WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

ЕДЕМСКИЙ Владимир Анатольевич

СИНТЕЗ ДВОИЧНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ  С ЗАДАННОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ СВОЙСТВ ИЛИ

ОГРАНИЧЕНИЙ НА ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Великий Новгород – 2009

Работа выполнена в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого на кафедре прикладной математики и информатики.

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор
Гантмахер Владимир Ефимович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Леухин Анатолий Николаевич

доктор физикоматематических наук Панов Евгений Юрьевич

доктор физикоматематических наук Золотухина Лидия Анатольевна

Ведущая организация:

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Защита диссертации состоится _____  __________ 2009 года  в _________  на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого по адресу: 173003, г. Великий Новгород, ул. Б. С–Петербургская, д. 41, ауд. _____

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

  Автореферат разослан  " " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Д 212.168.04,  кандидат физико-математических

наук, доцент

Токмачев М. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Двоичные и троичные последовательности являются самыми широко востребованными дискретно–кодированными последовательностями, область  применения которых с каждым годом расширяется. В вычислительных системах их используют в качестве псевдослучайных последовательностей для имитационного моделирования, обеспечения связи между компьютерами, тестирования, решения задач методом Монте–Карло. В телемеханических системах на основе двоичных и троичных последовательностей строят самосинхронизирующиеся коды с обнаружением и исправлением ошибок. В системах связи и передачи информации на основе двоичных и троичных последовательностей осуществляют скрытную связь с высокой криптостойкостью. В системах радиолокации, гидролокации, радионавигации их используют в качестве модулирующих последовательностей при формировании сложных шумоподобных  сигналов, обеспечивая высокие  потенциал и помехоустойчивость при низкой пиковой мощности передатчиков. Столь широкий спектр  применений обуславливает набор требований к  таким характеристикам и свойствам последовательностей, как: период, вес, уровень боковых лепестков корреляционных функций, пик–фактор, уравновешенность, эквивалентная линейная сложность и другим. Число требований к набору свойств последовательностей год от года увеличивается.

В то же время, отсутствуют регулярные методы синтеза дискретно–кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики, несмотря на многочисленные публикации, посвященные синтезу  дискретно–кодированных последовательностей с различными ограничениями на основные характеристики, такие как:

– автокорреляция – Свердлик М.Б., Ипатов В.П., Камалетдинов Б.Ж., Пелехатый М.И., Габидулин Э.М., Гантмахер В.Е., Леухин А.Н., Холл М., Кренгель Е. И., Сторер С., Динг К.,…;

– эквивалентная линейная сложность – Лидл Р., Нидеррайтер Г., Берлекэмп Э., Мешковский К.А., Ипатов В.П., Камалетдинов Б.Ж.,  Динг С., Мальцев С. В., …;

– взаимная корреляция (расчет и оценка) – Сидельников В.М., Мешковский К.А, Кренгель Е. И., Гантмахер В. Е., Ким Я.Х., Сонг Н.Е., …

В связи с этим задача синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики является чрезвычайно актуальной.

В.Е. Гантмахером  была предпринята попытка решить эту задачу с помощью теории спектров разности классов вычетов (СРКВ), но только для последовательностей, период которых – простое число, а набор характеристик последовательностей ограничен периодом, уровнем боковых лепестков корреляционных функций и пик – фактором [1]. На основе математического аппарата теории СРКВ были синтезированы дискретно–кодированные последовательности (ДКП), сформированные на основе классов степенных вычетов, которые обладают, по сравнению с известными последовательностями, более плотной сеткой периодов и более плотным рядом значений пик - фактора. Сравнение известных способов синтеза ДКП показывает, что синтез ДКП с использованием СРКВ является наиболее универсальным методом синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, формируемых на основе классов степенных вычетов. Но и ему, в том виде, в котором он представлен в [1], присущи серьёзные недостатки:

–  при большом числе классов степенных вычетов затруднён анализ СРКВ, соответствующих периодическим автокорреляционной (ПАКФ) и взаимно корреляционной функциям (ПВКФ) дискретно–кодированных последовательностей;

–  в этом методе заложена потенциальная возможность синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств, но она не реализована;

– нет метода расчёта эквивалентной линейной сложности ДКП, сформированных по обобщенному правилу кодирования, на основе СРКВ;

– представляет интерес распространение методов синтеза ДКП с периодом р, в основе которых лежат СРКВ, на синтез ДКП с составным периодом mp.

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам синтеза и анализа двоичных и троичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю р  , с заданной совокупностью свойств.  Особенность постановки задачи синтеза заключается в том, что ограничения задаются на произвольный набор перечисленных выше свойств или характеристик последовательностей. Задачи синтеза и анализа решаются на основе единого математического аппарата СРКВ и циклотомических чисел.

Цель диссертации заключается в разработке методики анализа и синтеза двоичных, троичных последовательностей, в том числе  псевдослучайных,  с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики, обусловленными их применением. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- усовершенствование методики анализа и синтеза дискретно–кодированных последовательностей на основе СРКВ путём применения циклотомических чисел;

- разработка методов синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики и синтез последовательностей с определённым набором свойств или характеристик;

- расчёт эквивалентной линейной сложности дискретно–кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов;

-  распространение методики синтеза ДКП с простым периодом p  на последовательности с периодом mp, где m – натуральное число, взаимно простое с p;

- разработка алгоритмов и комплекса программ, реализующих предложенные методы синтеза последовательностей.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории конечных полей, теории чисел,  алгебры и математического анализа.

Научная новизна. В диссертации разработаны теоретические основы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. В частности, новыми являются следующие теоретические результаты:

  • разработана методика синтеза дискретно–кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе комплексного использования теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел;
  • определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом р и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями;
  • получены новые семейства троичных и бинарных последовательностей  с периодом р и квазиидеальными периодическими автокорреляционной и взаимно корреляционной функциями;
  • предложен унифицированный метод расчета эквивалентной линейной сложности ДКП, формируемых на основе классов степенных вычетов по простому модулю;
  • расширена область применения теории СРКВ по простому модулю на синтез двоичных и троичных последовательностей с периодом mp;
  • разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или заданными ограничениями на их характеристики.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты, разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы для синтеза широкого класса  двоичных и троичных последовательностей, применяемых в математических моделях, в вычислительных системах, в криптографии, в качестве модулирующих последовательностей в системах связи, радиолокации и других областях. В частности, результаты диссертационной работы были использованы в следующих научно–исследовательских работах:

1. Грант РФФИ № 07-01-97615-р_офи  «Разработка принципов построения квазиодноуровневых разностных множеств с заданными ограничениями на их параметры», руководитель Гантмахер В. Е.

2. Фундаментальная НИР "Теория анализа, синтеза и обработки шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, гос. рег. № 0120.0 503550, 2005-2009 г.

3. Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов модуляции и способов обработки для перспективных радиолокационных систем", руководитель Гантмахер В.Е., по научно – технической  программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы»,  гос. рег. № 0120.0 603815, 2006-2008 г.

Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата,  корректностью математических выкладок и подтверждается  многочисленными примерами синтеза последовательностей, результатами расчетов их характеристик на вычислительных машинах.

