WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

«Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати-01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Автореферат диссертации

 

Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

УДК 517.925

Роголев Дмитрий Владимирович

КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТИПА РИККАТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

по специальности «01.01.02 - дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление»

Гродно, 2012


Работа выполнена в государственном научном учреждении «Институт техноло­гии металлов НАН Беларуси»


Научный руководитель:

Официальные оппоненты:


Лаптинский Валерий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории модифицирования сплавов государственного научного учреждения «Институт технологии металлов НАН Беларуси»

Садовский Антон Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор,

профессор         кафедры         дифференциальных

уравнений и системного анализа Белорусского государственного университета


Гринь Александр Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и методики преподавания математики учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Оппонирующая организация: государственное научное учреждение «Институт

математики Национальной академии наук Бе­ларуси»

Защита состоится 06.04.2012 в 10 на заседании совета по защите дис­сертаций К 02.14.02 при учреждении образования «Гродненский государствен­ный университет имени Янки Купалы» по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожеш-ко, 22, ауд. 209.

Телефон ученого секретаря: (+375 152) 74 43 76; (+375 152) 73 19 26.

E-mail: v.pronko(S>grsu.by, n.nech@grsu.by.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГрГУ им. Я. Купалы.

Автореферат разослан 05.03.2012.


Ученый секретарь

совета по защите диссертаций К 02.14.02


В.А. Пронько


КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Теории периодических краевых задач для обыкновенных дифференци­альных уравнений посвящено большое количество исследований. Важность этих исследований объясняется тем, что приёмы исследования этих задач со­ставляют методологическую основу математической теории колебаний перио­дического типа. В ХХ-м столетии в связи с потребностями науки и техники ин­тенсивное развитие получили не только качественные методы, но и аналитиче­ские, численные, численно-аналитические методы, а также функционально-аналитические методы.

Численно-аналитические методы позволяют для достаточно широких классов краевых задач исследовать существование решения и одновременно с помощью численных вычислительных процедур находить это решение в виде последовательности функций, а также оценить отклонения точного решения от его приближений. При этом используются также аналитические вычислитель­ные процедуры, связанные с представлением решений в форме рядов или по­следовательных приближений. Очевидно, аналитические решения с точки зре­ния качественного и количественного анализа удобнее численных. Например, некоторые подходы дают не только эффективные приёмы получения аналити­ческих решений, но и могут быть использованы для получения численно-аналитических решений сложных прикладных краевых задач, которые ранее решались только численно.

Поскольку в математической литературе не существует универсальных ме­тодов исследования краевых задач, то вполне естественной является разработка таких методов применительно к отдельным классам задач. Из этих методов следу­ет выделить так называемые конструктивные методы, которые дают эффективные условия разрешимости краевых задач и удобные для практического применения алгоритмы построения их решений. Отметим, что в теории периодических крае­вых задач для исследования разрешимости и построения решений широко исполь­зуются различные аналитические методы: как классические (метод малого пара­метра Ляпунова-Пуанкаре, метод последовательных приближений, метод рядов Фурье), так и обобщения и модификации этих методов. В излагаемой работе на­ряду с классическим методом последовательных приближений используются его модификации, вытекающие из конструктивного метода регуляризации . Установ­лено, что в рассмотренных случаях эти модификации являются более эффектив­ным средством построения приближённых решений исследуемой задачи.

Следует отметить, что вопросы конструктивной теории краевых задач для

1 Лаптинский, В.Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем / В.Н. Лаптинский. -Минск : Институт математики НАН Беларуси, 1998. - 300 с.

1


многомерных систем дифференциальных уравнений специального вида мало изучены. К таким системам относятся матричные дифференциальные уравне­ния Риккати, Ляпунова ' ' и их обобщения ' ' , в частности, системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати ' , играющие важную роль в тео­рии и приложениях дифференциальных уравнений. Поэтому развитие конст­руктивных методов применительно к малоизученным краевым задачам пред­ставляется актуальным.

Данная работа посвящена конструктивному анализу периодической крае­вой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Работа выполнена в рамках задания «Создание конструктивных методов анализа периодических и многоточечных краевых задач для нелинейных диф­ференциальных систем» («Математические модели 07.2», сроки выполнения 2006-2010 гг., номер госрегистрации 20062047) в Государственной программе фундаментальных исследований «Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе» (шифр «Математические модели»).

Цель и задачи исследования

Целью работы является конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати с пере­менными коэффициентами. Основные задачи: получение конструктивных дос­таточных условий существования и единственности решения в различных слу­чаях и разработка алгоритмов его отыскания.

Положения, выносимые на защиту

- достаточные условия существования и единственности решений перио-

2 Reid, W.T. Riccati Differential equations / W.T. Reid. - New York, London, 1972.

3   Параев, Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати/ Ю.И. Параев. - Томск: Томский госуниверситет,

1989.-166 с.

4 Егоров, А.И. Уравнения Риккати / А.И. Егоров. - М. Физматлит, 2001. - 320 с.

5 Захар-Иткин, М. X. Об одном классе граничных задач, имеющем применения в теории многоволно­

вых линий передач / М. X. Захар-Иткин // УМН, 1970. - Т. XXV, вып. 5 (155). - С. 240-241.

6  Murty, K.N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems - existence and uniqueness / K.N. Murty,

G.W. Howell, S. Sivasundaram // Journ. Mathem. Anal, and Appl. - 1992. - V. 167. - P. 505-515.

