WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

ДЫЛЕВСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

СИНТЕЗ КОНЕЧНОМЕРНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации: управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Воронеж 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежский государственный университет на кафедре Технической кибернетики и автоматического регулирования Научный консультант доктор технических наук, профессор Лозгачев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Баркин Александр Иванович доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Коган Марк Михайлович Ведущая организация Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Защита состоится 08 июня 2009 г. в 11 часов в аудитории 1506 на заседании диссертационного совета Д-002.086.02 при Институте системного анализа РАН по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д-002.086.доктор технических наук, профессор А. И. Пропой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы. Проблемы управления объектами с распределенными параметрами привлекают все большее внимание специалистов в области теории автоматического управления. Об этом свидетельствует появление в отечественных и зарубежных изданиях многочисленных публикаций как теоретического, так и прикладного характера, проведение различных конференций и симпозиумов, посвященных этим проблемам.

Такой интерес к проблемам управления распределенными объектами обусловлен не только развитием теории и методов управления, но и практической значимостью важнейших прикладных задач, которые необходимо рассматривать в рамках теории распределенных систем. Действительно, трудно указать какую-нибудь естественно-научную, техническую или промышленную область, где бы не возникали задачи, связанные с использованием распределенных объектов: управление химическими и ядерными реакторами, регулирование давления в длинных нефте-, газо- и водопроводах, управление лазерами и роботами и т. д.

Среди основных проблем теории управления объектами с распределенными параметрами можно выделить следующие: идентификация, моделирование, анализ (устойчивость, управляемость, наблюдаемость), синтез управляющих систем, оптимизация, техническая реализация управляющих систем и т. д. Следует заметить, что по сравнению с сосредоточенными системами, указанные выше задачи для систем с распределенными параметрами являются значительно более сложными. Это объясняется следующими фактами. Основная особенность объектов с распределенными параметрами состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать только изменением координат объекта во времени. Состояние таких объектов должно описываться функциями нескольких переменных, а поведение, как правило, дифференциальными уравнениями с частными производными.

При этом, управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами могут быть сосредоточенными (описываться функциями одной переменной) и распределенными (описываться функциями нескольких переменных).

Однако, несмотря на всю сложность проблем управления распределенными системами, благодаря известным работам А. Г. Бутковского, Ю. И. Неймарка, И. А. Брина, Я. З. Цыпкина, Б. Н. Девятова, В. В. Солодовникова, А. А. Шевякова, Ч. Дезоера, М. Видиасагара, М. Крстича и других ученых по многим направлениям удалось получить основополагающие результаты. Вместе с тем, сохраняется постоянный интерес исследователей к центральной задаче теории управления распределенными системами проблеме синтеза управляющих систем для объектов с распределенными параметрами. Этот интерес объясняется, во-первых, значимостью проблемы синтеза для решения важных прикладных задач, во-вторых, необходимостью применения сложного математического аппарата, что в значительной степени затрудняет разработку методов синтеза управляющих систем для распределенных объектов, и в-третьих, определенными трудностями при технической реализации управляющих систем.

Особый интерес исследователей вызывает проблема синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами.

В частности, построение ПИД-регуляторов для распределенных объектов рассматривалось в работах Х. Гурецкого, А. Г. Бутковского и многих других ученых. Следует отметить, что применение ПИД-регуляторов для бесконечномерных объектов ограничено узким классом таких объектов.

Например, для неустойчивого объекта с запаздыванием ПИД-регулятор может и не существовать. Задача управления распределенными объектами с помощью конечномерных регуляторов на основе метода желаемых логарифмических характеристик рассматривалась в работах В. В. Солодовникова. Однако применение этого метода возможно лишь для минимально-фазовых объектов. Другой подход основан на использовании конечномерных аппроксимирующих моделей распределенных объектов, т.е.

конечномерный регулятор синтезируется для некоторой конечномерной модели. Заметим, что применение этого метода требует не столько высокой точности аппроксимации, сколько достаточной грубости регулятора.

Можно показать, что построение регулятора по конечномерной аппроксимации в ряде случаев приводит к неустойчивости замкнутой системы регулирования с исходным объектом. Поэтому развитие методов синтеза модальных регуляторов, обеспечивающих желаемые свойства замкнутой системы управления, позволит решить задачу построения конечномерных регуляторов для распределенных объектов.

Таким образом, разработка эффективных методов синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами, допускающих простую техническую реализацию, позволит решить актуальную проблему теории распределенных систем, связанную с автоматическим управлением распределенными объектами.

