана объективно происшедшим превращением прикладного землемерного искусства в сугубо теоретическую дисциплину, сопровождав­шимся полным забвением «архитектурных» истоков. Эта традиция была за­тем перенесена из геометрии в арифметику, а спустя многие столетия и на другие классические разделы математики, включая анализ бесконечно ма­лых. Так постепенно и сформировалось то огромное здание математики, ко­торое с позиций по-новому понятого аксиоматического метода перестроил в своем многотомном труде Бурбаки.

Аксиоматический способ рассуждений оказал существенное воздейст­вие не только на современную теоретическую математику, но и на весь стиль мышления европейской цивилизации. Данное обстоятельство может быть продемонстрировано на примере формирования понятий «смысл», «символ», «метафора».

Связь между представлением о «смысле» и аксиоматической геометрией может быть установлена достаточно просто. Действительно, мы говорим, что понимаем смысл явления или кем-то сказанного тогда, когда имеющиеся у нас сведения не требуют для уяснения этого самого смысла обращения к «внешнему опыту», т.е. пополнения наличных знаний. Иными словами, смысл – это мысль, обращенная сама на себя, а не на внешний мир. Именно это и отличает дедуктивный способ построения знания, когда мы берем при формулировке основоположений науки из реальности всё, что необходимо, как раз для того, чтобы впоследствии пользоваться исключительно данным, словесно сформулированным теоретическим базисом, не прибегая к помощи чувственного мира.

Аналогичным образом аксиоматический стиль мышления содействовал выработке представлений о символе и метафоре. Важность понятия символа для современной математики отметил Г. Вейль: «Математика – это наука о бесконечности, ее цель – символическое постижение бесконечности челове­ческим, то есть конечным» .

У Платона, как отмечал А.Ф. Лосев, «символизм… в значительной сте­пени дорефлективен» . Рефлексивное понимание символа достигается то­гда, когда мы противопоставляем значение символа его непосредственно на­глядному выражению. Подобное противопоставление может быть осуществ­лено только тогда, когда значение символа (например, бесконечность, пости­гаемая посредством конечных математических символов) принадлежит иному – внечувственному – миру. У Платона о противопоставлении идеальных объектов реальным не может быть и речи, поскольку вторые стремятся подражать и походить на первых. Другое дело у Аристотеля, у которого иде­альные числа и фигуры бестелесны и действительно противоположны веще­ственным «копиям». Но их бестелесность, как показано в § 2.1 диссертаци­онной работы, есть следствие их бестелесности в дедуктивной греческой геометрии. Таким образом, рефлексивное понимание символа, достигнутое позднеантичной мыслью, оказалось возможным лишь благодаря аксиомати­чески построенной математике.

Аналогичным образом обстоит дело и с понятием метафоры. Аристо­тель определяет метафору как «несвойственное имя, перенесенное с рода на вид, или с вида на род, или с вида на вид, или по аналогии» . Предпосылкой для выработки Аристотелем понятия метафоры является представление о значении имени, при этом в качестве значений имен Стагирит рассматривал только сущности. В § 2.1 показано, что обоснование существования по­доб­ных “самобытных” вещей удалось Аристотелю только благодаря дедуктив­ному построению геометрии.

Важность дедуктивной геометрии для выработки понятия метафоры становится понятней в контексте вопроса о причинах отсутствия данного понятия у Платона. В то время как у Аристотеля связь имени с названным при его помощи предметом не играет никакой роли , у Платона, напротив, имя является подражанием вещи . Если у Аристотеля исходным в соотноше­нии «имя – вещь» является эйдос вещи, находящийся в Уме-перводвигателе, так что значением «логоса» этого эйдоса оказывается вещь в подлежащем Космосе, то у Платона всё наоборот: первична вещь, а имя подбирается за­конодателем в стремлении как можно лучше подражать природе вещи. Но тогда значением (знаком) оказывается не предмет, а слово. И это совершенно естественно: не вещь должна указывать на слово, как это получается у Ари­стотеля, а слово должно служить знаком (значением) вещи.

