WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

ЧИКИНА ЛЮБОВЬ ГРИГОРЬЕВНА

РАЗВИТИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ДОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВОДОЕМОВ

Специальность 05.13.18 –математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010 год

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации Южного федерального университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Крукиер Лев Абрамович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Елизаров Александр Михайлович (НИИМ и М КГУ, г. Казань) доктор физико-математических наук, профессор Козодеров Владимир Васильевич (МГУ, г. Москва) доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович (ТТИ ЮФУ, г. Таганрог)

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, (г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится “24” июня 2010 г в __ ч. __ мин. на заседании диссертационного совета Д212.208.22 при ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан “___” ___________ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.208.22, доктор технических наук, профессор Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы. С интенсивным внедрением в современные исследования методов математического моделирования, описывающих различные процессы и явления, связано появление систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в различных областях науки. Известно1, что конечным этапом решения задач математического моделирования становится необходимость решить СЛАУ, как правило, большой размерности, достаточно точно и быстро. В настоящее время, по оценке аналитиков, около 80% задач, решаемых на ЭВМ, являются задачами линейной алгебры, т.е. решение СЛАУ. По этой причине теория итерационных методов решения СЛАУ является быстро развивающейся областью современной математики.

Изучаемая в данной работе математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов также свелась к необходимости решения СЛАУ, матрица которой обладала некоторыми важными свойствами, что позволило развить специальный класс итерационных методов, которые эффективно решают поставленную задачу. Таким образом, удалось разработать устойчивые вычислительные алгоритмы, описывающие процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта.

В качестве исследуемого объекта был выбран Таганрогский залив Азовского моря. Мелководность Таганрогского залива сильно усложняет подход судов к портам городов Таганрог и Ейск, а также к устью реки Дон.

Для решения этой проблемы в мелководных районах сооружаются подходные судоходные каналы. В процессе эксплуатации данные каналы заиливаются и требуют регулярного очищения. Наиболее распространенным способом борьбы с заилением являются периодические дноуглубительные работы, которые обеспечивают заданную проходную глубину. Извлеченный из каналов грунт транспортируют на одну из свалок, расположенных на акватории Таганрогского залива. Данные мероприятия являются достаточно трудоемкими и требуют больших материальных затрат, поэтому изучение процессов размывания дна, переноса размытого грунта и его оседания имеют особую актуальность.

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении гидрофизических задач для водоемов различной морфологии методами математического моделирования. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, ИВМ и МГ СО РАН. Очень важное значение для моделирования гидрофизических процессов в Азовском море представляют результаты натурных исследований гидрологии моря, полученные учеными ЮНЦ РАН (рук. академик Г.Г. Матишов) и ТТИ ЮФУ (рук. профессор А.И. Сухинов). Поэтому в настоящее время актуальным становится соз А.А.Самарский, Е.С.Николаев Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, 19 дание комплексной математической модели, учитывающей современные натурные данные и различные факторы, влияющие на процесс изменения донной поверхности водоемов, а также эффективных методов ее реализации.

Важной особенностью предлагаемой модели является то, что гидродинамическая составляющая содержит не только модель ветрового течения, но также и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

При рассмотрении модели транспорта вещества в канале учитывается изменение формы дна судоходного канала, происходящего за счет размывания и оседания взвешенного донного грунта, и, как следствие, изменение расчетной области для гидродинамической составляющей.

Учет затопленной струи от гребного винта корабля сильно увеличивает конвективные процессы в канале, что приводит к преобладанию в задаче конвективных процессов и вызывает необходимость решения, в конечном счете, больших сильно несимметричных СЛАУ.

Целью диссертации является развитие специальных итерационных методов, их теоретическое исследование, численная и программная реализация для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. Это связано с разработкой устойчивых вычислительных алгоритмов, описывающих процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта. Учет в модели струи от гребного винта, движущегося по каналу корабля, существенно усложняет численное решение задачи, так как в этом случае процессы конвективного переноса становятся преобладающими. Это накладывает существенное ограничение на использование стандартных разностных схем и приводит к необходимости разработки новых итерационных методов их решения.

Таким образом, одной из основных целей работы стала разработка численных методов, эффективно решающих задачи с преобладающей конвекцией.

В соответствии с поставленными целями необходимо решить следующие задачи:

построить модель течений в подходных судоходных каналах;

построить модель переноса донного материала;

предложить способы аппроксимации построенных моделей, которые сводят исходную задачу к СЛАУ с известными свойствами;

разработать специальные итерационные методы решения полученных в результате аппроксимации задач СЛАУ;

программно реализовать алгоритмы, используемые для решения построенных моделей.

Объектами исследования в представляемой работе являются подходные судоходные каналы, прорытые по дну Таганрогского залива к портам Таганрог, Ейск, а также к основному руслу реки Дон.

Научная новизна. Данная работа посвящена развитию специальных итерационных методов для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов, включающей в себя гидродинамику ветрового течения совместно с перемещающейся струей от гребного винта корабля, а также процессы взмучивания, оседания и переноса взвешенного донного осадка. Представляемая комплексная модель процесса заиления подходных судоходных каналов ранее никем не рассматривалась.

Разработана специальная методика исследования сходимости двухпараметрических итерационных методов, которая была использована, в частности, для исследования кососимметрических итерационных методов.

Получены условия сходимости специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, найдены оптимальные итерационные параметры.

Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала.

Получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Применение разработанных автором итерационных методов решения задач с преобладающей конвекцией сильно несимметричных СЛАУ, эффективность которых установлена численным сравнением с существующими подобными методами, представляет основной элемент новизны.

Методы исследования. За основу теоретического исследования взята методология математического моделирования и вычислительного эксперимента, предложенная академиком А.А. Самарским и развитая в работах ученых его научной школы, а также других российских и зарубежных исследователей. Эта методология включает в себя фундаментальные положения и общие принципы теории операторно-разностных схем, а так же теории итерационных методов и матричных вычислений.

Достоверность. Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, полученные данные вычислительных экспериментов хорошо согласуются с теоретическими результатами, а также с результатами других авторов.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации итерационные методы могут быть использованы при решении задач, сводящихся к решению сильно несимметричных СЛАУ. Результаты работы были представлены в следующих грантах:

РФФИ, грант №03-01-00005 "Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией итерационными методами с переобуславливателями". Руководитель Крукиер Л.А. 2003-2005.

