WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Орлов Виктор Николаевич

Разработка метода математического моделирования  для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками

Специальность:
05.13.18 — математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук

Москва

2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет» и Филиале ГОУ ВПО «Российский  государственный социальный университет» в г. Чебоксары.

Научный консультант:  доктор технических наук, профессор

  РЕДКОЗУБОВ Сергей Алексеевич 

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ГРЕБЕНИКОВ Евгений Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

КУЛИЕВ  Валех Джафарович

доктор физико-математических наук, профессор

ЮДЕНКОВ Алексей Витальевич

Ведущая организация:

  Самарский государственный университет

 

Защита состоится «_______  » ________________ 2011 года в _____  на заседании Диссертационного совета  Д-212.128.02  при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в  библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан «_____» _________________ 2011 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета

к.т. н., доцент Адигамов А.Э.

Общая характеристика работы



Актуальность темы исследования. Решение многих задач из разных областей науки и техники приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям как линейным, так и нелинейным. Если для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно полно разработана теория и созданы как точные, так и приближенные методы решения, то для нелинейных дифференциальных уравнений на данный момент этого утверждать нельзя. Так, в частности, существует категория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешимых в общем случае в квадратурах. Это скалярное и матричное дифференциальные уравнения Риккати, первое и второе неприводимые дифференциальные уравнения Пенлеве, дифференциальные уравнения Абеля первого и второго рода. Более того, перечисленные виды уравнений обладают подвижными особыми точками, которые делают невозможным применение известных аналитических и численных приближенных методов к этим уравнениям в связи с тем, что последние не адаптированы к этому виду особых точек. Поэтому в работах российских и зарубежных авторов  проводятся исследования по решению рассматриваемых уравнений. Но в одном случае метод в работах Еругина Н.П. предполагает сведение нелинейного уравнения к линейному, что возможно лишь для скалярного уравнения Риккати, при этом  требуется знание фундаментальной системы решений получаемого линейного уравнения. В другом случае метод, предлагаемый в работах Фильчакова П.Ф., Фильчаковой В.П.. Озерецковского В.Б., Синявского М.Т., Boutrux M.P., Davis H.T., не имеет строгого доказательства. В третьем случае  работы Яблонского А.И., Громака В.И., Новокшенова В.Ю., Китаева А.В., Немеца В.С.. Sasagava T., посвящены  лишь  частным случаям уравнений и специальным решениям. В четвертом, серия работ Boutrux M.P., Брюно А.Д. и Завгородней Ю.В. посвящена  лишь асимптотическому методу исследования нелинейных уравнений, главным образом в окрестности нулевой и бесконечно удаленной точек.  В пятом, метод, предлагаемый в ряде работ Фильчакова П.Ф. и Фильчаковой В.П., а также Еругина Н.П.,  сужает класс рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений.

Таким образом, предлагаемые методы не носят общего характера. Также следует констатировать отсутствие точных критериев выделения подвижных особых точек и оценок приближенных решений как в области аналитичности, так и некоторой окрестности указанных особых точек.

Учитывая, что существующая разработанная теория не позволяет считать завершенными все проблемы, связанные с решением нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений,  приходим к заключению об актуальности разработки  математического метода, позволяющего проводить исследования в решении нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих подвижными особыми точками. А также получение качественных свойств решений таких классов нелинейных дифференциальных уравнений.

Цель работы -  разработка метода математического моделирования для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками, а также создание проблемно-ориентированных программ для практической реализации получения решения  на вычислительной технике. Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:

1. Доказать  теоремы существования решения нелинейных дифференциальных уравнений  в области аналитичности решения и в окрестности подвижной особой точки (определенного типа).

2. Получить  точные критерии существования подвижных особых точек нелинейных дифференциальных уравнений и построить  алгоритмы  нахождения подвижных особых точек  с заданной точностью.

  3. Обосновать и разработать  новый математический  метод построения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки рассматриваемых уравнений.

4. Исследовать влияние возмущения подвижных особых точек на приближенное решение этих уравнений.

5. Найти точные границы  области применения приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

6. Разработать  комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющих  адаптировать известные численные и аналитические  методы решения дифференциальных уравнений к рассматриваемым нелинейным  дифференциальным уравнениям.

7. Исследовать и реализовать  влияние возмущения начальных данных на приближенное решение рассматриваемых уравнений с применением комплекса проблемно-ориентированных программ и вычислительного эксперимента.

8. Адаптировать метод степенных рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками.

Основная идея работы состоит в разделении области решения нелинейных дифференциальных уравнений на две части - область аналитичности и область подвижных особых точек, и построении последовательности взаимосвязанных аналитических продолжений решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Методы исследований.  Для решения поставленных в работе задач использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, численного и компьютерного моделирования, а также программирования.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются:

  • логической последовательностью и корректностью применения  математических методов (аналитической теории дифференциальных уравнений, математического анализа, вычислительной математики);
  • адекватностью полученных теоретических положений с  результатами численного моделирования и данными экспериментальных исследований, проведённых вычислительных экспериментов;
  • сопоставимостью полученных результатов численного моделирования при проведении экспериментальных расчетов  с точными результатами модельных задач;
  • обоснованностью и строгостью математических выкладок при доказательстве теоретических положений;
  • преемственностью методов и положений известного математического аппарата используемого при получении теоретических результатов.

