WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

                                                        На правах рукописи

Шишкин Виктор Михайлович

РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ

ПЛАСТИЧЕСКИХ И ДЕМПФИРУЮЩИХ

СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Специальность: 05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Казань–2008

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Вятский государственный университет»

Научный консультант:                 доктор технических наук,

  профессор, заслуженный

  деятель науки и техники РФ

  Кондратов Василий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный

деятель науки РФ

Паймушин Виталий Николаевич;

доктор технических наук,

профессор, заслуженный

деятель науки и техники РТ

Шлянников Валерий Николаевич;

доктор физико-математических наук,

профессор

Каюмов Рашит Абдулхакович

Ведущая организация:  Московский государственный технический  университет им. Н.Э. Баумана 

Защита состоится 6 июня 2008 г. в 14 часов на заседании  диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111,  г. Казань, ул. К. Маркса, д. 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Автореферат разослан «____» ___________ 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вследствие повышения напряженности элементов современных тонкостенных конструкций возникает необходимость разработки более совершенных расчетных моделей, в которых должны быть по возможности достаточно полно отражены реальные условия работы конструкции, а также ее материала. Поэтому кроме традиционного свойства упругости материала в расчетах тонкостенных конструкций большое значение имеют его пластические и демпфирующие свойства. Особенно актуальным данный вопрос является в конструкциях летательных аппаратов, где противоречие между требованиями прочности и минимального веса проявляется наиболее остро.

Так, например, при проектировании конструкций летательных аппаратов, обычно, ставиться задача определения предельной (разрушающей) нагрузки, при которой материал значительной части элементов конструкции находится в упруго-пластическом состоянии. Такое состояние материала, не приводящее к разрушению конструкции и изменению условий работы ее оборудования, допускается также в некоторых элементах конструкций летательных аппаратов одноразового использования и при эксплуатационной нагрузке. Упруго-пластическое деформирование значительной части элементов конструкций летательных аппаратов и последующее разрушение некоторых из них могут иметь место также в различных экстремальных (нештатных) ситуациях, интерес к которым наблюдается в последнее время. 

Демпфирующие свойства материала в существенной степени влияют на динамическую напряженность и виброактивность элементов тонкостенных конструкций, ограничивая амплитуды их колебаний. В первую очередь это следует отнести к резонансным колебаниям конструкций, при которых амплитуды перемещений и напряжений могут быть достаточно высокими. Особенно актуальным данный вопрос является при расчете тонкостенных судовых, авиационных и ракетных конструкций, в которых практически невозможно избежать резонанса вследствие густого спектра собственных частот и широкой полосы частот возмущающих сил.

Демпфирующие свойства материала, в отличие от пластических, проявляются при любом уровне напряжений. Но, обычно, данные свойства учитываются при напряжениях ниже предела текучести материала и объясняются в теории рассеяния энергии его неидеальной упругостью. Таким образом, определение упруго-пластического состояния конструкции и анализ ее динамической реакции с учетом неидеальной упругости материала представляют две типичные физические нелинейные задачи с различной степенью нелинейности. Однако исторически сложилось так, что пути и методы решения отмеченных задач практически не пересекались. С появлением автоматизированных технологий расчета конструкций наметились предпосылки к разработке общих подходов к решению данных задач, основанных на использовании метода конечных элементов и итерационных или шаговых алгоритмов решения полученных при этом систем нелинейных уравнений.

Многочисленные работы, в которых учитываются пластические свойства материала, посвящены в основном решению частных упруго-пластических задач (распределение напряжений вблизи отверстий,  щелей; контактные задачи). Применительно к конструкциям отмеченные задачи следует расценивать как задачи местной прочности. Работы, посвященные анализу общего упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций, представлены пока недостаточно. Особенно это относится к тонкостенным разветвленным конструкциям. Необходимо также заметить что, упруго-пластическое состояние материала реализуется обычно не во всей конструкции, а лишь в некоторых ее областях, где имеются значительные напряжения. Поэтому актуальной является разработка таких методов, которые позволяют использовать различную идеализацию в разных областях конструкции, что может существенно снизить трудоемкость определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций.

Основы неидеальной упругости материала при колебаниях  механических систем заложены в работах Г.С. Писаренко, Н.Н. Давиденкова, Я.Г. Пановко, Е.С. Сорокина, В.В. Хильчевского. Позднее данное направление интенсивно развивалось в работах Н.В. Василенко, В.В. Матвеева, В.А. Пальмова, С.И. Мешкова, А.П. Яковлева и других исследователей. О значительном интересе к отмеченной проблеме свидетельствуют регулярные конференции по рассеянию энергии при колебаниях механических систем, проводимые в Киеве с 1956 г., по материалам которых можно составить достаточно полное представление о состоянии проблемы. Однако существенного прогресса в области динамического анализа конструкций с учетом рассеяния энергии в материале пока не достигнуто. Применяемые для этой цели расчетные модели в основном ограничиваются рамками классических расчетных схем (балками, пластинами и оболочками простой формы). Метод конечных элементов для учета рассеяния энергии в материале при колебаниях сложных инженерных конструкций, несмотря на его перспективность, пока не находит должного применения. Если проблема получения матриц жесткости и матриц масс конечных элементов может считаться достаточно разработанной, то для получения матриц гистерезисного демпфирования элементов сложных инженерных конструкций, отражающих потери энергии при циклическом деформировании материала, по существу нет физически обоснованных методов. Применяемые часто на практике умозрительные предположения о возможности взаимосвязи матриц масс, жесткости и демпфирования конструкции (концепция пропорционального демпфирования по Релею) имеют своей целью скорее добиться удобства расчета, чем достоверности получаемых результатов. 