Личный вклад автора. В диссертационной работе обобщены результаты, выполненные лично автором или при его непосредственном участии. Постановка задач принадлежит научному консультанту Гантмахеру В. Е. Исследования по комплексному применению СРКВ и циклотомических чисел для анализа и синтеза последовательностей, а также расчету их эквивалентной линейной сложности выполнены лично автором. Программы для ЭВМ разработаны совместно с Вагуниным И.С.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на всемирном форуме «Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07)»(Китай, Чанджоу), неоднократно докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях «Цифровая обработка сигналов и её применения» (г. Москва - 2007, 2008); «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж –2007– 2008); «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (г. Одесса – 2006-2008); «Современные проблемы математики и естествознания» (г. Нижний Новгород – 2006); «Математика в вузе» (г. Санкт–Петербург – 2005–2008); на симпозиуме по «Прикладной и промышленной математике», осенняя сессия (г. Йошкар-Ола – 06); на семинаре «Шумоподобные сигналы и их применение» (НовГУ), а также на семинарах кафедр КПМИ и РС НовГУ. 

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 35 работ, из них одна монография, 2 статьи - в международных изданиях, 10 –  в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций. Получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлено 5 отчетов по НИР. Перечисленные работы достаточно полно отражают содержание диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 266 страниц. Библиография содержит 125 наименований.

На защиту выносятся следующие основные положения:

  1. Обобщенная методика синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики;
  2. Методы и результаты синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей  с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе обобщенной методики синтеза дискретно–кодированных последовательностей;
  3. Метод и результаты расчета эквивалентной линейной сложности двоичных и троичных последовательностей. Новые правила кодирование семейств дискретно–кодированных последовательностей с большой линейной сложностью;
  4. Методика и результаты синтеза двоичных и троичных последовательностей с периодом mp и заданной совокупностью свойств или заданными ограничениями на их характеристики;
  5. Алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза.

Диссертация посвящена разработке, исследованию и обоснованию математических методов синтеза последовательностей, в том числе псевдослучайных, используемых, в частности, для построения математических моделей и решения научных, технических и прикладных задач численными методами; созданию комплекса программ, реализующих предложенные методы, что отвечает паспорту специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий аналитический обзор современного состояния проблематики и литературы по теме диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, основные результаты диссертационной работы, отмечена научная новизна и значимость полученных результатов, соответствие диссертации паспорту специальности 05.13.18.

Первая глава посвящена краткому анализу известных результатов синтеза двоичных (ДП) и троичных последовательностей (ТП), сформированных на основе классов степенных вычетов по обобщённому правилу кодирования (ПК), предложенному  Свердликом М. Б.,

  (1)

Здесь –  простое число; –  натуральные числа; –  класс степенных вычетов с номером ,  –  первообразный корень по простому модулю, , – непересекающиеся подмножества индексов и  , .

В диссертации используются следующие характеристики методов синтеза:

– универсальный, если синтез осуществляется по совокупности характеристик (период, абсолютная величина разности между наибольшим и наименьшим боковыми лепестками (БЛ) ПАКФ или ПВКФ, относительная разность между максимальным и минимальным БЛ ПАКФ или ПВКФ, пик–фактор, уравновешенность, эквивалентная линейная сложность и т.п.);

– обобщенный, если известные ДКП получаются как подмножество синтезированных;

– продуктивный – при возможности  получения множественных результатов синтеза ДКП (семейств ДКП, ПК);

– эффективный, если реализация метода на современной цифровой элементной базе или вычислительной технике средней производительности  не вызывает  трудностей.

Проведённый анализ показал, что наиболее универсальным, обобщенным и эффективным методом синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, формируемых по ПК (1), является метод, основанный на СРКВ. Согласно теории СРКВ для ПАКФ ДКП, сформированной по ПК (1), справедливо взаимно однозначное соответствие:

,  (2)

где , – спектр разности классов степенных вычетов и , . Соотношение (2) обобщается  на ПВКФ пары ДКП.

Таблицы СРКВ полностью определяют рельефы ПАКФ и ПВКФ ДКП, сформированных по обобщенному правилу кодирования.

Вторая глава посвящена усовершенствованию методики анализа и синтеза дискретно–кодированных последовательностей на основе СРКВ путём применения циклотомических чисел. Для достижения заявленной цели необходимо:

- показать, что использование циклотомических чисел повышает результативность применения математического аппарата СРКВ для расчета рельефов корреляционных функций;

- разработать комплексную методику синтеза широкого класса двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе СРКВ и циклотомических чисел;

- проиллюстрировать продуктивность и обобщенность методики на примерах синтеза последовательностей с различной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Решение первой задачи главы рассмотрено в подразделе 2.2. Обозначим через , циклотомические числа порядка  .

Теорема 1. СРКВ связан с циклотомическими числами соотношением:

При   циклотомические числа определяются посредством разложения простого числа  р на сумму квадратов целых чисел. Следовательно, теорема 1 позволяет выразить гармоники СРКВ через две–четыре переменные, в частности, через:

– , если  , , ;                                        

– , если , , ;

– , если , , ;

– , если , , ;

(здесь используем общепринятые обозначения переменных, участвующих в представлении и циклотомических чисел). В результате анализ таблиц СРКВ существенно упрощается. Более того, применение циклотомических чисел позволяет, согласно формуле (2), найти  зависимость между гармониками СРКВ, а значит между БЛ ПАКФ (ПВКФ) ДКП и периодом последовательности, что даёт возможность нахождения  не только необходимых, но и достаточных условий существования  последовательностей с заданными рельефами ПАКФ (ПВКФ). Все перечисленное создает предпосылки для повышения результативности математического аппарата СРКВ.

Теория СРКВ и теорема 1 позволяют предложить в подразделе 2.3 методику синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств или ограничений на характеристики из следующего набора: период, ПАКФ, ПВКФ, пик–фактор, вес, степень уравновешенности, состоящую из четырех этапов:

A) Расчет допустимых значений на основе анализа исходных данных и требований к синтезируемым  ДКП;

B) Вычисление спектральных составляющих таблицы СРКВ, в том числе, с использованием циклотомических чисел по теореме 1, если заданы ограничения на ПАКФ (ПВКФ);

C) Расчет характеристик синтезируемых ДКП;

D) Анализ характеристик ДКП, сопоставление с заданными свойствами и ограничениями на характеристики.

С целью иллюстрации комплексной методики в подразделе 2.4  рассмотрена задача синтеза ДП c квазиодноуровневой ПАКФ и .

Обозначим упорядоченные по возрастанию уровни БЛ ПАКФ ДП, а рельеф ПАКФ ДП – .  Пусть –  разность между наибольшим и наименьшим значениями БЛ ПАКФ ДП, а – относительная разность. Применение комплексной методики синтеза ДКП приводит к следующим результатам.

Теорема 2.  Если ДП сформирована по ПК (1) при и , то

, .

Следствие 2.1.  ДП с периодом и весом для   имеет двухуровневую ПАКФ 

Это известный результат [4]. 