Целью работы является разработка и обоснование методов построения конечномерных регуляторов для линейных стационарных объектов с распределенными параметрами.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории устойчивости, линейной алгебры, функционального и математического анализа, методы вычислительной математики, теории функций комплесного переменного, операционного исчисления. Экспериментальные результаты получены с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы характеризуется следующими результатами, полученными автором лично:

1. Впервые разработан метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта с сосредоточенными параметрами. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы.

2. Разработан метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез распределенного регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы.

3. Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр произвольную целую функцию.

4. Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Разработан частотный критерий устойчивости распределенных систем управления.

Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5. Впервые разработан эффективный метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами.

Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта.

6. Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является помехозащищенным.

7. Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти применение в различных отраслях промышленности при решении задач автоматизации процессов управления объектами с распределенными объектами. На основе теоретических разработок получены практические методики и программы, позволяющие производить автоматизированный анализ и синтез систем автоматического управления. Это дает возможность сократить время проектирования регуляторов, повысить их точность и надежность, уменьшить степень риска при эксплуатации.

Поддержка. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-07-00007-а Построение конечномерных робастных регуляторов для объектов с распределенными параметрами ).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах “Нейроинформатика и ее приложения” (Красноярск, 1996, 1997), Воронежской зимней математической школе “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (Воронеж, 1997), Международной конференции “Математика. Компьютер. Образование” (Дубна, 1998), Международной конференции “Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства” (Воронеж, 1998), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международной научной конференции “Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения” (Воронеж, 2000), Международной научно-технической конференции “Кибернетика и высокие технологии XXI века” (Воронеж, 2000, 2001, 2005–2008), семинарах Института автоматизации при университете Бундесвера (г. Гамбург, Германия), кафедры автоматического регулирования Университета Саарланда (г. Саарбрюкен, Германия), Института техники измерений и автоматического регулирования Университета Ганновера (г. Ганновер, Германия), Института Макса Планка динамики комплексных технических систем (г. Магдебург, Германия), ИСА РАН (г. Москва), МГТУ им. Н. Э. Баумана (г. Москва) и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.





Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, из них одна монография и 10 публикаций в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 176 наименований. Работа содержит 304 страницы машинописного текста и 43 рисунка.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, приведены методы исследования и отражена научная новизна. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводится обзор литературы, посвященной исследованию систем управления с распределенными параметрами, дана классификация распределенных объектов управления и рассмотрены различные способы математического описания таких объектов.

На основе проведенного анализа проблемы управления конечномерными объектами сделан вывод, что основные не решенные проблемы связаны со следующими факторами:

1. необходимостью выбора адекватной конечномерной аппроксимирующей модели бесконечномерного стационарного линейного объекта, позволяющей сохранить определяющие свойства распределенного объекта в рабочей полосе частот;

2. необходимостью исследования устойчивости систем с распределенными параметрами в частотной области, в том числе систем, передаточные функции которых содержат счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления;

3. необходимостью синтеза модальных регуляторов с сосредоточенными параметрами, обеспечивающих заданное распределение нулей и полюсов замкнутой системы управления;

4. необходимостью оценки грубости конечномерного регулятора, синтезированного по конечномерной дробно-рациональной аппроксимации, и используемого для управления объектом с распределенными параметрами;

5. необходимостью синтеза реализуемых помехозащищенных дифференцирующих устройств, применяемых для синтеза регуляторов бесконечномерных объектов, а также для повышения качества регулирования в достаточно широком классе систем управления.

Во второй главе рассматриваются методы дробно-рациональной аппроксимации в комплексной области трансцендентных передаточных функций объектов управления с распределенными параметрами (ряды Тейлора, Лорана, Бурмана-Лагранжа, непрерывные дроби и дроби Паде, разложения мероморфных функций в ряды). Рассматриваются частотные методы исследования устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Доказывается частотный критерий устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

В третьей главе диссертации предлагается метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта.

Для заданной дробно-рациональной передаточной функции объекта управления B(p) W (p) =, (1) A(p) и заданного алгебраического многочлена D(p) требуется определить передаточную функцию реализуемого регулятора S(p) V (p) =, deg S deg R, (2) R(p) так, чтобы передаточная функция замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1, удовлетворяла следующему условию:

Q(p) (p) =, deg Q deg D, (3) D(p) где Q(p) алгебраический многочлен определенной структуры, у которого k Z0 коэффициентов являются произвольными. Общий вид многочлена Q(p) будет выписан ниже. Произвольные коэффициенты многочлена Q(p) влияют на распределение только нулей передаточной функции (p).

Рис. Для решения поставленной задачи требуется решить систему полиномиальных уравнений относительно S(p) и R(p):

B(p)S(p) = Q(p), (4) B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p).