Университеты России, грант №УР.03.01.273 "Численное решение задач математического моделирования конвективно-диффузионных про цессов в средах с преобладающей конвекцией". Руководитель Крукиер Л.А. 2003-2005.

Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и обоснование математических моделей гидрофизических процессов во внутренних водоемах и их реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2006 10871, 2006- 2008.

В рамках программы № 14 фундаментальных исследований Президиума РАН раздел II: «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы» "Создание математической модели процесса миграции радионуклидов в районе Ростовской АЭС и ее численная реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. 2006-2008.

РФФИ, грант №06-01-00038-а "Разработка эффективных методов решения задачи конвективно-диффузионного переноса вещества в несжимаемых средах с доминирующей конвекцией". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2006 10873, 2007-2008.

Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и реализация комплексной математической модели распространения радионуклидного загрязнения в водной и воздушной среде на высокопроизводительных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 2009 56227, с 2009.

РФФИ, грант №09-01-00023-а "Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2009 56226, с 2009.

Рассмотренная в работе модель позволяет анализировать гидродинамические и транспортирующие процессы в судоходном канале для оценки состояния донной поверхности.

Полученные теоретические результаты исследований могут быть использованы в образовательных целях для студентов и аспирантов в виде специальных курсов по математическому моделированию и вычислительной математике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

Advanced Mathematics, Computations and Applications (AMCA-95).

(Novosibirsk, June 20-24, 1995).

Международная конференция «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике», ИММ, ИПМ УРО РАН, г. Ижевск, 1996.

IMPC’97.Czech-U.S. Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing. Milovy, Czech Republic, June 16 - 21, 1997.

International Conference on Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (EMMNA’ 99), г.Ростов-на-Дону, 1999.

16th IMACS WORLD CONGRESS 2000. On Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Lausanne-Switzeland. August 21-25, 2000.

IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNG-2002) / XIX Международный семинар по струйным отрывным и нестационарным течениям. 24-28 июня, 2002, СанктПетербург.

The First International Conference “Computational Methods in Applied Mathematics” (CMAM-1), Minsk, Belarus, June 20-24, 2003.

The First International Conference on Numerical Algebra and Scientific Computing (NASC06), 2006.

International Сonference «Tikhonov and contemporary mathematics», MSU, Moscow, 2006.

European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH). 10.-14.09.07. Graz, Austria.

Международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» (к 75- летию НИИ математики и механики им.

Н.Г. Чеботарева Казанского университета). РФ, Казань, 7 - 14 октября 2009 г.

На Всероссийских и региональных конференциях и Школахсеминарах:

Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 1997 г.

Конференция «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.

VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова, Пущино 2000 г.

Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Абрау-Дюрсо, 2000 г.

I, II, III Всероссийские конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященные памяти академика А.Ф.Сидорова, п. Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006 гг.

Молодежные школы «Комплексные гидробиологические базы данных:

ресурсы, технологии и использование» и «Адаптация гидробионтов», Ростов-на-Дону, 2005.

I-XV Всероссийские Школы-семинары«Современные проблемы математического моделирования », п. Абрау-Дюрсо, 1990 –2009 годы.

XIV, XV, XVI Всероссийские конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященные памяти К.И. Бабенко, п. Абрау-Дюрсо, 2004, 2006, 2008 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 57 работ, из них монография, 9 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Имеется 2 свидетельства об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 293 наименования. Работа содержит 42 рисунка, 19 таблиц. Полный объем диссертации составляет 317 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Л.А. Крукиеру за ценные советы и замечания при подготовке и написании диссертации. Автор также признателен коллективу сотрудников ЮГИНФО ЮФУ за помощь при численной реализации созданных программ.

Содержание работы Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность, новизна и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.





В первой главе приводится комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов.

Рассматривается прямолинейный подходной судоходный канал, проложенный по дну водоема. Модель содержит гидродинамическую и транспортирующую составляющие (Рис. 1).

Гидродинамическая составляющая содержит две подмодели: модель ветрового течения и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

Модель ветрового течения основывается на двухслойной модели2, разработанной ранее А.Л. Чикиным, так как исследуемая область представляет собой водоем, где есть глубоководная часть (каналы) и обширная область мелководья (собственно сам водоем в целом). Модель струи, образованной вращением гребного винта корабля, основана на теории затопленной свободной струи. При движении вдоль канала винт корабля из-за эффекта скольжения выбрасывает свободную затопленную струю воды со скоростью uz0. Струя, попадая в массу окружающей ее жидкости, постепенно расширяЧикин А.Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах с большой неоднородностью глубин// Водные ресурсы, 2005. Т. 32. № 1. С. 55-60.

ется и, в конечном счете, рассеивается в жидкости. Общее поле скоростей получается сложением векторов скоростей от каждой подмодели.

Для расчета осесимметричной струи вводится система цилиндрических координат (r, , z), где z, r – осевая и радиальные координаты. Центр, расположен на пересечении оси симметрии струи OD и прямой ОВ, проходящей через срез насадки ОА истечения струи. Расчетная область представляет собой прямоугольник OBCD (0 z Z;0 r R ) (Рис. 2).

Рис. 1. Схема модели изменения донной поверхности судоходного канала Рис. 2. Область расчета свободной струи Система уравнений движения и неразрывности имеет вид:

ur ur ur 1 p 2ur 2ur 1 ur ur ur uz rz (1) t r z z r r z2 r2 r2 uz uz uz 1 p 2uz 2uz 1 uz ur uz rz (2) t r z r r r z2 r uz ur ur 0 (3) z r r Здесь ur uz – радиальная и осевая компоненты вектора скорости, считается, что все переменные величины не зависят от угла .

Граничные условия задаются следующим образом.

На оси симметрии OD:

uz p 0; ur r r На срезе OA:

uz uz0,ur 0; p pНа свободных границах:

АВ: uz uz1,ur ur1, p p0, ur uz CD: 0, p pz z ur uz BC: 0, p pr r В качестве начального условия можно брать известное поле скоростей ветрового течения или брать состояние покоя.

Перенос взвешенного вещества описывается уравнением конвекциидиффузии с граничными условиями 3-го рода.