Перевернуть это соотношение Аристотелю удалось, «сделав» эйдосы вещей, находящихся в извечно существующем Космосе, бестелесными. От­сюда и безразличие Стагирита к разным наименованиям их у разных наро­дов. При телесном понимании эйдосов у Платона «места» для метафоры (а метафора может стать таковой только как рефлексивное понятие) попросту не остается: имя во всей своей звуковой особенности слишком тесно привя­зано к именуемой посредством него вещи, чтобы возникала потребность в переносе «значений».

Поскольку в математике Индии и Китая не было аксиоматического ме­тода, то в этих странах не было возможности перевернуть соотношение ме­жду словом и вещью, как это сделал при помощи дедуктивной геометрии Аристотель. Поэтому философское мышление в этих цивилизациях не было в состоянии создать ни представления об идеальных объектах, ни понятий смысла, символа или метафоры.

Заключительная часть параграфа посвящена попытке ограничить уни­версальность аксиоматического метода в математике средствами самой этой науки. Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте.

В 1958 г. Гёдель выделил в гильбертовской метаматематике две важ­ных составных части: конструктивную и собственно «финитистскую», в со­ответствии с которой для представляющих доказательства знаковых комби­наций существенными оказываются исключительно пространственные сход­ства и различия. Из установленной в 1931 г. теоремы Гёдель дедуцирует не­обходимость отказа в доказательствах непротиворечивости от второй ком­поненты, что предполагает обращение к смыслу закодированных специаль­ными знаками математических конструкций. Поскольку представление о смысле знаковых комбинаций могло возникнуть в европейской цивилизации только благодаря дедуктивной геометрии, то его использование для доказа­тельства непротиворечивости аксиоматических теорий сохраняло за подоб­ным обоснованием лишь относительное, но никак не абсолютное значение, на что надеялся основоположник финитистской программы. Но и этим про­блемы с реализацией программы Гильберта не ограничиваются.

В формальных теориях первого порядка, рассматриваемых в теореме Гёделя о неполноте, аксиомы подразделяются на логические и собственные, причем в чистом исчислении предикатов имеются только аксиомы первого типа, не связанные с особенностями какой-либо конкретной предметной об­ласти. Можно показать, что в логических аксиомах, содержащих операцию отрицания, подразумевается при этом внешнее отрицание логических сужде­ний, имеющее вид “A не есть B”. В собственных же аксиомах используется внутреннее отрицание “A есть не-B”, поскольку эти аксиомы «высекают» род из ничем не ограниченного универсума исчисления предикатов, в результате чего операция отрицания «незаметно» преобразуется из операции внешнего в операцию внутреннего отрицания.

Тем самым на «объектном» уровне оказываются «смешанными» два, во­обще говоря, различных вида отрицания, в то время как в метатеории, где исследуются расположенные в пространстве последовательности символов, представляющие собой доказательства различных теорем формальной тео­рии, может использоваться только «обычная» родовидовая логика, которой пользуются и физики, и химики, и биологи. Так как построение истинной, но недоказуемой формулы осуществляется Гёделем при помощи «смешения» объектного и мета- уровней, то подобное рассогласование в понимании опе­рации отрицания вполне может сказаться на конечном выводе теоремы.

Данное обстоятельство не осознается как затруднение, поскольку в тео­ретико-множественной математике после работ Г. Кантора отождествление двух видов отрицания вошло в привычку , так что у специалистов в области метаматематики, в отличие от «ориентирующихся» исключительно на внут­реннее отрицание ученых-естествоиспытателей, подобные вопросы не воз­никают. Но развеять недоумение неспециалистов могут только профессио­налы, которые никаких проблем по указанной причине не замечают. Пара­докс в том, что конкретной ошибки в доказательстве Гёделя указать нельзя, ибо в рамках господствующих идеализаций всё выглядит достаточно гладко. Но отсутствие полной ясности в «предметной интерпретации» финитных рассуждений Гёделя оставляет вопросы, ответ на которые невозможен без специального исследования. С социокультурной точки зрения это и означает, что теоретико-множественная математика (а вместе с ней и метаматематика) весьма удалена от других научных дисциплин, где повсеместно используется инструментарий родовидовой логики Аристотеля с присущим ей внутренним пониманием операции логического отрицания.