Наиболее корректный путь синтеза матрицы демпфирования конструкции должен основываться на использовании реальных физических зависимостей, отражающих рассеяние энергии в микрообъемах материала конечных элементов. Многочисленные эксперименты показывают, что демпфирующая способность металлов и их сплавов (именно они на сегодняшний день представляют основные конструкционные материалы) зависит от амплитуды деформации или амплитуды напряжения. Последние же становятся известными только после расчета конструкции. Отмеченная ситуация обусловила предложение Н.В. Василенко о формировании матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов с использованием значений характеристик демпфирования материала (логарифмического декремента колебаний или демпфирующей способности ), определяемых по предполагаемому уровню напряжений в данных элементах. Такое предложение, конечно, нельзя считать корректным решением проблемы учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций.

В подавляющем большинстве работ по учету рассеяния энергии в материале при колебаниях элементов тонкостенных конструкций  рассматривается единственный вид их движения - установившиеся гармонические колебания при резонансе. Не менее важной является задача определения динамической реакции конструкций при нестационарных колебаниях, имеющих место в различного рода переходных процессах, а также при действии нагрузки произвольного спектрального состава. Основная проблема при решении отмеченной задачи состоит в выборе подходящих физических зависимостей, учитывающих рассеяние энергии в материале при произвольном законе деформирования. Наиболее обоснованными являются физические зависимости, полученные В.А. Пальмовым. Для получения данных зависимостей использована теория микропластичности в рамках реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского. Однако эти зависимости не находят широкого практического применения по причине отсутствия в них общепринятых характеристик демпфирования материала, таких как или .

Вторая проблема состоит в решении систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неидеально упругой конструкции при произвольном динамическом воздействии. Наиболее подходящий и общий путь решения данной проблемы состоит в использовании численных методов интегрирования отмеченных систем уравнений. Существуют широко известные методы шагового интегрирования обыкновенных дифференци-альных уравнений: метод Рунге-Кутта; метод Адамса-Башфорта; метод Хемминга и др. Но они мало пригодны для интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем с большим числом степеней свободы, что имеет место при конечно-элементном анализе динамической реакции конструкций, так как устойчивость данных методов зависит от величины шага интегрирования.

Традиционные методы расчета и проектирования конструкций учитывают рассеяние энергии лишь на последнем этапе и, как правило, в интегральном виде. Это не позволяет использовать характеристики демпфирования материала как равноправные параметры проектирования конструкции и приводит либо к необходимости замены материала при неудовлетворительных демпфирующих свойствах конструкции, либо к принятию дополнительных мер по снижению динамической напряженности и виброактивности ее элементов (установке виброгасителей, нанесению демпфирующих покрытий и пр.). Отсюда вытекает актуальная необходимость разработки таких математических методов и алгоритмов, которые позволяли бы целенаправленно влиять на демпфирующие свойства конструкции путем выбора или синтеза соответствующего материала.

Анализ возможностей создания конструкций с высокими, стабильными и, что весьма существенно, контролируемыми на этапе проектирования демпфирующими свойствами, указывает на некоторые принципиально новые направления. Одно из них состоит в разработке сплавов высокого демпфирования. В настоящее время эта задача решается в основном путем проведения длительных и дорогостоящих экспериментов. Поэтому актуальной является разработка математических моделей и алгоритмов, позволяющих решить отмеченную задачу расчетным путем.

Для решения перечисленных выше задач необходима разработка эффективных математических методов и алгоритмов, базирующихся на использовании современных расчетных моделей сложных инженерных конструкций, численного и функционального анализа, а также современных достижений в области программирования и математического моделирования, ориентированных на применение средств вычислительной техники.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов решения физически нелинейных задач статики и динамики тонкостенных конструкций, нелинейность которых обусловлена соответственно пластическими и демпфирующими свойствами материала, а также методов решения обратных задач, обеспечивающих требуемые демпфирующие свойства конструкции и механические характеристики материала. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач. 

1. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций на основе метода конечных элементов и последовательной линеаризации полученных при этом систем нелинейных уравнений. Решение данной задачи включает: а) получение систем разрешающих уравнений метода конечных  элементов с учетом пластических свойств материала; б) выбор метода последовательной линеаризации упруго-пластической задачи и соответствующих физических зависимостей; в) разработку методов определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры; г) сокращение числа независимых параметров при расчете однонаправленных конструкций путем использования гибридных расчетных схем. 

2. Построение физических зависимостей для учета амплитудно-зависи-мого рассеяния энергии в материале при стационарных и нестационарных колебаниях конструкций.

3. Определение стационарной динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, что включает: а) формирование систем нелинейных разрешающих уравнений на основе метода конечных элементов и построение итерационных алгоритмов  решения данных  систем; б) формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций.

4. Определение нестационарной динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала путем шагового интегрирования полученных при этом систем нелинейных дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции. 

5. Разработку методов обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала, включающих: а) синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе; б) построение математической модели демпфирующего сплава; в) проектирование демпфирующего сплава по заданному комплексу его механических характеристик.

Научная новизна

1. Предложен метод определения упруго-пластического состояния и несущей способности тонкостенных конструкций разветвленной структуры, основанный на расчете отдельных подконструкций как изолированных объектов. Совместная работа подконструкций учитывается путем реализации условий их сочленения. В отличие от имеющихся подходов, базирующихся на концепции единичных перемещений, предлагаемый метод имеет более строгую математическую формулировку, основанную на методе Ньютона для решения систем нелинейных уравнений и экстремальном принципе теории пластического течения. 

2. Разработаны принципы формирования систем разрешающих уравнений для анализа упруго-пластического состояния и определения несущей способности тонкостенных конструкций однонаправленной структуры на основе гибридных расчетных схем, сочетающих достоинства метода конечных элементов с накопленным опытом расчета тонкостенных конструкций данного класса. 