Новизна научных положений заключается в:

  • Применении впервые метода мажорант к решению нелинейных дифференциальных уравнений при доказательстве теорем существования,  как в области аналитичности, так и некоторой окрестности подвижной особой точки. Этот подход позволяет в дальнейшем решить поставленные выше задачи.
  • Предложен  новый, основанный на применении точных критериев, подход к выделению подвижных особых точек для классов нелинейных дифференциальных уравнений.
  • Построены математические модели решений рассматриваемых уравнений, позволяющие решать как прямую, так и обратную задачи теории погрешности.
  • Впервые проведено исследование влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение указанных выше уравнений.
  • Получены точные границы области применения математической модели решения в окрестности приближенных значений подвижной особой точки.
  • Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.
  • Получена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных  данных задачи Коши.
  • Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

Научная значимость работы заключается в разработке метода математического моделирования  решений нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимых в квадратурах. Полученные теоретические результаты являются значимым вкладом в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методов их решений и  приложений.

Практическая значимость работы заключается в создании комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения численных расчетов. Разработанные алгоритмы и программы позволяют получить качественные характеристики решений этих уравнений, а также позволяют адаптировать существующие методы приближенного решения дифференциальных уравнений к определенному типу подвижных особых точек.

Личный вклад диссертанта. На всех этапах выполненных исследований личный вклад автора диссертации в теоретическую и расчетную части работы был определяющим.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: Всесоюзной научно-тех­ни­че­ской конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях» (Киев, 1988); 8 Международной конференции DIFIN-2000 (Одесса, 2000); 8 Международной  математической  конференции  (Минск, 2000); XX  Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-20 (Ярославль, 2007); Международной междисциплинарной научной конференции «Первое исконно русское слово — в начале нашего машиноведения» (Чебоксары, 2008); XXIII Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения XX»; «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2009). А также на семинарах ведущих вузов России: МГГУ, Самарского ГУ, Тульского ГУ, РГСУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в  журналах, рекомендуемых Высшей Аттестационной Комиссией для докторских диссертаций: «Дифференциальные уравнения», «Вестник Самарского ГУ», «Известия Тульского ГУ», «Вестник КГТУ», «Научно-технические ведомости СПбГПУ», «Вестник МАИ», «Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана», «Вестник Воронежского ГТУ», «Известия института инженерной физики», Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева в количестве 12 статей; зарубежных изданиях: трудах IM НАН Украины, «Вестник БГУ» (Минск), а также  других изданиях, всего в 42 работах, в том числе получены два авторских права на  алгоритмы и программы.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы из 268 наименований и 6 приложений; содержит 5 рисунков и 20 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы и основные новые результаты, полученные в диссертации.

В первой главе дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов, методов решения и исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками. Дана классификация и краткая характеристика,  на данный момент, теорем существования и их особенностей. По перечисленным недостаткам отмечены вопросы, исследованию которых посвящена данная работа.

Так, дано доказательство теорем существования решения рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижных особых точек, конструктивность которых, в отличие от существующих, позволяет решать поставленные задачи. В частности, для коэффициентов решения

        ,         (1)

канонического уравнения Риккати

        (2)

в области получены оценки

      ,  ,

где

,  ,  ,

 — радиус голоморфности (теорема 1.3.1). Этот результат обобщен на нестационарное матричное дифференциальное уравнение Риккати

  (3)

для матриц решения (1) которого, в области , в случае поэлементной сходимости, и в области для сходимости по норме, справедлива оценка

.

При этом

, ,

,

,  ,

 — область голоморфности матриц и (теорема 1.3.2).

Для первого неприводимого уравнения Пенлеве

                 (4)

коэффициенты решения (1), , в области

,

имеют оценки

,

где  — параметр, зависящий от начального условия (теорема 1.3.3).

В случае второго неприводимого уравнения Пенлеве

        (5)

коэффициенты решения (1), ,  в области

удовлетворяют соотношению

,

где ,  — параметр, зависящий от начального условия (теорема 1.3.4).

И для уравнения Абеля в нормальной форме

      (6)

коэффициенты решения

,  ,  ,

в области имеют оценки

, ,

,

где

        , ,

      , ,

 — радиус голоморфности .

Теоремы Пикара и Коши о голоморфности решения дифференциального уравнения не позволяют решить поставленные выше задачи. В частности, они не позволяют провести исследование зависимости приближенного решения рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных, возникающего при осуществлении аналитического продолжения. В связи с этим доказаны теоремы существования решений для рассматриваемых нелинейных уравнений в области голоморфности. Метод мажорант, примененный к решениям рассматриваемых уравнений при доказательстве этих теорем, позволяет в дальнейшем решить поставленные задачи. При этом теоремы дают и аналитические выражения для радиуса голоморфности решений.

Так, для уравнения Риккати (1) с начальным условием радиус голоморфности определяется соотношением

,

где

,  n = 0, 1, …,

 — радиус голоморфности . При этом для коэффициентов решения

задачи Коши для уравнения (1), в области , справедлива оценка (теорема 1.4.1)

.

Для области голоморфности решения

                (7)

матричного дифференциального уравнения Риккати (3), удовлетворяющего начальному условию (теорема 1.4.2), получена формула

,

где

,

I, j = 1, 2, … , m,  m = 1, 2, … ,

и имеют место оценки для коэффициентов

,

где

.

В случае сходимости ряда (7) по норме, радиус голоморфности определяется формулой

,

где

, n = 0, 1, 2, … .

