WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

Кетова  Каролина Вячеславовна

УДК 517.977.5 + 519.866 : 330.14 (06)

разработка методов исследования и оптимизация

стратегии развития экономической системы региона

Специальности:

08.00.13 – “Математические и инструментальные методы экономики”;

05.13.18 – “Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ”

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Ижевск 2008

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете

Научные

консультанты:

Русяк И.Г. – доктор технических наук,

профессор, член-корреспондент РАРАН,

Заслуженный деятель науки УР;

Беленький В.З. – доктор физико-математических наук,

профессор

Официальные

оппоненты:

Шананин А.А. доктор физико-математических наук,

профессор (МФТИ, г.Москва);

Альес М.Ю. доктор физико-математических наук,

профессор (ИПМ УрО РАН, г.Ижевск);

Ефимов И.Н. доктор технических наук,

профессор (ИжГТУ, г.Ижевск)

Ведущая

организация

Центральный экономико-математический

институт РАН (Москва)

Защита состоится « 1 » июля 2008 г. в 14 часов

на заседании диссертационного совета  Д 212.065.07

по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7, ИжГТУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

Ижевского государственного технического университета

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим выслать

по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан « ___ » _____________ 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

канд. физ.-матем. наук, доцент К.В. Кетова

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Целью стратегии развития экономической системы является повышение благосостояния населения, качества жизни, достигаемые в результате устойчивого экономического роста. Формирование такой стратегии – управленческая задача, заключающаяся в определении оптимальных объемов финансирования социальной и производственной сфер.

Существует широкий спектр оптимизационных моделей. В то же время, следует отметить, что во многих исследованиях используются одномерные макромодели экономической динамики. Сложность реальных экономических систем приводит к необходимости учета многих факторов, существенно влияющих на функционирование экономики. В связи с этим актуальна задача построения конечномерных макромоделей экономической динамики, позволяющих учитывать произвольное количество факторов производства.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2006 года сформулированы приоритетные направления экономического развития, где основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала.

Фактор человеческого капитала имеет многоаспектный характер. Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая. Одним из элементов демографической составляющей является численное воспроизводство населения. Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис. Экономику страны ожидают сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения родившегося после 1990 года.

Степень серьезности изменений в пропорциях производящей и потребляющей групп, а также их влияние на макроэкономические показатели в силу ряда причин недостаточно изучены. Актуальность исследований в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.

Другим аспектом проблемы является качество человеческого капитала. Поэтому расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в развитие, инвестициями в воспроизводство человеческого капитала.

Таким образом, в сложившейся ситуации человеческий капитал, включая численность, особенности структуры  и качество жизни, является основным фактором экономического развития. Из этого следует, что приоритетными источниками экономической динамики становятся инвестиции в человека. В этой связи очевидна актуальность изучения фактора человеческого капитала, его моделирования и учета в задачах экономической динамики.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации  2003 года была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Задача увеличения ВВП успешно реализуется при условии эффективно работающих производств, имеющих отдачу, превышающую расходы на их обслуживание. В этом случае увеличение ВВП приводит к росту уровня жизни населения. Поэтому, безусловно, необходимо наращивать научно-технический уровень производственного потенциала и его экономическую эффективность. В связи с этим актуальна задача моделирования научно-технического прогресса (НТП) и социально-образовательного прогресса (СОП) как главных факторов экономического роста и общественного развития.

       На современном этапе при моделировании процессов экономики особенно активно применяются математические методы. Большой вклад в развитие теории экономико-математического моделирования внесли работы В.М. Полтеровича, А.И. Анчишкина, С.А. Ашманова, А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, А.А. Шананина и др.

       Экономическую динамику (ЭД) можно выделить в самостоятельную ветвь математической экономики. Предметом ЭД являются описание и изучение закономерностей протекания во времени экономических процессов и разработка методов управления ими. Становление данного направления следует искать в работах В.В.Леонтьева. Ф. Рамсея, Д. Неймана, Д. Гейла, Т. Купманса. Большой вклад в развитие ЭД внесли работы отечественных ученых Л.В.Канторовича, И.В. Романовского, В.Л.Макарова, А.М. Рубинова и др.

       Можно выделить два принципиально разных подхода к постановке задач ЭД: оптимизационный и равновесный. Мы будем работать в рамках первого подхода; здесь применяется математический аппарат теории оптимального управления в экономике, который включает принцип максимума Л.С. Понтрягина и принцип оптимальности Р. Беллмана.

       В настоящее время достаточно хорошо изучены одномерные макромодели экономической динамики, которые основаны на работах Ф. Рамсея, Д. Касса, Т. Купманса. К этим работам примыкает работа Р. Солоу. Развитие этих моделей представлено работами В.З. Беленького и В.Д. Матвеенко. Следует отметить, что до настоящего времени изучению и исследованию многомерных моделей ЭД не уделялось должного внимания.

Анализ динамических моделей экономики включает определенную последовательность этапов, среди которых существенную роль играет нахождение и исследование стационарного состояния сбалансированного роста, и нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий существования оптимальности траекторий, сходящихся к найденному стационарному состоянию. Эти две задачи в совокупности решают проблему построения оптимальной стратегии управления экономической системой. Данные рассуждения касаются теоретических исследований.

В прикладных моделях, ориентированных на применение в практике реального планирования, стационарного состояния, как правило, не существует; оптимальные траектории сбалансированного роста носят квазистационарный характер (это связано с явной зависимостью от времени многих факторов, входящих в модель), что создает ряд дополнительных трудностей в исследовании и построении синтеза оптимального управления в таких моделях. Поэтому возникает необходимость построения новых и расширения возможностей применения существующих аналитических методов и подходов к исследованию оптимизационных моделей экономической динамики.

Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются динамические управляемые системы в макроэкономике, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.

Предметом исследования являются аналитические методы анализа и решения задач оптимального управления; постановка и решение задач оптимального распределения капиталовложений для различных моделей макроэкономической динамики.

Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения многопараметрических задач оптимального управления макроэкономическими системами в многомерном фазовом пространстве, а также модельного инструментария для прогнозирования обобщающих показателей развития региональной экономической системы.

Задачи исследования:

  1. Математический анализ и исследование структуры оптимального управления в многофакторных стационарных и негомогенных (с экзогенно задаваемой прогнозной временной информацией) моделях экономической динамики.
  2. Построение алгоритмов решения задач оптимального управления для указанного класса моделей.
  3. Разработка параметрических моделей динамики различных факторов экономики.
  4. Построение макромодели региональной экономической системы Удмуртской Республики (УР), идентификация ее параметров и прогнозирование обобщающих показателей развития экономической системы региона.
  5. Разработка макроэкономической модели оптимального управления распределением капиталовложений для экономики УР с учетом таких факторов, как:
    • демографический прогноз и фактор человеческого капитала;
    • научно-технический прогресс и социально-образовательный прогресс;
    • использование внешних инвестиций.
  1. Проведение научно-аналитических расчетов для различных версий модели развития экономической системы региона (перечисленных в п. 5).
  2. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения “Информационно-аналитическая система социально-экономического анализа” (ИАССЭА) УР.

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа и теории оптимального управления (принцип оптимальности Беллмана, принцип максимума Понтрягина), методы оптимизации, методы статистической обработки данных, численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений, методы математического прогнозирования, регрессионного анализа; использован аппарат математического компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Методы, применяемые в диссертационном исследовании, обуславливают необходимый уровень его достоверности. В качестве основных факторов достоверности работы можно перечислить использование теории оптимального управления, квалифицированное владение инструментарием математического моделирования социально-экономических объектов и процессов.

При использовании численных методов достоверность обеспечена проведенными исследованиями их сходимости.

Достоверность результатов прогнозирования макроэкономических характеристик обеспечена сравнением результатов расчетов с экспериментальными (статистическими) данными на участке ретропрогноза.

Полученные выводы и рекомендации по повышению эффективности управления региональной экономикой подтверждаются содержательным анализом специфики исследуемых процессов и качественными особенностями функционирования региональной экономики.

На защиту выносятся:

  1. Результаты теоретических исследований стационарных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа оптимальности Беллмана и принципа максимума Понтрягина.