Пусть все донные отложения состоят из k фракций (k=1, …,N). Распределение концентрации взвешенных частиц консервативного вещества (=0) в водоеме, где отсутствуют внутренние источники (f(x,y,z)=0), можно описать уравнением конвекции-диффузии, конвективная часть которого записана в симметричной форме w wsk Sk uSk vSk Sk Sk Sk Sk u v w wsk t 2 x y z x y z (4) 2Sk 2Sk Sk xy z x2 y2 z z где Sk – концентрация k-ой фракции; u,v,w – компоненты скорости, wsk – собственная скорость оседания k-ой фракции (гидравлическая крупность k ой частицы); xy, z – коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно.

Принято, что вертикальный поток примеси на свободной верхней границе водоема отсутствует Sk z w ws Sk z Вертикальный поток примеси на дне (области взвешенных наносов) принимается равным разности расходов отрывающихся от дна частиц примеси Ebk (размывания) и оседающих частиц Dbk (аккумуляции) Sk z wsSk Ebk Dbk.

z На открытых боковых границах Sk z VnSk z, где Vn – нормальная составляющая скорости.

Толщина ила задается уравнением деформации основания Z* S (1 ) Db Eb, (5) t где – пористость дна; S – осредненная плотность донного ила, Db, Eb – суммарные расходы всех фракций, Z* – толщина придонного ила.

Во второй главе приводятся разностные аппроксимации составляющих общей модели, рассматриваются методы решения уравнения конвекциидиффузии.

В первом разделе приводится конечно-разностная аппроксимация гидродинамической составляющих модели. Все уравнения движения аппроксимировались неявными противопотоковыми схемами.

Второй раздел посвящен разностной аппроксимации трехмерной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода.

Уравнение конвекции-диффузии записывается в операторном виде S LS f, (6) t где L LD LC L – оператор конвективно-диффузионного переноса. В (6) LD – оператор диффузионного переноса, который определяется выражением S S Sk LD xy xy z ;

x x y y z z LC – оператор конвективного переноса, записанный в недивергентной S S S LC S u v w x y z или симметричной форме uS vS wS 1 S S S LC S u v w .

2 x y z x y z Оператор L описывает взаимодействие вещества с водой L S S. (7) Задача (6) замыкается начальными S x,0 S0 x и краевыми условиями третьего рода на границе Г области :

S S r, (8) n где означает производную по направлению внешней нормали к границе n области .

При исследовании конечно-разностных аппроксимаций от свойств краевой задачи (6)– (8) требуется формально только достаточная гладкость ее решения.

Разностное решение задачи конвекции–диффузии должно наследовать основные свойства поставленной дифференциальной задачи. В силу того, что в задаче (4) присутствуют конвективные члены, дифференциальный оператор L в (6) является несамосопряженным. Следовательно, от конечномерного оператора Lh A, аппроксимирующего на основе конечноразностного подхода исходный оператор L, естественно ожидать несамосопряженности. В разностной форме необходимо сохранить знаковую определенность дифференциального оператора, что позволит решать проблему создания и реализации эффективных алгоритмов расчета.

Расчетная область произвольной формы помещается в прямоугольный параллелепипед и вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка h h Гh, размера Nx Ny Nz, с векторным параметром h hx,hy,hz, где hx,hy,hz – соответствующие шаги сетки вдоль осей OX,OY,OZ. После проведения индексации ячеек определяется h – множество внутренних узлов сетки и Гh – множество граничных узлов.

Пусть tn, n 0,1,, N, t0 0, tN T – сетка на отрезке 0 t T n с шагами tn tn1. Сеточная функция sijk S xi, yj, zk,tn – функция дис n кретных аргументов. При каждом фиксированном t tn функция sijk является элементом пространства Hh.

Начальное условие аппроксимируется в каждой точке сетки точно 0 sh sijk.

Аппроксимация свободного члена (7) осуществляется стандартным образом L hsh ijksijk.

Всю сеточную область можно условно разделить на внутреннюю, приграничную и граничную подобласти.

Аппроксимация краевых условий означает снос границы Г рассматриваемой нерегулярной области на кусочно-линейную границу Гh сеточной области h. При аппроксимации граничных условий третьего рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем, когда выбор направления аппроксимации производной зависит от знака составляющей вектора скорости v, участвующей в граничном условии. Семиточечный шаблон, попадая в любой узел из внутренней подобласти, не выходит за пределы расчетной сеточной области. Если же шаблон попадает в узел из приграничной области, то хотя бы один из узлов шаблона оказывается на границе.

В общем виде, аппроксимация граничного условия третьего рода (8) будет иметь вид:

gs ps r, (9) s, s где – значения концентрации вещества соответственно в некотором граничном и приграничном узле. Для коэффициентов g, p,r справедливы равенства h g , p , r r, h h где "" заменяется на символы W, S, B, T, N, E, если граница области приходится соответственно на i 1, j 1, k 1, i 1, j 1, k 1 узел се -й миточечного шаблона, x, y, z соответствует осям WE,SN, BT.

Аппроксимация задачи (6)– (8) проводится в два этапа. Сначала эта задача аппроксимируется в области h t по пространственным переменным. В результате, задаче (6)–– (8) ставится в соответствие дифференциально-разностный аналог sh Lhsh fh x,t, x,t h t, t gs ps r, x,t Гh t, sh uh x,0, x,t h 0, t t 0, где оператор Lh LDh LCh Lh, в котором:

LDh – разностный оператор диффузионного переноса, LCh – разностный оператор конвективного переноса, L h – разностный аналог функции взаимодействия вещества.

Исключив решение в граничных точках области h, учитывая разностные краевые условия, можно перейти, например, к неявной (или можно использовать явную) операторно-разностной схеме:

n1 n n sh sh n Lhsh f, sh uh0, n 0.

h Здесь Lh – это оператор Lh, в который уже включены граничные условия.

Оператор Lh представим в виде Lh LDh LCh Lh, где LDh – разностный оператор диффузионного переноса с учтенными граничными условиями, LCh – разностный оператор конвективного переноса, где также учтены граничные условия.

Для сохранения свойств исходных дифференциальных операторов при пространственной аппроксимации уравнений системы (6) конвективная часть записана в симметричной форме и выбрана центрально-разностная схема, а при недивергентной записи конвективных членов – противопотоковая схема.

Любую матрицу A Rn,n можно единственным образом разложить на сумму A A A1, (10) 1 * * где – симметричная, A1 A A* A1, – кососимметрич A A A* A ная составляющие.