Третий параграф «Дедуктивный стиль мышления и искусственный ин­теллект» посвящен проблеме создания эффективно действующих интеллек­туальных систем.

В первой части параграфа описываются парадигмы, в рамках которых проводились исследования на начальных стадиях развития ИИ, при этом особое внимание уделяется парадигме «знания + логический вывод», доми­нировавшей на втором этапе разработок интеллектуальных систем. Анализи­руются причины, в силу которых данная парадигма не могла стать основой для успешного создания эффективных ИС.

В последующем предпринимались попытки разработки подходов, выхо­дящих за рамки указанной парадигмы, однако и они не привели к значитель­ным успехам. Во второй части параграфа анализируется, существует ли во­обще возможность выйти за рамки логической дедукции при построении ин­теллектуальных систем.

Для ответа на этот вопрос вводится специальное понятие: «дедуктивный интеллект». Под ДИ понимается человек, запрещающий себе в процессе ре­шения проблемы как приобретение новых знаний, так и целенаправленный выбор уже имеющихся у него сведений (в качестве ДИ можно представлять себе конструктора ИС, пытающегося воспроизвести ход «рассуждений» ис­кусственной системы, приведший к решению некоторой задачи). Далее пока­зывается, что ДИ в состоянии предоставить решение некоторой проблемы лишь в том случае, когда её решение в той или иной форме известно ему за­ранее.

Всё многообразие задач, могущих быть предложенными ИС, естествен­ным образом подразделяется на два класса: процедурные и декларативные. В первый входят те, ответом в которых является объект, который еще только предстоит построить в процессе решения. Ко второму относятся задачи, в которых достаточно ограничиться проверкой свойств объекта, заданного в самом условии. Соответственно, на процедурные и декларативные подразде­ляются и сведения A, B, ..., D, имеющиеся в ИС на момент поступления но­вой задачи: первые представляют собой решения задач, ответом в которых является объект, который строится в самом процессе решения, в то время как вторые представляют собой описания свойств объекта, заданного в изна­чальной формулировке утверждения.

Формальный характер критериев ограничения полного перебора допус­тимых способов решения предполагает формализацию также и цели пред­принимаемых действий – задачи P, причем формализованная цель P должна быть присоединена явным образом ко всем имеющимся в ИС формализован­ным знаниям A, B, ..., D. Тогда полученная интеллектуальной системой про­цедурная задача: «Найти программу действий P, обеспечивающую выполне­ние заданного набора условий» может быть заменена на доказательство эк­вивалентного утверждения: «При наличии сведений A, B, ..., D задача P раз­решима». Лишь в таком виде ДИ мог бы надеяться решить выделенную ИС проблему.

Разрешимость процедурной задачи P может быть установлена ДИ только путем синтеза процедурных знаний, находящихся среди формализо­ванных сведений A, B, ..., D, причем в качестве основы синтеза он не может использовать ничего, кроме оставшихся сведений декларативного характера. Так как содержательная интерпретация результата каждого шага синтеза должна быть согласована с интерпретациями тех «кирпичиков» знания, с помощью которых производится данный синтез, а конечная цель синтеза – задача P – представлена в декларативном виде, то все исходные и промежу­точные знания процедурного характера также должны быть переписаны в виде утверждений о разрешимости соответствующих задач.

После декларативной переформулировки поставленной проблемы и на­личных сведений встает вопрос о допустимых средствах теперь уже логиче­ского способа синтеза процедурных знаний. Нетрудно проверить, что един­ственной логической операцией, пригодной для формального конструирова­ния искомой программы P, может быть только импликация. В случае, если разрешимость задачи P непосредственно следует из разрешимости более простых процедурных задач I, J, ..., L, алгоритмический характер действий ДИ по её решению очевиден.

Сложности возникают только в том случае, когда хотя бы одна из задач I, J, ..., L не имеет непосредственного процедурного решения, находящегося в памяти ИС. Тогда для неё придется решать задачу разрешимости, анало­гичную задаче для основной проблемы P. И так мы приходим к задаче оты­скания логической схемы решения проблемы P, благодаря которой решение P сводится к «простым» процедурным задачам, для решения которых уже не нужно привлекать никаких сведений декларативного характера.