1.1. В общей модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

1.2. Для монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, определяющей эту точку через исходные параметры модели.

1.3. Дано полное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (РКК-модель) (Теорема 2).

1.4. Описана структура оптимального управления в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.

1.5. Получена конечная формула для луча сбалансированного роста для многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (Теорема 3).

  1. Результаты теоретических исследований негомогенных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа максимума Понтрягина.

2.1. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

2.2. В многофакторной ОТ-модели описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен алгоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней значимости факторов (индексный метод).

2.3. В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

2.4. Построено оптимальное управление в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления.

  1. Математическая модель демографической динамики и потенциала трудовых ресурсов, а также результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование демографических характеристик.
  2. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала; численный прогноз для УР.
  3. Математическая модель экономической системы региона как инструмент для построения прогнозно-аналитических расчетов. Результаты идентификации параметров модели и прогнозирования обобщающих показателей региональной экономической системы.
  4. Алгоритмы и результаты решения задач оптимального управления региональной экономической системой для различных вариантов ее развития.

Научная новизна работы:

С точки зрения научной новизны результаты, выносимые на защиту (перечисленные выше), можно охарактеризовать следующим образом.

  1. Теоретические результаты п.п. 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, а также все результаты п. 2 являются новыми. Результат п. 1.3 дополняет известный результат Купманса и дает полную характеристику решения РКК-модели.
  2. Подход к разработке модели прогноза демографических характеристик (п. 3) на основе уравнения (сохранения) переноса (известного в механике гетерогенных сред) является теоретически новым.
  3. Формулировка экономико-математической модели п. 4. является теоретически новой. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени.
  4. Разработки п.п. 5 и 6 основаны на новых теоретических результатах и имеют научную и практическую значимость. Построены алгоритмы оптимального управления для различных вариантов развития ЭД.

Научная и практическая значимость. Полученные новые теоретические результаты относятся к области фундаментальных исследований и являются вкладом в инструментарий научно-методологического анализа моделей экономической динамики. Приемы и методы исследований, развитые в работе, могут быть непосредственно использованы в теоретических  исследованиях при построении и анализе экономических моделей.

Полученные результаты расширяют понимание закономерностей и механизма распределения инвестиционных потоков между производственной и социальной сферами. Сформулированные математические модели и алгоритмы их реализации могут быть применены для прогнозирования факторов экономического развития. Развиваемое направление исследований дает более полное представление о вкладе различных факторов при формировании стратегии развития региона.

Содержащаяся в работе информация и выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР. ИАССЭА может быть адресована Министерству экономики УР и Государственному комитету по труду УР.

Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики по специальности 061800 – Математические методы в экономике, а также при проведении исследований на стадии написания дипломных работ и кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научно-практической конференции ИжГТУ (Ижевск, 15 – 16 июля 2002 года); IV Научной конференция молодых ученых и аспирантов с международным участием “Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем” (Ижевск, 19 февраля 2003 года); VII Научной конференции молодых ученых и специалистов на секции “Информационные технологии и их применение” (Дубна, 3 – 8 февраля 2003 года); IV Международной научно-технической конференции “Информационные технологии в инновационных проектах” (Ижевск, 29 – 30 мая 2003 года); отдельные результаты работы докладывалась на семинаре профессора С.А. Айвазяна “Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов” в ЦЭМИ РАН (Москва, 2 июня 2004 года); V Международной научно-практической конференции “Государственное регулирование экономики. Региональный аспект” на секции “Математическое моделирование экономических систем” (Нижний Новгород, 20 – 22 апреля 2005 года); Межрегиональной научно-практической конференции “Стратегия устойчивого развития города Ижевска” (Ижевск, 28 сентября 2005 года); Юбилейной конференции с международным участием “Современные проблемы науки и образования” (Москва, 5 – 6 декабря 2005г.);  Международной научно-практической конференции “Научные школы и результаты в Российской статистике” (Санкт-Петербург, 29 января – 1 февраля 2006 года); Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения – ХVII” (Воронеж, 3 – 9 мая 2006 года); Всероссийской научно-практической конференции “Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие” (Чебоксары, 3 октября 2006 года); 14-ой международной конференции “Математика. Компьютер. Образование” (Пущино, 22 – 27 января 2007 года); Воронежской зимней математической школе “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (Воронеж, 27 января – 2 февраля 2007 года); IV конференции “Российская экономика 2007: реальность и перспективы” (Пула, Хорватия, 7 – 14 июля 2007 года); Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения – ХVIII” (Воронеж, 3 – 9 мая, 2007 года); 3-ей Международной научно-практической конференции “Достижения ученых XXI века” (Тамбов, 30 – 31 июля 2007 года); Всероссийской научно-практической internet-конференции “Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем”, раздел “Математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами” (Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября – 15 ноября 2007 года); Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения – ХX” (Воронеж, 3 – 9 мая, 2008 года).

По теме диссертации опубликовано 44 печатные работы, в том числе 12 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций.

Личный вклад диссертанта заключается в непосредственном участии на всех этапах исследования, включающих разработку теоретических подходов и методов к исследуемой проблеме, моделирование изучаемых процессов, математическое описание, разработку методов решения и анализ результатов.

Структура и объем работы. Задачи и характер исследования определили объем, структуру и логику изложения материала (см. рис. 1). Общий объем работы составляет 270 стр. машинописного текста.

Рис.1. Структура диссертации

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации; определены цели и задачи исследования; сформулированы положения, выносимые на защиту. Дается краткая аннотация содержания диссертации.

       Первая глава посвящена аналитическим методам решения задач оптимального управления в гомогенных стационарных моделях экономической динамики (ЭД).

       Раздел 1 является обзорным. В разделе 2 формулируются основные теоретические понятия теории моделей ЭД в непрерывном времени. Для общей оптимизационной задачи ЭД в стационарной постановке формулируется и доказывается теорема о неподвижной точке оптимальной стратегии (Теорема 1, принцип максимума для неподвижной точки).

       В общем случае задача ЭД в непрерывном времени имеет следующий вид:

,  (1)

,  ,  ,  1

. (2)

Здесь фазовое пространство состояний рассматриваемой системы; пространство управлений; функция полезности; норматив дисконта полезности; эволюционная функция. Параметр называется горизонтом планирования;  в качестве начального момента времени выбрано начало календарного интервала . Пространство управлений не зависит от состояния системы . Максимум в (1) берется по множеству всевозможных допустимых управлений, т.е. таких траекторий  управления , что . В постановке (1), (2) левое краевое условие задается в обычном виде, правое краевое условие – в виде терминального функционала , с помощью которого оценивается конечное состояние системы.

       В гомогенной модели функции и не зависят явным образом от календарного времени , такая модель однородна во времени. Решение задачи не зависит от положения интервала планирования на оси реального времени, а зависит только от длины этого интервала (т.е. от горизонта планирования ). В гомогенной модели ЭД в произвольный момент времени управление можно задавать как функцию двух аргументов – остаточного горизонта и состояния : . Такая функция называется стратегия управления, будем обозначать ее . Допустимая стратегия не должна выводить фазовую точку из пространства .  Максимизация критериального функционала (1) в гомогенной модели ЭД проводится по стратегиям управления , его можно представить в виде

.  (3)

Эта формула определяет введенную Беллманом функцию  выигрыша (горизонта ) , аргументом которой является начальное состояние системы . По своему экономическому содержанию функции и имеют одинаковый смысл – обе они служат для сравнения различных фазовых состояний. Их принципиальное отличие в том, что в исходной информации задачи оптимального управления – информационном паспорте функция является априорным функционалом (задаваемым до каких-либо расчетов), в то время как функция получается в результате расчета и поэтому является апостериорным функционалом. По смыслу определения (3), значение можно интерпретировать как оценку начального состояния , полученную в результате решения задачи. Если в информационном паспорте в качестве терминального функционала записать объективный функционал , то решение задачи становится независимым от горизонта . Такая постановка задачи (и сама модель) называется стационарной. В стационарной модели информационный паспорт задается набором и постановка задачи не содержит субъективных компонент . В стационарной постановке стратегия управления не зависит от остаточного горизонта и является функцией текущего состояния системы .