Матрица A Rn,n называется:

диссипативной, если для x 0 ее симметричная часть положительно определена A0x, x 0 (операторное неравенство A0 0 );

М-матрицей, если A – невырожденная, aij 0 при i j и обратная матрица A1 поэлементно неотрицательна;

устойчивой, если ее спектр расположен в правой полуплоскости Rek A 0.

Обозначим через C LC LDh L L h C0h h разностный аналог оператора L уравнения (6) в случае, когда оператор конвективного переноса описывает конвективный процесс в симметричной форме, а симметричная форма аппроксимируется центральными разностями.

Оператору LC соответствует следующая разностная схема:

h C C C C C C Wijk si1 jk Sijksij1k Bijksijk 1 Dijksijk Tijksijk 1 Nijksij1k p C Eijk si1 jk fijk C ijk, g W,S,B,T,N,E в которой xy ixy1 jk ijk uijk ui 1 jk uijk ui 1 jk C C C C Wijk 1 W 1 W WD0ijk WC 0ijk, WC 0ijk 2hx 4hx 4hx xy xy ij1k ijk vijk vij 1k vijk vij 1k C C C C Sijk 1 S 1 S D0ijk SC 0ijk SC 0ijk S , 2hy 4hy 4hy z z ijk 1 ijk wijk wijk 1 wijk wijk C C C C Bijk 1 B 1 B D0ijk BC 0ijk BC 0ijk B , 2hz 4hz 4hz z z ijk 1 ijk wijk wijk 1 wijk wijk C C C C Tijk 1 T 1 T TD0ijk TC 0ijk, TC 0ijk 2hz 4hz 4hz xy xy ij1k ijk vijk vij 1k vijk vij 1k C C C C Nijk 1 N 1 N D0ijk NC 0ijk NC 0ijk N , 2hy 4hy 4hy xy ixy1 jk ijk uijk ui 1 jk uijk ui1 jk C C C C Eijk 1 E 1 E ED0ijk EC 0ijk, EC 0ijk .

2hx 4hx 4hx Вклады граничных условий вошли в диагональ:

p C Dijk C 0ijk C ijk ijk, D g W,S,B,T,N,E W,S,B,T,N,E где – символ Кронекера:

* 1, sijk , 0, sijk , Оператор LC представим в виде суммы симметричной и кососимметh ричной составляющих:

C C C L L L.

h D 0 h C0h C C Оператор L соответствует диффузионному переносу, а оператор L – D 0 h C0h конвективному.

ТЕОРЕМА 1. Пусть в уравнении конвекции-диффузии, записанном в симметричной форме, конвективные члены аппроксимируются центральными разностями. Тогда для того, чтобы оператор LC – разностный аналог h стационарной задачи конвекции-диффузии был диссипативной матрицей, достаточно выполнение неравенств p C p ijk 1 g g C 0, C0 ijk D 0 ijk W,S,B,T,N,E i 1,2,, Nx 1, j 1,2,, Ny 1, k 1,2,, Nz 1, (11) при условии, что хотя бы одно из неравенств является строгим. Здесь C ijk, C ijk – элементы разностной схемы, соответствующие диффузионному и Cконвективному переносу, – символ Кронекера для соответствующей границы, g, p – коэффициенты разностного аналога граничных условий.

Обозначим через p p Lh LDh L Lh C2h разностный аналог оператора L уравнения (6) в случае, когда оператор конвективного переноса описывает конвективный процесс в недивергентной форме, а недивергентная форма аппроксимируется противопотоковыми разностями.

P Разностный оператор Lh в области h имеет вид P P P P P P P P L Wijksi1 jk Sijksij1k Bijk sijk 1 Dijk sijk Tijk sijk Nijk sijk Eijk sijk ijk p P fh fijk 0ijk.

g W,S,B,T,N,E Значения коэффициентов следующие:

xy uijk uijk ixy1 jk ijk PP Wijk 1 W 1 W W0ijk, 2hx 2hx xy xy vijk vijk ij 1k ijk P Sijk 1 S 1 S SPijk, 2hy 2 2hy z z wijk wijk ijk 1 ijk P Bijk 1 B 1 B BPijk, 2hz 2 2hz z z wijk wijk ijk 1 ijk P Tijk 1 T 1 B BPijk, 2hz 2 2hz xy xy vijk vijk ij 1k ijk P Nijk 1 N 1 N NPijk, 2hy 2 2hy xy uijk uijk ixy1 jk ijk P Eijk 1 E 1 E EPijk.

2hx 2 2hx Вклады граничных условий вошли в диагональ:

p P P P Dijk 0ijk 0ijk ijk, g W,S,B,T,N,E W,S,B,T,N,E где – символ Кронекера:

* 1, sijk , 0, sijk , Таким образом, при конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии получается СЛАУ, матрица которой имеет специальную семидиагональную структуру, причем диагональные элементы линейноP го оператора Lh положительны, а внедиагональные элементы отрицательны.

ТЕОРЕМА 2. Пусть в уравнении конвекции-диффузии, записанном в недивергентной форме, конвективные члены аппроксимируются разностями P «против потока». Тогда для того, чтобы оператор Lh – разностный аналог стационарной задачи конвекции-диффузии был М-матрицей, достаточно выполнение неравенств p P ijk 1 0ijk 0, g W,S,B,T,N,E i 1,2,, Nx 1, j 1,2,, Ny 1, k 1,2,, Nz (12) P при условии, что хотя бы одно из неравенств является строгим. Здесь 0ijk – элементы разностной схемы, – символ Кронекера для соответствующей границы, g, p – коэффициенты разностного аналога граничных условий (9) Итак, показано, что если в случае третьей краевой задачи для аппроксимации конвективных членов использовать центрально-разностную схему, то получается разностная схема, матрица которой является диссипативной (Теорема 1), а при использовании для аппроксимации конвективных членов противопотоковой схемы получаются М-матрицы (Теорема 2).

В третьем разделе доказаны теоремы устойчивости по начальным данным разностных схем с весами.

Рассматривается двухслойная схема с весами sn1 sn n Lsn1 (1 )Lsn f, s 0 s0 (13) где L – оператор (разностный аналог уравнения конвекции-диффузии с включенными граничными условиями), действующий в вещественном конечномерном пространстве Hh, со скалярным произведением,, а – чи словой параметр.

sn1 sn ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Разностная схема Asn 0, s0 s0 на зывается устойчивой по начальным данным, если для решения этой задачи выполняется оценка sn1 M1 s0, где M1 – положительная константа.