7 Murty, K.N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems associated with an nth order nonlinear system of

differential equations - existence and uniqueness/ K.N. Murty, G.W. Howell, G.V.R.L. Sarma// Mathem. Probl. in

Engineering - 2000. - V. 6. - P. 395-410.

8  Анисович, В.В. Об одном подходе к решению задач оптимального управления/ В.В. Анисович,

Б.И. Крюков, В.М. Мадорский // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 251, № 2. - С. 265-268.

9  Lucas, J. Explicit solutions of Riccati equations appearing in differential games / J. Lucas // Applied Mathe­

matics Letters. - 1990. - V. 3, №. 4. -P. 9-12.

2


дической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравне­ний типа Риккати в различных случаях;

  1. алгоритмы построения приближённых решений указанной задачи;
  2. оценки области локализации этих решений. Личный вклад соискателя

В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично соискателем. Роль научного руководителя В. Н. Лаптинского, в соавторстве с которым выполнены работы [1-3, 5-8], состояла в постановке задачи, помощи в выборе методики исследований и анализе полученных результатов. Результаты работ [4, 9-14] получены соискателем самостоятельно.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международ­ных математических конференциях:

  1. Первой международной конференции «Математическое моделирова­ние и дифференциальные уравнения» (Минск, 2007);
  2. X Белорусской математической конференции (Минск, 2008);
  3. XIII Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения-2009» (Пинск, 2009);
  4. 5-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2009), (Минск, 2009);
  5. Международной математической конференции «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2010» (Минск, 2010);
  6. XIV Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения-2011» (Новополоцк, 2011);
  7. 6-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2011), (Минск, 2011).

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах [1-14], среди которых 3 статьи в рецензируемых научных журналах, соответст­вующих пункту 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении учёных званий в Республике Беларусь, общим объёмом около 2 авторских лис­тов; 7 тезисов докладов на математических конференциях, 3 препринта.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырёх глав, библиографического списка, двух приложений.

Полный объем диссертации составляет 160 страниц машинописного тек­ста, из которых 11 страниц занимает список использованных источников, со­держащий 133 наименования; 53 страницы - приложения, содержащие проме­жуточные математические выкладки и иллюстративные примеры.

3


ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ


Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и приво­дятся основные направления исследования.

В первой главе даётся краткий обзор литературы и основных методов исследования начальных и краевых задач для многомерных систем дифферен­циальных уравнений. Рассмотрены работы других авторов, посвященные реше­нию двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав­нений. Изложена суть конструктивного метода исследования краевых задач для многомерных систем дифференциальных уравнений, применяемого авто­ром в диссертационной работе.

= Al(t)X+XBl(t)+X(Sl(t)X + S2(t)Y) + Fl(t), лA2(0Y + YB2(0 + Y(P1(0X+P2(0Y) + F2(0,

Во второй главе диссертации на основе применения конструктивного метода регуляризации (с использованием левосторонней регуляризации) прове­дён анализ следующей краевой задачи:

(1)

(2) (3)

dX

dt

dY

Х(0) = Х(ю),

Y(0) = Y(fi>),                                                   (4)

где X, Y - квадратные матрицы порядка n, матрицы A. (7), В. (t), S; (t), P. (t),

F. (t) (i = 1,2) определены и непрерывны на промежутке [0,со]; со > О.

Система типа (1), (2) впервые появилась, по-видимому, в теории диффе­ренциальных игр (см., например, работу J. Lucas ). Двухточечная краевая задача для   системы   матричных   уравнений   типа   (1),   (2)   поставлена   в   работе

о

В.В. Анисовича, Б.И. Крюкова, В.М. Мадорского . Примем следующие обозначения: Z) = {(f,X,Y):0^r^fl?,||X||^iol,||Y||^/72}, ,D = {(X(0,Y(0):||X||c ^/^,||Y||C ^/>2},

Ai(®) = ^A>(T)dT> ft=|A«:1H|' ^=mfxIM0l> Д =тах||В.(ґ)||, 8i =maxрДґ) , //j =max|P.(t)\\, ht =max|F.(t)\\, |Т|С =тах|Т(ґ)|,

Яп = Ух 2ai(ai+ A +25iPi +52Р2)®2 +(Л +2^iA +82p2)a)

Чі2=ГАРі(0\-^аі(0 + 1у У21=Г2МіР2М2а2® + 11

q22 = y2 —a2 (a2 + (52 + julpl +2ju2p2)co2 +(/?2 +julpl +2ju2p2)co

где t є [0,co], pl,p2>0, I • I - норма матриц (S и T), удовлетворяющая мультип­ликативному неравенству |ST| <|S||T| .

4


Теорема 2.1. [1, 2, 5]. Пусть выполнены следующие условия:

1) detA. фО (/ = 1,2),

+

2)            пЬ«і [К + Л) А + 8ХА2 + А А А + ^ ]^2


(5)



+ [Д # + ?1Ур2 + $2 А А + /^ ] <у}< А > Г2 Ь«2 [(«2 + А)а2 +М2Рі +МАА2 +^2]^2


+


(6)


+ [А А + th РІ + А А А +К~\о)\<р2,

(V)

3) ?п<1, det(E-Q)>0,

где Е = diag(1,1), Q = (qtJ).