       В терминах стратегии, используя понятие объективного функционала, введенного В.З. Беленьким2, (3) имеет вид:

. (4)

       Поскольку может быть выбрано произвольно большим, то объективный функционал является решением задачи с бесконечным горизонтом, т.е. имеет место представление

. (5)

       С другой стороны, в равенстве (4) может быть взято сколь угодно малым, что приводит к дифференциальной форме этого равенства:

,  . (6)

       В такой форме это соотношение называется уравнением Якоби-Гамильтона-Беллмана (ЯГБ-уравнение).

       Итак, в стационарной модели критериальный функционал задается в виде

, (7)

а оптимальная стратегия управления выражается формулой

,  . (8)

       Эта стратегия порождает поле скоростей: ,  . Неподвижная точка есть корень уравнения . Локально устойчивая неподвижная точка является стационарным состоянием модели.

       Пусть искомая стационарная точка локализована в некоторой окрестности такой, что выполнены следующие предположения.

П1. Любая точка может быть “претендентом на неподвижность” в том смысле, что множество

(9)

непусто. Более того, предполагается, что это множество содержит только одну точку, т.е. управление однозначная функция.

П2. Для каждой начальной точки время выхода оптимальной траектории в неподвижную точку конечно.

       Тогда задача нахождения неподвижной точки эквивалента определению “точки остановки” (или “момента остановки”) при движении из начальной точки по соответствующей оптимальной траектории .

       Взяв в качестве точки остановки некоторую “пробную” точку (т.е. предполагая, что эта точка является неподвижной) и, обозначив отвечающий ей момент остановки, запишем соответствующее значение критериального функционала (5):

,  (10)

где – значение критериального функционала, отвечающее предположительно неподвижной точке .

       Основная идея вывода уравнения для неподвижной точки состоит в следующем.

       Принцип максимума для неподвижной точки. Для того чтобы искомая точка была неподвижной, необходимо, чтобы выражение (10), рассматриваемое как функция точки остановки , достигало при своего максимума для всех .         Поскольку для каждого фиксированного выбор точки остановки эквивалентен выбору момента остановки , то принцип максимума приводит к уравнению

,  (11)

Раскрывая (11) на основе выражения (10) с учетом того, что фазовая траектория непрерывна, и поэтому , получаем

. (12)

       Полученный результат можно сформулировать в следующем виде: если задача (5) с условиями (2), записанными для гомогенной постановки, обладает устойчивой неподвижной точкой поля скоростей , то на любой оптимальной траектории, начинающейся в некоторой окрестности этой точки, при должно выполняться равенство (12). Иначе говоря, равенство (12) является необходимым условием неподвижности точки .

       Условие неподвижности (12) приводится к более конструктивной форме в результате подробного описания вида оптимальной стратегии в бесконечно малой окрестности точки :

,  (13)

которое представляет собой уравнение относительно неподвижной точки . Здесь существенная часть  управления (9), которая  является внутренней точкой суженного множества существенных управлений .

       Таким образом, имеет место следующая теорема.

       Теорема 1 (уравнение для неподвижной точки). Пусть оптимальная стратегия (8) задачи (5) с условиями (2), записанными для гомогенной постановки, обладает локально устойчивой неподвижной точкой . Тогда (в невырожденной ситуации) в подпространстве существенных управляющих переменных при выполняется равенство (13), при этом

;  (14,а)

. (14,б)

       Далее приводится алгоритм практического применения теоретических разработок для нахождения неподвижной точки.

       В третьем разделе главы 1 описана многофакторная модель с монопродуктовой производственной функцией, являющаяся основной в диссертации.

       Производственный блок многофакторной модели описывается функцией , аргумент которой интерпретируется как вектор ресурсов, а скалярное значение – как объем производимого продукта. Продукт распределяется на неотрицательные части (являющиеся управляющими  переменными): , из которых идет на потребление, а остальные части инвестируются в соответствующие фондообразующие отрасли, производящие ресурсы. В качестве новых управляющих переменных вводятся относительные доли , тогда пространство управлений представляет собой стандартный симплекс в пространстве :

. (15)

       Критериальный функционал модели есть интегральная дисконтированная полезность потребления:

, (16)

где заданная функция, .

       Динамика ресурсов в векторной форме описывается соотношениями:

, , , , (17)

где коэффициенты амортизации ресурсов (постоянные величины).

       Уравнение для неподвижной точки раздела 2 доведено в этой модели до финальной формы и принимает вид

, .  (18)

       Приводятся примеры применения принципа максимума для определения параметров неподвижной точки в случае различных производственных функций, типичных для макроэкономических систем. Определяются стационарные точки и их явные выражения записываются через исходные данные модели.

       В разделе 4 приводится содержательная постановка модели экономической динамики с двумя производственными факторами – трудом и капиталом, построенная на основе классической РКК-модели, которая редуцируется к одномерной модели. Для одномерной модели с использованием принципа оптимальности Беллмана доказана теорема (Теорема 2, о синтезе управления), в рамках которой определена стратегия оптимального управления как функция состояния макроэкономической системы. Показано наличие устойчивого стационарного режима, в которое система приходит за конечное время. Получено полное аналитическое решение задачи.

       В пятом разделе главы 1 изучаются модели экономической динамики для случая линейно-однородной производственной функции.

       В работе рассматриваются выпуклые модели; в частности, производственная функция в которых есть неотрицательная функция, монотонно возрастающая по каждой координате вектора (при этом ) ивыпуклая вверх на всем ортанте . Класс таких функций обозначим .

       Важным частным случаем производственной функции является положительно-однородная функция с показателем однородности . Условие однородности означает выполнение соотношения

, .    (19)

       Существенно различными являются ситуации, отвечающие случаям и (в этом случае называется  линейно-однородной).

       В случае траектории оказываются ограниченными (такую модель назовем моделью с ограниченными траекториями, ОТ-модель); в этом случае решение задачи всегда существует, причем оптимальная стратегия имеет неподвижную точку.

       Случай линейно-однородной функции является особым; класс линейно-однородных функций обозначим . Здесь траектории неограниченны, и решение существует только при определенных соотношениях между параметрами модели. Дело в том, что в этом случае траектории неограниченно растут и темп роста производства может быть выше, чем дисконтное снижение в критериальном интеграле и в задаче с бесконечным горизонтом функционал становится равным бесконечности, решения не существует.

       В случае, когда решение существует, доказывается, что неподвижной точки (в обычном понимании) в фазовом пространстве не существует. Неподвижным (стационарным) состоянием является луч оптимального сбалансированного роста.

       Рассматривается задача (16), (17) для двумерного случая. Переменные модели обозначаются содержательными буквами: производственный капитал, человеческий капитал, формирование которого описывается в главе 4. Функция полезности ; здесь и удельные величины факторов производства, поскольку в силу принадлежности можно записать: ; темпы роста численности трудоспособного населения и общей численности населения соответственно (в данной постановке производится разделение населения на две группы: потребляющую и производящую); постоянная, фиксирующая величину отношения трудоспособной части населения в общей численности в начальный момент времени.

       Максимизация проводится по стратегиям управления со значениями в симплексе (15) (при ). Оптимальная стратегия управления (8) записывается применительно к данной постановке; в результате анализа стратегии имеют место следующие выводы.

       С точки зрения двухфакторной модели неподвижность точки означает движение вдоль луча сбалансированного роста: . При этом темп роста обеих компонент одинаков и в стационарной модели постоянен. Это означает, что неподвижной точке отвечает пропорциональное изменение во времени переменных , .

       В то же время анализ решения показывает, что в неподвижной точке удельный человеческий капитал убывает во времени по экспоненте, и, следовательно, также убывает удельный объем производственного капитала (фондовооруженность труда). В результате приходим к выводу, что в рассмотренной модели оба фактора производства в удельном измерении стремятся во времени к нулю, что, вообще говоря, является негативным. Тем не менее, в абсолютных единицах, производство может расти, поэтому отмеченное обстоятельство не является катастрофичным: все зависит от соотношения темпов роста производства и темпов роста населения.