3. Разработан метод идентификации демпфирующих свойств реологической модели упруго-пластического материала, обусловленных микропластическими деформациями. Отличительная черта разработанного метода состоит в использовании общепринятых характеристик демпфирования материала - логарифмического декремента колебаний или демпфирующей способности , что открывает возможность практического применения отмеченной модели к анализу нестационарной динамической реакции конструкций.

4. В динамике конструкций разработано новое направление, состоящее в использовании конечно-элементных моделей для анализа стационарной динамической реакции с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале. Для реализации данного направления разработаны методы формирования систем нелинейных разрешающих уравнений, построены итерационные алгоритмы решения данных систем, получены матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций.

5. Разработано математическое и алгоритмическое обеспечение для определения нестационарной динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала на основе метода конечных элементов, физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и шаговых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкции, построенных на гипотезе линейного ускорения. Отмеченный математический аппарат дает возможность учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций без каких-либо ограничений на их геометрию, условия закрепления и нагружения.

6. Впервые поставлена и решена обратная задача динамики конструкций с неидеально упругим материалом, состоящая в определении амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний. Решение отмеченной задачи позволяет включать характеристики демпфирования материала непосредственно в состав проектных параметров конструкции и тем самым активно влиять на ее динамические свойства.

7. Разработаны принципы построения математической модели демпфирующего сплава и математические методы обеспечения его требуемых прочностных, пластических и демпфирующих свойств на основе косвенных и прямых методов поиска.

Практическая ценность и внедрение результатов

Практическую ценность имеют:

- методы определения упруго-пластического состояния тонкостенных  конструкций на основе деления их на подконструкции и использования гибридных расчетных схем;

- методы анализа стационарной и нестационарной динамической реакции конструкций с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале;

- метод и алгоритм синтеза амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе;

- математические модели демпфирующих сплавов и методы их проектирования по заданному комплексу свойств.

Результаты, полученные в работе, использованы:

- на Вятском машиностроительном предприятии “АВИТЕК” (г. Киров) для уточнения и совершенствования методик расчета узлов и агрегатов конструкций летательных аппаратов;

- в Вятском государственном университете (г. Киров) при совершенствовании учебных курсов “Строительная механика”, “Устойчивость и динамика сооружений”, “Математическое моделирование в строительстве”;

- в проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами (ВятГУ, г. Киров) для планирования экспериментов и математической обработки полученных результатов.

Апробация работы и публикации. По теме диссертации опубликованы 42 научные работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Всесоюзной конференции “Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов” (г. Казань, 1988 г.); на VIII Всероссийской научно-технической конференции “Демпфирующие материалы” (г. Киров, 1999 г.); на совместном научном семинаре кафедр “Сопротивление материалов” и “Строительная механика летательных аппаратов” Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (2004 г.); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела Казанского государственного университета под руководством академика АН РТ,  д.ф-м.н., профессора Коноплева Ю.Г. (2004 г.);  на НТС Вятского государственного университета (г. Киров, 2005 г.); на 45-й Международной конференции “Актуальные проблемы прочности” (г. Белгород, 2006 г.); на XV Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, Крым, 2007 г.); на XXVII Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра “КБ им. академика В.П. Макеева” (г. Миасс, МСНТ, 2007 г.); на ежегодной Всероссийской научно-технической конференции “Наука-производство-технология-экология” (г. Киров, 2001-2007 г.). В целом диссертация обсуждалась и получила одобрение на совместном научном семинаре кафедр “Сопротивление материалов”, “Теоретическая и прикладная механика”, “Строительная механика летательных аппаратов” и “Специальная математика” Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (2008 г). 

Достоверность разработанных методов и алгоритмов подтверждается путем сравнения полученных на их основе результатов с известными аналитическими, численными и экспериментальными данными, приведенными в научной литературе, сравнением результатов, полученных с использованием различных расчетных моделей, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования и механики деформируемого твердого тела при обсуждении диссертации на научных конференциях и семинарах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, общих выводов и приложения. При общем объеме 440 страниц работа включает 299 страниц основного текста, 93 рисунка и 33 таблицы. Список литературы включает 235 наименований, из них 22 на иностранных языках. В приложении приведены тексты составленных автором программ, использованных в диссертации для численной реализации разработанных методов и алгоритмов.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности решаемой научной проблемы, обзор литературы, посвященной исследованию упруго-пластического состояния конструкций и определению их динамической  реакции с учетом демпфирующих свойств материала, рассматриваются основные проблемы, характерные для этой сферы исследований.

В первой главе  рассматриваются принципы формирования систем разрешающих уравнений метода конечных элементов для анализа упруго-пластического состояния конструкций, приемы линеаризации упруго-пластической задачи, сводящие ее к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач. Получены матрицы мгновенных упруго-пластических модулей изотропного материала на основе дифференциальной формы физических зависимостей деформационной теории пластичности и теории пластического течения при изотропном деформационном упрочнении Мизеса, что дает возможность постановки упруго-пластической задачи в приращениях при определении несущей способности конструкций.

Предложен метод определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры, основанный на делении их на отдельные агрегаты (подконструкции) и рассмотрении каждого из них как изолированного. Суть метода сначала поясняется на решении линейной задачи. Расчет каждого агрегата возможен, если будут известны перемещения узлов сочленения агрегатов в области конструкции. Для учета этих перемещений используется функционал Лагранжа с параметром штрафа :

. (1)

Здесь - соответственно полная потенциальная энергия, вектор узловых перемещений, матрица жесткости и вектор внешних узловых сил агрегата конструкции; - матрица упаковки, определяющая соответствие расположения компонент вектора в векторе :

,  (2)

Минимизация функционала (1) дает систему линейных уравнений

, (3)

из которой можно определить перемещения, удовлетворяющие ограничениям (2), и реакции узлов сочленения, действующие на агрегат конструкции:

.                 (4)

Если бы перемещения   были действительными, то . В противном случае получается невязка , зависящая от перемещений . Таким образом, для определения вектора необходимо решить уравнения . Для решения данных уравнений используется итерационный метод Ньютона. В линейной задаче данный метод требует только одной  итерации, что приводит к системе уравнений

  .       (5)

Здесь - матрица Якоби, вычисляемая при . Вектор агрегата конструкции определяется из системы (3).