Задача построения логической схемы нахождения программы P на ос­нове наличных декларативных сведений является чисто синтаксической. Если ДИ известен универсальный алгоритм «сборки» логических схем, то его привлечение дает искомый алгоритм решения процедурной задачи P. В состоянии ли он самостоятельно его отыскать?

Так как операция синтеза, как указывалось в § 1.2, является «макси­мально недедуктивной», то ДИ остается использовать лишь операцию ана­лиза, при этом единственными формальными ограничениями на всём протя­жении процесса «поиска алгоритма» могут быть только исключение повто­рений отдельных импликаций при составлении последовательности, а также исключение повторений среди целых кандидатов-последовательностей на роль логической схемы нахождения программы P. Но тогда подобный спо­соб построения логической схемы сведётся к простому перебору, и никакого, даже самого малого, ограничения его получить не удастся. Поэтому и здесь ДИ вынужден будет воспользоваться готовым алгоритмом полного перебора последовательностей импликаций (способ нахождения этого алгоритма также требует многократного использования процедуры целенаправленного отбора сведений, недоступной ДИ).

В случае, когда задача P является декларативной (когда достаточно про­верки свойств объекта, уже заданного в её условии) ДИ также должен с са­мого начала отказаться от стремления построить решение, ограничившись попытками получить ответ косвенным образом. Гарантией наличия опреде­ленных свойств S, ..., W у рассматриваемого в задаче объекта может быть только логическое доказательство этих свойств из исходного набора данных A, B, ..., D. Возможны следующие способы их проверки: записав формально утверждение о выводимости свойств из аксиом A, B, ..., D, преобразовать его к такому эквивалентному виду, в котором требуемая выводимость усматри­валась бы очевидным образом, или, наоборот, предположив, что конъюнкция свойств S, ..., W неверна, придти в результате к противоречию.

Этими двумя случаями все возможности косвенной проверки наличия свойств у заданного в задаче P объекта полностью исчерпываются. В этом легко убедиться, учитывая, что отказ от полного перебора всех возможных способов вывода формулы P осуществим лишь при условии соединения в явном виде всех исходных данных A, B, ..., D с формальным описанием дан­ной задачи. Имеется лишь два способа подобного соединения.

В первом к начальным сведениям присоединяется само содержащееся в задаче P утверждение, при этом содержательной интерпретацией формаль­ной записи (A, B, ..., D; P) в рассматриваемом контексте может быть только не доказанное пока предположение о существовании вывода утверждения P из начальных аксиом. Второй способ заключается в присоединении к на­чальным аксиомам отрицания утверждения задачи P. Так как помимо отри­цания не существует каких-либо других возможностей формального преоб­разования высказывания с удержанием его исходного смысла (двойное от­рицание высказывания декларативного характера тождественно первона­чальному), то все возможные способы формального соединения сведений-аксиом с условием задачи тем самым исчерпаны.

Суть каждого из указанных подходов заключается в преобразовании ис­ходной формальной записи, объединяющей аксиомы с доказываемым утвер­ждением, к некоторому специальному виду. В первом случае выражение вида (A, B, ..., D; P) должно быть преобразовано в одно или несколько по­добных выражений, в каждом из которых по обе стороны от точки с запятой должна оказаться одна и та же последовательность знаков. Во втором случае в выражении (A, B, ..., D; P') (символ P' означает отрицание утверждения P) должна появиться контрарная пара знаков f и f', наличие которой и означает получение противоречия. Но, независимо от конкретного вида выражений, в которые стремятся преобразовать исходное формализованное условие за­дачи, в каждом из этих случаев приходится решать вспомогательную проце­дурную задачу, требующую построение нового, не заданного изначально объекта, удовлетворяющего некоторым строго определенным условиям. А её, как было показано ранее, ДИ может решить лишь при наличии в его па­мяти готового алгоритма. Иными словами, ни одна задача не может быть решена им самостоятельно.

Тем самым показано, что для создания эффективно действующих ин­теллектуальных систем необходимо научиться воспроизводить искусствен­ным образом целенаправленный отбор наличных сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.