       Более существенным недостатком описанной модели является то обстоятельство, что в стационарном режиме инвестируется только один из производственных факторов, а в другой ничего не вкладывается. Для исправления этого недостатка есть смысл изменить постановку задачи так, чтобы устранить отмеченное явление. Это удается сделать в модели с фиксированной долей потребления. В этой модели получена формула для нахождения луча сбалансированного роста, обобщение которой на многомерную модель формулируется в виде теоремы.

       Теорема 3. В стационарной многофакторной модели (16), (17) с производственной функцией луч максимального сбалансированного роста определяется из уравнения

  ~  .   (20)

Здесь знак “~” – знак пропорциональности векторов;  ; ; вектор коэффициентов .

Вторая глава посвящена негомогенным моделям экономической динамики, в которых реальная прогнозная информация явным образом привязана к календарному времени. Решение стационарной модели может быть принято как нулевое приближение (если прогнозные кривые меняются достаточно плавно). Это особенно важно, когда в стационарной модели удается выявить структуру оптимального управления и перенести затем эту структуру на негомогенные модели.

В негомогенном случае стационарной точке сбалансированного роста отвечает квазистационарная траектория, на которую выходят оптимальные траектории системы. Существование такой траектории нельзя гарантировать в общей негомогенной модели, однако практика показывает, что в области значений реальных параметров такая траектория во многих случаях существует. Эта идея приводит к двухэтапному подходу построения оптимального управления для негомогенной модели. На первом этапе рассматривается гомогенный вариант модели в стационарной постановке и на основе принципа оптимальности Беллмана строится синтез оптимального управления. На втором этапе структура полученной оптимальной стратегии стационарной модели переносится на негомогенную модель. Для проверки корректности такого переноса применяется принцип максимума Понтрягина. Если принцип максимума для перенесенной стратегии выполняется, то она действительно является оптимальной.

В главе 1 стационарная модель была сформулирована как модель с бесконечным горизонтом. В негомогенной модели корректную постановку такой задачи дать трудно. Эта трудность преодолевается с помощью принципа наращивания горизонта, когда сначала рассматривается постановка задачи с конечным горизонтом , а затем осуществляется переход к пределу при , если такой переход возможен.

В данной главе эта идея в полном объеме реализуется на модели двух факторов (капитала и труда ), сводящейся к одномерной:

, (21)

,  ,  (22)

где отношение численности работников к численности всего населения (экзогенно заданная функция); норма накопления удельного капитала ; удельная линейно-однородная производственная функция Кобба-Дугласа;

при краевых условиях:

,  , (23)

,  . (24)

Из содержательных экономических соображений можно ожидать, что если экзогенные функции времени достаточно гладкие, то при больших оптимальное управление будет иметь такую же структуру, как и в стационарной модели. Отличие состоит в том, что теперь стационарное состояние будет не неподвижной точкой, а гладко меняющейся функцией времени; иначе говоря, это будет квазистационарная кривая  (квазимагистраль) .

В стационарном решении неподвижная точка является одновременно точкой переключения управления (Теорема 2). Определим по аналогии квазистационарную кривую как такую функцию времени , на которой также поддерживается режим переключения управления.

Каждое состояние также будем называть квазистационарным. Если система находится в таком состоянии в некоторый момент времени, то для удержания ее в дальнейшем на кривой необходимо применять такое управление , чтобы выполнялось соотношение (22) при ; это условие определяет квазистационарное управление формулой

,  . (25)

Опираясь на квазистационарную кривую, уточним постановку задачи (21) –(24) в том смысле, что для заданного горизонта планирования в качестве правого краевого условия в (23) возьмем

. (26)

Условие (26) эквивалентно условию . В такой постановке при определенных допущениях на функцию доказана Теорема 4 (о синтез управления в модели с конечным горизонтом), согласно которой для любого при всех достаточно больших в задаче оптимального управления (21)-(24), (26) имеет место следующее:

  1. Оптимальное правило управления

, (27)

  1. оптимальная фазовая траектория выходит на квазистационарную кривую за конечное время и далее остается на ней до конца планового периода .

При этом, если существует постоянная такая, что при всех выполняется неравенство и квазистационарная кривая равномерно локализована, т.е. существуют постоянные и такие, что , то справедлива теорема 5 (о синтезе управления в модели с бесконечным горизонтом), где выполняются условия 1) и 2) предыдущей теоремы, при этом показывается, что максимальное значение функционала (21) при конечно.

Во втором разделе главы 2 рассматривается многофакторная модель ЭД (16), (17),  сформулированная здесь в негомогенной содержательной постановке при следующих допущениях.

Д1. Производственная функция определена на пространстве и принадлежит классу .

Д2. Различается трудоспособное население , задействованное в создании ВРП, и все население региона , на которое распространяется потребление в экономической системе.

Д3. Среди производственных факторов (ресурсов) выделяется фактор объем трудовых ресурсов (в общем случае функция считается экзогенно заданной). Остальные факторы , будем называть материальными ресурсами или факторами производства, они являются фазовыми переменными модели. Фазовое пространство есть . Множество индексов фазовых переменных обозначим . Множество индексов факторов обозначим .

Д4. Произведенный продукт распределяется на часть согласно вектору управления , где доля направляется на потребление, а остальные доли на инвестиции в развитие факторов производства. При этом задается нижняя граница потребления , которая обеспечивает гарантированный уровень душевого потребления.

Множество допустимых управлений имеет вид:

. (28)

Д5. Эффективность инвестиций в развитие факторов производства характеризуется показателями , , .

Д6. Выбытие факторов производства происходит согласно вектору коэффициентов амортизации , , .

Кроме перечисленных допущений предполагается, что показатель однородности производственной функции меньше единицы.

Для упрощения изложения, делается замена управляемых переменных: , где ; новые переменные управления, интерпретируемые как доли дополнительного (по отношению к минимальным долям) инвестирования. Тогда множество допустимых управлений перейдет в стандартный симплекс:

. (29)

Поставим задачу оптимального управления в следующей форме: максимизировать на множестве допустимых управлений (28), (29) интегральное сверхнормативное дисконтированное удельное душевое потребление:

.  (30)

Траектория поведения экономической системы в пространстве факторов определяется эволюционными уравнениями:

, , (31)

где , с краевыми условиями:

;  . (32)

Также как и в одномерном случае, предполагается, что в модели существует траектория , называемая квазимагистралью (особая траектория, определяемая до начала расчета), такая, что двигаясь в оптимальном режиме система выходит (при достаточно большом горизонте планирования ) за конечное время на квазимагистраль и далее движется по ней до конца планового периода. Иначе говоря, предполагается, что существует траектория , являющаяся аттрактором всех оптимальных траекторий.

Из принципа максимума Понтрягина находится оптимальное управление

, (33)

где скалярное произведение векторов и :

(34)

и эволюционные уравнения для двойственных переменных:

,  , (35)

где .

Найдем квазимагистраль. Из (33) следует, что не минимальные значения управляемых переменных могут быть только на множестве тех индексов, на которых величина максимальна, т.е. на множестве индексов

, где  (36)

или

.  (37)

Согласно определению, на квазимагистрали необходимо потребовать

,  (38)

откуда следует, что на квазимагистрали выполняются равенства

,  . (39)

Функция выпукла и дифференцируема на , что, согласно теории сопряженных по Фенхелю функций, позволяет по значению градиента восстанавливать единственное значение аргумента , где – сопряженная по фазовым аргументам функция к функции .

Таким образом, формула (39) позволяет определить искомую квазимагистраль . Поддерживающее ее управление или находится из соотношений (31) при :

, , ;  , .(40)

Изложим процедуру построения оптимального управления, выводящего траекторию развития системы на квазимагистраль; соответствующий период назовем переходным, а горизонтом планирования будем считать длину переходного периода (т.е. – момент выхода на квазимагистраль).

В оптимальном режиме политика инвестирования нацелена на выравнивание весов всех производственных фондов (это следует из (33)). При такой политике носитель постепенно расширяется, присоединяя к себе новые факторы. Фактор, вошедший в носитель в какой-то момент времени (т.е. ставший конкурирующим), уже никогда его не покидает.