В упруго-пластическом состоянии вместо принципа Лагранжа используется экстремальный принцип теории пластического течения, приводящий к системе уравнений, аналогичных уравнениям (3):

  . (6)

Здесь  , , - соответственно мгновенная матрица жесткости, вектор приращений узловых перемещений и вектор приращений внешних узловых сил агрегата конструкции. Если на текущем шаге нагружения конструкции матрицу считать постоянной, то уравнения (6) будут линейными. Тогда алгоритм определения на каждом шаге останется таким же, как при решении линейной задачи.

На рис. 1 приведена расчетная модель разветвленной тонкостенной конструкции, состоящей из части фюзеляжа и крыла. Крыло крепится к фюзеляжу в 10 узлах. Все элементы конструкции считаются изготовленными из сплава Д16Т. Диаграмма напряжение-деформация данного сплава аппроксимируется билинейной зависимостью с модулем упрочнения

Решается упруго-пластическая задача, состоящая в определении давления , соответствующего разрушению наиболее напряженного элемента конструкции. Расчет выполнен методом шагового нагружения при шаге , где - давление, соответствующее началу пластического деформирования наиболее напряженного элемента конструкции. Для решения задачи потребовалось 26 шагов от давления , в результате чего получено значение На рис. 2 отмечены элементы фюзеляжа и крыла, находящиеся при   в упруго-пластическом состоянии.

Во второй главе обоснована концепция гибридной расчетной схемы (ГРС) для анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций однонаправленной структуры, состоящая в использовании различных гипотез (допущений) в разных областях конструкции. В областях, имеющих особенности (местах крепления, вырезов, существенного изменения геометрии и нагрузки), используются слабые гипотезы (рис. 3). В других областях, где конструктивно-силовая схема регулярна, берутся сильные гипотезы. Применяемое здесь понятие “слабая гипотеза” соответствует использованию меньшего числа допущений и большего числа параметров для описания состояния конструкции. Понятие “сильная гипотеза” соответствует введению для расчета большего числа допущений и, следовательно, меньшего числа параметров. Между областями применения данных гипотез находиться переходная область, занимающая некоторое промежуточное положение, как по числу принимаемых допущений, так и по числу используемых параметров.

Разрешающие уравнения ГРС формируются относительно вектора обобщенных перемещений , который можно связать с вектором узловых перемещений базовой конечно-элементной модели соотношением

, (7)

где - матрица преобразования, учитывающая изменение кинематических гипотез ГРС по отношению к гипотезам базовой модели (БМ). Для получения данных уравнений при решении линейной задачи используется принцип возможных перемещений

  .         (8)

Здесь - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки БМ. Отсюда получается система разрешающих уравнений ГРС:

.       (9)

Для решения упруго-пластической задачи, формулируемой в приращениях, вместо (9) используются уравнения

  .  (10)

При практической реализации кинематических гипотез системы типа (9) или (10) целесообразно формировать сначала для частей конструкции (отсеков), расположенных между двумя смежными сечениями, и последовательно включать их в общую систему уравнений. При таком подходе преобразование  типа (7): осуществляется не для всей конструкции, а лишь на уровне отдельных сечений, в которых вводятся кинематические гипотезы. Вид матрицы преобразования  зависит от кинематических гипотез, принимаемых в расчетном сечении . В диссертации получены матрицы для трех основных гипотез, используемых ранее (до применения метода конечных элементов) в практике расчета тонкостенных конструкций типа крыла и фюзеляжа: гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (ГНФПС); гипотезы линейной депланации (ГЛД) и гипотезы плоского сечения (ГПС). Рассмотрены так же комбинации гипотез: ГНФПС+ГЛД и ГНФПС+ГПС.

На рис. 4 показана конечно-элементная модель крыла. Обшивка моделируется треугольными безмоментными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными элементами. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами. Все элементы крыла считаются изготовленными из сплава Д16Т. Диаграмма напряжение-деформация материала аппроксимируется билинейной зависимостью с модулем упрочнения

Расчет крыла осуществляется методом шагового нагружения до давления , при котором разрушается наиболее напряженный элемент конструкции. Для решения задачи используются три ГРС. В поперечных  сечениях 0-3 всех трех ГРС используются гипотезы базовой конечно-элементной модели (БМ). В остальных сечениях в ГРС1 дополнительно используется ГНФПС, в ГРС2 и ГРС2 - соответственно комбинации ГНФПС+ГЛД и ГНФПС+ГПС.

В табл. 1 приведены значения , числа шагов нагружения в упруго-пластической области и порядка систем разрешающих уравнений для отмеченных расчетных моделей. На рис. 5 показана диаграмма интенсивности напряжений на нижней поверхности обшивки крыла при .

Табл. 1

БМ

ГРС1

ГРС2

ГРС3

0,00735

0,00722

0,00730

0,00736

22

22

23

22

714

389

259

246

Значения при использовании данных трех ГРС, как видно из табл. 1, получаются намного меньшими, чем в БМ, без существенной разницы значений . По интенсивности напряжений практическое совпадение с результатами БМ дают ГРС1 и ГРС2.