Решение задачи Коши для первого уравнения Пенлеве является аналитической функцией (теорема 1.4.3)

в области

,

где , , ,  — начальные условия, а для коэффициентов имеют место оценки

.

Как следует из теоремы 1.4.4, область аналитичности решения второго уравнения Пенлеве определяется соотношением

,

где , , ,  — начальные условия, а для коэффициентов соответствующего ряда справедливы оценки

.

В случае уравнения Абеля (6) его решение является аналитической функцией (теорема 1.4.5)

в области , где

, ,

 — начальное условие. Для коэффициентов справедлива оценка

.

Во второй главе установлены точные критерии существования подвижных особых точек, на основании которых составлены алгоритмы получения этих точек с заданной точностью. Для этого вводятся определения правильной и неправильной линий.

Определение 1. Линию в некоторой области комплексной плоскости назовем правильной, если для координат точек этой линии существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 2. Линию в некоторой области комплексной плоскости назовем неправильной в направлении оси Ox (Oy), если на этой линии существует, по крайней мере, две точки, имеющие одинаковые вторые (первые) координаты.

Определение 3. Неправильную линию в направлении осей Ox и Oy  назовем просто неправильной линией.

Наряду с задачей Коши для уравнения Риккати рассматривается задача Коши для инверсного уравнения

  ,  . (8)

Представляя решение  задачи (8) в виде

и рассматривая фазовые пространства

,  ,





с учетом вводимого понятия правильной линии доказывается теорема.

Теорема 2.1.3. Для того, чтобы являлась подвижной особой точкой решения уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности () фазовых пространств и функции и являлись непрерывными относительно своих аргументов и одновременно меняли знаки при переходе через точку , двигаясь вдоль некоторой правильной линии ().

Наиболее эффективным, с точки зрения оптимальности вычислительного процесса, является следующий критерий существования подвижной особой точки решения задачи Коши  для дифференциального уравнения Риккати (2).

Теорема 2.1.4. Для того, чтобы  была подвижной особой точкой решения задачи Коши  для дифференциального уравнения Риккати (2), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области () фазовых пространств и функции и являлись непрерывными относительно своих аргументов и  меняли знаки при переходе через точку , двигаясь последовательно вдоль некоторых линий и   неправильных в направлении оси OX и OY соответственно (,  , , ).

Для вещественной области доказана теорема:

Теорема 2.1.10. Пусть  — решение задачи (2), удовлетворяющееся начальному условию . Тогда для того, чтобы была подвижной особой точкой , необходимо и достаточно, чтобы существовал сегмент , , на котором  — решение задачи Коши для инверсного уравнения (8) — было бы непрерывной функцией и такой, что , .

Данные теоремы обобщены на матричное дифференциальное уравнение Риккати (3).

В случае первого неприводимого уравнения Пенлеве, рассматривается задача Коши

           (9)

  ,  , (10)

полученная  из задачи Коши для уравнения (4) с помощью инверсии

.

Доказана теорема.

Теорема 2.2.2. Для того, чтобы была подвижной особой точкой решения задачи Коши для уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы для регулярного в окрестности точки решения инверсной задачи (9)–(10) выполнялись условия , , .

Более эффективной для вычислительного процесса будет следующая теорема. Для этого представим функцию

,

рассмотрим фазовые пространства

и введем обозначения:  — достаточно малая окрестность точки ; , — некоторые непрерывные правильные линии и  некоторые непрерывные неправильные линии:- вдоль оси OY, - вдоль оси OX , проходящие через точку соответственно в фазовых пространствах и (, );  — некоторая непрерывная замкнутая линия, охватывающая точку ().

Теорема 2.2.3. Для того, чтобы была подвижной особой точкой решения уравнения  (4), необходимо и достаточно, чтобы в фазовых пространствах и существовали непрерывные линии, соответственно правильные , и неправильные: - вдоль OY, - вдоль соси OX, проходящие через точку , а функции и являлись непрерывными относительно своих аргументов и при движении вдоль линии меняли знаки в точках пересечения линии с и в фазовом пространстве и с и в фазовом пространстве .

Для вещественной области доказана следующая  теорема.

Теорема 2.2.7. Для того, чтобы была подвижной особой точкой задачи Коши для уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы существовал сегмент , , на котором  — решение задачи (9)–(10) — вляялось непрерывной функцией, , , .

Применяем для второго неприводимого уравнения Пенлеве изложенную выше идею. Представляем решение инверсного уравнения

в виде

,

и, рассматривая фазовые пространства

,  ,

доказывается теорема.

Теорема 2.3.2. Для того, чтобы была подвижной особой точкой решения второго уравнения Пенлеве (5), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области () фазовых пространств и функции и были непрерывными относительно своих аргументов и одновременно меняли знаки при переходе через точку , двигаясь вдоль некоторой правильной линии ().

Так как характер подвижной особой точки  решения второго уравнения Пенлеве совпадает с характером подвижной особой точки решения уравнения Риккати, то и в этом случае эффективней, с точки зрения оптимальности вычислительного процесса, является следующий критерий.

Теорема 2.3.3. Для того, чтобы была подвижной особой точкой решения задачи Коши  второго уравнения Пенлеве, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области () фазовых пространств и функции и являлись непрерывными относительно своих аргументов и меняли знаки при переходе через точку , двигаясь последовательно вдоль некоторых линий и   неправильных в направлении оси OX и OY соответственно (,  , , ).