Построение оптимального управления в переходном периоде состоит в том, чтобы упорядочить факторы, т.е. определить, в каком порядке они будут включаться в носитель. Значимые веса факторов, включаемых в носитель, одинаковы и являются максимальными. По мере расширения носителя веса конкурирующих факторов снижаются, т.е. функция  убывает, а веса свободных фондов подравниваются к значению . Выход траектории на квазимагистраль происходит тогда, когда веса всех факторов выровняются (все они войдут в состав носителя), это произойдет в момент . То есть на всех этапах, кроме последнего, когда будет достигнуто равенство . После этого носитель включает все факторы () и дальше идет движение по квазимагистрали.

Для того, чтобы веса факторов выравнивались с течением времени, необходимо, чтобы веса свободных факторов росли быстрее (или, что равносильно, убывали медленнее), чем веса конкурирующих. Это есть условие опережающего роста весов свободных факторов. В работе показано, что оно может быть обеспечено условием

, (41)

где индексы факторов – конкурирующего и свободного .

Из (41) следует, что в каждый момент времени имеет место равенство

(42)

и, следовательно, на носителе значения всех индексов одинаковы.

       Таким образом, правило включения факторов в носитель определяется формулой (42). Для завершения описания процедуры решения задачи необходимо построить оптимальное управление (т.е. распределение инвестиций) в каждом временном интервале, в котором множество остается постоянным. Это даст возможность провести в каждом таком интервале интегрирование эволюционных уравнений (31).

Надо заметить, что разработанный алгоритм не требует знания самих весов значимости факторов , и они в описанной схеме не вычисляются. В принципе, их можно вычислить как решение задачи Коши для уравнений (33) в обратном времени с правым краевым условием , где момент уже определен.

В третьем разделе, следуя двухэтапному подходу, структура оптимального управления гомогенной стационарной модели с линейно-однородной производственной функцией с фиксированной долей потребления, построенная в главе 1, перенесена на соответствующую негомогенную модель. Доказана Теорема 6 являющаяся распространением теоремы 3 на негомогенный случай, согласно которой в негомогенной многофакторной модели (30)-(32) с производственной функцией направление максимального сбалансированного роста является функцией времени и определяется из уравнения

.  (43)

Третья глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик. Дается вывод уравнения динамики возрастного состава на основе подхода, используемого в механике гетерогенных сред. Приводится аналитическое и численное решение задачи. Статистически определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения. Дается анализ погрешности вычисления и прогнозирования демографических характеристик, связанной как с погрешностью конечно-разностной аппроксимации, так и со статистической погрешностью определения функций распределения рождений, силы смертности населения и входных демографических данных. Представлен ретроспективный анализ и прогноз демографических показателей.

В первом разделе формулируется математическая модель анализа и прогноза демографических характеристик во временно-возрастной плоскости. Уравнение динамики возрастного состава имеет вид:

+=+,  (44)

где – время; – возраст; – функция плотности распределения населения по возрастам; – функция силы смертности; функция миграционного взаимодействия, задающая долю мигрирующих в каждой возрастной группе в единицу времени.

Начальное условие и граничные условия имеют вид:

,  ,  ,  ,  ,  (45)

где – известная функция; плотность распределения рождений из диапазона фертильности женщин [].

После определения функции находятся производные демографические характеристики. Например, такие как общая численность населения , численность населения трудоспособного возраста , количество людей, возраст которых выше (ниже) определенного порога или находится в определенном временном диапазоне. Также определяются такие характеристики, как средний возраст населения , средний возраст умерших , где . Используя данный подход, можно определить среднее количество детей в семье , обеспечивающее ускоренное воспроизводство населения. Искомое значение определяется из условия:

. (46)

Таким образом, построена замкнутая математическая модель для прогнозирования плотности распределения населения по возрастам. В результате такого прогноза появляется возможность определять численность населения для любой интересующей возрастной группы. На основе полученной модели рассматриваются группы населения в разбиении по возрасту, полу и типу поселения, а также производится расчет различных производных показателей по Удмуртской Республике.

Ретроспективный анализ расчетных данных показал удовлетворительное совпадение с имеющимися статистическими данными.

Во втором разделе предложена экономико-математическая модель определения потенциала работника и стоимости его жизни. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента. Это упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности.

Под экономическим потенциалом работника понимается экономический эффект, полученный обществом за период трудовой деятельности среднестатистического человека, выраженный в произведенном прибавочном продукте.

Под стоимостью жизни понимается либо упущенная выгода для экономической системы региона, либо потерянная ценность для отдельной семьи.

Упущенная выгода для экономической системы региона равна нереализованному экономическому потенциалу среднестатистического работника, который обусловлен его преждевременной смертью, за вычетом предполагаемых последующих заработной платы, а также выплат и льгот из общественных фондов потребления.

Потерянная ценность среднестатистического человека для отдельной семьи, обусловленная его преждевременной смертью, равна предполагаемому совокупному доходу индивидуума за весь нереализованный период жизни, а также последующих выплат и льгот из общественных фондов потребления, за вычетом последующих расходов на его собственное содержание.

Результаты анализа данной проблемы имеют существенное прикладное значение, позволяя определять экономически оправданный объем инвестиций, направляемых на повышение уровня общественного здоровья и качества жизни населения.

В четвертой главе в первом разделе представлена математическая модель динамики производственных фондов. Вводится функция распределения стоимости основных производственных фондов по возрастам , где возраст основных производственных фондов.

В общем случае полагается, что функция выбытия фондов зависит от времени и возраста , тогда можно записать

. (47)

Начальное условие и граничные условия имеют вид:

, ,  ;    (48)

где известная функция.

В дальнейшем предполагается аддитивность фондов не по их стоимости, а по их эффективности, учитывая при этом более высокую эффективность новых фондов с помощью экспоненциальной функции , где темп научно-технического (инновационного) развития основных производственных фондов. Тогда основной капитал определится по формуле:

. (49)

Аналитическое решение задачи (47)-(49) получено методом характеристик. В этой связи в данном случае удобно перейти от распределения производственных фондов по возрастам к их распределению по дате “рождения” с помощью замены: , где момент введения в строй новых производственных фондов.

В общем случае решение имеет вид:

(50)

откуда, например, при имеем

. (51)

Начальное значение:

.  (52)

Во втором разделе формулируется экономико-математическая модель динамики человеческого капитала и приводится методика его расчета как функции времени.

Принимается, что человеческий капитал состоит из трех составляющих, полагая при этом, что удельное (на одну демографическую единицу) среднестатистическое значение человеческого капитала определяется их линейной комбинацией:

, (53)

, ,

где весовые коэффициенты соответствующих слагаемых; значения измеряются в денежных единицах; индекс 1 соответствует образовательной составляющей, 2 – составляющей здоровья, 3 – культурной или духовной составляющей человеческого капитала.

Для описания эволюции составляющих человеческого капитала , воспользуемся уравнением типа уравнения переноса, тогда имеем:

.  (54)

Здесь , удельные расходы бюджета и удельные частные инвестиции в -ю составляющую человеческого капитала соответственно; коэффициент износа -ой составляющей человеческого капитала, в общем случае .

Начальные условия при имеют вид:

,  , (55)

где известные функции.

Граничные условия на левом конце демографической кривой

,  ;  (56)

на правом конце при , очевидно, следует записать

,  (57)

где время дожития процентов населения .

Очевидно, что коэффициенты амортизации слабо зависят от времени. Зависимость же от возраста для функций примем в виде:

  (58)

где неизвестные параметры определятся из условий:

, (59)

. (60)

Здесь верхняя граница активного периода трудовой деятельности или физического состояния . Ниже принимается .

В отличие от образовательной составляющей и составляющей здоровья, духовная составляющая человеческого капитала не подвержена износу, поэтому принимается .

Таким образом, суммарная величина человеческого капитала населения, участвующего в общественном производстве, определяется из выражения:

,  (61)

где доля населения возраста , участвующая в общественном производстве в год .

Используя решение задачи (54)-(57) и задачи (44),(45), по формуле (61) была определена величина человеческого капитала за период 1996-2006 годы.