В третьей главе  рассмотрены основные характеристики демпфирования материала и физические зависимости, определяющие рассеяние энергии в материале при колебаниях конструкций. При циклическом деформировании материала наиболее удобными для приложений являются уравнения, непосредственно содержащие логарифмический декремент колебаний , зависящий от амплитуды деформации :

  .                 (11)

Здесь - соответственно нормальное напряжение, относительная деформация и модуль Юнга материала; - некоторые функции, определяющие форму петли гистерезиса. Уравнения (11) наиболее просты и физически оправданы. Поскольку в них входит декремент колебаний, отпадает необходимость в пересчетах для определения параметров петли. На основе линейных зависимостей изотропного материала представлено обобщение уравнений (11) на случай сложного напряженного состояния:

  .  (12)

Здесь - соответственно модуль объемной деформации и модуль сдвига материала; - векторы, содержащие компоненты напряженного и деформированного состояния; - соответственно средняя деформация, интенсивность деформаций сдвига и их амплитудные значения; - логарифмические декременты материала соответственно при объемном деформировании и сдвиге; - матричный аналог тензора Кронекера; - матрица преобразования при переходе от тензорных уравнений к соответствующим матричным уравнениям; - функции, определяющие форму петли гистерезиса. При гармонических колебаниях уравнения (11), (12) можно представить в комплексной форме, используя предложение Е.С. Сорокина о комплексном внутреннем трении.

Для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при нестационарных режимах деформирования предложено использовать концепцию микропластического гистерезиса, реализованную реологической моделью упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского. Модель состоит из бесконечного множества упруго-пластических элементов (рис. 6). Упругие свойства элементов модели определяются модулем упругости , пластические свойства зависят от их безразмерных пределов текучести , представляющих относительную деформацию, при которой наступает состояние текучести того или иного элемента модели. Так как элементы в реологической модели расположены непрерывно, то для величины можно ввести спектральную плотность . Тогда закон деформирования модели (при одноосном напряженном состоянии) имеет вид

.  (13)

Здесь - пластическая деформация произвольного элемента модели; - скорость пластической деформации. Первое слагаемое в напряжении представляет упругую часть, второе - неупругую часть, обусловленную наличием в материале микропластических деформаций. Второе уравнение (13) служит для определения пластических деформаций элементов модели. В таком виде уравнения (13) пригодны для описания микропластического гистерезиса при произвольном законе деформирования модели. Вторая положительная особенность данной модели материала состоит в возможности построения на ее основе корректных физических зависимостей для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при сложном напряженном состоянии.

Однако применение рассмотренной модели материала к расчету конструкций сдерживается отсутствием удобной для практического использования связи между функцией , определяющей демпфирующие свойства модели, и общепринятыми характеристиками демпфирования материала (логарифмическим декрементом колебаний или демпфирующей способностью ). В диссертации разработан метод идентификации функции по экспериментальным значениям при нескольких амплитудах деформации . Идея метода основывается на существовании конечных значений , что можно объяснить наличием в материале дефектов. Предполагается, что эти дефекты имеют такую же физическую природу, что и в теориях усталостного и хрупкого разрушения материала. В обеих этих теориях функция распределения дефектов имеет вид

  ,               (14) 

где и - некоторые положительные постоянные. Отсюда получается  спектральная плотность :. В диссертации получено соотношение, связывающее параметры и с логарифмическим декрементом колебаний материала :

  .  (15)

При известных экспериментальных значениях логарифмического декремента колебаний при нескольких амплитудах деформации параметры и можно получить методом наименьших квадратов:

  .         (16)

Здесь - теоретические значения логарифмического декремента колебаний, определяемые по формуле (15) при . Необходимые условия существования минимума функции приводят к весьма сложной системе нелинейных уравнений. Поэтому для определения параметров и рекомендуется использовать прямые методы поиска нулевого порядка, не требующие вычисления градиентов данной функции.

Приведен пример определения параметров и для алюминия. Для нахождения глобального минимума функции сначала используется метод последовательного перебора точек области c шагами. Таким образом, получена точка , вблизи которой имеется глобальный минимум. Далее поиск продолжался симплекс-методом с использованием равностороннего двумерного симплекса (треугольника) со стороной В результате были найдены значения и с точностью :

Разработанный метод идентификации функции можно использовать и при сложном напряженном состоянии, заменяя логарифмическим декрементом материала при чистом сдвиге (кручении).

В четвертой главе получены дифференциальные уравнения движения конструкций с упруго-гистерезисным материалом на основе метода конечных элементов и принципа Даламбера-Лагранжа. Полученные уравнения можно использовать без каких-либо ограничений для исследования всевозможных динамических процессов, в том числе и гармонических. Однако в последнем случае оказывается более выгодным представление данных уравнений в комплексной форме с использованием концепции комплексного модуля упругости:

  .  (17)

Здесь - соответственно матрица жесткости, матрица масс, матрица гистерезисного демпфирования и вектор узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции; - вектор, содержащий амплитуды внешних узловых сил; - круговая частота изменения данных сил. Стационарное решение уравнений (17) ищется в виде

  ,  (18)

где - вектор амплитуд узловых перемещений; - диагональная матрица с элементами ; - сдвиг  фазы компоненты вектора относительно соответствующей компоненты вектора . Это приводит к системе разрешающих уравнений

(19)

относительно векторов , содержащих соответственно синфазные и несинфазные (отстающие от компонент вектора на угол ) составляющие амплитуд узловых перемещений, что дает значения и :

.  (20)

Однако следует заметить, что элементы матрицы в уравнениях (19)  содержат логарифмические декременты материала (или и ), зависящие от соответствующих амплитуд деформаций конечных элементов, а последние при формировании уравнений (19) неизвестны. Поэтому для решения данных уравнений необходимо использовать итерационные методы. Простейший способ построения итерационного алгоритма состоит в  определении значений для начала следующей  итерации по значениям амплитуд деформаций конечных элементов, полученным в конце текущей итерации. Но численные эксперименты показали, что данный итерационный процесс не всегда является сходящимся. Для обеспечения сходимости итерационного процесса предлагаются две формулы сдвига. В первом случае используется параметр сдвига :

. (21)

Здесь - вектор, содержащий амплитуды деформаций конечных элементов в начале текущей итерации; - то же в начале следующей итерации. Количество итераций зависит от выбора параметра и начального вектора .