Для того чтобы многочлен Q(p) имел k произвольных коэффициентов, решение системы (4) будем искать в виде S(p) = S0(p) + A(p)C(p), R(p) = R0(p) - B(p)C(p), (5) где C(p) Rk-1 произвольный полином, а многочлены S0(p) и R0(p) являются решением следующего полиномиального уравнения:

B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (6) Здесь Rn множество алгебраических многочленов степени n над полем действительных чисел R.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если многочлены A(p) Rm и B(p) Rl взаимно простые, то для любого полинома D(p) Rn, n m + l, существует единственная пара многочленов S0(p) Rm-1 и R0(p) Rn-m, являющаяся решением полиномиального уравнения (6).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда многочлен S0(p) определяется следующей формулой:

( m i-1 i-i-1-l) (s - i)i A(p) S0(p) = (p - i)r+1 A(s) s=i i=1 r=0 l=r (l-r) D(s) . (7) B(s) (i - 1 - l)!(l - r)! s=i Многочлен R0(p) находится по формуле D(p) - B(p)S0(p) R0(p) =. (8) A(p) Следует отметить, что многочлены S0(p) и R0(p) не зависят от C(p).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Передаточные функции регулятора (2) и замкнутой системы (3) всегда реализуемы, если выполняется неравенство n m + + k, = max {m - 1, l}. (9) В диссертации рассматривается метод, позволяющий упростить процедуру синтеза передаточной функции модального регулятора в том случае, когда многочлен A(p) Rm содержит своим множителем некоторый полином H(p) Rq. С этой целью представим многочлены A(p), S0(p) и D(p) в виде произведений A(p) = (p)H(p), S0(p) = 0(p)H(p) и D(p) = D(p)H(p), где (p) Rm-q, 0(p) Rm-q-1 и D(p) Rn-q. Тогда полиномиальное уравнение (6) приобретает следующий вид:

B(p)0(p) + (p)R0(p) = D(p). (10) Таким образом, получаем алгебраическую систему, состоящую из (m-q) уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена 0(p), вместо m уравнений в (6). Кроме того, для разрешимости полиномиального уравнения (10) в условиях теоремы 1 следует требовать взаимной простоты многочленов B(p) и (p), а не B(p) и A(p).

В диссертации решается задача построения следящей системы, блоксхема которой представлена на рис. 2.

Следуя принципу поглощения, классы задающих воздействий g(t) и внешних возмущений f(t) будем описывать соответствующими дифференциальными (разностными) уравнениями L1()g(t) = 0, L2()f(t) = 0, (11) с произвольными начальными условиями. Здесь L1(), L2() некоторые алгебраические многочлены от ; либо оператор дифференцироd f(t) вания (f(t) =, непрерывный случай), либо оператор опережения d t (f(i) = f(i + 1), дискретный случай). Конкретные представители классов задающих и возмущающих воздействий определяются начальными условиями уравнений (11).

Рис. Для повышения качества управления синтезируем передаточную функцию регулятора, использующего полезную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. Метод построения регулятора без особых трудностей сводится к описанной выше процедуре синтеза модальных регуляторов. Действительно, рассмотрим расширенный объект с передаточной функцией B(p) B(p) W (p) = =, (12) A(p)L(p) A(p) где L(p) = L1(p)L2(p) Rr, Li(p) Rr, i = 1, 2, r = r1 + r2. Для i расширенного объекта (12) полиномиальное уравнение (6) принимает вид B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (13) Здесь A(p) = A(p)L(p) Rm, m = m + r. Отметим, что полином D(p) естественно выбирать устойчивым.

В четвертой главе рассматриваются задачи синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами.

Пусть передаточная функция объекта управления с распределенными параметрами имеет вид W (p) = W0(p)(p), (14) где B(p) W0(p) =, A(p) Rm, B(p) Rl, m l, (15) A(p) функция (p) комплексной переменной p является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси.

Для заданной передаточной функции W (p) объекта управления (14) и заданного полинома D(p) Rn требуется определить дробно-рациональную передаточную функцию реализуемого регулятора S(p) V0(p) = (16) R(p) с компенсирующей обратной связью так, чтобы передаточная функция замкнутой системы управления по управляющему воздействию, структурная схема которой изображена на рис. 3, имела вид S(p)B(p) (p) = (p) (17) D(p) и учитывала полезную информацию о задающем воздействии g(t) и внешнем возмущении f(t). Классы задающих воздействий и внешних возмущений будем описывать линейными дифференциальными уравнениями (11).

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом синтеза модальных регулятров. На основе структурной схемы (см. рис. 3) находим передаточную функцию замкнутой системы по заданию V0(p)W (p) (p) =. (18) 1 + W0(p)V0(p) Рис. Принимая во внимание условие (17) и формулы (14)–(16), для многочленов S(p) и R(p) получаем систему полиномиальных уравнений (4).