Тогда задача (1)-(4) однозначно разрешима в области D. Для доказательства теоремы сначала выведена система матричных инте­гральных уравнений, эквивалентная задаче (1)-(4):


(t г

X(t) = A;1(a>)

J jA^cr^cr [А1(г)Х(г) + Х(г)В1(г) +

.oVo                у

й) (соД

+X(r)(S1(r)X(r) + S2(r)Y(r)) + F1(r)]t/r-J Ja^ct)^ [А^Х^-ь +Х(г)В1 (г) + X(r)(S! (г)Х(г) + S2 (г) Y(r)) + Ґl (г)] dx -

соЛ

-J[x(r)B1 (г) + X(r)(S1 (г)Х(г) + S2(r)Y(r)) + Ц (r)]dr  ,                       (8)


(t ґ

Y(0 = A2»

J JA2 (<т)<*<т [A2(r)Y(r) + Y(r)B2(r) +

.оДо                    у

й) /ffl                           Д

+Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]jr-J \A2(a)da [A2(r)Y(r) +

t\TJ

+Y(r)B2(r) + Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]jr-

CO1

-J[Y(r)B2(r) + Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]^   .                            (9)


ю

Далее исследована разрешимость системы (8), (9) с помощью обобщённо­го11' принципа Банаха-Каччиопполи сжимающих отображений. Доказано, что


456 с.


Приближённое решение операторных уравнений / М. А. Красносельский [и др.] - М. : Наука, 1969.


решение X = Х(7), Y = Y(7) этой системы на рассматриваемом множестве су­ществует и единственно.

Для построения решения системы (8), (9) разработаны итерационные ал­горитмы с различными вычислительными схемами.

В разделе 2.2 исследуется алгоритм решения задачи (1)-(4) на основе классического метода последовательных приближений:


х


t I т

х,(0=аг1И

J \Mcr)dcr [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

ovo             J

соҐсо

+Хк_, (r)(S1 (rJX^ (г) + S2 (г) Yk_, (г)) + F, (г)] dx - J J Ах (cr)dcr

t \т

[\ №-i M+X*-i MBi M + X*-i toft «X*-i W + S2 (r)Yw (г))^ (r)]dT-

соЛ

-J[X,_1(r)B1(r) + Xt_1(r)(S1(r)Xt_1(r) + S2(r)Y,_1(r)) + F1(r)]^  ,      (10)


t I   T

Y,(0 = A2-1H-

J \A2(cr)dcr [А2(т)\к_1(т) + \к_1(т)В2(т) +

ovo

,? = 1,2,-, (И)

+\к_1(т)(Р1(т)Хк_1(т)+Р2(т)\к_1(т)) + ?2(т)Ут-\\\A2(cr)dcr x[A2 (r)Y^ (r) + YkA (r)B2 (r)+Y,_1 (rjft (r)Xw (r)+P2 (r)YH (r)) + F2 (r)]^r--f [Yw (r)B2 (r) + Yw (r)(P1 (r)XkA (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)]^r

где Х0(ґ), Y0(?) - произвольные матричные функции класса С[0,&>], принад­лежащие множеству D.

Изучены вопросы сходимости, скорости сходимости алгоритма (10), (11). Соответствующие результаты представлены теоремой 2.2.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D реше­ние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, оп­ределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (10), (11), при этом справедлива оценка

Z^(E-Q)_1Q'Z0,i = 0,l,2,...,                                          (12)


П

Х-Х

Ґ\\\   _Y  II   Л

i\\C

где Ъ; =

> ^о -

Y-Y

llY -Y I

*1          0

А1    Ао|1с

J

г IIC J

На основе оценки (12) получена следующая коэффициентная оценка:


Z<Z0+(E-Q)"1Z0,


(13)


^llv II  Л

llAllc

, llYll   , vll   Hey

где Z =

¦> Z0 -

Ao|lc

,lY II

Приближённые решения, построенные по алгоритму (10), (11), не обяза­ны удовлетворять краевым условиям (3)-(4). В этом смысле эффективными яв­ляются алгоритмы с неявной и модифицированной явной вычислительными схемами, полученные в разделах 2.3 и 2.4.

В разделе 2.3 разработан алгоритм решения с неявной вычислительной схемой:


t ( т

х,(0=аг1М

J \Mcr)dcr [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

.ovo                   у

+Xk_, (r)(S1 (r)Xw (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (rj]dr-

со Ґ соЛ

-J J A, (a)da [A, (r)Xw (r)+XH {т)Ъх (r) +

t\zУ

+Хк_х (r)(S1 (т)Хк_х (r)+S2 (т)\к_х (фЪ (r)]dr-

со

-J[X W»! W+X, (r)(S1 (т)Хк (r) + S2 (r)Y, (т))Щ (r)]^r

Y,(0 = A21H-

J Ja2h^o- [A2(r)yt_1(r)+xt_1(r)B2(r)+

.ovo                    у

+Y,4 (0(P! (О**-! (r) + P2 (r) \k_x (0)+F2 (r)] Jr-

CO Ґ CO\

-J Ja2(<t)</<7 [A2(r)Yt_1(r) + yt_1(r)B2(r) +

Лг                у

+Y,4 (0(P! (О**-! (r) + P2 (r) \k_x (0)+F2 (r)] Jr-


(14)



-J[Y,(r)B2(r) + Y,(r)(P1(r)X,(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^r


,k = l,2,...   (15)


где в качестве начального приближения Х0, Y0 приняты постоянные матрицы, определяемые из соответствующих условий (3), (4) для приближений ХДґ),


С1=-А-»

-А"»


о

со

С^ВДО^ + Сі J*S1(r)6/rC1+J*S2(r)^rC2 +ц(0

0 со

С2|В2(0^ + С2  \?х{т)йтСх+\?2{т)йтС2  +F2(0


(16)

(17)


Полученная последовательность {Xk(t),Yk(t)}Q сходится равномерно по ґє[0,&>] к решению системы интегральных уравнений (8), (9), при этом спра­ведлива оценка


Z<(E-H)HZ0, / = 0,1,2,...,


(18)


где матрица Н эффективно определяется на основе матрицы Q.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D реше­ние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, оп­ределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (14), (15) и удов­летворяющих условиям (3), (4), при этом справедлива оценка (18).