Во втором случае компоненты вектора получаются пропорциональным делением отрезка (рис. 7), что дает следующую формулу:

  .  (22)

Здесь , - диагональные матрицы, определяемые по логарифмическим декрементам и материала конечных элементов соответственно в начале и конце - го шага итераций.

С целью оценки скорости сходимости итерационных алгоритмов решения системы (19), построенных на основе формул (21) и (22), исследуются резонансные колебания фермы (рис. 8) при действии вынуждающей силы с амплитудой и круговой частотой , где - низшая собственная частота. Материал стержней фермы - сталь Ст. 2. Зависимость логарифмического декремента материала от амплитуды деформации аппроксимируется степенным полиномом , коэффициенты которого получены математической обработкой справочных данных. В процессе итераций контролировалась амплитуда вертикальных колебаний узла фермы, где приложена сила . Численные эксперименты показали, что количество итераций при использовании формулы (21) слабо зависит от начального вектора , но существенно зависит от параметра . Достаточно быстрая  сходимость () к стационарному значению получается при . Формула (22) при тех же значениях компонент вектора дает . Таким образом, для построения итераций при решении системы уравнений (19) рекомендована формула (21).

Системы уравнений (19) могут иметь весьма большие порядки. Поэтому желательно, что бы их матрицы имели ленточную структуру. В связи с этим разработаны методы прямого формирования ленты в виде прямоугольного  массива, столбцами которого являются соответствующие диагонали ленты, что позволяет использовать эффективные алгоритмы решения данных систем (в диссертации используется алгоритм - факторизации).

В пятой главе получены матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов, предназначенных для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций. В диссертации рассмотрены следующие типы конечных элементов: стержневые элементы (ферменный, балочный, рамный); плоские безмоментные элементы (треугольный и четырехугольный); объемный элемент (тетраэдр); плоский треугольный элемент при изгибе; треугольный элемент совместно при изгибе и плоском  напряженном состоянии. При формировании матриц гистерезисного демпфирования отмеченных конечных элементов используется единый подход, основанный на концепции комплексного модуля упругости:

  .                         (23) 

Здесь - мнимая часть комплексного оператора связи напряжений с деформациями, определяющая неупругую (гистерезисную) составляющую напряженного состояния; - матрица связи деформаций с узловыми перемещениями конечного элемента. Вид матрицы зависит от напряженного состояния конечного элемента. Зависимость логарифмических декрементов материала , и от амплитуд соответствующих деформаций представляется степенными полиномами. Соотношения для формирования матриц отмеченных конечных элементов доведены до практического применения. С целью апробации полученных соотношений и разработанных на их основе подпрограмм формирования матриц приводятся три примера. 

Пример 1. Рассматриваются резонансные колебания прямоугольной пластины, представленной треугольными (рис. 9а) и четырехугольными безмоментными (рис. 9б) конечными элементами. На груз с массой действует периодическая сила . Амплитуда данной силы , круговая частота, где - низшая собственная частота (для модели пластины с треугольными элементами ; для модели с четырехугольными элементами ). Материал пластины - сталь 10. Зависимости логарифмических декрементов и материала от амплитуд соответствующих деформаций аппроксимируются степенными полиномами, коэффициенты которых получены математической обработкой справочных данных:

.  (24)

На рис. 10 приведены амплитуды вертикальных колебаний оси конечно-элементных моделей пластины. Значения , полученные для модели с треугольными элементами (кривая 1), оказываются несколько меньшими, чем для модели с четырехугольными элементами (кривая 2). Это соответствует  известному факту: менее точные элементы дают меньшие перемещения.

Пример 2. Рассматриваются резонансные изгибные колебания квадратной шарнирно опертой пластины при действии равномерно распределенной нагрузки с амплитудой и круговой частотой .  Конечно-элементная модель четверти пластины представлена изгибаемыми треугольными элементами (рис. 11). Логарифмические декременты материала при объемном деформировании и сдвиге взяты по данным работы В.В. Хильчевского и В.В. Дубенца, где приводятся результаты аналитического решения рассматриваемой задачи: ; .

На рис. 12 приведены резонансные кривые колебаний центра пластины (точки 0): кривая 1 соответствует конечно-элементной модели; кривая 2 - аналитическому решению. Результаты, полученные на основе МКЭ, удовлетворительно согласуются с аналитическим решением.

Пример 3. На рис. 13 приведена конечно-элементная модель крыла. Обшивка крыла моделируется треугольными конечными элементами, находящимися в плоском напряженном состоянии. Стенки лонжеронов и нервюр составлены из четырехугольных безмоментных конечных  элементов. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами.

Рассматриваются резонансные колебания крыла при действии периодической поверхностной нагрузки с амплитудой и круговой частотой . Все элементы крыла считаются изготовленными из сплава Д16Т. Амплитудные зависимости логарифмических декрементов колебаний материала при сдвиге, объемном деформировании и растяжении-сжатии представлены соответственно степенными полиномами, полученными математической обработкой справочных данных методом наименьших квадратов:

;

 

  .  (25) 

На рис. 14 приведена диаграмма амплитудных значений интенсивности напряжений на нижней поверхности обшивки крыла. Для определения значений в узлах модели через значения,  даваемые МКЭ, использовался метод согласованных результантов. Качественно картина распределения соответствует характеру нагружения крыла и условиям его закрепления (в области узлов крепления значения получаются наибольшими и имеют значительный градиент).