Теорема 2 определяют достаточные условия существования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ. Если – заданное пороговое значение для ПАКФ, то ограничение выполняется для ДП с периодом  p: , .

Обозначим через – наименьший положительный вычет числа B по модулю 3.

Теорема 3.  Для нечетного ДП с  весом   имеют трехуровневую ПАКФ где

относительно ПК (1) при , и пик–фактор .

Следствие 3.1. ДП с периодом  или , весом   имеет трехуровневую ПАКФ с  , ,  и пик–фактор относительно ПК (1) для , . 

Следствие 3.2. ДП с периодом   и весом имеет трехуровневую ПАКФ  с  , ,    и пик–фактор относительно ПК (1) для , .

Теорема 4.  Для четного ДП с  весом   имеет ПАКФ  с

 

относительно ПК (1) для , и пик–фактор .

Следствие 4.1. ДП с периодом   или и весом  имеет четырехуровневую ПАКФ   с  , и пик–фактор относительно ПК (1), .

Следствие 4.2. ДП с периодом   и весом имеет ПАКФ  ,  пик–фактор   относительно ПК (1) для  , .

В условиях теорем  3, 4  параметр  убывает обратно  пропорционально  , если  значения или – постоянны. ПАКФ ДП, определяемой следствиями 3.1–4.2, несколько отличается от одноуровневой, но  с ростом это отличие становится незначительным.

Теоремы 2–4 определяют новые регулярные ПК ДП с заданными свойствами и показывают, что комплексное использование СРКВ и циклотомических чисел результативно.

Всего в подразделе 2.4 получено десять новых регулярных ПК ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и . Известные ДП, обладающие такой же совокупностью свойств являются частным случаем синтезированных (следствие 2.1).  В подразделе 2.5 рассчитаны характеристики ПВКФ ДП, синтезированных в подразделе 2.4.

Таким образом, во второй главе предложена методика синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Результаты синтеза иллюстрируют её продуктивность и обобщенность.

В третьей главе диссертации разрабатываются методы синтеза двоичных  последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.  Задачи, решаемые в главе:

– разработка методов синтеза ДП с заданными ограничениями на характеристики, такие как: период, рельеф ПАКФ или ПВКФ, пик–фактор и поиск новых ПК ДП, обладающих квазиодноуровневой ПАКФ  или ПВКФ;

– анализ ПВКФ (ПАКФ) синтезированных  ДП с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ).

При решении каждой из перечисленных задач главы применяется методика, заключающаяся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел, изложенная во второй главе. Специфичность проявляется лишь в наборе свойств ДП.

Задача подраздела 3.2 – разработка методов синтеза ДП с заданными ограничениями на период, рельеф ПАКФ, пик–фактор. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5. ДП , сформированная по ПК (1) для с периодом , имеет двухуровневую (одноуровневую при ) ПАКФ   с  ,

       

и пик–фактор . Здесь u,g – целые числа.

Теорема 5 обобщает известные результаты о ДП на основе класса биквадратичных вычетов [1,2,4].

Теорема 6. Для нечетного значения   ДП с периодом и весом при и обладает ПАКФ где , и ,  относительно ПК (1) при   и пик–фактор .

Теорема 7. Для нечетного   ДП с периодом ,  весом при   и  имеет ПАКФ с , , относительно ПК (1) при   и пик–фактор .

Если , то в теореме 7 необходимо заменить на .

Теорема 8. ДП с периодом , и , сформированная по ПК (1) при имеет ПАКФ и пик–фактор . Здесь – целые числа.

Частные случаи теоремы 8 () – известны [2,4].

Теоремы 5-8 задают достаточные условия существования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и позволяют формировать ДП с заданными ограничениями на их характеристики.

Всего в подразделе 3.2 найдено семнадцать  новых регулярных ПК ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и пик–фактором : . Сформированы новые семейства ДП, которые обладают, за счет отказа от одноуровневости ПАКФ,  большей плотностью сетки периодов, чем у известных последовательностей,  а также значениями пик–фактора, отличного от значений известных ДП. Рассчитаны параметры  ДП  с квазиодноуровневой ПАКФ при и .  Кроме этого, в подразделе 3.2 определены необходимые и достаточные условия существования ДП с периодом ,   и двумя уровнями БЛ ПАКФ (РМ, сбалансированных на два уровня, имеющих свой круг применений). Известные ДП, обладающие такими же свойствами, являются частными случаями синтезированных (теоремы 5,8).

Комплексная методика и теоремы, доказанные в подразделе 3.2,  определили методы синтеза ДП с заданными ограничениями на их характеристики: период, рельеф ПАКФ, пик–фактор.

Задачей  подраздела 3.3 является разработка методов синтеза ДП с заданными ограничениями на период, рельеф ПВКФ, пик–фактор.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 9. Если пара ДП и сформирована по ПК (1) при , , то

,

где – разность между наибольшим и наименьшим значениями ПВКФ .

Следствие 9.1. Пара ДП и , сформированных по  ПК (1) при имеет одноуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда , где – целое число и  . В этом случае , .

Теорема 10. Пара ДП и , сформированных по ПК (1) при , имеет одноуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда и .

При выполнении условий теоремы , .

Теоремы 9,10 определяют необходимые и достаточные условия существования пар ДП с одноуровневой ПВКФ. В подразделе 3.3 также определены параметры ДП с квазиодноуровневой ПВКФ.

Комплексная методика определила методы формирования ДП с ограничениями на ПВКФ, период и пик–фактор. Их применение позволило сформулировать семь регулярных ПК семейств ДП с квазиодноуровневой ПВКФ и простым периодом   для , рассчитать параметры ДП с квазиодноуровневой ПВКФ. 

Задачей  подраздела 3.4  является  корреляционный анализ синтезированных ДП. 

Пусть – наибольшее значение БЛ ПВКФ  ДП, сформированных по ПК (1) на основе одного класса степенных вычетов. Справедлива следующая

Теорема 11. Для ДП, сформированных на основе одного класса биквадратичных вычетов,  с квазиодноуровневой ПАКФ и периодом значение , а  .

В частности,  теорема 11 определяет наибольшее значение ПВКФ пар известных ДП с одноуровневой ПАКФ ().

В диссертационной работе для всех синтезированных ДП с квазиодноуровневой ПАКФ определены рельефы ПВКФ, и отношение . Для каждой из синтезированных ДП с квазиодноуровневой ПВКФ  рассчитаны рельефы ПАКФ ДП. Имеет место следующая

Теорема 12. Если пара ДП , удовлетворяющих условиям теорем 9 или 10, имеет одноуровневую ПВКФ, то каждая из этих ДП имеет  ПАКФ:

1. ; , если .

2. ; , , если .