Алгоритм (14), (15) неудобен тем, что основан на неявной вычислительной схеме: на каждом итерационном шаге для отыскания соответствующего прибли­жённого решения приходится решать систему матричных интегральных уравне­ний. Поэтому в разделе 2.4 разработан алгоритм с явной вычислительной схемой:


t I   2"

Х,+1(0 = АГ»

J \Mcr)dcr [А1(г)Х,(г) + Х,_1(г)В1(г) +

.ovo                   )

+Xk_, (r)(S1 (r)Xw (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (r)]dr-

CO ҐCO^

-J \\(cr)dcr [A1(r)X,(r) + X,_1(r)B1(r)+

t\T)

+Xk_x (r)(S1 (т)Хк_х (r)+S2 (т)\к_х (фЪ (r)]dr-

CO

-J[X,(r)B1(r) + Xt(r)(S1(r)Xt(r)+S2(r)Y,(r)) + F1(r)]^


(19)


t I  T

Yt+1(0 = A-1H J \A2(cr)dcr [A2(r)Y,(r) + Y,_1(r)B2(r) +

LoVo                     J

+Y*_! (0(pi WXt, M + P2 (t) Yh (t)) + F2 (r)] dr -

CO / CO\

-J JA2 (<т)Лт [A2(r)Y,(r)+Y,_1(r)B2(r) +

t\t                              J

+YkA (т)(Ъ (r)Xw (r) + P2 (r)YH (r))+F2 (r)>r-


-J[Y,(r)B2(r) + Yt(r)(P1(r)Xt(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^


k * = lz...


(20)


где X0 = 0, Y0 = 0,  Xl = -A"1 (co)JҐl (r)dr, Yl = -А"1 (со) JF2 (r)dr.

о                                                              0

8


Построенная последовательность |Х^ (ґ),У^ (7)j равномерно сходится к решению X(7),Y(7) системы матричных интегральных уравнений (8), (9), при этом

Z,<(E-M-N)-1(Z,+NZ,_1),^ = 1,2,...,                                    (21)

где матрицы М, N определяются на основе матрицы Q, причём М + N = Q,


2 J

Z0^


\j2coh


А<


Ух к «X (ахРх +hx) + ®(АРх + 8хРх2 + 8iPxPi) 72 { 2 а2^2 («гЛ + ^2 ) + « (РгРг + MxPxPi + М2Р22 )}


Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D реше­ние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, оп­ределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (19), (20) и удов­летворяющих условиям (3), (4), при этом справедлива оценка (21).

В разделе 2.5 на модельной задаче дана иллюстрация применения изло­женных результатов.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов 2.3, 2.4) обобщают и развивают соответствующие результаты работы (см. §6.4) и работы (см. §1.3), относящиеся к матричному уравнению Риккати. В главе 3 изучение рассматриваемой задачи (1)-(4) продолжено на основе правосторон­ней регуляризации.

Наряду с обозначениями из главы 2 приняты следующие обозначения:

ВДй;)=ГвДгУг,^=||в:1И||, Рхх=Ух  2A(ai+ А + 25хРх + 52р2)со2 + (ах + 28хрх + 82р2)со

Px2=?XS2Px®\^2PxCD + A> P2X=?2PxP2®\^2p2CD + lY


Р22=Ї2


2 А (а2 + А + РхРх + 2Р2Р2)®2 + (а2 + РхРх + 2Р2Р2)®



Теорема 3.1. [4, 6]. Пусть выполнены следующие условия: 1) detB.(<y)*0 (/ = 1,2),


(22)


Самойленко, A.M. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач / A.M. Самойленко, В.Н. Лаптинский, К.К. Кенжебаев. - Киев : Институт математики НАН Украины, 1999.-224 с.

9


+

2)                У {2 Д [(аі + Д) А + ^і А2 + s2 А А + ^ ] ^2

+ [ад + 8xpl + S2plp2 +hl~\a>\<pl,

У2 |^Д [(а2 + Д )А +th А2 +МАА +^2]^2

1

+

12'

+ [«2/72 + jU2p22 + MlPlPl +h2~]®]^P2>

3)  pn<\, det(E-P)>0,

2deE = dmg(l\),P = (Pij).

Тогда задача (l)-(4) однозначно разрешима в области D.


(23)

(24)


Для задачи (1)-(4) в этом случае построена эквивалентная система мат­ричных интегральных уравнений, доказана её однозначная разрешимость. Раз­работаны следующие итерационные алгоритмы построения её решения.

Алгоритм построения решения с классической вычислительной схемой (раздел 3.2):


х*(0=


{[А, (г)Хн (т)+Хк_, (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (r)XH (r) + S2 (т)\кА (г)) о

Щ (г)][ /В, И^ W-J[AX (г)Х,ч (О+Х^ (г^ (г) +


+


 


t/r-

В,"'И.  (25)

+ХкА (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (г) Yw (r^+F, (г)] Jb, {&)da

со

-\[_\ {т)ХкА {т)+ХкА (г)^ {т)ХкА (r)+S2 {z)YkA {т))Щ (г)>


*.(') =


J[A2 (т)\кА (т) + \кА (г)В2 (г) + Yw (г)(Р1 (г)Хн (г) + Р2 (т)\кА (т)) + о

/г                           Л            со

+F2(r)] Jb2 (<т)Лт ^-J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

у          /



+YW (r){Yx (r)Xw (r) + P2 (г) Yw (r))+F2 (г)] JB2 (<j)d<j


dr-


-J[A2 (r)Yw (r)+Yw (rjft (т)Хк_х (r)+P2 (r)Yw (r)) + F2 (г)]</г В"1 (со),    (26)

* = 1,2,...