Для  случая вещественной области доказана теорема.

Теорема 2.3.6. Пусть — решение задачи Коши для уравнения (5). Для того, чтобы была подвижной особой точкой , необходимо и достаточно, чтобы существовал сегмент  , , на котором — решение задачи (9)–(10) — была бы непрерывной функцией и .

Необычнее ситуация с уравнением Абеля, так как здесь меняется характер подвижной особой точки — критический полюс.

Рассматривается задача Коши к инверсному уравнению

, (11)

  .  (12)

Точный критерий существования подвижной особой точки для уравнения Абеля (6) устанавливается с помощью следующей теоремы.

Теорема 2.4.2. Для того, чтобы была подвижной особой точкой решения задачи Коши для уравнения Абеля (6), необходимо и достаточно, чтобы функция, обратная к решению инверсной задачи Коши (11)–(12) , была:

1) голоморфной в некоторой окрестности точки ;

2) выполнялись соотношения , , .

Для вещественной области более эффективным является

Следствие (теоремы 2.4.2). В случае вещественной области функция при переходе через точку меняет знак. При этом  — подвижная особая точка решения задачи Коши для уравнения Абеля (6).

На основе полученных точных критериев существования подвижных особых точек, а также ряда теорем, отражающих свойства решений исходных и инверсных к ним уравнений, позволяющих оптимизировать вычислительный процесс, построены алгоритмы 1–7 нахождения подвижной особой точки с заданной точностью. С помощью этих алгоритмов было проведено исследование зависимости подвижной особой точки от начальных условий и параметров для первого и второго уравнений Пенлеве. Расчеты представлены ниже в табл. 1 и 2 соответственно.

  Таблица 1

Зависимость подвижной особой точки первого уравнения Пенлеве от начальных условий задачи Коши.

1

0

0,5

0,5

1,651

1,25

0

0,5

0

1,729

1,25

0

0,5

0,5

1,635

1,25

0

1

0

1,219

1,25

0

1

0,5

1,106

1,25

0

1

1

1,058

1,75

0

1

0

1,223

1,75

0

1

0,5

1,103

1,75

0

1,5

0,5

0,792

1,75

0

1,5

1

0,724

Таблица 2

Зависимость подвижной особой точки второго уравнения Пенлеве от начальных условий задачи Коши.

1

2

3

4

5

6

0

0

0,9

0

1,408

3,968

0

0

1

0

1,260

3,715

0

0

1

0,5

1,0875

3,687

0

0

1

1

0,966

3,525

0,75

0

1

0

1,176

3,886

0,75

0

1

0,5

1,041

3,770

0,75

0

1

1

0,935

3,686

4,25

0

1

0

0,963

2,569

4,25

0

1

0,5

0,899

2,461

4,25

0

1

1

0,834

2,362

5,7

09

0,5

0

1,174

2,533

5,7

0

0,5

0,5

1,147

2,502

5,7

0

1

0

0,910

2,236

5,7

0

1

0,5

0,861

2,182

5,7

0

1

1

0,806

2,121

5,7

0

1,5

1

0,498

1,779

5,7

0

1,5

1,5

0,448

1,724

В главе 3 на основе результатов главы 1, теорем существования решения в окрестности подвижных особых точек, построены аналитические приближенные решения рассматриваемых уравнений. Так, для приближенного решения уравнения Риккати (2) (теорема 3.1.1)

, ,

в области имеет место оценка

при и

в случае , где и  — из теоремы 1.3.1,

Для  приближенного  решения  матричного  уравнения  Риккати  (3)  (теоре-

ма 3.2.1)

,

в области , справедлива оценка погрешности

,

где ,  — из теоремы 1.3.2. В случае применения в оценках норм матриц получаем (замечание 1 теоремы 3.2.1)

в области , где  ,  — из замечания 1 теоремы 1.3.2.

В случае первого уравнения Пенлеве приближенное решение (теоре-

ма 3.3.1)

      ,  (13)

в области

,

имеет оценку

,

а приближенное решение второго уравнения Пенлеве (теорема 3.4.1)

        ,  (14)

в области

,

имеет оценку погрешности

,

где  — из теоремы 1.3.4.

И, наконец, приближенное решение уравнения Абеля (6) (теорема 3.5.1)

      ,  (15)

в области , имеет оценку погрешности , где

в случае ,

для и

в случае , где ,  — из теоремы 1.3.5.

В четвертой главе проведено исследование влияния возмущения значений подвижной особой точки на приближенное решение. Как показывает приведенный обзор литературы, существующие методы позволяют получить подвижные особые точки лишь приближенно. Это влечет за собой изменение приближенного решения, о чем в литературе на данный момент ничего не говорится.

Так, в случае уравнения Риккати  (2) для приближенного решения (теорема 4.1.1)

, (16)

где ,  — приближенные значения, в области

,

справедлива оценка погрешности

,

где

, ,

,

для и

, ,

в случае , где

, ,

,   — из теоремы 1.3.1,

, , 1, 2, … ,

,        (17)

        ,  (18)

Задача Коши для уравнения Риккати (2):

,  .

Точное решение ; — точное значение подвижной особой точки; — приближенное значение подвижной особой точки; , , . Расчеты приведены в табл. 3.