Следуя теории устойчивости, доказаны C ТЕОРЕМА 3. Пусть для оператора L выполнено условие (11). Тогда h разностная схема с весами (13), безусловно устойчива по начальным данным при 0,5 и условно устойчива при 0 0,5 если C 0 2min L h 1 2 Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

ТЕОРЕМА 4. Пусть для оператора LP выполнено условие (12). Тогда разностная схема с весами (13) безусловно устойчива по начальным данным при 1 и условно устойчива при 0 1 в L, если 1 p P P max 0ijk 0ijk ijk 1iN 1 g W,S,B,T,N,E При этом для разностного решения верна априорная оценка n p P k sn1 s0 f ijk .

g k 0 W,S,B,T,N,E P P Здесь ijk – элементы оператора Lh, – символ Кронекера для соответствующей границы, g, p – коэффициенты разностного аналога граничных условий (9).

В конце раздела приводятся оценки решения на основе принципа максимума.

ТЕОРЕМА 5. Для решения нестационарного уравнения конвекциидиффузии, записанного в недивергентной форме, с краевыми условиями третьего рода в случае использования разностей «против потока» при выполнении условий (12) для неявной схемы справедливы оценки:

при условии консервативности вещества ( 0) n fijk a s S0 Ch T f max , CC n bb C C при условии неконсервативности вещества (>0) nn fijk fijk a s S0 Ch max , C ijk C n0 ijk b ijk b C C p P p P n при a ijk, b 1 ijk, где 0ijk – коэф g g W,S,B,T,N,E W,S,B,T,N,E фициент схемы в приграничном узле для соответствующей границы, p, g,r – – коэффициенты разностного аналога граничных условий, – символ Кронекера для соответствующей границы.

В конце главы приводится обзор литературы.

В третьей главе исследуется сходимость двухпараметрических итерационных методов на основе спектрального и энергетического подходов.

В первом разделе приводятся понятия энергетического и спектрального подходов к исследованию итерационных методов.

Во втором разделе излагается теоретическое исследование сходимости двухпараметрических итерационных методов, основанное на обобщении леммы Келлога на случай двух параметров.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений Ax=f (14) рассматривается класс двухпараметрических итерационных методов, записанных в канонической форме, с некоторым начальным вектором хxk1 xk B Axk f, k 0, 1, 2,..., (15) и матрицей перехода G , B1 (B A) где >0, >0 итерационные параметры (параметр входит только в матрицу метода В).

Матрица A представляется в виде разложения 2 A B N (16) , где N и B невырожденные матрицы, действующие в конечномерном гильбертовом пространстве H, B= B N 0,5A – матрица двухпараметрическо го итерационного метода. В этом случае матрица перехода двухпараметрического итерационного метода имеет вид:

G , N 0,5A N 0,5A A , Матрица перехода представляется в виде, удобном для исследования:

G , E 0,5F E 0,5 F, (17) где F F B 0,5A A N1A.

Существуют два подхода к исследованию итерационных методов:

спектральный и энергетический. В первом случае исследуется спектральный радиус матрицы перехода G 1 (критерий сходимости), а во втором – его энергетическая матричная норма G 1(достаточное условие сходимости) ЛЕММА.1. (Спектральный аналог леммы Келлога). Пусть A и E A– невырожденные матрицы, и – действительные числа, причем 0.

Условие 2Re A1 k является необходимым и достаточным для выполнения оценки E A E A (18) 1.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть A и E A – невырожденные матрицы, и – действительные числа 0 и 0. Тогда условие 2min Rek A1 (19) k является необходимым и достаточным для выполнения оценки (18).

Это позволяет доказать следующий критерий сходимости:

ТЕОРЕМА 6. Для сходимости двухпараметрического итерационного метода (15) необходимо и достаточно, выполнение условий 0 2min Rek F k где F F B 0,5A A N1A.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для сходимости однопараметрического итерационного метода (=) необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы F N1A лежал в правой полуплоскости.

В этом же разделе получена формула для нахождения оптимальных параметров двухпараметрического итерационного метода. При оптимизации двухпараметрического итерационного метода исследован квадрат модуля спектрального радиуса, как функции двух переменных и при некоторых предположениях получены формулы для нахождения оптимальных параметров.

Вместе с тем, гораздо проще работать с фиксированным итерационным параметром 0 const 0 и исследовать матрицу перехода как функцию одной переменной на интервале сходимости 0 2min Rek F k ТЕОРЕМА 7. Пусть в итерационном методе (15) 0 const 0 и 0,50 min Rek F1 0 0. Тогда итерационный метод (15) сходится k для 0 0 2min Rek F1 0, и оптимальный параметр находится по k формуле opt 0,50 min Rek F1 k ТЕОРЕМА 8. Пусть спектр матрицы F N1A лежит в правой полуплоскости. Тогда однопараметрический итерационный метод сходится, и оптимальный параметр находится из формулы opt 2 min Rek F1 opt min Rek F opt.

kk СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть спектр матрицы F N1A действителен, лежит в правой полуплоскости. Тогда однопараметрический итерационный метод сходится, и оптимальный параметр находится из формулы opt min F opt max F opt При использовании энергетического подхода для двухпараметрических методов исследуется норма матрицы перехода метода (5) G , E 0,5F E 0,5 F 1, где F N1A, (20) которая должна была меньше единицы. Доказана лемма, которая является некоторым обобщением леммы Келлога и на основе которой получена оценка (20).

ЛЕММА.2. Пусть A и E A – невырожденные операторы, и – действительные числа, причем 0. Тогда условие 2min A1 0, (21) A1 AT где, является достаточным для выполнения оценки A1 0 E A E A 1. (22) ТЕОРЕМА 9. Для сходимости двухпараметрического итерационного метода (15) достаточно выполнение условий:

0 2min F1 , где F N1A.

Формулировки и доказательства теорем оптимизации итерационных параметров в случае использования энергетического подхода эквивалентны соответствующим результатам спектрального подхода.

Третий раздел посвящен треугольным кососимметрическим итерационным методам.

Матрица A называется сильно несимметричной, если в какой-либо – кососимметричная, а A1 A0 A1 A AT норме, где A A AT – симметричная части матрицы А.

К краевым задачам, где в результате аппроксимации могут возникнуть сильно несимметричные матрицы, относятся, в первую очередь, задачи в быстро движущихся средах или задачи, описывающие процессы на быстро движущихся объектах в несжимаемых или сжимаемых средах.