Решение этой системы будем искать в виде (5), где C(p) Rk-1 произвольный многочлен; многочлены S0(p) и R0(p) являются решениями полиномиального уравнения (6). Условия существования и единственности решения полиномиального уравнения (6) определяются теоремой 1.

Передаточная функция конечномерного регулятора определяется формулой S(p) S0(p) - A(p)C(p) V0(p) = = (19) R(p) R0(p) + B(p)C(p) и соответствующая передаточная функция регулятора V (p) с компенсирующей обратной связью приобретает вид S0(p) - A(p)C(p) A(p) V (p) =. (20) D(p) - S0(p) - A(p)C(p) B(p)(p) Следует отметить, что условие реализуемости передаточной функции регулятора (19) определяется условием (9).

В диссертации рассматривается задача построения модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией.

Пусть передаточная функция W (p) объекта управления является мероморфной функцией в конечной комплексной плоскости (исключая точку p = ). Представим мероморфную функция W (p) в следующем виде:

B(p) W (p) =. (21) A(p) Здесь A(p) и B(p) целые функции, не имеющие общих нулей.

Обозначим через C<,> множество целых функций порядка и типа . Относительно целых функций A(p) и B(p) будем дополнительно предполагать, что A(p) и B(p) функции конечного порядка, для которых выполнено одно из следующих условий:

либо 0 B < A, (22) либо 0 < B = A, B A. (23) Каждое из соотношений (22) или (23) можно рассматривать как условие физической реализуемости передаточной функции объекта управления (21).

Для заданной мероморфной передаточной функции W (p) объекта (21) рассмотрим задачу построения мероморфной передаточной функции регулятора S(p) V (p) =, (24) R(p) обеспечивающего заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции (p) замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1. В формуле (24) предполагается, что искомые функции S(p) и R(p) являются целыми функциями конечного S R порядка S(p) C<,S> и R(p) C<,R>, для которых выполнено одно из условий физической реализуемости передаточной функции регулятора или 0 S < R, (25) или 0 < S = R, S R. (26) По структурной схеме, представленной на рис. 1, принимая во внимание формулы (21) и (24), находим передаточную функцию замкнутой системы W (p)V (p) B(p)S(p) (p) = =. (27) 1 + W (p)V (p) B(p)S(p) + A(p)R(p) Зададимся желаемым распределением нулей и полюсов передаточной функции (p). С этой целью введем в рассмотрение целую функцию Q Q(p) C<,Q>, определяющую распределение части нулей функции D (p), и целую функцию D(p) C<,D>, определяющую распределение полюсов передаточной функции (p). Тогда желаемая передаточная функция (p) замкнутой системы управления может быть представлена в виде Q(p) (p) =. (28) D(p) Из равенств (27) и (28), приравнивая соответственно числители и знаменатели дробей, получаем систему уравнений относительно функций S(p) и R(p) B(p)S(p) = Q(p), (29) B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p).

Очевидно, что при известной целой функции S(p) функция Q(p) полностью определена. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно решить следующее уравнение:

B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p). (30) Для того чтобы обеспечить заданное расположение части нулей передаточной функции (p), решение уравнения (30) будем искать в виде S(p) = S0(p) - (p)A(p), R(p) = R0(p) + (p)B(p), (31) где (p) C<,> произвольная целая функция, а функции S0(p) и R0(p) являются решением уравнения B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (32) Имеет место следующая теорема.

A B Теорема 3. Пусть целые функции A(p) C<,A> и B(p) C<,B> не имеют общих нулей и удовлетворяют условию (22) или (23). Тогда для A любой целой функции D(p) C<,D>, D A, существует единственSная пара целых функций S0(p) C<,S0 >, где либо S = 0, S = 0, 0 A либо S = A, S = A, и R0(p) C<,D-A>, являющаяся решением 0 уравнения (32).

Если выполнены все условия теоремы 3, то искомые функции S0(p) и R0(p) могут быть всегда найдены соответственно по формулам (7) при m = и (8), причем единственным образом, а значит, передаточная функция регулятора полностью определена и представляет собой мероморфную функцию S(p) S0(p) - (p)A(p) V (p) = =, (33) R(p) R0(p) + (p)B(p) где, как и ранее, (p) C<,> произвольная целая функция. При этом передаточная функция замкнутой системы имеет вид B(p) S0(p) - (p)A(p) Q(p) (p) = =. (34) D(p) D(p) В формуле (7) i является нулем функции A(p).

Исследуем теперь вопрос о физической реализуемости передаточных функций модального регулятора V (p) и замкнутой системы (p). С этой целью рассмотрим следующую теорему.

Теорема 4. Передаточные функции регулятора (33) и замкнутой системы (34) всегда реализуемы, если выполняются следующие неравенства:

A, (35) D 2A + , (36) где 1, = A, = (37) 0, < A.