В данном разделе предложена оценка типа (13):

10


Z^(E-P)_1P'Z0,/ = 0,1,2,....


(27)


Алгоритм построения решения с неявной вычислительной схемой (раз­дел 3.3):


х*(0=


|[А1(г)Х,_1(г) + Х,_1(г)В1(г)+

Ю


+ХкА (r)(S1 (т)ХкА (r) + S2 (r)Yw (г))^ (г)] Jb, (<х)Лх \dr- J[AX (r)Xw (r) +


<ir-

+XW (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (г))^ Щ Jb: (<х)Лх

соЛ

-/[A, (r)Xt (r) + Xt (r)(S, (OX, (r)+S2 (r)Yt (r))+F, (r)]rfr B"1 («,),        (28)


Yt(0 =


J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r)+

U


+YW (Oft (r)Xw (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 Щ }в2 (<х)Лх W-J[A2 (r)Yw (r) +


+YW (r)B2 (r) +Yw Wft (r)Xw (r)+P2 (r)YkA (r))+F2 (r)1 JB2 (<х)Лх


dr-



-J[A2(r)Y,(r)+Y,(r)(P1(r)X,(r)+P2(r)Y,(r))+F2(r)]^


В2»Д = 1,2,...,  (29)


Алгоритм с явной вычислительной схемой (раздел 3.4):


Х*+1(*) =


J[A1(r)X,_1(r) + X,(r)B1(r) +

ю


+XW (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (r))^ (r)][ JB, (<т)Лт W-J[Ax (r)Xw (r) +


+X,(r)B1 (r) + Xw(r)(S1 (r)Xw(r) + S2(r)Yw(т))Щ(г)] Jb:(<х)Лх


<ir-



-{[A, (r)X, (r)+X, (r)^ (т)Хк (r)+S2 (r) Y, {т))Щ {r)~\dr


B'H,              (30)



Y*+i(0 =


J[A2(r)Yt_1(r)+Yt(r)B2(r)+

10


11


+Yk_, (Oft (т)ХкА (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] }в2 (tx)^ W-J[A2 (r)Y^ (r) +


+Y,(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P2(r)Yt_1(r)) + F2(r)] jB2H^o- <fr-

Vr                   )

соЛ

-J[A2(r)Xt(r) + Y,(r)(P1(r)Xt(r) + P2(r)Yt(r)) + F2(r)]^ В2»Д = 1,2,..., (31)

о                                                                                       J

Доказаны теоремы 3.2 -3.4, аналогичные теоремам 2.2 - 2.4.

Иллюстрация применения алгоритмов (25), (26) и (30), (31) изложена в приложении Б2.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов 3.3, 3.4) обобщают и развивают соответствующие результаты работы (см. §6.4) и   работы      (см.   §1.3),   относящиеся   к   матричному   уравнению   Риккати.

Четвёртая глава посвящена исследованию задачи (1)-(4) в случае, когда

матрицы М. = j  A. {r)dr, N; = -j В. {r)dr [i = 1,2) попарно не имеют общих

характеристических чисел.

В дополнение к обозначениям главы 2 приняты следующие обозначения:

Mt=\°At(r)dT, N,=-JoeB,(r)<fr, Г;=|Ф:>)|, ап=П   2^і+ A)(ai + /3i+2SiPi+S2P2)G)2 +(2Slpl+S2p2)co , «12 =Гі<52рМ2^1 + &)а) + 1)> a2i ^WW^K + А)<У + 1Ь «22 = У2  2 (а2 + А)(а2 + А + М А + 2//2 А )^2 + (м А + 2/^2А)ю

где Фг (/ = 1,2) - линейные операторы, Фг = M.Z - ZN;.

Теорема 4.1. [3, 7, 12]. Пусть выполнены следующие условия:

1) матрицы Мг, N,  (/ = 1,2) попарно не имеют общих характеристиче-

с/шх чисел:

(32)


+

2) Л {-^(«i + А)[(«! +Л)а +^iA2 +Ама Н]^2

+ (8хр? + S2plp2 +hl)a>j<pl, У 2 Ы«2 + А)[(«2 + А)А +МАА +/"2А2 +h2]cu2


+


(33)



+ (м А А + М2 А2 + ^2 Н ^ А , 3) ап<1, det(E-A)>0,


(34)


12


где Е = diag{\,\), А = (atJ).

Тогда задача (1)-(4) однозначно разрешима в области D.

Для доказательства теоремы сначала на основании условия (32) выведена соответствующая система матричных интегральных уравнений, эквивалентная задаче (1)-(4). Затем установлено, что из условий (33), (34) следует выполнение обобщённого принципа Банаха-Каччиопполи сжимающих отображений для этой системы на множестве D . Тем самым доказана однозначная разрешимость задачи (1)-(4) в области D.

Разработаны итерационные алгоритмы построения решений с различны­ми вычислительными схемами.