Таким образом, в третьей главе  разработаны методы синтеза двоичных последовательностей с заданными ограничениями на характеристики, такие как: период, период, рельефы корреляционных функций, пик–фактор. Определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом р и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями. Синтезированы новые семейства  ДП, обладающие определенным набором свойств и характеристик. Результаты синтеза позволяют сделать  вывод об универсальности, продуктивности и обобщенности разработанных методов синтеза ДП с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Четвертая глава посвящена разработке методов синтеза  ТП и БП с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

– разработка методов синтеза ТП и ДП с ограничениями на период, рельефы ПАКФ, пик–фактор, степень уравновешенности ТП;

– разработка методов синтеза ТП с ограничениями на период, рельеф ПВКФ, пик–фактор;

–  разработка методов синтеза БП с заданными ограничениями на: рельеф ПАКФ, период, степень уравновешенности, позволяющих формировать новые семейства БП, обладающих квазиидеальной ПАКФ и большей плотностью сетки периодов, чем известные последовательности.

Также в главе выполнен анализ взаимно корреляционных функций  синтезированных ТП и БП.

Цель  подраздела 4.2 – разработка методов синтеза ТП со следующими ограничениями: уравновешенность, квазиидеальная ПАКФ, , ДП, соответствующая нулевым символам ТП имеет квазиодноуровневую ПАКФ. Последовательности, удовлетворяющие заданным ограничениям, можно использовать в качестве модулирующих для радиотехнических систем связи и передачи информации, радиолокации и радионавигации с шумоподобными сигналами, фазовой или амплитудно–фазовой манипуляцией и корреляционной обработкой сигналов, то есть для радиолокационных станций, работающих в квазинепрерывном режиме.

Расчет и анализ рельефов ПАКФ ТП и соответствующих ДП приводит к следующим утверждениям для ТП, сформированных по ПК (1) при .

Теорема 13. ТП с периодом , сформированная по ПК (1) при , имеет двухуровневую ПАКФ и пик–фактор .

ДП, соответствующая нулевым символам ТП, имеет двухуровневую ПАКФ: , . Здесь – целые числа.

Теорема 14. ТП с периодом , сформированная по ПК (1) при , имеет двухуровневую ПАКФ  и пик–фактор .

ПАКФ ДП: ([2]).

В подразделе 4.2 получены три ПК уравновешенных ТП с квазиидеальной ПАКФ и пик–фактором .

Для синтезированных ТП рассчитаны рельефы ПВКФ и их характеристики.  Следующие две теоремы определяют наибольшее значение ПВКФ ТП, удовлетворяющих условиям теорем 13 и 14.

Теорема 15. Если ТП , сформированные по ПК (1) при с периодом , обладают квазиидеальной ПАКФ, то  .

Теорема 16. Если ТП , сформированные по ПК (1) при с периодом , обладают квазиидеальной ПАКФ, то  . 

Следовательно, при синтезе ТП, с заданными в подразделе свойствами, можно ввести ограничение и на рельеф ПВКФ.

Комплексная методика определила методы синтеза ТП с определенными ограничениями на их характеристики. Результаты синтеза ТП с четырьмя заданными ограничениями, позволяют сделать вывод об универсальности методов, а новые регулярные ПК семейств ТП с квазиидеальной ПАКФ свидетельствуют об их продуктивности.

В подразделе 4.3 диссертации разработаны методы синтеза пар уравновешенных ТП с ограничениями на ПВКФ, пик–фактор. Как и в подразделе 4.2, но только для ПВКФ, на основе комплексного использования СРКВ и циклотомических чисел, рассчитаны наибольшие абсолютные значения БЛ ПВКФ пар ТП; определены достаточные условия синтеза уравновешенных ТП с квазиидеальной ПВКФ и пик–фактором . Полученные результаты позволяют решать задачу синтеза ТП с квазиидеальной ПВКФ при заданном значении .

Найдено одиннадцать новых регулярных ПК ТП с квазиидеальной ПВКФ и определены параметры семейств пар ТП с . Результаты расчетов показывают, что синтезированные ТП обладают достаточно плотной сеткой периодов.

Подраздел 4.4 посвящен разработке метода синтеза почти уравновешенных БП с ограничениями на ПАКФ.  Справедливы следующие утверждения.

Теорема 17.  Если БП сформирована по ПК (1) при и , , то

,  ,

Следствие 17.1. Если – фиксировано, то в условиях теоремы 17 с ростом параметр  убывает пропорционально . С увеличением ПАКФ БП стремится к идеальной.

Следствие 17.2.  БП с периодом для ,   имеет двухуровневую ПАКФ 

Это известный результат [4]. 

Пусть .

Теорема 18.  Для нечетного БП имеет трехуровневую ПАКФ с

относительно ПК (1) для ,, .

Теорема 19.  Для четного БП имеет ПАКФ с

,

относительно ПК (1) для ,, .

Теоремы 17–19 определяют достаточные условия БП с квазиидеальной ПАКФ. Для синтезированных БП рассчитаны  рельефы ПВКФ и их характеристики.

В подразделе 4.4 найдено шесть  новых регулярных ПК почти уравновешенных БП с квазиидеальной ПАКФ. Сформированы новые семейства БП, которые обладают, за счет отказа от оптимальности ПАКФ,  большей плотностью сетки периодов, чем у известных последовательностей. Известные БП [4], обладающие такими же свойствами, являются частными случаями синтезированных (следствие 17.2). Рассчитаны параметры  БП  с квазиидеальной ПАКФ при . 

Таким образом, в четвертой главе на многочисленных примерах показана результативность методики, заключающейся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел,  для синтеза ТП и БП. На её основе разработаны методы синтеза троичных и бинарных последовательностей  с заданными ограничениями на период, рельефы БЛ ПАКФ (ПВКФ), пик–фактор, степень уравновешенности.  Получены новые семейства троичных и бинарных последовательностей  с периодом р и квазиидеальными периодическими автокорреляционной и взаимно корреляционной функциями. Универсальность, продуктивность и обобщенность предложенных методов подтверждена многочисленными результатами синтеза.

Пятая глава диссертации посвящена разработке метода расчета  эквивалентной линейной сложности дискретно–кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, и анализу линейной сложности синтезированных в третьей и четвертой главах последовательностей. Для достижения поставленной цели следует:

– разработать унифицированный метод расчёта эквивалентной линейной сложности двоичных (бинарных) последовательностей, сформированных по обобщенному ПК;

– проиллюстрировать метод посредством расчета линейная сложность двоичных последовательностей, синтезированных в третьей главе;

– обобщить метод для расчета линейной сложности троичных последовательностей;

– продемонстрировать возможности метода расчетом линейной сложности троичных последовательностей, синтезированных в четвертой главе.

В подразделе 5.2 рассматривается первая задача главы, для её решения находится связь между значеньями многочлена ДП и СРКВ (циклотомическими числами).

Линейная сложность  ДП с периодом  р над полем определяется известным соотношением:

, (3)

где – многочлен последовательности, а – примитивный корень степени из единицы в поле разложения многочлена над [5,6]. Если – многочлен последовательности, сформированной по ПК (1) для класса степенных вычетов с нулевым номером, то , следовательно, для вычисления линейной сложности любой ДП, сформированной на основе классов степенных вычетов, достаточно найти  , то есть  .

Теорема 20.  Если , то

(4)

где  – операция транспонирования матрицы , а

Теорема 20 формирует систему уравнений для неизвестных с использованием таблицы СРКВ, в частности, при известных циклотомических числах порядка . Её решение позволяет определить значения многочлена ДП и рассчитать  линейную сложность ДП  по формуле (3).