Кососимметрические итерационные методы, разработанные Л.А. Крукиером4, основаны на идеи включения в матрицу метода B итерационной схемы xk1 xk B Axk f, k 0, 1, 2,... (23) треугольных частей KU или KL лишь кососимметрической составляющей A1 A AT матрицы A системы (14), причем таким образом, чтобы кососимметричная составляющая матрицы метода была пропорциональна кососимметрической составляющей матрицы системы B1 A1. При таком Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. ВУЗов. Математика, 1979, №7, стр. 41- подходе в операторе перехода G B1 B A оператор B A B0 A является симметричным. Условия B0 0 позволяют исследовать оператор 1 перехода в виде G B0 2 E P1 1 E P0 B0 2, где 1 1 1 P0 B0 2 A0B0 2 P0* 0, P1 B0 2 A1B0 2 P1* в энергетической норме G G E P1 1 E P0.

BПолучены оценки скорости сходимости треугольных кососимметрических методов (ТКМ) с матрицами метода B BC 2KL или B BC 2KU, где KL, KU – треугольные части кососимметрической составляющей A1, а BC – некоторая диагональная матрица.

Получены оценки скорости сходимости попеременно-треугольных кососимметрических методов (ПТКМ) с оператором метода B BC KL BC BC KU .

Получено достаточное условие сходимости двуциклического треугольного кососимметрического метод (ДТКМ), разработанного автором ранее xn xn BC 2 KL Axn f, xn1 xn BC 2 KU Axn f.

В конце раздела проведено численное исследование рассмотренных методов на двумерной модельной задаче.

В четвертом разделе разработанная теория исследования сходимости двухпараметрических итерационных методов используется для исследования кососимметрических итерационных методов. Практический интерес представляют двухпараметрические треугольные кососимметрические методы (ТКМ(,)) с матрицами метода В() с нижней треугольной формой BL DL KL, DL Diag BL и с верхней треугольной формой BU DU KU, DU Diag BU в (15).

В этом случае для кососимметрических составляющих имеют место соотношения BL 0,5A1 BU , (24) 1 которые обеспечивают симметричность оператора N в разложении (16).

ЛЕММА 3. Для положительной определенности матрицы N B0 0,5A0 достаточно, чтобы элементы диагонали D Diag B матрицы треугольного кососимметрического метода вычислялись по формуле D 0,5 A1 A0 (25) ij ij ij j где числовой параметр >0 достаточно добавить хотя бы в одно из равенств (25).

В случае, когда матрица N симметрична и положительно определена для устойчивости матрицы F N1A будет достаточно диссипативности матрицы A в (14).

ТЕОРЕМА 10. Пусть матрица А в (14) диссипативна. Тогда если диагонали BL или BU вычислялись по формуле (25), то двухпарметриче ский ТКМ(,) сходится для 0 .

СЛЕДСТВИЕ 4. Пусть матрица А в (14) диссипативна. Тогда однопарметрический ( ) ТКМ(,) сходится для любого 0, если диагонали BL или BU вычислялись по формуле (25).

ТЕОРЕМА 11. Для диссипативной матрицы А системы (14) двухпараметрический попеременно-треугольный кососимметрический метод (ПТКМ) xk xk DПТКМ KL DПТКМ DПТКМ KU 1 Axk f, сходится, если для диагональной матрицы DПTKM выполняется неравенство min DПТКМ A0 2 A1 ;

ТЕОРЕМА 12. Для сходимости двухпараметрического двуциклического треугольного кососимметрического метода (ДТКМ) xn xn DTKM KL Axn f, (26) xn1 xn DTKM KU Axn f.

min FL1,min FU достаточно выполнения условий 0 2min .

Практическую значимость имеют беспараметрические итерационные методы.

Пусть в однопараметрическом ТКМ c const 0 и в (25) c const 0, тогда в итерационном методе xk xk D cKL 1 Axk f, D 0,5c A1 A0 c ij ij ij c j константы c const 0 сокращаются.

Возможен еще один вариант построения беспараметрического ТКМ, когда второй сомножитель в матрице перехода (17) G , E 0,5F E 0,5 F равен единичному оператору, то есть при 0.5 const c 0 2c.

ТЕОРЕМА 13. Для диссипативной матрицы А системы (14) беспараметрический ТКМ xk xk DTKM 2KL 1 Axk f 2 сходится, если – диагонали DTKM вычислялись по формуле (25) при 2, 1.

В конце третьего и четвертого разделов приводятся результаты численного тестирования предложенных кососимметрических итерационных методов, которые проводились на двумерной модельной задаче конвекциидиффузии5.

В замкнутой области = [0,1][0,1] рассматривалось стационарное уравнение конвекции-диффузии uS vS 1 2S 2S 1 S S f x, y u v Pe x2 y2 2 x y x y На границе ставились условия 1-го рода. В рассматриваемой области строилась равномерная сетка с одинаковыми шагами по обоим направлениям h (ih, jh); i, j 0,1,..., N, h . Итерационный процесс прекращался, N если rk r0 , = 10-6, где r(k) и r(0) – невязки соответственно на k-ой и 0-ой итерациях. В качестве точного гладкого решения бралась функция s(x, y) exy sinxsiny, обращающаяся в ноль на границе.

Таблица 1. Поля скоростей для четырех вариантов задания поля скоростей задача 1 задача 2 задача 3 задача u x y, u 1, u 2y 1, u sin 2 x, v x y v 1 v 1 2x v 2 y cos 2 x При проведении численного исследования было рассмотрено четыре варианта задания коэффициентов при конвективных членах (Таблица 1).

Наибольший интерес при проведении численных тестов вызывает четвертая задача, так как для нее поле скоростей создает более сложную картину. Чис Elman H.C. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for non-self-adjoint linear systems, BIT, 29(4), 1989, p.890-9ло узлов выбиралось равным N 32. Расчеты проводились при числах Ре=103,104,105.

Таблица 2. Сравнение кососимметрических итерационных методов по числу итераций для единичной диагонали D=E и диагонали D=DТКМ, элементы которой вычислялись по формуле (25) (вторая строка), для различных вариантов итерационных параметров (третья строка) и чисел Ре (первый столбец).