В четвертом параграфе «Логическая парадигма ИИ: современные тен­денции» анализируются тенденции последних лет в области искусственного интеллекта.

В 1996 г. один из ведущих современных специалистов в области ИИ А. Банди отмечал, что усилия исследователей, затраченные на создание не­традиционных логических систем для построения новых вариантов автома­тизированного вывода, не привели к существенным результатам. Попытки же разработки нелогических систем автоматизированного вывода наподобие семантических сетей, фреймов и продукционных правил вызывали кратко­временный всплеск интереса, вслед за которым наступало понимание того, что в действительности за ними скрывается «старый волк в овечьей шкуре» . Поэтому основанный на классической логике автоматизированный вывод и сегодня остается ключевой техникой в ИИ.

Заманчивую идею «укрупнения вывода» при помощи внесения коррек­тив в стратегию поиска доказательства за счет извлечения позитивной ин­формации из неудачных попыток предложил недавно Б. Бухбергер . Существенную роль при этом играет то, что вместо стандартного языка логики предикатов он использует логику предикатов с переменными, являющимися последовательностями индивидных символов. Последнее позволяет естественным образом описывать схемы алгоритмов.

Для ряда задач (сортировка, слияние и разбиение наборов) демонстри­руется схема автоматического синтеза алгоритмов, что, как будто, противо­речит выводам § 3.3 диссертации. Но и здесь более внимательный анализ по­казывает, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе, заключающийся в преобразовании негативной информации (неудача в дока­зательстве корректности спецификации) в позитивную, достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» – как аль­тернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая» часть алгоритмиче­ского синтеза в действительности оказывается фиктивной, так как для полу­чения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом прихо­дится добавлять части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов ИС.

В Заключении подводится итог сделанной работы, резюмируется её ло­гика и основные выводы.

По теме диссертации опубликованы следующие основные работы:

В ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Обоснование и культура // Философские науки. – 1992. – № 2. – С. 179–181 (в соавторстве c А.Ф. Кудряшевым).

2.  Конференция «“Науки о природе” и “науки о духе”: предмет и метод на рубеже XXI века» // Философские науки. – 1995. – № 2–4. – С. 228–237.

3. Гипотетико-дедуктивный метод и гуманитарное знание // Вестник РГГУ. Вып. 3. Науки о природе и науки о духе: предмет и метод на рубеже XXI века / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. – М.: Российск. гос. гуманит. ун-т. – 1996. – № 3. – С. 121–126.

4.  Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествозна­ния и техники. – 2003. – № 3. – С. 95–110.

Монография:

5. «Греческое чудо» и теоретическая математика. – Москва: Издательский центр РГГУ, 2007. – 192 с. (9,7 печ. л.)

В сборниках и коллективных монографиях:

6. К вопросу о возникновении дедуктивной математики // Современная ма­тематика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. 2. – Москва–Обнинск, 1987. – С. 225–228.

7. Об особенностях античного метода исчерпывания // Историко-математи­чес кие исследования. – 1990. – Вып. XXXII–XXXIII. – С. 11–20.

8. Искусственный интеллект и формальные дедуктивные теории // Матема­тические методы решения инженерных задач. – М.: Ракетные войска страте­гического назначения, 1993. – С. 32–37.

9. Математика как феномен культуры // Гуманитарные науки и новые ин­формационные технологии: Сб. научн. трудов / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. – М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1994. – Вып. 2. – С. 143–148.

10. Дедуктивный метод и обоснование математики // Обоснование и куль­тура: Сб. научных статей. – Уфа: Башкирск. ун-т, 1995. – С. 134–141.

11. Геометрия и аксиоматический метод // Историко-математические иссле­дования. Серия 2.– 1996. – Вып. 1 (36). – № 2. – С. 195–204.

12. Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бесконеч­ность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. – М.: Янус–К, 1997. – С. 35–39.

13. К критике канторовской диагональной процедуры // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. – М.: Янус–К, 1997. – С. 22–29 (в соавторстве с Л.О. Шашкиным).

14. Математика и образование // Философско-педагогический анализ про­блемы гуманизации образовательного процесса. Сб. научн.  статей. Вып.1. / Под ред. Г.В. Лобастова. – М., 1998. – С. 97–101.

15. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. – СПб.: РХГИ, 1999. – С.288–304.

16. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (историко-науч­ный и логический контекст) // Историко-математические исследования. Вто­рая серия. – 1999. – Вып. 4 (39). – С. 303–324 (в соавторстве с Е.А. Зайцевым и Л.О. Шашкиным).

17. Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории мно­жеств // Историко-математические исследования. Вторая серия. – 1999. – Вып. 5 (40). – С. 290–300 (в соавторстве с Л.О. Шашкиным).

18. Математическое образование студентов гуманитарных специальностей // Труды Международной конференции «Проблемы реализации многоуровне­вой системы образования. Наука в вузах» М., 1999. – С. 376–378.

19. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические иссле­дования. Вторая серия.– 2001. – Вып. 6 (41). – С. 277–284.

20. Как числа стали абстрактными? // Историко-математические исследова­ния. Вторая серия. – 2002. – Вып. 7 (42). – С. 190–201.

21. Метаматематика и опыт // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – С. 354–365.

  • 22. Математика как теоретическая наука и как учебная дисциплина // Труды школы-семинара по проблемам фундирования профессиональной подго­товки учителя математики. Посвящается 100-летию со дня рождения акаде­мика А.Н. Колмогорова. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. – С. 32–48.
  • 23. Математическое мышление и искусство управления // Ученые труды фа­культета государственного управления МГУ. – 2003. – Вып. 2. – С. 142–158 (в соавторстве с А.А. Григоряном и Е.В. Шикиным).
  • 24. О роли строгости в преподавании математики и математическом творче­стве: взгляды А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда // Труды вторых Колмого­ровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. – С. 25–33.

25. О методологических проблемах преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей // Труды третьих Колмогоровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. – С. 87–96.

26. Природа математического мышления // Современные философские про­блемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред. В.В. Миронова. – М.: Гардарики, 2006. – С. 13–25.

27. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции мате­матики в культурном контексте // Современные философские проблемы ес­тественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для ас­пирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред. В.В. Ми-ронова. – М.: Гардарики, 2006. – С. 25–34.

Тезисы выступлений на международных и всероссийских конферен­циях:

28. С.А. Яновская о применении аксиоматического метода в геометрии // Един­ство онтологии, теории познания и логики // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 400-летию Р. Декарта и 100-летию С.А. Янов-ской. Уфа, 31 мая – 1 июня 1996 г. – Уфа: Издание Башкирского универси­тета, 1996. С. 114–117.

29.Генезис объективного идеализма и геометрия // Ильенковские чтения: Тез. выступл. 18– 19 февр. 1997 г. / Под науч. ред. Г.В. Лобастова. – М.: Акаде­мия печати, 1997. – С. 37–38.

30. Диалог как форма выражения содержания философии Платона // Когни­тивное моделирование переговорного процесса: Тезисы докладов Всероссий­ской конференции (Москва, 17– 18 декабря 1997 г.). – М., 1998. – С. 78–80.

31. Абстрактно-общее  и математика // Ильенковские чтения: Тезисы докла­дов и сообщений межд. научн. конф. Зеленоград, 18– 20 февр. 1999 / Под ред. Г.В. Лобастова. – Москва-Зеленоград, 1999. – С. 105–108.

32. Математические объекты в математике и за ее пределами // XXI век: буду­щее России в философском измерении: Материалы II Российского философ­ского конгресса (7–11 июня 1999 г.). В 4 ч. Т. 1. Онтология, гносеология и методология науки, логика. Ч. 1. – Екатеринбург, 1999. – С. 207–208.

33. Естественнонаучное и гуманитарное образование в XXI веке // Стратегия опережающего развития для России XXI века: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Москва, 18– 19 июня 1999 г. Т.3. Ч.1. – М., 1999. – С. 53–54.

34.Математическое и гуманитарное образование: общее и особенное // Все­российская конференция «Математика и общество. Математическое образо­вание на рубеже веков», Дубна, сентябрь, 2000. – М.: МЦНМО, 2000. – С. 343–344.