Таким образом, доказанные в подразделе 5.2 теоремы определяют метод расчета линейной сложности ДП (БП), сформированных на основе классов степенных вычетов, с использованием СРКВ.

С целью иллюстрации разработанного метода в подразделе 5.3 рассчитана линейная сложность синтезированных в третьей главе двоичных последовательностей.

Решение системы (4) позволило найти для   и вычислить линейную сложность ДП по формуле (3). Результаты расчетов представлены ниже.

Лемма 1. Если ДП X с периодом  , где  u,g – целые числа,  сформирована по ПК (1) при ,  то её линейная сложность

Лемма 2. Если ДП X с периодом  , где u,g – целые числа сформирована по ПК (1) при , то для её линейная сложность

а для линейная сложность последовательности

Найденные при вычислении линейной сложности корни многочлена последовательности позволяют также определять минимальный многочлен ДП . Так как

Результаты расчетов линейной сложности для ряда других синтезированных последовательностей  приведены  в табл. 1–3 и лемме 3.

Таблица 1

Линейная сложность ДП на основе одного класса шестеричных вычетов

;  ;

Таблица 2

Линейная сложность ДП при , .

;

,


Лемма 3. Если ДП  сформирована по ПК (1) при {0,1,2,5} с периодом и нечетном значении , то её линейная сложность

Таблица 3

Линейная сложность ДП на основе одного класса восьмеричных вычетов

Как и при элементы матриц позволяют рассчитать минимальный многочлен ДП.

Таким образом, вычислена линейная сложность ДП, сформированных по обобщенному ПК (1) при с квазиодноуровневой ПАКФ и одноуровневой ПВКФ. Найденные при этом значения  многочлена последовательности позволяют найти линейную сложность ДП, сформированных при любом числе классов степенных вычетов, а также её минимальный многочлен, в том числе и тех последовательностей, например Лежандра или Холла, линейная сложность и минимальный многочлен которых были рассчитаны другими способами. Все перечисленное позволяет сделать вывод о продуктивности и обобщенности разработанного в подразделе 5.2 метода. Полученные результаты позволяют формировать по обобщенному ПК новые семейства ДП с большой линейной сложностью .

Задача подраздела 5.4 – метод расчета линейной сложности ТП над полем . Пусть , где – многочлен , принадлежащий GF(3)[t], а – примитивный корень степени из единицы в поле разложения многочлена над .

Теорема 21. Если , то

где

Теорема 21 определяет систему уравнений для . Её решение позволяет найти значения многочлена ТП , что, делает возможным расчет линейной сложности  ТП.

В подразделе 5.5 продуктивность предложенного метода проиллюстрирована расчетом  линейной сложности ТП, синтезированных в подразделе 4.2. В частности, справедливы следующие утверждения.

Лемма 4. Если ТП сформирована по (1) при ;   и , то её линейная сложность .

Лемма 5.  Если ТП сформирована по (1) при , и , то справедлива формула:

Лемма 6. Если ТП сформирована по (1) при ,  и ,  то  её линейная сложность

Леммы 4–6 определяют линейную сложность ТП сформированных на основе двух классов биквадратичных вычетов, в том числе и с квазиидеальной ПАКФ.

Лемма 7. Если ТП сформирована по (1) при , c периодом , то её линейная сложность

Леммы 4–7 определяют  линейную сложность ТП с квазиидеальной ПАКФ, синтезированных в четвертой главе. Найденные значения многочленов троичных последовательностей позволяют найти линейную сложность и минимальный многочлен любой другой ТП, сформированной на основе классов биквадратичных или шестеричных вычетов, что свидетельствует о продуктивности разработанного метода расчета линейной сложности ТП.

Таким образом, в пятой главе на основе теорем 20 и 21 получен метод расчета линейной сложности ДКП, сформированных по обобщенному ПК, с применением СРКВ и циклотомических чисел, что позволяет добавить в меню комплексной методики синтеза ДКП ещё одно свойство. Вычислена линейная сложность ДП и ТП. Результаты расчетов подтверждают обобщенность метода. В то же время известные методы расчета линейной сложности ДКП, сформированных по ПК (1), пригодны лишь для последовательностей на основе разностных или почти разностных множеств [5,6]. Найдены новые правила кодирование семейств ДП (БП) и ТП с большой линейной сложностью.

Шестая глава диссертации посвящена распространению методики синтеза ДКП с простым периодом p  на последовательности с периодом mp, где m – натуральное число, взаимно простое с p. В  настоящий момент известны [2,3,7,8] правила кодирования некоторых последовательностей с периодом  mp, но отсутствует методика конструирования последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Для решения поставленной задачи целесообразно:

–  расширить область использования теории СРКВ и модернизировать методику синтеза ДКП с простым периодом p; 

– проиллюстрировать применение модернизированной методики на примерах синтеза ДП, ТП с периодом  mp;

– найти новые ПК ДП с ограничениями на рельеф ПАКФ, период, пик–фактор;

– найти новые ПК  ТП  с  ограничениями на рельеф ПАКФ, степень уравновешенности, период, пик фактор.

В подразделе 6.2 для модернизации комплексной методики предложены два ПК последовательностей с периодом mp, позволяющие расширить область применения теории СРКВ.

Пусть ДКП и составного периода mp формируются из  m  ДКП периода p: на основе двух  ПК:

, (5)

  ,  (6)

где – наименьший положительный вычет i по модулю p, а –  целая часть числа a.

Если ДКП сформирована по ПК (5), то ее ПАКФ

  (7)

где , соответственно, ПАКФ ДКП и , а – ПВКФ пары последовательностей , .

Если же ДКП сформирована по ПК (6), то ее ПАКФ

  (8)

где .

Формулы (7) и (8) обобщаются на ПВКФ пар ДКП, сформированных по ПК (5) и (6).

Таким образом, предложенные ПК формируют ДКП периода mp, ПАКФ и ПВКФ которых,  определяются ПАКФ и ПВКФ ДКП периода p. Если ДКП простого периода конструируются по обобщенному ПК (1) при подмножествах индексов , то (7) и (8) позволяют использовать для анализа и синтеза ДКП с периодом mp теорию СРКВ, результаты третьей и четвертой глав. В частности, согласно (7),  для ПАКФ ДП , сформированной по ПК (5), справедливо взаимно – однозначное соответствие:

, (9)

которое показывает, что ПАКФ ДП полностью определяется таблицей СРКВ для простого поля Галуа, за исключением значений аргумента кратного p.  Аналогичные утверждения имеют место и для  ПАКФ, ПВКФ ТП, БП.

При машинном синтезе ДКП применение (9) предпочтительнее по сравнению с формулами (7), (8), так как вычисление таблиц СРКВ не вызывает затруднений.

Соотношения (7) и (8) позволяют предложить следующую модификацию рассмотренной ранее методики синтеза ДКП:

А) Выбор  одной из стратегий синтеза на основе анализа исходных данных и требований  к  ДКП:

Стратегия 1 – синтез осуществляется на основе  известных или полученных в третьей и четвертой главах ДКП с простым периодом и заданным рельефом  ПАКФ или ПВКФ;

Стратегия 2 –  синтез осуществляется аналитическим расчётом или направленным перебором на вычислительной машине последовательностей, сформированных по ПК (1);

В) Определение допустимых параметров ДКП  простого периода .