SOR TKM ПТКМ ДТКМ SSOR D(A) E DТКM E DТКM DТКM DТКM DТКM DТКM DТКM D(A) Ре (,) (2,) (2,) (,) (,) (2,2) (2,) (,) (2,) (2,) (,) Задача 1, v=1, u=-103 122 220 122 107 116 128 64 62 103 62 1104 1100 1530 1021 723 822 849 457 453 753 441 8105 10899 11681 7540 5560 6426 6568 3642 3639 5725 3434 65Задача 2, v=1-2x, u=2y-103 185 362 106 129 52 62 51 50 470 34 1104 799 1325 455 424 298 316 289 286 611 195 4105 7936 9727 2467 3162 1918 1984 1846 1842 4733 1132 33Задача 3, u=x-y, v=x+y 103 186 320 129 189 63 68 66 64 118 50 1104 1063 1437 644 566 286 306 285 283 629 221 6105 10357 11586 4988 4571 1659 1682 1674 1671 4733 1476 5023) Задача 4, v=sin2x, u=-2ycos2x 103 362 538 199 128 55 67 44 43 225 42 1104 3009 3962 1101 900 389 439 223 221 1601 197 10105 29620 33750 7927 7098 2718 3058 1492 1489 13714 1159 73Таблица 3. Отношение числа итераций SOR и SSOR к кососимметрическим итерационным методов (КМ) для данных (Таблица 2).

Задача 1 2 3 KM 103 104 105 103 104 105 103 104 105 103 104 1E 2 0,55 0,72 0,93 0,51 0,60 0,82 0,58 0,74 0,89 0,67 0,76 0,D 2 1,00 1,08 1,45 1,75 1,76 3,22 1,44 1,65 2,08 1,82 2,73 3,D 2 1,09 1,12 1,15 0,24 0,72 0,71 0,90 1,00 1,06 0,70 0,66 0,D 2 1,81 1,91 1,91 3,26 2,24 2,97 2,12 2,85 3,40 3,74 5,35 6,E 1,05 1,16 1,18 0,86 1,03 1,06 0,56 1,11 1,10 1,23 1,17 1,D 0,97 1,02 1,02 2,13 1,47 1,75 1,68 2,20 3,03 2,85 2,71 2,D -2, 2 0,88 0,99 1,00 1,79 1,38 1,69 1,56 2,06 2,99 2,34 2,40 2,D 2 1,75 1,84 1,80 2,18 1,51 1,82 1,61 2,21 3,00 3,57 4,73 4,ТКМ сравнивался с SOR, для которого оператор в итерационном методе (15) имеет вид BL D A L, где D A – диагональ матрицы А, а L – нижняя треугольная часть матрицы А. ПТКМ и ДТКМ сравнивались с SSOR SOR ПТ ДТ Т SSOR, который имеет вид (26) с операторами метода BL D A L и BU D A U, соответственно (Таблица 2). Использование диагонали DТКМ, элементы которой вычислялись по формуле (25), позволяет получить ускорение базовых кососимметрических итерационных методов (D=E). Из (Таблица 3) видно, что отношение числа итераций ДТКМD(2,) к SSOR(,) более 6. Практический интерес представляет ПТКМ(2,2), так как этот метод, являясь беспараметрическим, на первой задаче незначительно уступает SSOR(,) с оптимальными параметрами, на следующих задачах с ростом числа Ре преимущество более чем в два раза.

Все расчетные данные получены с помощью программы, позволяющей в диалоговом режиме не только подсчитывать число итераций и время счета, но и визуализировать поведение логарифма невязок (Рис. 3).

Рис. 3. Диалоговое окно программы исследования кососимметрических методов В четвертой главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов.

В качестве исследуемого объекта рассматривался прямолинейный канал трапециевидного поперечного сечения длиной 200 м, шириной 120 м, глубиной 7 м. Подобные каналы построены для подхода судов к портам Таганрогского залива – Таганрог, Ейск, Мариуполь, а также для подхода к реке Дон (Рис. 4).

Предполагалось, что течение во всей расчетной области не меняется вдоль продольной оси канала, а также процесс размывания или оседания грунта вдоль оси происходит одинаково.

Рис. 4. Схема основных судоходных путей в Таганрогском заливе В первом разделе приводятся результаты расчетов течений в Таганрогском заливе при различных ветровых ситуациях.

На (Рис. 5) показана картина течений при действии западных и восточных ветров. Черными отрезками прямых обозначены подходные каналы к порту Таганрог и устью р. Дон.

ветер западного направления ветер восточного направления Рис. 5. Движение воды при действии ветра 10 м/с в течение 10 часов Видно, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон – продольные. Дальнейшие численные исследования размывания дна и переноса взвеси проводились для трех видов течений по отношению к каналу: продольного, поперечного и косого.

Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Влияние струи, созданной гребным винтом корабля, на течение вблизи дна канала показано на (Рис. 6).

на поверхности у дна канала Рис. 6. Влияние струи от гребного винта на поперечное ветровое течение в канале на разных горизонтах Видно смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

Второй раздел посвящен расчету изменения донной поверхности подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе.

Известно6, что основная часть донного грунта в Таганрогском заливе имеет различный гранулометрический состав (Рис. 7). При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания с учетом размеров частиц фракций, а так же рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Заиление канала может происходить как за счет принесения извне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по стенке.

При продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном и косом.

Матишов Г.Г. Сейсмопрофилирование и картирование новейших отложений дна Азовского моря // Вестник Южного научного центра РАН, Т. 3, №3, 2007, с.32-40.

Рис. 7. Карта донных отложений восточной части Таганрогского залива Как было отмечено выше, движение корабля оказывает существенное влияние на процесс заиления канала. Под действием струи воды из-под гребного винта донный осадок в канале сначала размывается, а затем часть его ветровым течением выносится из исследуемой области, часть взвеси оседает на дне канала.

при прохождении корабля при удалении корабля Рис. 8. Распределение взвешенного осадка В момент прохождения корабля наибольшая концентрация наблюдается в районе соприкосновения струи от гребного винта, когда она имеет максимальную скорость, с донной поверхностью канала. При удалении корабля часть взвеси оседает, и концентрация ее начинает падать (Рис. 8).

Рис. 9. Процесс изменения донного профиля при поперечном ветровом течении Рис. 10. Процесс изменения донного профиля при поперечном ветровом течении и наличии корабля На (Рис. 9, Рис. 10) показано изменение донной поверхности судоходного канала в течение 120 суток модельного времени. Действие струи от гребного винта корабля (Рис. 10) существенно меняет картину донной поверхности канала. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта.