В шестой главе разработаны методы определения нестационарной динамической реакции конечно-элементной модели конструкции с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале на основе шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения

,  (26)

где слагаемое определяет упругие и неупругие (гистерезисные) внутренние узловые силы, обусловленные напряжениями, возникающими в элементах конструкции. Наиболее удобными для шагового интегрирования являются самостартующие методы, в которых для вычисления значений векторов и в момент времени достаточно иметь информацию о состоянии конструкции только на одном предыдущем шаге. Шаг интегрирования должен быть таким, чтобы с достаточной точностью воспроизводились те колебания, которые имеют наиболее существенную роль в определении динамической реакции конструкции, т.е. колебания с относительно низкими частотами. Но, обычно, в спектре частот конечно-элементной модели конструкции содержатся весьма высокие частоты, и может оказаться, что выбранный шаг значительно превосходит периоды, соответствующие данным частотам. Вклады форм колебаний с высокими частотами в динамическую реакцию конструкции в таком случае могут быть совершенно искажены. Но это вполне допустимо, поскольку они не играют существенной роли. Однако важно, чтобы используемая процедура интегрирования обеспечивала устойчивость процесса независимо от величины шага . Методы интегрирования, удовлетворяющие данному требованию, называются безусловно устойчивыми. Единственным критерием выбора шага в этих методах является точность получаемых результатов.

Для проведения численных экспериментов была выбрана уже рассмотренная ранее ферма (рис. 8). Исследовался переходной процесс при выходе фермы в режим установившихся резонансных колебаний с частотой , что дает возможность сравнить результаты шагового интегрирования в конце данного процесса с полученным ранее стационарным решением задачи. Для учета демпфирующих свойств материала использовалась формула Е.С. Сорокина, представляющая частный случай  уравнений (11) при эллиптической петле гистерезиса:

  . (27)

Следует отметить, что формула (27) справедлива лишь в случае установившихся (стационарных) колебаний. При исследовании знакопеременных переходных процессов данную формулу можно рассматривать как приближенную, заменяя в ней амплитуду деформации значением на каждом полуцикле колебаний, где - относительная деформация в точках реверса кривых деформирования материала. Для интегрирования уравнений движения фермы испытывались три шаговых метода: метод линейного ускорения; - метод Вильсона и метод Ньюмарка. Уравнения движения рассматривались как в исходной форме (26) так и в приращениях:

. (28)

Известно, что метод линейного ускорения является условно устойчивым. Для обеспечения устойчивости данного метода шаг интегрирования должен быть достаточно малым. Однако достичь устойчивого процесса интегрирования уравнений (26) и (28) при уменьшении до каких-либо приемлемых значений не удалось.

- метод Вильсона представляет модифицированный вариант метода линейного ускорения, в котором принимается предпосылка о том, что вектор ускорений меняется линейно в течение интервала времени . По литературным источникам данный метод является безусловно устойчивым при . Однако в численных экспериментах устойчивость метода была получена только при . Но, достичь стремления переходного процесса к стационарному решению все же не удалось.

Метод Ньюмарка базируется на независимом разложении вектора перемещений и вектора скоростей в ряд Тейлора в окрестности текущего момента времени :

    (29)

Известно, что данный метод является безусловно устойчивым при параметрах и . Отмеченный факт численными экспериментами подтвердился. Однако расхождение со стационарным решением при выходе переходного процесса в установившийся динамический режим получилось опять же довольно существенным.

Таким образом, ни один из трех методов не дал положительных результатов. Указанный факт, по всей видимости, объясняется малостью нелинейных составляющих внутренних узловых сил, обусловленных напряжениями в элементах конструкции. В связи с этим данные составляющие внутренних сил предложено учитывать в правой части уравнений:

  . (30)

Здесь , - соответственно матрица жесткости и  мгновенная матрица демпфирования конструкции. Матрица на каждом шаге определяется с использованием концепции секущего модуля упругости. Запись уравнений движения в  форме (30) позволила получить положительные результаты при использовании - метода Вильсона и метода Ньюмарка. Уравнения (30) интегрировались при различных значениях шага в интервале времени , что соответствует приблизительно 263 циклам колебаний, при начальных условиях .

С целью оценки влияния величины на точность полученных результатов определялись средние относительные отклонения амплитуд вертикальных колебаний узла фермы, где приложена сила (рис. 8), от амплитуды стационарных колебаний , полученной  ранее при решении уравнений (19):

.  (31) 

На рис. 15 показано влияние числа шагов на один цикл колебаний на величину при интегрировании уравнений (30) - методом Вильсона и методом Ньюмарка. Чтобы исключить большие погрешности, имеющие место в начале переходного процесса, значения в выражении (31) определялись в интервале времени , соответствующем выходу данного процесса в установившийся динамический режим. Результаты показывают, что при увеличении числа шагов ()  на один цикл колебаний погрешность метода Ньюмарка уменьшается существенно быстрее, чем погрешность - метода Вильсона. Например, вхождение погрешности в область в первом случае получается при , во втором - при . Причем, при всех испытуемых значениях погрешность метода Ньюмарка получается меньше, чем - метода Вильсона. На основании этого для интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкций с учетом гистерезисных потерь в материале рекомендован шаговый метод Ньюмарка с записью данных уравнений в форме (30).

Результаты, приведенные на рис. 15, получены при минимальных значениях параметров, обеспечивающих безусловную устойчивость рассмотренных шаговых методов: в  - методе Вильсона ; в методе Ньюмарка . В диссертации показано, что увеличение данных параметров относительно их минимальных значений дает дополнительный демпфирующий эффект, приводя к существенной потере точности решения. Поэтому брать параметры , и для интегрирования уравнений (30) без необходимости не рекомендуется.