С) Расчет характеристик последовательностей простого периода с использованием СРКВ и циклотомических чисел (глава 2).

D) Расчет по формулам (5–8) параметров ДКП составного периода, сопоставление с заданными требованиями.

С целью иллюстрации первой стратегии модифицированной методики синтеза ДКП в подразделе 6.3 рассмотрены: задача синтеза двоичных последовательностей с характеристиками: период 2р, , квазиодноуровневая ПАКФ; задача синтеза уравновешенных троичных последовательностей с характеристиками: период 3p, , квазиидеальная ПАКФ. На примерах показана возможность использования полученных ранее результатов синтеза ДКП с простым периодом для конструирования последовательностей  с составным периодом и заданными характеристиками. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 22. Если ДП  сформирована по ПК (6) при , и , то и пик–фактор .

Теорема 23. Если ТП с периодом  3p сформирована по ПК (5) при , и , то

и пик–фактор .

Результаты подраздела 6.3 свидетельствуют, что модифицированная методика позволяет синтезировать двоичные и троичные последовательности с составным периодом и заданной  совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Задача подраздела 6.4 – иллюстрация применения модифицированной методики при второй стратегии. Так как возможное число вариантов для ДП с простым периодом в ПК (5) и (6), равно , то, предварительно, в подразделе 6.4 найдены необходимые условия существования ДП, пар ДП с периодом mp и квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ), а также ТП с ПАКФ близкой к идеальной для уменьшения числа рассматриваемых вариантов. Возможности модернизированной методики проиллюстрированы на примерах синтеза ДП, ТП с ограничениями на рельеф ПАКФ (ПВКФ), пик–фактор, период и степень уравновешенности для ТП. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 24. ДП , сформированная по ПК (5) при , , , где – натуральное число,  или , имеет четырехуровневую ПАКФ   с  и пик–фактор .

Теорема 25. Если пара ДП сформирована по ПК (5) при , и , то для  ПВКФ величина , и пик–фактор .

Теорема 26. Если ТП Y сформирована по ПК (6) при , и , то она обладает ПАКФ: , .

В результате найдены новые регулярные ПК: ДП с периодом 8p  и квазиодноуровневой ПАКФ (два ПК); ДП с периодом 3p и квазиодноуровневой ПВКФ; уравновешенных ТП с квазиидеальной ПАКФ и периодом 2p. Результаты синтеза показывают, что модифицированная методика продуктивна и универсальна.

Задача подраздела 6.5 заключается в  поиске на основе вышеизложенной методики регулярных ПК ДП с ограничениями: период mp, квазиодноуровневая ПАКФ,  пик–фактор. Сравнительный анализ результатов синтеза показал, что наиболее плотная сетка периодов ДП с квазиодноуровневой ПАКФ получается при . В частности, справедливы следующие теоремы.

Теорема  27. ДП Z, сформированная по  ПК (5), с периодом 2p при , и имеет ПАКФ , и пик–фактор .

Теорема 27 определяет новое регулярное ПК ДП с периодом 2p и квазиодноуровневой ПАКФ.

Следующие теоремы определяют рельеф ПАКФ для  ДП с периодами 4p и 8p.

Теорема 28. ДП , сформированная по ПК (5) при , или , , ,обладает ПАКФ с

и пик–фактором .

Теорема 29. ДП , формируемая по ПК (5) при , , имеет  ПАКФ , ,

и пик–фактор .

Теоремы, доказанные в подразделе 6.5, задают необходимые и достаточные условия существования двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ и составным периодом, определяют способы формирования ДП с заданными свойствами.

В подразделе получено девять новых регулярных ПК ДП с квазиодноуровневой ПАКФ при и два, для примера, при . Определены параметры семейств синтезированных ДП. Расчеты показывают, что они имеют достаточно плотную сетку периодов. 

Приведенные примеры синтеза показывают, что модифицированная методика позволяет находить новые регулярные ПК ДП с заданными характеристиками и формировать семейства  ДП с периодом mp, квазиодноуровневой ПАКФ, включающие в себя известные ДП с такими же свойствами,  параметры которых определены в [7].

В подразделе 6.6 методика проиллюстрирована на примере синтеза ТП с ограничениями: уравновешенные, квазиидеальная  ПАКФ, период 2p.

В частности, справедливы следующие теоремы.

Теорема 30. Если ТП сформирована по ПК (5) при , то:

1) для , ;

2) для или , .

Теорема 31. Если ТП Y сформирована по ПК (6) при , и , то она обладает ПАКФ: , и пик–фактором .

Теоремы 30 и 31 определяют рельефы ТП и достаточные условия существования ТП с квазиидеальной ПАКФ. Если , где – заданное пороговое значение для ПАКФ ТП, то в условиях теорем 30,31 ТП обладают квазиидеальной ПАКФ. Результаты расчетов показывают, что синтезированные ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

В подразделе 6.6 найдено шесть новых регулярных ПК ТП с заданными характеристиками. Определены параметры семейств синтезированных ТП.

Таким образом, в шестой главе расширена область применения теории СРКВ,  методика синтеза ДКП с простым периодом и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики распространена на последовательности с  периодом  mp. Найдены новые регулярные ПК ДП, ТП с периодом mp для  m = 2,3,4,8, отличающиеся корреляционными функциями, пик–фактором и рядом других параметров от известных ДКП. Синтезированы ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и уравновешенные ТП с квазиидеальной ПАКФ.

В седьмой главе разрабатываются алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза последовательностей.

Для достижения поставленной цели необходимо разработать:

–обобщенный алгоритм синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе комплексной методики, изложенной во второй главе;

–алгоритмы синтеза ДП, ТП и БП с простым периодом и заданными требованиями;

–алгоритм расчета линейной  сложности последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов;

–  алгоритмы синтеза ДП, ТП с периодом mp и программы по предложенным алгоритмам.

Подраздел 7.2 посвящен разработке обобщённого алгоритма синтеза  ДКП, исходными данными для которого являются:

1. Тип синтезируемой последовательности: ДП, ТП, БП.

2. Совокупность задаваемых свойств последовательностей или ограничений на их характеристики из следующего перечня: период, вес, пик–фактор, рельеф ПАКФ, рельеф ПВКФ, степень уравновешенности для ТП и БП, рельеф ДП, соответствующей нулевым символам ТП, эквивалентная линейная сложность.

3. Результаты синтеза определяется следующим меню: параметры ПК – p,d,I,J; числовые значения характеристик, перечисленных выше; число последовательностей, удовлетворяющих заданным требованиям;  сформированные последовательности.

Обобщенный алгоритм методики синтеза последовательностей, состоит из следующих этапов:

1. Анализ исходных данных.