В разделе 4.2 исследован алгоритм с вычислительной схемой классиче­ского типа:

t ( Т

Х*(0 = Фі-1  J j\(<7)^7 [А1(т)Хк_1(т) + Хк_1(т)В1(т) +

LoVo                    У

со Ґ соЛ

+Хк_х(фх(т)Хк_х(r) + S2(г)\к_х(т))Щ(z)]dT-\\ j\[cy)dG [А1 (г)Хы(г) +

+Хк_, (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (г)Х^ (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (r)]dr + t +J[AX {т)Хк_х {т) + Хк_х {т)Ъх (т) + Хк_х (r)(S1 {т)Хк_х (r) + S2 {т)\кА (т)) + о

Ґt                         \              со

Щ(т)]\ Jbx (<т)Лт ^-J[A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

У        t


I    Ш

+XkA(r)(S1 (r)Xw(r) + S2(r)Y^(ф?,(г)] jX(cr)dcr

CO

-\[XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (r))^ (r)]</r


dr-


(35)


Ґ / г

?Д0 = Ф2"1Н jA2H^o- [A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

Lo Vo                    у

со Ґ соЛ

+?,_,(^(P,(r)^(r)+P2(r)Yk_x(r))+F2(r)]dr-j] J A2(о-)Лт [A2(r)Y^(r) +

+Y,_1(r)B2(r) + Y,_1(r)(P1(r)X,_1(r) + P(r)Y,_1(r)) + F2(r)]jr + t +J[A2 (r)Yk_x (t) + Yk_x (r)B2 (t) + Yk_x (r)(P1 (r)Xk_x (r) + P2 (r) Yw (r)) +

13


ґ тЛ              со

+F2(r)] \B2(cr)dcr dr-\[A2(T)Yk_l(T) + Yk_l(T)B2(r) +

VO                           У               /

f CO

+Yk_x (r)(P1 (rJX^ (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)]  JB2 (<r)rf<7

CO

-J[Y,_1(r)(P1(r)X,_1(r) + P2(r)Y,_1(r)) + F2(r)]^U = l,2,...        (36)

о                                                                                J

где X0(t), Y0(V) - произвольные матричные функции класса П[0,&>], принад­лежащие множеству D.

В этом разделе предложена оценка, аналогичная оценкам (13), (27).

В разделе 4.3 разработан алгоритм с неявной вычислительной схемой:


t ( т

Х*(0 = Фі-1  j] \К(°?° [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

LoVo                   у

+Х,Ч(r^S,(т)Хк_х(r) + S2(г)?,_,(г))+Ц(г)>г-j] j\(a)da [А1 (г)Хы(г)

Л г               у

+X*-i WB, (0 + Х^ (г)^ {т)Хк_х (r)+S2 (г) ?,_, (г))+Ц (г)] dr + t +J[AX (r)Xw (r) + Xw (OB, (r) + Xw (r)(S1 {т)Хк_х (r) + S2 (r)Yw (r)) + о

ҐT\CO

Щ(т)]\ JB^dcr ^-J[A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

У          /


+


+

dr-

+XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Y^ (r))^ (r)]l JB, И^т

(37)

-J[X, (r)^ (r)X,(r) + S2(r)Y,(r)) + Fx(r)]</r  ,

о                                                                   J

?,(0 = Ф2_1 |j[jA2H^][A2(r)Y,_1(r) + Yt_1(r)B2(r) +

LoVo                    у

+\к_, (т)^ (т)ХкА (г) + Р2(r)Yw (r)) + F2(r)]dT-\\ Ja2 (<r)rf<7 [A2(r)Yw (r)

Лг                у

+YW (r)B2 (r) + YkA (т)(Ъ (r)X,, (r)+P(r)Yw (r)) + F2 (r)]^r +

+J[A2 (r)Yw (r) + Yw (r)B2 (r)+Yk_, (т)(Ъ (r)Xw (r) + P2 (r)Yw (r)) + о

/г                            Ли)

+F2(r)] jB2(<7)rf<7 ^-J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

У          /

14


+Yk_, (r)(P1 (r)Xt, (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] JB2 (<r)rf<7


dr-



-jlY^P^X^ + P^Y^ + F^dT


k* = LZ


(38)


В разделе 4.4 разработан алгоритм с явной вычислительной схемой:


t ( т

х,+1(0=Фі_1

J J^H^o- [A1(r)X,(r) + X,(r)B1(r) +

ovo                   J

+Xk_, (r)(S1 (r)Xt, (r)+S2 (r)Yw (r))^ (г)]Л-

CO ҐCO                                    \

¦jljA1H^J[A1(r)X^r) + X,(r)B1(r) + Xt_1(r)(S1(r)Xt_1(r) + S2(r)Yt_1(r))

+FX (r)]^r + J[AX (r)X, (r) + X, (r)B1 (r)+Xw (r)(S1 (r)XH (r) + S2 (r) Yw (r)) +

о

/г                           Л             CO

Щ(т)]\ JB^dcr dr-^A^X^ + X^B^r)

J        t


+


dr-

+XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Y^ (r))^ (r)]l JBX И^т

(39)

-J[X, (r)^ (r)X, (r) + S2 (r) Y, (т))Щ (r)]dr о

Y*+1(0 = ®2_1 |jfjA2(c7)^][A2(r)Y,(r) + Y,(r)B2(r) +

Lo Vo                     у

+Y*-i M№ WXH (r) + P2 (r) Yk_, (r))+F2 (r)] dr-

CO ҐCO                                     \

jljA2H^J[A2(r)Y,(r) + Yt(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P(r)Yt_1(r)) +

+F2(r)]^ + J[A2(r)Y,(r) + Yt(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P2(r)Yt_1(r)) +

о

/г                           Ли)

+F2(r)] JB2(<x)^7 ^-J[A2(r)Yt(r) + yt(r)B2(r)+

J        t


dr-

+Yh_x (Oft (т)Хк_х (г) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] JB2 (<r)rf<7

соЛ

-J[Y,(r)(P1(r)X,(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^U = l,2,...                           (40)

15


Доказаны теоремы 4.2 - 4.4, аналогичные теоремам 2.2 - 2.4, 3.2-ЗА Иллюстрация применения алгоритмов (35), (36) и (39), (40) изложена в

разделе 4.5.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов

4.3, 4.4) обобщают соответствующие результаты работы   (см. §6.4) и работы

(см. §1.3), относящиеся к матричному уравнению Риккати.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

В данной диссертационной работе на основе конструктивного метода ис­следована периодическая краевая задача для системы матричных дифференци­альных уравнений типа Риккати. К числу наиболее важных относятся следую­щие результаты.