Таблица 3

Оценка приближенного решения уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в комплексной области.

z1

3,2327333

3,2326557

Здесь  — приближенное решение (16);  — точное решение;  — оценка погрешности, полученная по теореме 4.1.1;  — истинная величина погрешности.

Вариант вещественной области:

,  .

Точное решение

;

 — подвижная особая точка; ; . Расчеты ниже в табл. 4.

Таблица 4

Оценка приближенного решения уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

x

y

–1,36

10,02704

10,02954

0,00725

0,0025

Здесь  — приближенное решение (16); y — точное решение;  — оценка погрешности приближенного решения , полученная по теореме 4.1.1;  — истинная величина погрешности.

Получена оценка погрешности приближенного решения матричного уравнения Риккати (3) (теорема 4.2.1)

в области

        (19)

и

  ,         (20)

,

где

,

,

       , ,

, ,

,  , 1, 2, … ,

,

Теорема 4.3.1 дает оценку приближенного решения

первого уравнения Пенлеве

в области

(21)

и

,        (22)

где

, ,

,

,

при этом

,  ,

Получена оценка приближенного решения

,  ,

второго уравнения Пенлеве в области

      (23)

и

        ,        (24)

,

где

, ,

, ,

  ,

,  ,

 — параметр, зависящий от начального условия задачи Коши для второго уравнения Пенлеве (теорема 4.4.1).

Аналогичным образом  (теорема 4.5.1) для приближенного решения

,  ,

дифференциального уравнения Абеля (6) в области

      (25)

и

        (26)

получена оценка погрешности

        ,

где

,

,

,

в случае ,

для и в случае

,

из области аналитичности ,

,  ,  , 1, 2, … .

,

       

Результаты проиллюстрированы на следующих расчетах.

1. Задача Коши для уравнения Абеля (6):

,  ;

точное решение

;

 — точное значение подвижной особой точки (критический полюс);  — приближенное значение подвижной особой точки; ; попадает в область действия теоремы 4.5.1. Значение  точного решения

;

значение приближенного решения

;

 

Абсолютная величина погрешности равна . Величина погрешности по теореме 4.5.1 .

В случае вещественной области

, .

Точное решение

;

точное значение подвижной особой точки , приближенное значение , , , , .

Таблица 5

Оценка приближенного решения уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

x

1,4

2,236

2,367

0,121

0,210

0,089

1,45

3,162

3,535

0,37

0,455

0,085

Исследования четвертой главы существенно уменьшили область применения приближенных решений рассматриваемых дифференциальных уравнений. Исследования пятой главы за счет конструктивности метода получения оценок позволили расширить область применения приближенных решений. Следует отметить, что результаты четвертой и пятой глав дополняют друг друга, они имеют как общие области, так и не совпадающие. Итогом чего являются точные границы областей существования приближенных решений в окрестности подвижной особой точки.

В частности, для скалярного дифференциального уравнения Риккати (2) доказана теорема 5.1.1, что в области для приближенного решения (16) справедлива оценка

,

где

, ;

, ,

       ,  ,  — из теоремы 1.3.1, 

для , и

в случае ,

,

,

при этом

,  ,

,  , 1, 2, … ,

Проведены  расчета для следующих данных:

,  .

Точное решение ;  — точное значение подвижной особой точки;  — приближенное значение подвижной особой точки, , , . Значение попадает в область действия теоремы 4.1.1 и теоремы 5.1.1. Результаты расчетов ниже в табл. 6.

Таблица 6

Сравнение  оценок  приближенного решения  уравнения  Риккати по  теоремам  4.1.1 и 5.1.1 в комплексной области.

z1

Как показывают приведенные расчеты, наблюдаем хорошую согласованность результатов.

В случае вещественной области

; ;

 — точное значение подвижной особой точки. Точное решение

.

— приближенное значение подвижной особой точки; ; . Значение подпадает под действие теорем 4.1.1 и 5.1.1. Результаты расчетов представлены ниже в табл. 7.

Таблица 7

Сравнение  оценок  приближенного решения  уравнения  Риккати по  теоремам  4.1.1 и 5.1.1 в вещественной области.

x

y

10,02704

10,02954

0,00725

0,00724

0,00250

Здесь  — точное решение;  — приближенное решение (16);  — оценка погрешности , полученная по теореме 4.1.1;  — оценка погрешности , полученная по теореме 5.1.1;  — истинная величина погрешности. И в вещественной области наблюдаем адекватность результатов.

Этот результат распространен на матричное дифференциальное уравнение Риккати (теорема 5.2.1), на основании которого для приближенного решения

,

в области , справедлива оценка погрешности

,

где

,

,

,

,  ,

,  ,

,

,  ,

,  ,

и  — из теоремы 4.1.1.

Проведены расчеты для варианта: , , , , , . Результаты расчётов представлены  в таблице 8, где — приближенное решение (4.2.1);  — точное значение решения;  — оценка погрешности , полученная по теореме 4.2.1;  — оценка погрешности , полученная по теореме 5.2.1;  — истинная величина погрешности .

Таблица 8

Сравнение  оценок  приближенного решения матричного уравнения  Риккати по  теоремам  4.2.1 и 5.2.1 в вещественной области.

–1,004

–251,06650

–251,009980

0,064591

0,064616

0,056520

Расчеты иллюстрируют согласованность результатов.

Применяя идею к первому уравнению Пенлеве (теорема 5.3.1), для приближенного решения (13) в области

получаем оценку

,

где

;  ;

;

,

, ,

,  ,  .