2. Выбор метода или методов синтеза из числа разработанных в третьей–шестой главах в зависимости от результатов предварительного анализа:

– метод синтеза ДП с простым периодом и ограничениями на период, вес, пик–фактор, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ;

– метод синтеза ТП с простым периодом и ограничениями на период, вес, рельефы ПАКФ или (и)  ПВКФ, рельеф ПАКФ ДП, соответствующей нулевым символам троичной последовательности, пик–фактор, степень уравновешенности;

– метод синтеза БП с простым периодом и ограничениями на период, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, степень уравновешенности;

– метод расчета линейной сложности дискретно–кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов;

– метод синтеза ДП с периодом mp и ограничениями на период, вес, пик–фактор, рельеф ПАКФ;

– метод синтеза уравновешенных ТП с периодом mp и ограничениями на: период, вес, рельеф ПАКФ,  пик–фактор.

3. Расчет, в соответствии с выбранным методом синтеза, допустимых параметров обобщенного ПК– p,d,I,J исходя из ограничений на период, вес, пик–фактор, степень уравновешенности.

4. Расчет свойств и характеристик последовательностей в соответствии с выбранными методами. При необходимости формирование последовательностей.

5.  Вывод результатов синтеза в требуемой форме, согласно требованиям, заданным в меню «результаты».

Алгоритмы  вышеупомянутых методов синтеза разработаны в подразделах седьмой главы.

Для реализации обобщенного алгоритма синтеза ДКП разработан комплекс программ, состоящий из базовой программы расчета СРКВ по простому модулю, программы синтеза ДКП с простым периодом, программ синтеза ДП и ТП с периодом mp и указанными выше ограничениями на характеристики последовательностей.

Подраздел 7.3 посвящен разработке алгоритмов методов синтеза ДП, ТП и БП  с простым периодом и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики из приведенного выше меню, за исключением линейной сложности.

В подразделе 7.4 предложен  алгоритм синтеза последовательностей с ограничениями на период и линейную сложность на основе материалов пятой главы. В отличие от известного алгоритма Берлекэмпа-Месси он применим лишь для ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов, но при этом обладает целым рядом несомненных достоинств:

– линейная сложность ДКП, сформированных по обобщенному ПК при , определяется посредством разложения периода последовательности на сумму квадратов целых чисел;

– при его применении рассчитывается линейная сложность не одной последовательности, а семейства  ДКП;

–позволяет, за счет использования  СРКВ, одновременно рассчитывать линейную сложность и корреляционные функции синтезируемых ДКП.

В подразделе 7.5 на основе модернизированной методики, предложенной в шестой главе,  разработаны алгоритмы синтеза ДП с ограничениями на период mp, вес, пик–фактор, ПАКФ (ПВКФ) и ТП с ограничениями на период mp, вес, пик–фактор, ПАКФ (ПВКФ), степень уравновешенности.

Разработка программ, реализующих предложенные алгоритмы синтеза ДКП, не вызывает затруднений, а характер операций и то, что все они выполняются над целыми числами гарантирует их быстродействие.  При этом программа синтеза ДКП с простым периодом обладает наибольшими возможностями, она позволяет синтезировать последовательности при ограничениях на весь перечень приведенного выше меню, то есть на все восемь свойств или характеристик последовательностей.

Таким образом, в седьмой главе, на основе предложенных в диссертации методики и методов, разработаны алгоритмы синтеза ДП, ТП и БП с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Комплекс программ, реализующий алгоритмы синтеза ДКП, сформирован, апробирован и частично зарегистрирован. В результате его применения получены многочисленные результаты синтеза последовательностей, представленные в приложении C.

Заключение

1. Применение циклотомических чисел позволило:

– упростить анализ таблиц СРКВ, а также расчет и анализ СРКВ, соответствующих корреляционным функциям ДКП, формируемых на основе нескольких классов степенных вычетов;

– обобщать полученные частные решения синтеза ДКП в правила кодирования и находить обобщенные формулы для характеристик синтезированных ДКП.

Все это привело к усовершенствованию методики анализа и синтеза дискретно–кодированных последовательностей на основе СРКВ, повысило её результативность. Кроме этого,  число задаваемых свойств или ограничений на характеристики последовательностей увеличено с трех до восьми. В настоящий момент, обобщенная методика синтеза  последовательностей позволяет выбирать свойства или ограничения на  их характеристики из следующего меню:   период, вес, рельефы автокорреляционной и взаимно корреляционной функций, рельеф автокорреляционной функции двоичной последовательности, соответствующей нулевым символам троичной последовательности, пик–фактор, степень уравновешенности для троичных и бинарных последовательностей, эквивалентная линейная сложность.

2. На основе комплексной методики СРКВ и циклотомических чисел разработаны универсальные, обобщенные, продуктивные и эффективные методы синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей с простым периодом, в том числе и псевдослучайных:

– методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на период, вес, пик–фактор, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ;

– методы синтеза троичных последовательностей с ограничениями на период, вес, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, рельеф ПАКФ двоичной последовательности, соответствующей нулевым символам троичной последовательности, пик–фактор, степень уравновешенности;

– методы синтеза бинарных последовательностей с ограничениями на период, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, степень уравновешенности.

Методы проиллюстрированы многочисленными примерами синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом р и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями и троичных последовательностей с квазиидеальными периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями.

3. Разработан унифицированный метод расчета эквивалентной линейной сложности последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов. Определена линейная сложность двоичных и троичных последовательностей. Показано, что подавляющее число вновь синтезированных последовательностей обладают высокой криптостойкостью. Получены новые правила кодирование семейств ДКП с большой линейной сложностью.

4. Комплексная методика синтеза ДКП с простым периодом p распространена на последовательности с периодом mp, где m – натуральное число, взаимно простое с p, посредством расширения области применения теории СРКВ. Результативность методики подтверждена многочисленными примерами синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Синтезированы семейства двоичных и троичных последовательностей с периодом mp и ограничениями на период, вес, рельеф автокорреляционной функции, пик–фактор, степень уравновешенности.

5. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза двоичных и троичных последовательностей. Предложенные в диссертации алгоритмы и программы синтеза ДКП закладывают основы нового научного направления – компьютерного проектирования последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Достоверность теоретических результатов подкреплена многочисленными примерами синтеза, обобщённостью синтезированных правил кодирования, которые включают в себя формирование известных последовательностей с подобной совокупностью свойств, и результатами расчетов характеристик синтезированных последовательностей на  вычислительных машинах.

В приложении A приведены  таблицы СРКВ, вычисленные с использованием циклотомических чисел. Приложение A иллюстрирует, как применение циклотомических чисел меняет таблицы СРКВ. Результаты расчетов рельефов ряда корреляционных функций последовательностей, с применением СРКВ и циклотомических чисел, вынесены в приложение B. В приложение C включены  таблицы с параметрами синтезированных последовательностей, иллюстрирующих универсальность, продуктивность, обобщенность и эффективность разработанных методов синтеза.

Список основных публикаций по теме диссертации

Монографии

  1. Едемский, В.А. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики / В.А. Едемский, В. Е. Гантмахер.– Великий Новгород.: НовГУ, 2009.– 189 с.

Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК МОиН РФ

  1. Едемский, В.А.  О линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов / В. А. Едемский // Проблемы передачи информации. – 2008. – Т. 44. – Вып. 4. –С. 3–11.
  2. Едемский, В.А. Результаты синтеза пар  двоичных  последовательностей  простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2006. – Вып. 4. – С. 26–33.
  3. Едемский, В.А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2007. – Вып. 4. – С.14–23.
  4. Едемский, В.А. Квазиодноуровневые разностные множества / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". – 2007. – №4. – С. 8–19 .
  5. Едемский, В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Вестник КАИ им. А.Н. Туполева. – 2007. – № 2. – С.41–44.
  6. Едемский, В.А. О бинарных последовательностях простого периода с квазиидеальной автокорреляцией / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2007. – № 1(21). –Вып.  1. – С. 7–12.
  7. Едемский, В. А. К вопросу синтеза троичных квазиортогональных последовательностей с одним нулевым символом на периоде / В. Е. Гантмахер, А. С. Евдаков,  В.А. Едемский //  Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». – 2004. –  № 26. – С. 101-103.
  8. Едемский, В. А. О двоичных и троичных последовательностях с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией для / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». – 2004. – № 28. – С. 73-76.
  9. Едемский, В.А. О ПАКФ двоичных и троичных последовательностей для / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». – 2005. – № 30. – С. 52–57.
  10. Едемский, В.А. О ПАКФ и ПВКФ двоичных и троичных последовательностей с периодом  / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». – 2005. – № 34. – С. 47–52.

Публикации в других изданиях

  1. Gantmakher, V.E. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic>
  2. Gantmakher, V.E. Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic>
  3. Едемский В.А. Анализ и синтез троичных и бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Сборник докладов 9–ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". – М., 2007. – Т. 1. – С.14–17. 
  4. Едемский, В.А. О синтезе дискретно–кодированных последовательностей периода / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский, С. М. Платонов // Сборник  докладов 10–ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". – М., 2008. – Т. 1. – С.16–19.
  5. Едемский, В. А. Методика построения разностных множеств, сбалансированных на несколько близких уровней / В. А. Едемский //  Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2007. – Т. 14. –Вып. 2. – С. 291-292.
  6. Едемский, В. А. Разностные множества, сбалансированные на два уровня, сформированные на основе классов  степенных вычетов по простому модулю / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Редакцией журнала «Известия вузов. Математика». - Казань, 2008. – 13 с. –Деп. в ВИНИТИ № 639-В2008.
  7. Едемский, В. А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с периодом 4p и автокорреляцией близкой к одноуровневой / В.А Едемский, И. С. Вагунин  // Сборник докладов 14-й международной научно–технической конференции "Радиолокация, навигация и связь". – Воронеж, 2008. – Т. 1. С. 291-296.
  8. Едемский, В. А. О синтезе двоичных последовательностей составного периода с квазиодноуровневой автокорреляцией / В.А Едемский, И. С. Вагунин //  Труды международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития ». – Одесса, 2007. – Т. 1. – С. 55-60.
  9. Едемский, В. А. Метод синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией  и периодом mp / В.А Едемский, И. С.Вагунин //  Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. – 2008. – № 6. – С. 147-150.
  10. Едемский, В.А. О ПАКФ и ПВК двоичных и троичных последовательностей / В.А Едемский // Труды международной научно-методической  конференции «Математика в вузе». – СПб., 2005. – С. 108-109.
  11. Едемский, В.А. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  В. Новгород, 2005. – 49 с.  Рус.- Деп. в  ВИНИТИ  № 1737 - В2005 от 26.12.05.
  12. Едемский, В.А. Методика синтеза квазиодноуровневых разностных множеств / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский //  Материалы XVI всероссийской научно–технической конференции "Современные проблемы математики и естествознания". – Нижний Новгород, 2006. – С. 15.
  13. Едемский, В.А. О взаимной корреляции бинарных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю , c квазиидеальной автокорреляцией / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Сборник докладов 13-й международной научно–технической конференции "Радиолокация, навигация и связь".–  Воронеж, 2007. – Т. 1. – С. 105-111.
  14. Едемский, В.А. Квазиодноуровневые разностные множества, формируемые на основе классов степенных вычетов / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Труды международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований». – Одесса, 2007. – Т. 21. – С. 15-20.
  15. Едемский, В.А. Метод синтеза бинарных последовательностей с составным периодом на основе классов степенных вычетов. / В. А. Едемский, И. С. Вагунин // Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». – 2007. – № 50. – С. 26–29.
  16. Едемский, В.А. О программе синтеза двоичных последовательностей с периодом // В. А. Едемский, И. С. Вагунин // Труды международной научно-методической конференции «Математика в вузе». – СПб: 2008.– С.82-83.
  17. Едемский В.А. Синтез двоичных последовательностей составного периода на основе спектров разностей классов вычетов:  Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ  № 200813592 / И. С. Вагунин, В. А. Едемский  // заявитель и правообладатель «Новгородский государственный университет».– № 2008612439; заявл. 02. 06.08.; зарег. 28.07.08.
  18. Едемский В.А. Синтез уравновешенных троичных  последовательностей составного периода на основе спектров разностей классов вычетов:  Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ  № 2009610230 / И. С. Вагунин,  В. А. Едемский  // заявитель и правообладатель «Новгородский государственный университет».– № 2008614963; заявл. 28.10.08.; зарег. 11.01.09.
  19. Едемский, В.А. Анализ и синтез двоичных последовательностей с заданными параметрами на основе классов степенных вычетов по простому модулю / В. Е. Гантмахер, В. А. Едемский // Труды международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития». – Одесса, 2006.  – Т. 2. – С. 76-80.

Список литературы

       1. Гантмахер, В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е. Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарёв. – СПб.: Наука и техника, 2005. – 400 с.

2. Свердлик, М.Б Оптимальные дискретные сигналы / М.Б. Свердлик. – М.: Сов. радио, 1975. – 200 с.

3.  Ипатов, В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами / В.П. Ипатов. – М.: Радио и связь, 1992. – 152 с.

4. Ding, C. Several>

5. Ding, C. On the Linear Complexity of Legendre Sequences / С. Ding, Т. Helleseth, W. Shan W //  IEEE Trans. Info Theory. – 1998. - V. IT–44. -PP. 1276 – 1278.

6. Kim, J.H. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences / J.H. Kim, H.Y. Song //  IEEE Trans. Inf. Theory. – 2001. - V. 47. – Is.5. - PP. 2094–2096.

7. Arasu, K.T. Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelation / K.T. Arasu, C. Ding, T. Hellesenh, P. V. Kumar, H.M. Martinsen // IEEE transactions on information theory. – 2001. - V. 47. -  № 7. - P. 2934–2943.

8. Zhang, Y. A new family of almost differences sets and some necessary conditions / Y. Zhang, J. G. Lei J. G., S. P. Zhang // IEEE Trans. Info. Theory.– 2006.– V. 52. –РР. 2052– 2061.

Изд. лиц. ЛР № 020815 от 21.09.98.

Подписано в печать  .  . 2009. Бумага офсетная. Формат 60×84 1/16.

Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ №

Издательско-полиграфический центр Новгородского

государственного университета им. Ярослава Мудрого.

173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Великий Новгород,

ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

 






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.