Рассмотрим метод синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Введем обозначения V (p) передаточная функция конечномерного регулятора; (p) передаточная функ ция объекта с распределенными параметрами; N(p) передаточная функция объекта с сосредоточенными параметрами, являющаяся дробнорациональной аппроксимацией порядка N передаточной функции (p);

мнимая ось без полюсов функции N(p)V (p).

В диссертации доказано, что выполнение неравенства |1 + N(j)V (j)| > |V (j)((j) - N(j))| , (38) гарантирует устойчивость замкнутой системы управления с передаточной функцией (p), если сосредоточенная система с передаточной функ цией N,n(p) устойчива и передаточные функции объектов N(p) и (p) имеют равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Введем в рассмотрение следующее обозначение:

N(p) = |(p) - N(p)|. (39) Нетрудно заметить, что N(p) представляет собой абсолютное значение ошибки аппроксимации порядка N трансцендентной передаточной функции N(p) с помощью дробно-рациональной передаточной функции (p). Отсюда, полагая передаточную функцию порядка N замкнутой си стемы N,n(p) равной V (p) N,n(p) =, (40) 1 + N(p)V (p) получим условие устойчивости N,n(j) N(j) < 1 , (41) эквивалентное неравенству (38).

Так как N(p) есть дробно-рациональная аппроксимация трансцендентной передаточной функции (p), то для произвольного > 0 справедливо следующее равенство:

lim N(p) = (p) |p| < . (42) N Здесь N порядок аппроксимации. Очевидно, что условие (42) с учетом обозначения (39) может быть представлено в виде > 0 > 0 N N N > N (N(p) < ) |p| < . (43) Скорость стремления N(p) к нулю при N зависит от вида функции (p), значения , способа аппроксимации (например, с помощью отрезка ряда Тейлора, Лорана, Бурмана-Лагранжа, Паде и т. д.).

Тогда условие устойчивости (41) будет выполнено, если частотная ха рактеристика N,n(j) при N удовлетворяет неравенству |N,n(j)| < < . (44) Здесь отрезок мнимой оси [0, j], не содержащий полюсы функции V (p)N(p).

Необходимо отметить, что условие (44) следует рассматривать при N , так как функция N,n(p), определяемая формулой (40), зависит от передаточной функции регулятора V (p), синтезируемой для аппрокси мации N(p) порядка N. Таким образом, неравенство (44) означает, что при N передаточная функция N,n(p) должна иметь ограниченные полосу пропускания и наибольшее значение амплитудно-частотной характеристики.

Далее, относительно N(p) будем предполагать, что при фиксированном N ошибка N(p) в области |p| растет не быстрее некоторой степени p, т. е.

M > 0 µ Z0 (N(p) M|p|µ) |p| . (45) В этом случае выполнение неравенства (41) может быть обеспечено за счет выбора достаточно большого относительного порядка передаточной функции замкнутой системы N,n(p). Такой выбор всегда возможен, так как согласно формулам (2), (40) и обозначению B(p) N(p) = A(p) имеем равенство S(p)A(p) N,n(p) =.

D(p) Степень многочленов S(p) и A(p) не зависит от степени многочлена D(p). Поэтому произвольный заданный относительный порядок переда точной функции N,n(p) обеспечивается соответствующим выбором степени n полинома D(p), deg D = n. Принимая во внимание утверждение (45) и приведенные выше рассуждения, получаем следующий результат:

> 0 n N D(p) Rn (|N,n(p)|N(p) < ) |p| .

Таким образом, условие устойчивости (38) будет выполнено, если окажутся справедливыми условия lim |N,n(p)|N(p) = 0 |p| < , (46) N lim |N,n(p)|N(p) = 0 |p| . (47) n Имеет место теорема.

Теорема 5. Пусть передаточная функция объекта с распределенными параметрами (p) и конечномерная дробно-рациональная аппроксима ция N(p) порядка N имеют при каждом фиксированном N равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости так, что для произвольного > 0 справедливо равенство (42). Пусть, кроме того, ошибка аппроксимация N(p), определяемая выражением (39), удовлетворяет условию (45). Тогда, если найдется такая дробно-рациональная передаточная функция реализуемого регулятора V (p), что замкнутая система управления с передаточной функцией V (p)N(p) N,n(p) = (48) 1 + V (p)N(p) является устойчивой, где n степень характеристического многочле на замкнутой системы N,n(p), то замкнутая система автоматического управления с передаточной функцией V (p)(p) (p) = (49) 1 + V (p)(p) также является устойчивой.