При проведении оценочных расчетов макроэкономических параметров иногда удобно пользоваться приближенным одномерным уравнением динамики человеческого капитала (кинетическим уравнением), полученным в работе:

,  (62)

где объем инвестиций в развитие человеческого капитала; коэффициент, учитывающий долю населения, участвующего в общественном производстве; норма амортизации человеческого капитала.

В третьем разделе главы осуществляется построение производственной функции экономической системы региона в зависимости от таких факторов производства как величина производственного капитала и величина человеческого капитала.

В четвертом разделе разработаны частные математические модели, предназначенные для анализа различных вариантов развития экономики с разной степенью детализации (сложности) уравнений, описывающих изменение основных факторов макроэкономической динамики. Рассматривается моделирование влияния факторов НТП и СОП на экономический рост. Изучается взаимосвязь демографических и макроэкономических процессов. Моделируется динамика внешних инвестиций экономической системы.

Скачкообразный инновационный путь развития предполагает, что до момента имело место расширенное (экстенсивное) воспроизводство ВРП, когда НТП и СОП можно пренебречь. Начиная с момента времени , включаются факторы научно-технического и социально-образовательного прогресса, т.е. начинается инновационный путь развития экономики. В случае непрерывного инновационного пути развития предполагается, что факторы НТП и СОП присутствуют постоянно в процессе развития экономики.

Будем различать два вида производственных фондов: фонды стандартные фонды или фонды первого типа, и производственные фонды , которые формируются в условиях НТП –  новые (инновационные) фонды или фонды второго типа.

Постановка задачи для фондов обоих типов имеет вид (47)-(49). Следовательно, , и при получим следующие кинетические уравнения для фондов первого и второго типа:

,  .  (63)

,  .

При описании динамики трудовых ресурсов и человеческого капитала также предполагаем, что с момента начинается реформа образования, здравоохранения и социальной сферы, что приводит к развитию образовательных и медицинских технологий, повышению качества социального обслуживания населения, что меняет темп социально-образовательного прогресса человеческого капитала; уменьшается смертность и повышается рождаемость. Поэтому, как и выше, будем различать два вида трудовых ресурсов: ресурсы , к которым применяется фактор СОП с темпом , и ресурсы , которые формируются в условиях СОП с темпом .

Динамика трудовых ресурсов первой группы описывается уравнением (считаем, что мигранты входят в первую демографическую группу):

, (64)

где функция распределения населения по возрастам; функция распределения населения первой группы по возрастам; функция распределения населения второй группы по возрастам; функция ослабления силы смертности, где ; душевое потребление; душевое потребление региона в момент .

Начальное условие при :

, ; , , (65)

где в общем случае, известная по исходным данным функция; возраст, после которого факторы социально-образовательного прогресса не применяются. В расчетах полагалось .

Граничные условия при и :

, .  , .  (66)

Динамика трудовых ресурсов второй группы описывается следующим уравнением динамики возрастного состава:

. (67)

Начальное условие при :

, ; , . (68)

Граничное условие при :

, , (69)

где функция усиления рождений.

Граничное условие при :

, . (70)

Уравнения составляющих человеческого капитала по-прежнему имеют вид (54)-(57).

Как и выше, будем предполагать аддитивность первой и второй групп трудовых ресурсов не по их количеству, а по их отдаче. Таким образом, величина человеческого капитала определяется по формуле:

. (71)

Одномерные уравнения динамики человеческого капитала населения, участвующего в общественном производстве, могут быть представлены в виде:

,  (72)

,  . (73)

Функции и определялись методами математической статистики. Конечное решение задачи находилось в форме сигмоидальных логистических функций вида:

,  ,  (74)

где параметры определялись на основе статистических данных по Приволжскому АО.

При моделировании динамики внешних инвестиций полагалось, что внешние инвестиции, поступающие на развитие экономической системы, предоставляются под один и тот же процент с темпом погашения . Уравнение динамики инвестиционного долга в таком случае запишется в виде:

,  ,  ,  (75)

где функция распределения плотности долга по кредитам; возраст кредита.

Начальное условие и граничные условия имеют вид:

,  ;  , , , , (76)

где ежегодный объем внешних инвестиций.

Выплаты по кредиту в текущем году равны:

,  (77)

При допущениях задача (75), (76) приводится к виду:

,  ,  (78)

где текущая задолженность по кредитам; задолженность в начальный момент времени. Следовательно .

Пятая глава посвящена идентификации и прогнозированию обобщающих показателей развития региональной экономической системы.

В первом разделе построена математическая модель экономической системы региона, при формулировке которой учитывается, что региональная экономика взаимодействует с внешней экономической средой посредством кредитов, инвестиций, налогообложения, дотаций, трансфертов и субвенций (рис.2). При этом механизм воздействия кредитов и инвестиций на экономику региона ниже будем отождествлять между собой.

Рис. 2. Схема взаимодействия экономики региона с внешней экономической средой

В качестве показателей макроэкономической системы региона примем объем произведенной продукции , стоимости основных производственных фондов (производственного капитала) и человеческого капитала , объемы инвестиций и в производственный и человеческий капитал  соответственно, объем потребления и доходы регионального бюджета . Так что соответствующий паспорт неизвестных задачи имеет вид .

Производственную функцию примем в виде: и запишем основное балансовое уравнение макроэкономической модели региона, используя схему воспроизводства экономики, представленную на рис. 3:

, (79)

где внешние инвестиции в экономику региона; внешний долг; налоговые отчисления в федеральный бюджет; дотации, трансферты, субвенции.

Рис. 3. Схема цикла воспроизводства региональной экономики

В относительных переменных балансовое уравнение (79) имеет вид:

,  (80)

где уровень потребления; норма инвестиций в основные производственные фонды (капиталовложения); норма инвестиций в человеческий капитал; уровень внешних инвестиций; .

Балансовое уравнение (79) содержит эндогенные и экзогенные параметры. К последним относятся параметры . При этом внешний долг определяется динамикой поступления кредитов , политикой возврата кредита, или темпом его погашения , и процентной ставкой по кредитам .

Для описания дохода регионального бюджета используем схему, представленную на рис. 4.

Рис. 4. Схема бюджетного взаимодействия региона с внешней средой

Пусть , где налоги, собираемые на территории региона, поступающие в федеральный и региональный бюджеты соответственно. Обозначим , , тогда . Объем федеральных налогов определяется через долю от объема : . Федеральное бюджетное регулирование выразим через пропорцию (рис. 2) возврата средств в виде дотаций, трансфертов, субвенций как долю от уровня региональных налогов: , где . Тогда доход регионального бюджета можно записать в виде:

. (81)

Для описания динамики производственных фондов, человеческого капитала и внешнего долга используются эволюционные уравнения, полученные в главе 4. Таким образом, общая постановка задачи макроэкономической динамики включает в себя следующие соотношения:

, (82)

, (83)

,  ,  ,  ,  ,  , (84)

,  ,  ; (85)

,  ,  ;  (86)

,  ,  ;  (87)

,  ,  ;  . (88)

Второй раздел посвящен описанию алгоритма идентификации неизвестных параметров модели. В качестве критерия выбрано условие минимизации отклонения поведения системы от заданного поведения.

Систему уравнений (82)-(88) можно представить в виде

,  ,  .  (89)

Здесь вектор фазовых переменных; вектор-функции ограничений; вектор дополнительных переменных; вектор параметров системы.

Задача идентификации состоит в следующем. Известно поведение системы . Необходимо подобрать коэффициенты таким образом, чтобы отклонение поведения системы, определенного из решения уравнений (89) при наличии ограничений, от заданного поведения было бы минимальным.

Реализация вычислительной схемы оптимизационного алгоритма требует конечно-разностной аппроксимации задачи (89). На отрезке вводится сетка , при этом дифференциальные уравнения (89) заменяются дискретным аналогом

,  . (90)

Здесь оператор, определяющий метод численного интегрирования; сеточная функция, аппроксимирующая .

Условие минимизации отклонения поведения системы (90) от заданного поведения имеет вид:

;  . (91)

Если , то , , где решение задачи идентификации.