35. Два понятия идеального: М.А. Лифшиц и Э.В. Ильенков // Ильенковские чтения. Материалы 2-й (24–25 марта 2000) и 3-й (16–17 февраля 2001) Меж­дународных научных конференций. Ч. 1. – М.: Российский государственный институт интеллектуальной собственности, 2002. – С. 16–20.

36. Творчество в современной философии // Ильенковские чтения. Мате­риалы 2-й (24–25 марта 2000) и 3-й (16–17 февраля 2001) Международных научных конференций. Ч. 1. – М.: Российский государственный институт ин­теллектуальной собственности, 2002. – С.57–62.

37. Формальная и диалектическая логика в зеркале истории науки // Ильенков и Гегель. Материалы IX Международной научной конференции (26–27 ап­реля 2007 г.). – Ростов-на-Дону, 2007. – С. 173–174.

В учебных пособиях:

38.Естественный и искусственный интеллект: Проблемная лекция. – М.: РГГУ, 1995. – 42 с.

39.Математика в мировой культуре. – М.: РГГУ, 2006. – 228 с. (совместно с Е.А. Зайцевым).

Ibid. XII, 9, 1075a 1–4.

Блаватский В.Д. Природа и античное общество. М., 1966.

 Перевод Е.П. Ернштедта (Античные теории языка и стиля. М.-Л., 1936. С. 69) соответст­вующего места (VIII, 11–12) сочинения Секста Эмпирика «Против ученых».

Кратил, 388a–d.

 Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, IX, 51.

Вторая аналитика, I, 10, 76b 32–34.

Государство, VII, 533b–d.

О небе, III, 1, 299a 5–6.

 Франкфорт Г., Франкфорт Г.А., Уилсон Дж., Якобсен Т. В преддверии философии. Ду­ховные искания древнего человека. М., 1984. С. 93.

Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М., 1972. С. 13.

 Бурбаки Н. Архитектура математики / Очерки по истории математики. М., 1963. С. 258 сл.

См.: Метафизика, XII, 8.

Weyl H. The Open World. New Haven, 1932. P. 8.

 Лосев А.Ф. История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. М., 1969. С. 550.

Аристотель. Поэтика, 21, 1457b 6–8.

Об истолковании, 1, 16a 5 – 8.

Кратил, 430a–b.

 Gцdel K. Ьber eine bisher noch nicht benьtzte Erweiterung des finiten Standpunktes // Dialectica. 1958. V. 12. № 3/4. P. 280–287.

 Об этом см.: Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Канто-ра и теория множеств (историко-научный и логический контекст) // Историко-математи-ческие исследования. Вторая серия.  1999.  Вып. 4 (39).  С. 306–314.

Bundy A. Artificial Mathematicians. May 23, 1996. P. 1.

 Buchberger B., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90–106.

 Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959; Szabу Б. Anfдnge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969.

 Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988; Лосева И.Н. Теоретиче­ское знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону, 1989; Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983; Зайцев А.И. Культурный пе­реворот в Древней Греции VIII–V вв. до н.э. Л., 1985; Петров М.К. Искусство и наука. Пи­раты Эгейского моря и личность. М., 1995; Розин В.М. Специфика и формирование есте­ственных, технических и гуманитарных наук. Красноярск, 1989; Степин В.С. Теоретиче­ское знание. Структура, историческая эволюция. М, 2000.

Александров А.Д. Математика // Философская энциклопедия. М., 1964. Т. 3. С. 331.

 Яновская С.А. Содержательная истинность и формально логическая доказуемость в мате­матике // Практика и познание. М., 1973. С. 247.

 Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып. XI. С. 63–96.

Государство, VI, 511c–d.

Метафизика, I, 6, 987b 2–7.

 Спиноза, строя дедуктивным образом свою «Этику», сознательно ориентировался на гео­метрический образец.

Федр, 247c.

 О существенности данного обстоятельства для понимания Платона см.: Сергеев К.А., Слинин Я.А. Природа и разум: Античная парадигма. Л., 1991. С. 210–212, 234–235.

Метафизика, VII, 7, 1032b 1, 13–14.

Ibid. III, 2, 997b 5–12.

Ibid. VII, 16, 1040b 30–34.

 





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.