Теорема 5 дает достаточные условия для устойчивости системы автоматического управления с распределенными параметрами и позволяет свести задачу исследования устойчивости распределенной системы к анализу фильтрующих свойств сосредоточенной системы. Очевидно, что подобный анализ удобнее проводить, учитывая конкретный вид передаточной функции (48). В самом деле, пусть конечномерная дробно-рациональ ная аппроксимация N(p) имеет вид BN(p) N(p) =, (50) AN(p) где BN(p) и AN(p) некоторые полиномы, deg BN = l, deg AN = m.

При этом, передаточная функция (50) может не удовлетворять условию физической реализуемости m l, т. е. можно рассматривать случай m < l. Во-первых, это позволяет применять для аппроксимаций отрезки степенных рядов (например, отрезок ряда Тейлора), а во-вторых, для фиктивной нереализуемой передаточной функции объекта всегда можно синтезировать реализуемый модальный регулятор SN,n(p) VN,n(p) = (51) RN,n(p) для объекта (50), используя подробно рассмотренный в диссертации ме тод синтеза модальных регуляторов. Передаточная функция N,n(p) согласно формулам (40), (50) и (51) принимает вид SN,n(p)AN(p) N,n(p) =, (52) DN,n(p) где DN,n(p) произвольный желаемый характеристический многочлен степени n, удовлетворяющей условию (9); C(p) Rk-1 произвольного многочлена, определяющий распределение нулей передаточной функции N,n(p) так, что SN,n(p) = SN,n(p) - AN(p)C(p), RN,n(p) = RN,n(p) + BN(p)C(p), 0 а многочлены SN,n(p) и RN,n(p) удовлетворяют следующему полиномиальному уравнению:

0 SN,n(p)BN(p) + RN,n(p)AN(p) = DN,n(p). (53) Тогда передаточная функция (52) может быть представлена в виде [SN,n(p) - AN(p)C(p)]AN(p) N,n(p) =.

DN,n(p) В результате неравенство (41) принимает вид |SN,n(j) - AN(j)C(j)||AN(j)|N(j) < |DN,n(j)|, . (54) С помощью этого условия в диссертации доказана следующая основная теорема, лежащая в основе метода синтеза конечномерных регуляторов.

Теорема 6. Пусть передаточная функция объекта с распределенными параметрами (p) и конечномерная дробно-рациональная аппроксимация N(p) имеют равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости и, кроме того, ошибка аппроксимации удовлетворяет условиям (43), (45). Тогда существует такой конечномерный реализуемый регулятор с передаточной функцией V (p), что замкнутая система автоматического управления с передаточной функцией (p), определяемой формулой (49), является устойчивой.

В пятой главе диссертации рассматривается задача построения автоматических дифференциаторов, осуществляющих многократное помехозащищенное дифференцирование широкого класса сигналов.

m m Обозначим через MCa = MCa [0, +), где M = const > 0, m N, множество всех функций f Cm-1[0, +), являющихся решением (в смысле Каратеодори) линейного дифференциального уравнения f(m)(t) + a1f(m-1)(t) +... + am-1f(t) + amf(t) = (t), (55) где (t) измеримая функция, удовлетворяющая неравенству |(t)| M t [0, +). (56) Здесь ai (i = 1, m ) постоянные вещественные коэффициенты.

m В диссертации показано, что для класса сигналов MCa можно синтезировать диференцирующий наблюдатель, оценивающий производные m сигнала y(t) = f(t), т. е. f MCa (t) = (A - KC)z(t) + Kf(t). (57) Здесь использованы следующие обозначения:

0 1 0... 0 0 0... 0 0 0 1... 0 0 0... 0 0 ............................................. 0 0 0... 0 1 0... 0 0 A =, 0 0 0... 0 0 1... 0 0 (58) ............................................. 0 0 0... 0 0 0... 0 1 0 0 0... 0 -am -am-1... -a2 -aC = (1, 0,..., 0).

Коэффициенты матрицы коэффициентов усиления наблюдателя K определяются по формуле:

d - j- kiaj-i, j = 1, m, j i=k0 = 1; kj = (59) d - j- kiaj-i, j = m + 1, n, j i=j-m где dj (j = 1, n) коэффициенты характеристического многочлена наблюдателя (57) D(p) = det(Ep - A + KC) = pn + d1pn-1 +... + dn-1p + dn. (60) Передаточная функция дифференциатора имеет вид pi-1D(p) - Ri-1(p)Q(p) Wi(p) = i = 1, n. (61) D(p) Здесь i- Ri-1(p) = kjpi-1-j, k0 = 1, i = 1, n, Q(p) = pn-mP (p), (62) j=P (p) характеристический многочлен уравнения (55), P (p) = pm + a1pm-1 +... + am-1p + am. (63) В диссертации показано, что устройство с передаточной функцией (61) является помехоустойчивым по отношению к высокочастотным аддитивным помехам.