Для решения оптимизационных задач в работе использована гибридная схема, в которой взаимодействуют генетический алгоритм с вещественным кодированием и метод Хука-Дживса, не требующий вычисления производных.

В третьем разделе приведены исходные статистические данные для решения задачи и результаты идентификации параметров экономики УР.

В четвертом разделе представлены результаты идентификации и прогнозирования обобщающих показателей экономики УР.

Шестая глава посвящена решению динамических задач оптимального управления экономической системой региона. В качестве исходной берется модель развития региональной экономической системы, построенная в пятой главе. На ее основе строится модель оптимального управления.

Математический анализ моделей и разработка алгоритмов решения проводятся с использованием результатов, полученных в первой и второй главах диссертационной работы.

В первом разделе проводится сравнение решения задачи прогнозирования макроэкономических параметров и динамики этих же параметров при оптимальном распределении ресурсов в замкнутой экономической системе региона.

Задача оптимального управления в данном случае имеет вид:

(92)

при условиях (82)-(87), где необходимо положить , ,

. (93)

Используя свойство линейной однородности производственной функции Кобба-Дугласа, запишем фазовые уравнения для удельной величины производственных фондов и человеческого капитала в виде:

;  (94)

откуда

, (95)

где , , , , .

Следуя теории главы 2, определяются уравнения, которым должна удовлетворять квазимагистраль оптимальной траектории. В итоге получаем следующую систему уравнений:

, (96)

,  (97)

,  (98)

где известная функция.

После определения квазистационарной кривой оптимальная траектория в переходном периоде определяется путем решения уравнения (95) с использованием правила выбора управлений, сформулированным на основе решения соответствующей гомогенной модели (глава 1), а именно:

  (99)

Таким образом, оптимальное управление построено.

Расчеты проводились для исходных данных по УР. Представлено сравнение прогнозных значений развития экономики УР при постоянных значениях параметров управления, полученных на основе ретроспективного анализа и с учетом оптимального управления. Проанализировано изменение суммарного потребления в зависимости от доли потребления в случае оптимального управления капиталовложениями. Показано существование оптимального значения фиксированной доли потребления , при которой достигается максимальное значение суммарного потребления в плановом периоде.

Во втором разделе анализируются результаты имитационного моделирования динамики обобщающих показателей развития региональной экономической системы с учетом НТП и СОП.

Экономико-математические модели, построенные в главе 4, позволяют моделировать различные сценарии развития переходной экономики. Рассматривался следующий сценарий: полагали, что в замкнутой экономической системе факторы НТП и СОП включаются, начиная с момента , т.е. начинается инновационный путь развития экономики; до этого момента имеет место расширенное воспроизводство ВРП.

       Постановка задачи имеет вид:

(100)

при условиях:

,  (101)

,  ,  ,  ; (102)

,  ,  (103)

,  , ,  (104)

,  ,  ,  ,  ;  (105)

,  , ,  (106)

,  ,  ,  ,  ,  (107)

где

.  (108)

Используя принцип максимума Понтрягина, получена замкнутая система уравнений для определения параметров квазимагистрали оптимальной траектории , после чего определяется оптимальная траектория в переходном периоде путем решения системы фазовых уравнений (104) и (106) с краевыми условиями (105) и (107) методом “стрельбы” в обратном времени. В процессе решения, исходя из начальных значений фазовых переменных, подбирается момент времени , когда траектория системы выходит на квазистационарный режим сбалансированного роста; параллельно восстанавливаются значения двойственных переменных и управлений. На заключительном этапе прямым ходом решается задача оптимального распределения инвестиций.

В третьем разделе рассматривается оптимальное управление экономической системой с учетом внешних инвестиций. Исследована возможность улучшения макроэкономической динамики с помощью внешнего инвестирования. Величина объема внешних инвестиций в каждый момент времени определяется в зависимости от состояния исследуемой экономической системы в данный момент времени.

Решается следующая задача:

,  (109)

где ; при условиях:

, (110)

, , , , , ,(111)

,  , (112)

,  , (113)

,  ; (114)

,  ,  ;  (115)

,  ,  ;  (116)

,  ,  ;  ,  (117)

где

.(118)

       Алгоритм решения задачи построен по аналогии с предыдущим случаем. Вначале определяется квазимагистраль и соответствующее поддерживающее управление . После этого определяется оптимальная траектория в переходном периоде путем решения системы фазовых уравнений (115)-(117) с соответствующими краевыми условиями методом “стрельбы” в обратном времени.

В приложении представлено описание ИАССЭА УР.

Основные результаты и выводы

  1. Дано обобщение РКК-модели для многофакторной многомерной задачи оптимального управления на случай, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно.
  2. В общей стационарной модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).
  3. Для стационарной монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, выражающей эту точку через исходные параметры модели.
  4. Дано полное описание оптимального решения для классической РКК-модели (Теорема 2).
  5. Описана структура оптимального управления в стационарной двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.
  6. Получена конечная формула (Теорема 3) для луча сбалансированного роста в многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (неподвижной точки в такой модели не существует).
  7. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).
  8. В многофакторной модели с ограниченными траекториями описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен алгоритм построения оптимального управления  в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней (весов) значимости факторов (индексный метод). Таким образом, проблему построения оптимального управления, связанную с интегрированием уравнений для двойственных переменных, удалось свести к интегрированию фазовых уравнений, для которых известны начальные условия. Этот подход позволяет построить оптимальную траекторию на основе принципа максимума, не решая полную систему сопряженных уравнений, точнее, без привлечения двойственных переменных, что является существенным упрощением, так как для двойственных переменных краевые условия отсутствуют.
  9. В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).
  10. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности. Представлено аналитическое и численное решение уравнения. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3% может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 20 лет.
  11. Впервые сформулирована экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь. Для оценки отдачи вложений в человеческий капитала и определения необходимой величины этих вложений рассмотрены такие характеристики, как потенциал работника и экономическая стоимость жизни. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента: упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности. Исследования, проведенные в работе, в частности, показали:
    • полный экономический потенциал среднестатистического демографического элемента почти на 40% превышает расходы на его собственное содержание.
    • при выбытии демографических элементов в возрасте лет упущенная выгода для экономики УР в 2-3 раза выше потерянной ценности для отдельной семьи, однако, с увеличением возраста демографического элемента уже при лет потерянная ценность становится выше упущенной выгоды.
    • суммарная упущенная выгода от преждевременных демографических потерь в УР составляют % ее ВРП.
  12. Впервые сформулирована экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени. Отметим, что результаты анализа данной проблемы имеют существенное прикладное значение, позволяя определять экономически оправданный объем инвестиций, направляемых на повышение уровня общественного здоровья и качества жизни населения.
  13. На основе построенных моделей факторов производства предложена математическая модель региональной экономической системы. Решена задача идентификации неизвестных параметров модели с использованием гибридного генетического алгоритма с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса.
  14. На основе построенной математической модели региональной экономической системы сформулирована и решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом реального демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости задачи. Построены алгоритмы оптимального управления динамикой региональной экономической системы для различных сценариев развития. Рассмотрены варианты оптимального управления в условиях научно-технического и социально-образовательного и прогресса; а также управление макроэкономической системой с учетом процесса внешнего инвестирования.
  15. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономики.
  16. Проведенный параметрический анализ задачи показал, что стратегия оптимального экономического роста не всегда сопряжена с увеличением ВРП. Совместное или противоположное изменение функции выигрыша и удельного значения объема производства (валового регионального продукта) зависит от соотношения начальных значений макропараметров и значений макропараметров на оптимальной траектории развития экономической системы.