  1. Разработана методика получения систем интегральных уравнений, эк­вивалентных указанной периодической краевой задаче [1-4].
  2. Получены конструктивные достаточные условия однозначной разре­шимости рассмотренной задачи [1-4].
  3. Разработаны эффективные итерационные алгоритмы построения ре­шений данной задачи, основанные на различных вычислительных схемах [1-4].
  4. Показано преимущество алгоритмов, полученных с помощью конст­руктивного метода регуляризации, перед алгоритмами с классической вычис­лительной схемой [6, 7, 12].
  5. Выведены конструктивные оценки области локализации решений этой задачи и оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов построе­ния её решений [1-4].
  6. Полученные результаты проиллюстрированы на модельных примерах [5-7].

Рекомендации по практическому использованию результатов Перечисленные результаты могут быть использованы при решении ши­рокого круга задач естествознания, техники, экономики, социологии, связанных с анализом периодических краевых задач для многомерных систем обыкновен­ных дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов университетов.

16


СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

  1. Лаптинский, В.Н. Конструктивный метод анализа периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Рикка­ти / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев // Динамика неоднородных систем: тр. ИСА РАН / Ин-т систем, анализа Рос. акад. наук ; под ред. Ю.С. Попкова.- М.: Книжный дом «Либроком», 2008. -Т. 39(1). - С.138-147.
  2. Лаптинский, В.Н., О разрешимости периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев// Веснік Маплёускага дзярж. ун-та імя А.А.Куляшова. Сер. В, Прыродазнаучыя навукі (матэматыка, фізіка, біялогія). -2010. №1(35) - Могилёв : МГУ, 2010. - С.12-23.
  3. Роголев, Д.В. Анализ периодической краевой задачи для системы матричных уравнений типа Риккати/ Д.В. Роголев// Веснік Маплёускага дзярж. ун-та імя А.А.Куляшова. Сер. В, Прыродазнаучыя навукі (матэматыка, фізіка, біялогія). - 2011. №1(37) - Могилёв : МГУ, 2011. - С.4-19.
  4. Лаптинский, В.Н. Конструктивные методы построения решения пе­риодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных урав­нений типа Риккати/ В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев// Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 10. - С. 1412-1420.

Препринты

  1. Лаптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (левосторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев . - Могилёв : Белорусско-Российский университет, 2009. - 62 с. - (Препринт / ИТМ НАЛ Бе­ларуси, №12).
  2. Лаптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (правосторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев. - Могилёв : Белорусско-Российский университет, 2010.-51 с- (Препринт / ИТМ НАЛ Бе­ларуси; №16).
  3. Лаптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (двусторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев. - Могилёв : Бе­лорусско-Российский университет, 2010.-56с- (Препринт / ИТМ НАЛ Бела­руси; №22).

17


Тезисы докладов научных конференций

  1. Лаптинский, В.Н. Периодическая краевая задача для системы мат­ричных дифференциальных уравнений типа Риккати/ В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев // Первая международная конференция «Математическое модели­рование и дифференциальные уравнения»: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 2-5 окт. 2007 г. / Ин-т математики НАЛ Беларуси. - Минск, 2007. - С. 86.
  2. Роголев, Д.В. Итерационный алгоритм построения решения перио­дической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // X Белорусская математическая конференция: тез. докл. Между­нар. науч. конф., Минск, 3-7 ноября 2008 г. / Ин-т математики НАЛ Беларуси ; ред.: С.Г. Красовский, А.А. Лепин. - Минск, 2008. - Ч. 2. - С. 59-60.
  3. Роголев, Д.В. Модифицированный алгоритм построения решения периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев// XIII Международная научная конференция по дифференциаль­ным уравнениям (ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2009): тез. докл. Междунар. науч. конф., Пинск, 26-29 мая 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Полес. гос. ун-т ; ред.: В.В. Амелькин [и др.]. - Минск, 2009. - С. 46-47.
  4. Роголев, Д.В. О периодической краевой задаче для системы матри­чных дифференциальных уравнений типа Риккати / Д.В. Роголев // Аналитиче­ские методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 14-19 сент. 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 2009.-С. 135.
  5. Роголев, Д.В. К анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений типа Риккати/ Д.В. Роголев// Международная матема­тическая конференция «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным диффе­ренциальным уравнениям»: тез. докл. Междунар. науч. конф., Минск, 7-10 дек. 2010 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; ред.: С.Г. Красовский, А.А. Леваков, С.А. Мазаник. - Минск, 2010. - С. 72-73.
  6. Роголев, Д.В. К анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // Еругинские чтения - 2011: тез. докл. XIV Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям, Новополоцк, 12-14 мая 2011 г. / Полоц. гос. ун-т ; редкол.: И.В. Гайшун [и др.]. - Новополоцк, 2011.-С. 64.
  7. Роголев, Д.В. К конструктивному анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // Аналитиче­ские методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 12-17 сент. 2011 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; ред.: СВ. Рогозин. - Минск, 2011. - С. 128.