В таблице 9 представлены расчеты в случае вещественной области для следующих исходных данных:

;  ;  ;

;  ;  .

Таблица 9

Оценка  приближенного решения первого уравнения  Пенлеве в окрестности приближенного значения подвижной особой точки, в вещественной области.

2,4

1239,6179078

1239,6179098

0,0006689

0,0006628

Здесь  — приближенное решение (13);  — приближенное решение, полученное в работе [129] диссертации;  — оценка погрешности , полученная по теореме 4.3.1;  — оценка погрешности , полученная по теореме 5.3.1.

Приводится алгоритм решения обратной задачи теории погрешности. Так, в этом случае для получено .

В таблице 10 представлены расчеты для сингулярной краевой задачи первого уравнения Пенлеве с исходными данными:

       ,  ,  ,  .

Таблица 10

Оценка приближенного решения сингулярной краевой задачи для первого уравнения Пенлеве.

2,4

1239,6178000

1239,6179098

0,0009735

Здесь  — приближенное решение (13);  — приближенное решение, полученное в работе [129] диссертации;  — оценка погрешности , полученная по теореме 4.3.1.

Аналогичным образом  для приближенного решения (14) второго уравнения Пенлеве (теорема 5.4.1), в области

,

получена  оценка

,

где

;  ;

;

;

, ,

,  ,  ,

, М22,  — из теоремы 4.4.1.

Данная идея проходит и в случае уравнения Абеля (теорема 5.5.1), для приближенного решения которого, в области , справедлива оценка

,

где

в случае ,

       

для и

в случае , и  — из теоремы 4.5.1,

,

;

, ,

;

,  ,  .

Проведены расчеты для , ; точное решение уравнения (6) ;  — точное значение подвижной особой точки; — приближенное значение подвижной особой точки;

       ;  .

подпадает под действие теоремы 4.5.1 и 5.5.1. Результаты расчета представлены в таблице 11, где  — значение точного решения;  — значение приближенного решения;  — абсолютная величина погрешности;  — величина погрешности, полученная по теореме 4.5.1;  — величина погрешности, полученная по теореме 5.5.1.

Таблица 11

Сравнение  оценок  приближенного решения для второго уравнения  Пенлеве в окрестности приближенного значения подвижной особой точки по  теоремам  4.5.1 и 5.5.1 в комплексной области.

Шестая глава посвящена исследованию влияния возмущения начальных данных на приближенное решение в области аналитичности. Эта задача возникает при осуществлении аналитического продолжения решений рассматриваемых уравнений. В этом случае приходится иметь дело с приближенным решением

      , (27)

где  — приближенные значения.

Конструктивность доказанных в главе 1 теорем существования решений в области аналитичности позволяют решить поставленную выше задачу.

Теорема 6.1.2 позволяет получить оценку приближенного решения (27) для скалярного уравнения Риккати (2) в области :

,

где

,   — из теоремы 1.4.1,

, .

Этот результат теорема 6.2.2 позволяет обобщить на матричное дифференциальное уравнение Риккати в области , справедлива оценка погрешности приближенного решения (27)

,

где

,

       

  ,

       

  ,   — теорема 1.4.2,

       

,

.

Результаты теоремы 6.2.2 представлены в расчетах (табл. 12):

       

,  ,  ,

       

, ,  .

Таблица 12

Оценка приближенного решения матричного уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

0,025

Здесь  — приближенное решение (27);  — точное решение;  — оценка погрешности , полученная по теореме 6.2.2;  — истинная величина погрешности .

Теорема 6.3.2 решает задачу исследования влияния возмущения начальных данных на приближенное решение первого уравнения Пенлеве в области

: ,

где

,

,

, .

А теорема 6.4.2 позволяет исследовать влияние возмущения начальных данных на приближенное решение (27) второго уравнения Пенлеве (5) в области

:

,

где

,  .

И теорема 6.5.2 позволяет выполнить эти исследования  для приближенного решения (27) уравнения Абеля, в области

,

оценкой погрешности

+,

где         , .

Для иллюстрации результатов в диссертации представлены расчеты задачи Коши для уравнения Абеля (6) при , . Осуществлено 16 аналитических продолжений на интервале . Используя априорные и апостериорные оценки погрешности приближенного решения получена вариация точности приближенного решения с на первом шаге до на 16 этапе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  В диссертации, представляющей собой научно-квалификационную работу, на  основе выполненных автором  исследований при решении нелинейных дифференциальных уравнений,  в общем случае не разрешимых в квадратурах и имеющих подвижные особые точки, разработаны теоретические положения, которые можно классифицировать как значительное научное достижение в области разработки метода математического моделирования и развития качественных и приближенных аналитических и численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Основные результаты диссертации,  полученные лично автором,  заключаются в следующем:

  1. Дано доказательство теорем существования решений рассматриваемых уравнений в окрестности подвижной особой точки, основанное на методе мажорант к решениям уравнений, которое, в отличие от существующих, позволяет в дальнейшем построить приближенное решение в области подвижных особых точек.
  2. Доказаны теоремы существования решений нелинейных уравнений в области аналитичности, позволяющие, в отличие от существующих, построить в даль-нейшем приближенное решение в области аналитичности.
  3. Получены аналитические выражения для вычисления области аналитичности решений задач Коши перечисленных выше нелинейных дифференциальных уравнений.
  4. Доказаны необходимые, необходимые и достаточные условия существования подвижных особых точек решений рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений на конечном промежутке.
  5. Построены алгоритмы и разработаны проблемно-ориентированные  программы нахождения подвижных особых точек решений задач Коши для  упомянутых ранее нелинейных дифференциальных уравнений.
  6. Решены прямая и обратная задачи теории погрешности для приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижной особой точки.
  7. Установлена зависимость влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в области подвижной особой точки.
  8. Получены точные границы областей применения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности  приближенных значений подвижных особых точек.
  9. Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.
  10. Установлена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных  данных задачи Коши.
  11. Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным дифференциальным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