Изменение профиля дна канала оказывает влияние на картину течения. На (Рис. 11) показана картина течения в поперечном сечении канала при наличии свалки грунта в начальный момент времени. На (Рис. 12) показана картина течения в том же канале через 120 суток модельного времени после действия ветрового течения и струи от гребного винта корабля. Видно, что свалка грунта к этому времени почти вся размылась, и размытый донный материал осел на дне канала.

Рис. 11. Картина течения в поперечном сечении канала на начало вычислительного эксперимента.

Рис. 12. Картина течения в поперечном сечении канала через 120 суток модельного времени В (Таблица 4) отражено сравнение данных наблюдений5 и результатов расчета.

Таблица 4. Среднегодовая высота осажденного материала в судоходных каналах (м) Мариупольский Таганрогский Ейский Азово-Донской канал канал канал канал Расчетные 0.77 0.81 0.72 0.данные Данные 0.8 0.4-0.5; 1.0 0.45-0.75 0.4-0.наблюдений Проведенные вычислительные эксперименты на построенной математической модели процесса заиления также отражают приведенные выше закономерности перемещения донного материала в акваториях судоходных каналов.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

Работы в изданиях, рекомендованных ВАК 1. Чикина Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, Т. 9, № 2, 1997, с. 20 - 25.

2. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Известия вузов, Математика., 2000. - №11. - с.62-76.

3. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия вузов, Математика, 2001. - №5. - с.36-42.

4. Чикина Л.Г, Чикин А.Л. Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США). // Математическое моделирование. – 2001. – Т.3. – №2. – С.93-98.

5. Чикина Л.Г., Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // Вычислительные технологии. Том 9, № 5, 2004. - с.102-113.

6. Чикина Л.Г., Шабас И.Н. Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции диффузии с граничными условиями третьего рода. // Вычислительные технологии. Том 10, № 6, 2005. - с.102-113.

7. Чикина Л.Г. Двухпараметрические итерационные методы. // Вычислительные технологии. Том 11, № 4, 2006. - с.87-101.

8. Чикина Л.Г. Трехмерная математическая модель переноса вещества в Мобилском заливе. // Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, №3, 2006, с.52-57.

9. Л. Г. Чикина, А. Л. Чикин. Математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе // Математическое моделирование, 2009, том 21, № 2, с 29–10. Л.Г. Чикина, А.Л. Чикин. Моделирование процесса заиления подходных судоходных каналов. // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион. Естественные науки. 2009. Спецвыпуск "Актуальные проблемы математической гидродинамики". С. 216-219.

Коллективная монография 11. Л.А. Крукиер. А.Л. Чикин, Л.Г. Чикина. И.Н. Шабас. Моделирование гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья. Изд-во ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2009, 244 с. (Математическое моделирование и современные информационные технологии. Выпуск 7) Свидетельства об официальной регистрации программ 12. Шабас И.Н., Чикин А.Л., Мерзляков В.А., Белоконь О.А., Чикина Л.Г.

Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2005612496 «Расчет распространения примесей в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEBинтерфейса». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

13. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2005612497 «Расчет гидродинамических параметров в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

Работы в реферируемых журналах и сборниках трудов 14. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.

Applied Numerical Mathematics. N.41, 2002. P.89-105.

15. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method.

Computational methods in applied mathematics. V.3 (2003), N. 4.p. 647-650.

16. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Некоторые вопросы использования противопотоковых разностных схем при инженерных расчетах загрязнения в мелких водоемах. Инженерно-физический журнал. Т. 71, № 2, 1998, с. 3– 352. (Минск, Республика Беларусь) 17. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией итерационными методами. Сборник трудов Междунар. конференции «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике», ИММ, ИПМ УРО РАН, г. Ижевск, 1996, с. 190 - 201.

18. Чикина Л.Г. Исследование сходимости итерационного метода решения сильно несимметричных систем в различных энергетических нормах.

Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 16-12 сентября 1999 г, с. 251-258.

19. Чикина Л.Г. Два подхода к условиям сходимости двухпараметрического треугольного итерационного метода решения несимметрических систем.

Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 17-21 сентября 2001 г, с. 410-413.

20. Чикина Л.Г. Использование отношения Релея для исследования сходимости двухпараметического ТКМ. Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования».

Абрау-Дюрсо, 15-22 сентября 2003г, ЮГИНФО РГУ 2004. с 245-248.

21. Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода. Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 15-сентября 2004г, ЮГИНФО РГУ 2004. с 249-260.

22. Чикина Л.Г., Пичугина О.А., Крукиер Б.Л. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений вариационными методами с переобуславливателями специального вида. Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции. «Параллельные вычисления в задачах математической физики». ЮГИНФО РГУ, 2004. с. 159-170.

23. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Два подхода к исследованию двухпараметрического попеременно-треугольного кососимметричного метода. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 407-419.

24. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический треугольный кососимметрический метод (ДТКМ) и его ускорение. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 420-427.

25. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Трехмерная модель распространения вещества в Мобилском заливе. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005 г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 428-436.

26. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Математическая модель процесса оседания взвеси в водоемах с судоходным каналом. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.313-320.

27. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Беспараметрические методы решения сильно несимметричных СЛАУ. Сборник трудов XII Всероссийской школысеминара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.321-331.

28. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Численное исследование процесса заиления подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе. Труды Южного научного центра РАН. Изд. ЮНЦ РАН, 2009, с. 154-160.

29. Л.Г. Чикина, А.Л. Чикин. Моделирование процесса заиления подходных судоходных каналов. // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион. Естественные науки. 2009. Спецвыпуск "Актуальные проблемы математической гидродинамики". С. 216-219.

Вклад автора в совместные работы: [4, 9,25,26, 28, 29] – постановка проблемы в целом, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [17] – структура ТКМ для одномерной задачи, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [14] – теоремы оценки скорости сходимости, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [2] – теоремы оценки скорости сходимости ТКМ и ПТКМ, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [3] – идея ДТКМ, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов;

[22] – переобуславливание ДТКМ и анализ результатов; [5, 23, 24, 27] – постановка проблемы в целом, исследования на сходимость; [13] – доказана в двухпараметрическом случае лемма Келлога; [12] – исследования на сходимость ТКМ(ВС), лемма Келлога в норме С=С*>0, оптимизация SSTIM2; [11, 15, 16] – теоретическое исследование разностных аналогов составляющих модели; [6, 21] – постановка проблемы в целом, исследования на устойчивость.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.