18


РЭЗЮМЭ

Рогалеу Дзмітрьій Уладзіміравіч

Канструктыуны аналіз перыядычнаи краявои заданы

для сістзмьі матрычных дыферэнцыяльных раунанняу тыпа Рьіккаці

Ключавыя словы: перыядычная краявая задача, шматмерная Ыстэма, існаванне і адзінасць рашэння, алгарытм, збежнасць.

Аб'ект даследавання - сістзма матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьіккаці. Прадмет даследавання - рапгзнні перыядычных краявых задач для азначанай Ыстэмы.

Мэтай дысертацыйнага даследвання з'яуляецца канструктыуны аналіз перыядычнаи краявои задачы для сістзмьі матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьіккаці са зменньімі каафіцізнтамі. Асноуныя задачы: атрыманне канструктыуных дастатковых умоу існавання і адзінасці рашэння у розных выпадках і распрацоука алгарытмау яго адшукання.

Метады даследавання. Даследаванні праводзяцца з выкарыстаннем сучасных метадау канструктыунага аналізу краявых задач для шматмерных сістзм дыферэнцыяльных раунанняу, а таксама метадау тзорьіі дыферэнцыяльных раунанняу, класічнага і функцыянальнага аналізу.

Атрыманыя вьінікі і іх навізна. У дысертацыйнай рабоце атрыманы наступныя новыя вьінікі:

  1. Атрыманы канструктыуныя дастатковыя умовы адназначнай развязальнасці перыядычнаи краявои задачы для сістзмьі матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьіккаці.
  2. Распрацаваны ітзрацьійньія алгарытмы пабудовы рашэнняу азначанай краявои задачы.
  3. Атрыманы канструктыуныя ацзнкі вобласці лакалізацьіі рашэнняу гэтай задачы і ацзнкі, якія характарызуюць хуткасць збежнасці алгарытмау пабудовы яе рашэнняу.

Рзкамендацьіі па вьікарьістанні і сфера ужывання. Дысертацыя носіць тэарэтычны характар. Пералічаньія вьінікі могуць быць выкарыстаны пры вьірашзнні шырокага круга задач прыродазнауства, тзхнікі, зканомікі, сацьіялогіі, звязаных з аналізам перыядычных краявых задач для шматмерных сістзм звычайных дыферэнцыяльных раунанняу.

19


РЕЗЮМЕ

Роголев Дмитрий Владимирович

Конструктивный анализ периодической краевой задачи

для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати

Ключевые слова: периодическая краевая задача, многомерная система, существование и единственность решения, алгоритм, сходимость.

Объект исследования - система матричных дифференциальных уравне­ний Риккати. Предмет исследования - решения периодических краевых задач для указанной системы.

Целью диссертационного исследования является конструктивный ана­лиз периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати с переменными коэффициентами. Основные задачи: полу­чение конструктивных достаточных условий существования и единственности решения в различных случаях и разработка алгоритмов его отыскания.

Методы исследования. Исследования проводятся с использованием со­временных методов конструктивного анализа краевых задач для многомерных систем дифференциальных уравнений, а также методов теории дифференци­альных уравнений, классического и функционального анализа.

Полученные результаты и их новизна. В диссертационной работе по­лучены следующие новые результаты:

  1. Получены конструктивные достаточные условия однозначной разре­шимости периодической краевой задачи для системы матричных дифференци­альных уравнений Риккати.
  2. Разработаны итерационные алгоритмы построения решений указан­ной краевой задачи.
  3. Получены конструктивные оценки области локализации решений этой задачи и оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов построе­ния её решений.

Рекомендации по использованию и сфера применения. Диссертация носит теоретический характер. Перечисленные результаты могут быть исполь­зованы при решении широкого круга задач естествознания, техники, экономи­ки, социологии, связанных с анализом периодических краевых задач для мно­гомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

20


SUMMARY

Dmitry V. Rogolev

The constructive analysis of the periodic boundary value problem

for the system of matrix Riccati differential equations

Keywords: periodic boundary value problem, multidimensional system, the existence and uniqueness of the solution, algorithm, convergence.

The object of research is the system of matrix Riccati differential equations. Subject of research are the solutions of periodic boundary value problems for the sys­tem.

The aim of the dissertation research is a constructive analysis of periodic boundary value problem for system of matrix Riccati differential equations with vari­able coefficients. Main tasks: getting constructive sufficient conditions for existence and uniqueness of solution for different cases and the development of algorithms of its finding.

Research methods. The researches are carried out using modern methods of constructive analysis of boundary value problems for multidimensional systems of differential equations, as well as methods of the theory of differential equations, clas­sical and functional analysis.

The results obtained and their novelty. The following new results have been obtained in this dissertation:

  1. The constructive sufficient conditions of unique solvability of periodic boundary value problem for system of matrix Riccati differential equations were ob­tained.
  2. The iterative algorithms for constructing solutions to this boundary value problem were developed.
  3. Were obtained the constructive estimations of the localization of solutions of this problem and estimations that characterize the convergence rate of algorithms of constructing its solutions.

Recommendations for the use and sphere of use. Dissertation is theoretical in nature. The above results can be used in solving a wide range of problems of natu­ral science, technology, economics, sociology, and which are related to the analysis of periodic boundary value problems for multidimensional systems of ordinary dif­ferential equations.

 



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.