Основные публикации по теме диссертации

  1. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование демографических показателей // Cб. статей “Интеллектуальные системы в производстве”.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 2, 2002.– С. 163 – 169.
  2. Кетова К.В. Задача моделирования оптимального экономического роста региональной экономики с учетом прогноза демографической ситуации // Материалы VII науч. конф. молодых ученых и специалистов. Секция “Информационные технологии и их применение”.– Дубна, 2003.– С. 305 – 306.
  3. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ решения задачи управления демографоэкономическим состоянием региона // Интеллектуальные системы в производстве.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 2, 2003.– С. 151 – 160.
  4. Русяк И.Г., Кетова К.В. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”: Изд-во ИжГТУ.  Ижевск, № 2, 2004.– C. 49 – 52.
  5. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”: Изд-во ИжГТУ.– Ижевск, № 3, 2004.– C. 44 – 46.
  6. Кетова К.В. Применение принципа оптимальности Беллмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // Интеллектуальные системы в производстве.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 1, 2004. – С. 145 – 155.
  7. Русяк И.Г., Кетова К.В., Дмитриев С.В. Применение принципа максимума Понтрягина для решения задачи управления демографоэкономическим состоянием региона // Сб. статей “Интеллектуальные системы в производстве”. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 2, 2004.– С. 132 – 143.
  8. Беленький В.З., Кетова К.В. Принцип оптимальности Беллмана и стационарные модели экономической динамики // Сб. статей “Интеллектуальные системы в производстве”. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 2, 2004. – С. 59 –75.
  9. Беленький В.З., Кетова К.В. Моделирование оптимальной стратегии управления макроэкономической системой // Материалы V Междунар. науч.-практич. конф. “Государственное регулирование экономики. Региональный аспект”. Секция “Математическое моделирование экономических систем” (20-22 апреля 2005).– Н. Новгород: Изд-во НГУ, 2005.– C. 66 – 72.
  10. Тененев В.А., Кетова К.В., Дмитриев С.В. Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов // Сб. статей “Интеллектуальные системы в производстве”.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ, № 2, 2005.– C. 81 – 87.
  11. Беленький В.З., Кетова К.В. Полное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Периодический научно-теоретический журнал “Экономика и математические методы”.– Москва: Изд-во ЦЭМИ РАН, Том 42, Выпуск 4, 2006.– С. 85 – 95.
  12. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование открытой региональной экономической системы // Периодический научно-теоретический журнал “Фундаментальные исследования”.– М: Изд-во Академия Естествознания, № 10, 2005.– С. 73 – 74.
  13. Кетова К.В., Дмитриев С.В. Моделирование динамики открытой макроэкономической системы в условиях научно-технического прогресса в производственной сфере // Известия института математики и информатики/ Труды научной конференции-семинара “Теория управления и математическое моделирование”.– Ижевск: Изд-во УдГУ.- Выпуск 2(36), 2006.– С.159 – 162.
  14. Русяк И.Г., Кетова К.В. Динамическая модель открытой макроэкономической системы в условиях научно-технического прогресса в производственной и социальной сферах // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ЮУрГУ”, серия “Экономика”.- Челябинск: Изд-во ЮУрГУ.- № 12 (67), 2006.– C. 390 – 394.
  15. Кетова К.В., Дмитриев С.В. Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”.- Ижевск: Изд-во ИжГТУ.- № 3, 2006.– С 68 – 70.
  16. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Применение принципа максимума Понтрягина для определения структуры оптимального управления макроэкономической системой в случае нескольких управляющих переменных // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы “Понтрягинские чтения – ХVII”. – Воронеж: Центрально-Черноземное книжное изд-во, 2006.– С. 82.
  17. Беленький В.З., Кетова К.В. Вековое уравнение для устойчивой неподвижной точки стационарной динамической конечномерной модели ЭД в непрерывном времени // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей под ред. В.З. Беленького. Вып. 3.– М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006.– С. 65 – 82.
  18. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Макромодель развития региона с учетом повышения качества трудовых ресурсов (на примере Удмуртской Республики) // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей под ред. В.З.Беленького. Вып. 3.– М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006.– С. 83– 98.
  19. Русяк И.Г., Кетова К.В., Сабирова О.Р. Квазистационарная кривая развития экономики региона в двухфакторной динамической макромодели // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”.- Ижевск: Изд-во ИжГТУ.- № 1 (33), 2007.– C. 111 – 116.
  20. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Влияние соотношения факторов производственной функции на процесс достижения оптимальной траектории в моделях макроэкономической динамики // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы “Понтрягинские чтения – ХVIII”.– Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007.– С. 99 – 100.
  21. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка алгоритма ее решения // Научный журнал “Вестник ТОГУ”.- Хабаровск: Изд-во ТОГУ.– № 4 (7), 2007.– C. 89 – 100.
  22. Кетова К.В. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь // Научно-практический журнал “Прикладная эконометрика”.- М.: Изд-во Маркет ДС. – № 3 (7), 2007.– С 80 – 94.
  23. Русяк И.Г., Кетова К.В. Оценка и моделирование динамики человеческого капитала // III конференция “Медицинские, социальные и экономические проблемы сохранения здоровья населения” с международным участием, 21-28 мая 2007, Турция (Кемер) / Периодический научно-теоретический журнал “Современные наукоемкие технологии”.– М.: Изд-во Академии Естествознания.- № 9, 2007.– С. 56 – 58.
  24. Кетова К.В. Построение стратегии оптимального управления экономической системой на макроуровне // IV конференция “Российская экономика 2007: реальность и перспективы”, 7–14 июля 2007, Хорватия (Пула) / Периодический научно-теоретический журнал “Фундаментальные исследования”.– М.: Изд-во Академии Естествознания.- № 9, 2007.– С. 37 – 38.
  25. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Применение принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления экономической системой, учитывающей распределение производственных факторов по возрасту // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы (“Понтрягинские чтения – ХVIII” 3 – 9 мая, 2007г.). – Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007.– С. 80 – 81.
  26. Русяк И.Г., Кетова К.В. Экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала // Научно-практический журнал “Экономика, статистика, информатика. Вестник УМО”, раздел “Статистика и математические методы в экономике”. – М.: Изд-во ГОУ ВПО МЭСИ.- № 2, 2007.– С. 56 – 60.
  27. Кетова К.В. К вопросу о расчете потерянной ценности при выбытии демографической единицы // Периодический научно-образовательный журнал “Научное обозрение ”. – М.: Изд-во Наука.– № 4, 2007.– С. 20 – 26.
  28. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Взаимосвязь кинетического уравнения динамики производственных фондов и политики их накопления // Сборник материалов 3-ей Международной научно-практической конференции “Достижения ученых XXI века”: Тамбов, 30–31 июля 2007г.– С. 24 – 26.
  29. Русяк И.Г., Кетова К.В., Сабирова О.Р. Построение оптимального управления в негомогенной конечномерной макроэкономической модели, обладающей квазимагистралью // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей под ред. В.З.Беленького. Вып. 4. – М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2007. – С. 83 – 98.
  30. Кетова К.В. Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ.– № 3(35), 2007.– C. 33 – 40.
  31. Кетова К.В., Сабирова О.Р. Решение задачи многопараметрической оптимизации на множестве параметров управления // Всероссийская научно-практическая internet-конференция “Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем”, Раздел “математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами”, Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября – 15 ноября 2007г. http://isei.communityhost.ru/thread/?thread__mid=352653601.
  32. Беленький В.З., Кетова К.В., Сабирова О.Р. Стационарные состояния в конечномерных  динамических моделях с ограниченными траекториями // Периодический научно-теоретический журнал “Экономика и математические методы”.– М.: Изд-во ЦЭМИ РАН. – Вып. 3, 2008.
  33. Русяк И.Г., Кетова К.В. Построение производственной функции экономической системы региона с учетом человеческого капитала // Вестник МГУ.– М.: Изд-во МГУ, серия “Экономика”, № 3, 2008.
  34. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ экономических характеристик демографических потерь // Научный журнал “Вестник ТГУ”.– Томск: Изд-во ТГУ. – № 2, 2008.
  35. Беленький В.З., Русяк И.Г., Кетова К.В. Построение и математический анализ синтеза управления в стационарных моделях экономической динамики с линейно однородными производственными функциями // Периодический научно-теоретический журнал “Вестник ИжГТУ”.– Ижевск: Изд-во ИжГТУ. – № 2, 2008.

1 Далее нижний индекс будем опускать, используя его лишь в тех случаях, когда необходимо акцентировать зависимость соответствующего параметра от времени.

2 Беленький В.З. Оптимизационные модели экономической динамики. Понятийный аппарат. Одномерные модели. – М.: Наука, 2007. – 259 с.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.