В диссертации рассматривается задача построения модальных дифференциаторов, осуществляющих асимптотически точное многократное m дифференцирование сигналов из класса MCa. Для решения этой задачи используется метод синтеза модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы. Введем в рассмотрение следующую передаточную функцию:

1 B(p) W (p) = =, p C. (64) pP (p) A(p) Здесь P (p) характеристический многочлен уравнения (55); произвольное целое неотрицательное число;

A(p) = pP (p), deg A = m = m + , B(p) = 1. (65) Передаточная функция регулятора (2) для объекта (64) определяется по формулам (5), (6), где C(p) Rl-1. В формуле (6) используется полином D(p), который представляет собой желаемый характеристический многочлен замкнутой системы управления (см. рис. 1) с передаточной функцией B(p)S(p) (p) =.

D(p) Пусть многочлен D(p) определяется формулой (60) и имеет степень deg D = n 2m - 1 + l.

Тогда в силу теоремы 2 передаточная функция регулятора (2) физически реализуема. Принимая во внимание обозначения (65), представим полиномиальное уравнение (6) в следующем виде:

S0(p) + R0(p)P (p)p = D(p). (66) В силу теоремы 1 решение уравнения (66) существует и является единственным.

В диссертации показано, что устройство с передаточной функцией pkV (p)W (p) k(p) = (67) 1 + V (p)W (p) является дифференциатором k-го порядка, k = 0, m - 1, сигналов из m класса MCa. Доказано, что статическая ошибка дифференцирования может быть сделана сколь угодно малой при соответствующем выборе порядка передаточной функции дифференциатора.

В шестой главе диссертации рассматривается применение регуляторов для управления объектами с распределенными параметрами. В частности, рассматриваются задачи построения конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом, управления процессами в длинной электрической линии, регулирования температуры поверхности массивного тела, регулирования температуры в проходных печах, управления неустойчивым процессом горения в ракете с реактивным двигателем на твердом топливе.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы в виде следующих выводов.

1. Разработан новый эффективный метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Предлагаемый метод дает возможность проектировать не только свободное, но и вынужденное движение замкнутой системы управления, учитывая априорную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. При этом для устойчивого объекта синтез модальных регуляторов значительно упрощается. Доказаны теоремы о существовании и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с невырожденной дробно-рациональной передаточной функцией.

2. Разработан новый метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы. Класс реализуемых бесконечномерных модальных регуляторов для объектов с запаздыванием включает регуляторы Смита. Доказана теорема о существовании множества реализуемых бесконечномерных регуляторов для объекта, принадлежащего некоторому классу объектов с распределенными параметрами.

3. Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Модальный регулятор синтезируется непосредственно по желаемой передаточной функции замкнутой системы. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр произвольную целую функцию. Доказаны теоремы существования и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с мероморфной передаточной функцией.

4. Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Развит частотный критерий устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5. Разработан новый метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта. Синтезированный регулятор обеспечивает устойчивость и заданные показатели качества переходного процесса замкнутой системы управления с исходным распределенным объектом. Доказана теорема существования конечномерного регулятора с физически реализуемой дробнорациональной передаточной функцией. Получены оценки грубости конечномерного регулятора.

6. Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является дифференцирующим наблюдателем и поэтому помехозащищен. Получены оценки точности дифференцирования широкого класса сигналов с помощью дифференцирующих наблюдателей.

Доказаны теоремы о том, что заданная точность дифференцирования может быть достигнута за счет увеличения размерности дифференциатора при некоторых распределениях полюсов передаточной функции дифференцирующего наблюдателя.

7. Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что в диссертации на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно трактовать как новое крупное научное достижение в теории автоматического управления системами с распределенными параметрами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях по перечню ВАК РФ 1. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Автоматика и телемеханика. 1999. № 9. С. 13–20.

2. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Нелинейная динамика и управление: Сборник трудов ИСА РАН. К 70-летию академика С. В. Емельянова. М.: ИСА РАН, 1999. С. 37–47.

3. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом // Известия РАН.

Теория и системы управления. 2003. № 4. С. 17–20.

4. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение регулятора для объекта с распределенными параметрами по передаточной функции замкнутой системы // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. 2004. № 2. С. 154–157.

5. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных систем управления // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. 2004. № 1. - С. 103-109.

6. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Конечномерный модальный регулятор для объектов с запаздыванием // Вестник Воронежского гос.

ун-та. Серия: Физика, математика. 2005. № 1. С. 158–162.

7. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Управление объектами с рециклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2006. № 1. С. 58–61.

8. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. 2006. № 2. С. 198–203.

9. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез модального регулятора для объекта с распределенными параметрами // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2007. – № 1. C. 128–132.

10. Дылевский А. В. Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией // Известия РАН.

Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 23–28.

Монографии 11. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. Автоматические дифференциаторы: построение и применение в задачах управления. Воронеж:

Изд-во Воронежского ун-та, 2000. 144 с.

Публикации в других изданиях 12. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. трудов. Воронеж, 1995. С. 47–53.

13. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез дифференцирующих устройств и фильтров с помощью метода пространства состояний // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. IV Всерос. семинара, 5–октября 1996 г. Красноярск, 1996. С. 33.

14. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. трудов. Воронеж, 1996. С. 119–126.

15. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. О некоторых способах описания сигналов дифференциальными системами // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн.

трудов. Воронеж, 1997. С. 90–94.

16. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез фильтров и дифференциаторов с помощью метода пространства состояний // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы, 28 января – 4 февраля 1997 г.

Воронеж, 1997. С. 105.

17. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов. Воронеж, 1997. 33 с.

Деп. в ВИНИТИ 02.12.97., № 3520-В 97.

18. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. V Всерос. семинара, 3–5 октября 1997 г.

Красноярск, 1997. С. 118.

19. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Тез. докл. конф. 12–16 октября 1998 г. Воронеж, 1998. С. 52–53.

20. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Математика. Компьютер. Образование: Тез. докл. V Международ. конф. 26–30 января 1998 г. М., 1998. С. 120.

21. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов. Воронеж, 1998. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.98., № 517-В 98.

22. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Междунар. конф. по проблемам управления: Тез. докл.

М., 1999. Т. 1. С. 30–31.

23. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Труды конф., 12–16 октября 1998 г. Воронеж, 1999. С. 113–118.

24. Дылевский А. В. О выборе порядка передаточной функции модального дифференциатора // Нелинейный анализ и функциональнодифференциальные уравнения (МНКАДМ-2000): Междунар. науч.

конф., посвящ. 80-летию А. Д. Мышкиса, 15–20 мая 2000 г. – 2000.

– С. 91–92.

25. Дылевский А. В. Многократное дифференцирование сигналов // Кибернетика и технологии XXI века: Труды I Междунар. конф. 24– 26 октября 2000 г. Воронеж, 2000. С. 31–36.

26. Дылевский А. В. Об одном способе построения канонических форм // Вестник факультета ПММ: Сб. научн. тр. Воронеж, 2000.

Вып. 2. С. 80–85.

27. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Вестник факультета ПММ: Сб. научн. тр. Воронеж, 2000. Вып. 2. С. 85–93.

28. Дылевский А. В. О выборе порядка передаточной функции модального дифференциатора // Нелинейный анализ и функциональнодифференциальные уравнения: Тез. докл. Междунар. науч. конф.

15–20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. С. 91–92.

29. Dylevskii A. V., Lozgachev G. I. Modal Difftrentiator Desing // Computations Mathematics and Modeling. 2000. Vol. 11, No. 2. P. 109– 118.

30. Дылевский А. В. Синтез автоматических дифференциаторов в пространстве состояний // Кибернетика и технологии XXI века: Труды II Междунар. конф. 23–25 октября 2001 г. Воронеж, 2001.

С. 22–27.

31. Дылевский А. В. Об одном способе многократного дифференцирования сигналов // Нелинейная динамика и управления: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит, 2001. Вып. 1. С. 145–150.

32. Dylevskii A. V. A Technigue for Multiple Signal Difftrentiation // Computations Mathematics and Modeling. 2001. Vol. 12, No. 4.

P. 353–358.

33. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез систем управления с заданным характеристическим многочленом // Нелинейная динамика и управления: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит, 2002. Вып. 2. С. 125–138.

34. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез конечномерных регуляторов для объектов с запаздыванием // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VI Междунар. науч.-техн. конф. 17–мая 2005 г. Воронеж, 2005. С. 40–47.

35. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез конечномерных регуляторов для объектов с запаздыванием // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VII Междунар. науч.-техн. конф. 16–мая 2006 г. Воронеж, 2006. Т. 1. С. 40–47.

36. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез регулятора для объекта с распределенными параметрами по передаточной функции замкнутой системы // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VIII Междунар. науч.-техн. конф. 15–17 мая 2007 г. Воронеж, 2007. Т. 1. С. 73–78.

37. Дылевский А. В. Синтез модальных регуляторов для объектов с мероморфной передаточной функцией // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VIII Междунар. науч.-техн. конф. 15– 17 мая 2007 г. Воронеж, 2007. Т. 1. С. 79–83.

38. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез бесконечномерных регуляторов для объектов с мероморфной передаточной функцией // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды IX Междунар. науч.-техн. конф. 13–15 мая 2008 г. Воронеж, 2008.

Т. 1. С. 66–70.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.