Основные положения и научные результаты опубликованы в следующих работах

В изданиях,  рекомендуемых ВАК Минобрнауки России:

1. Орлов В.Н. Исследование при­ближенного решения второго уравнения Пенлеве  / В.Н. Орлов, Н.А. Лукашевич // Дифференц. уравне­ния. — Т. 25, № 10. — 1989. — С. 1829–1832.

  2.Орлов В.Н. Критерии существо­вания подвижных особых точек реше­ний дифференциаль­ных уравнений Риккати  / В.Н. Орлов // Вестник Самарского ГУ. Естеств. научная серия. — 2006. — № 6/1(46). — С. 64–69.

3. Орлов В.Н. Критерии существо­вания подвижных особых точек реше­ний второго уравне­ния Пенлеве  / В.Н. Орлов // Известия Тул. ГУ. Се­р. Дифф. уравнения и прикладные задачи. — Вып. 1. — Тула: Изд-во Тул. ГУ, 2006. — С. 26–29.

4. Орлов В.Н. О приближенном ре­шении первого урав­нения Пенлеве  /  В.Н. Орлов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. — 2008. — № 2. — С. 42–46.

5. Орлов В.Н. Метод приближенно­го решения диффе­ренциального уравне­ния Риккати  / В.Н. Орлов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. — Санкт-Петербург, 2008. — № 4. — С. 102–108.

6. Орлов В.Н. Об одном методе при­ближенного решения матричных диффе­ренциальных уравне­ний Риккати  / В.Н. Орлов //Вестник  МАИ. — Мо­сква, 2008. Т.15.№ 5.– С.128-135.

7. Орлов В.Н. Исследование прибли­женного решения дифференциального уравнения Абеля в ок­рестности подвижной особой точки  / В.Н. Орлов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. — № 4(35). — 2009.– С.23-32

8. Орлов В.Н.  Точные границы области применения приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки  / В.Н. Орлов//  Вестник Воронежского государственного технического университета.–2009.-Т. 5, № 10.– С.192-195.

  9. Редкозубов С.А. Точные критерии существования подвижной  особой точки дифференциального уравнения Абеля /С.А. Редкозубов, В.Н. Орлов//Известия института инженерной физики.-2009.-№ 4(14).-С.12-14.

10.Орлов В.Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов //Известия института инженерной физики.-2010.- №3(17).-С.2-3.

11.Орлов В.Н. Точные границы для приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в комплексной области /В.Н. Орлов// Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния.-2010.-№2(8). С. 399-405.

12.Орлов В.Н. Об одном точном критерии существования подвижной особой точки решения второго уравнения Пенлеве  /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов // Известия института инженерной физики.-2010.- №4(18).-С.21-23.

  В зарубежных изданиях:

13.Орлов В.Н.  Об одном конструктив­ном методе  построе­ния  первой и  второй  мероморфных  транс­цендентных  Пенлеве  / В.Н. Орлов, В.П. Филь­ча­ко­ва  // Симетрiйнi  та  аналiтичнi  методи  в  математичнiй  фiзицi. — Т. 19. — IM  НАН  Украiни, Киев. — 1998. — С. 155–165.

14.Орлов В.Н. Построение прибли­женного решения в окрестности подвижной особой точки для второго уравнения Пенлеве  / В..Н. Орлов, Н.А. Лу­ка­шевич, А.А. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1 Физика, математи­ка, информатика. — Минск, 2002. — С. 79–85.

В других публикациях:

  1. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. I / Ю.К. Куз­не­цов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 17–24.
  2. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. II / Ю.К. Куз­не­цов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 25–28.
  3. Орлов В.Н. Определение подвижной особой точки решения уравне­ния Риккати на конечном отрезке / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1982. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.06.82, № 2705-82 Деп.
  4. Орлов В.Н. Оценка погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1982. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.07.82, № 3509-82 Деп.
  5. Орлов В.Н. Расширение области применения оценки погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвиж­ной особой точки / В.Н. Орлов // Некоторые вопросы качественной теории диффе­ренциальных уравнений и теории управления движением. — Саранск, 1983. — С. 106–112.
  6. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки типа полюса для нестационарного матричного уравнения Риккати  / В.Н. Орлов; Чуваш. гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.08,83, № 4639-83 Деп.
  7. Орлов В.Н. Оценка области голоморфности решения нестационарно­го матричного уравнения Риккати  / В.Н. Орлов; Чуваш. гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.06.83, № 4640-83 Деп.
  8. Орлов В.Н. Построение аналитического приближенного решения первого уравнения Пенлеве в окрестности подвижной особой точки  / В.Н. Ор­лов // Вычислительная математика и программирование. — М., 1983. — С. 84–88.
  9. Орлов В.Н. Расширение области применения прибли­женного решения не­стационарного мат­ричного уравнения Риккати в окрестности приближенного зна­чения подвижной осо­бой точки  / В.Н. Орлов, В.П. Федотов // Методы теории диф. урав. и их приложе­ния. — Саранск, 1987. —8 с. — Деп. ВИНИТИ, № 4892-В88.
  10. Орлов В.Н. О приближенном ре­шении уравнения Абеля / В.Н.Орлов, Н.А. Лукашевич //Тез. Всесоюз. науч.-техн. конференц. «Применение выч. техн. и мат. методов в науч. и экономиче­ских исследованиях. — Киев, 13–16 сентябрь, 1988.
  11. Орлов В.Н. Адаптация метода сте­пенных рядов в при­ближенном решении нелинейных диффе­ренциальных уравнений к особым точкам  / В.Н. Орлов, Ю.К. Кузнецов //        Дифференц. и инте­гральные уравнения. — Горьк. ГУ, 1987. — С. 37–41.
  12. Орлов В.Н. Исследование при­ближенного решения с подвижными полю­сами нелинейных обыкновенных диф­ференциальных урав­нений : автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук  / В.Н. Орлов // Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 18 с.
  13. Орлов В.Н. Исследование при­ближенного решения с подвижными полю­сами нелинейных обыкновенных диф­ференциальных урав­нений : дис. … канд. физ.-мат. наук  / В.Н. Орлов. — Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 142 с.
  14. Орлов В.Н. Уравнения Абеля и степенные ряды  / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конф. — Чебоксары: ЧГУ, 1990.
  15. Орлов В.Н. Влияние возмущений начальных данных на приближенное реше­ние некоторых нели­нейных обыкновен­ных дифференциальных  уравнений  / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конферен­ции. — Чебоксары: ЧГУ, 1997.
  16. Орлов В.Н. Оценка приближенно­го решения Р2 в окре­стности приближен­ного значения под­вижной особой точки  / В.Н. Орлов // Тезисы докладов 8 Меж­дународной математической  конференции, Минск, 19–24 июня 2000 г.
  17. Орлов В.Н. Оценка приближенно­го решения Р1 в окре­стности приближен­ного значения под­вижной особой точки  / В.Н. Орлов // Тезисы докладов 8 Меж­дународной конференции ДIFIN-2000. — Одесса, Украина, 12–14сент. 2000.
  18. Орлов В.Н. Построение прибли­женного решения в окрестности подвижной особой точки для уравнения Р1  / В.Н. Орлов // Известия НАНИ ЧР. — № 4. — 2000. — С. 43–49.
  19. Орлов В.Н. Исследование  при­ближенного  решения  в  окрестности  подвижной  особой  точки  для дифференциаль­ных  уравнений Риккати  / В.Н. Ор-лов // Известия ИТА ЧР. — № 4. — 2001. — С. 182–188.
  20. Орлов В.Н. Некоторые критерии существования под­вижных особых точек решений первого уравнения Пенлеве  / Науч.-практ. конф. «Стратегия развития филиала до 2012 го­да: совершенствова­ние подготовки специалистов, менеджмент и инновации». — Чебокса­ры: СПбГИЭУ, 2007. — С. 68–69.
  21. Орлов В.Н. Об одном приближен­ном методе решения уравнений Абеля / В.Н. Орлов // XX Международная науч. конф. «Математиче­ские методы в тех­нике и технологиях ММТТ-20», 30.05. 2007, Яро­славль. — Т. 1, секция 1. — С. 64–65.
  22. Орлов В.Н. Дифференциальное уравнение Абеля и подвижные особые точки  / В.Н. Орлов // Вестник филиала РГСУ в г. Чебокса­ры. — 2008. — № 1(18). — С. 138–139.
  23. Орлов В.Н. Теорема существова­ния решения диффе­ренциального уравне­ния Абеля в окрестно­сти подвижной особой точки  / В.Н. Орлов // Международная междисципл. науч. конф. «Первое исконно русское слово — в на­чале нашего маши­новедения», ЧГУ, Чебоксары, 24–25 мая 2008 г.
  24. Орлов В.Н.  Приближенное  реше­ние  дифференциаль­ного  уравнения  Абеля  в окрестности  под­вижной  особой точки  / В.Н. Орлов // Вестник  РГСУ. — Че­боксары,  2008. — № 2(19). — С. 141–144.
  25. Орлов В.Н. Точный критерий су­ществования подвиж­ной особой точки для первого уравнения Пенлеве  / В.Н. Орлов // Вестник РГСУ. — Чебоксары, 2009. — № 1(20).– С.207-208.
  26. Орлов В.Н. Необходимое и доста­точное условия суще­ствования подвижной особой точки для пер­вого уравнения Пенлеве  / В.Н. Орлов // «Понтрягинские чтения ХХ», XXIII Во­ронежская весенняя математическая школа «Современ­ные методы теории краевых задач», Во­ронеж, 3–9 мая 2009 г.
  27. Орлов В.Н. RSP-Painleve 1 / В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов, В.И. Гурьянов// ОФАП  ВНТИЦ.-18.05.2010.- №50201000799.

42.Орлов В.Н. RSP-Painleve 2 / В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-02.06.2010.-

№50201000899.

Подписано в печать _________2010г.  Формат  6090/16

Объём 2 п.л.  Тираж 100 экз. Заказ №______________________

Отдел печати Московского государственного горного  университета,

Москва, Ленинский проспект 6.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.