В главе 3 для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при нестационарных режимах деформирования предложено использовать физические зависимости реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского (рис. 6). Наличие математического обеспечения, состоящего из данных физических зависимостей, метода конечных элементов и шаговых методов интегрирования, дает возможность анализа динамической реакции конструкций без каких-либо ограничений на их геометрию, условия закрепления и характер нагружения.

С целью апробации  физических зависимостей отмеченной модели материала, а также подтверждения разработанного в главе 3 метода идентификации функции , определяющей ее демпфирующие свойства, рассмотрена тестовая система с одной степенью свободы, состоящая из невесомого стержня и груза (рис. 16). Трение между грузом и поверхностью не учитывается. Материал стержня - алюминий. Параметры и в функции для алюминия определены в главе 3.

Рассматривались свободные колебания системы при начальных условиях: . Уравнение движения системы интегрировалось методом Ньюмарка с параметрами , и шагом , где - период свободных колебаний системы без учета рассеяния энергии в материале. На рис. 17 показаны огибающие свободных колебаний груза, полученные с использованием физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и гистерезисной формулы (27). Последняя при анализе затухающих колебаний использовалась как

приближенная. Зависимость в формуле (27) определялась выражением (15), полученным в главе 3. Огибающие свободных колебаний, построенные с использованием двух различных физических зависимостей, являются достаточно близкими между собою, что подтверждает возможность использования отмеченной выше реологической модели для учета демпфирующих свойств материала при одноосном напряженном состоянии, а также разработанного метода идентификации ее демпфирующих свойств.

С целью подтверждения возможности использования данной модели для учета демпфирующих свойств материала при анализе более сложных динамических процессов рассматривалась также пространственная ферма при двух вариантах нагружения. В первом варианте на один из узлов фермы действует периодическая сила с коэффициентом асимметрии цикла и резонансной частотой , во втором - в том же узле фермы приложена внезапно постоянная сила . Дифференциальные уравнения движения фермы интегрировались методом Ньюмарка при и .

В первом варианте нагружения переходной процесс стремился к установившемуся динамическому режиму (резонансу). При этом центр колебаний нагруженного узла фермы получился смещенным вниз, что соответствует заданному закону изменения нагрузки. Размах колебаний оказался незначительно меньшим, чем в стационарном решении задачи с использованием системы уравнений (19) при . Во втором варианте нагружения центр колебаний стремился к определенному пределу - перемещению при статическом действии силы . Причем, наибольшее значение в начале переходного процесса оказалось примерно в два раза выше значения . Это соответствует известному в теории колебаний упругих систем факту: при действии постоянной внезапно приложенной нагрузки максимальная динамическая реакция системы вдвое выше ее статической реакции при той же нагрузке.

Для тестирования физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и методики определения функции при сложном напряженном состоянии исследовался переходной процесс при выходе в резонанс рассмотренной в главе 5 пластины, моделируемой четырехугольными конечными элементами (рис. 9б). На рис. 18 приведены огибающие вертикальных колебаний правого верхнего узла пластины при различном числе шагов на один цикл колебаний, полученные при интегрировании уравнений (30) методом Ньюмарка. При возрастании  переходной процесс стремится к стационарному решению полученному в главе 5.

Рассмотрен также пример определения нестационарной динамической реакции близкой к реальной тонкостенной конструкции - киля самолета-орбитера (рис. 19). Пунктирными линиями показаны обтекатель и створки руля направления-воздушного тормоза (РН-ВТ). Нагрузка, передаваемая на киль створками РН-ВТ, представляется сосредоточенными силами, приложенными в узлах крепления 1, . . . , 6. К этим же узлам приводится масса РН-ВТ. Обшивка киля моделируется треугольными конечными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными изопараметрическими элементами. Напряженное состояние данных элементов считается плоским. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами. Все элементы киля считаются изготовленными из сплава Д16Т. Демпфирующие свойства сплава определяются функцией . Киль имеет теплозащитное покрытие (ТЗП), которое не оказывает сопротивления действию  нагрузки, но увеличивает массу и демпфирующую способность конструкции. Масса ТЗП учитывается эквивалентным увеличением плотности материала конечных элементов обшивки. Демпфирующие свойства ТЗП учитываются с использованием концепции вязкого демпфирования.

Определяется динамическая реакция киля на кратковременное действие давления .  На рис. 20 показана зависимость перемещения точки киля от времени . Максимальное значение достигается, как и должно быть, при значении , несколько большем того,  которое соответствует максимальному значению давления , а после прекращения действия наблюдаются затухающие колебания, обусловленные наличием в конструкции диссипативных  сил. Причем колебания происходят с биениями, что отражает историю нагружения киля.

В седьмой главе разработаны методы обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала: предела прочности ; относительного удлинения при разрыве и логарифмического декремента . В качестве характеристик демпфирования конструкции выбраны значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний. С целью обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции решается обратная задача, состоящая в определении зависимости по заданным значениям . 

Амплитуды узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции при резонансных колебаниях по собственной форме определяются выражением

.  (32)

Для вычисления масштабного множителя получена формула

  ,  (33)

где

 

    (34) 

В соотношениях (34) - соответственно матрица жесткости, матрица масс и матрица гистерезисного демпфирования конструкции; - вектор, содержащий амплитуды внешних узловых сил; - круговая частота вынужденных колебаний, совпадающая с одной из собственных частот . Выражение (33) при дает коэффициент динамичности , неявно связанный с логарифмическим декрементом материала , входящим в матрицу :

  .  (35)

Зависимость представляется в виде степенного полинома

  .  (36)

Таким образом, задача синтеза зависимости сводится к определению коэффициентов данного полинома. Решение задачи ищется минимизацией функционала

  .  (37)

Здесь - соответственно заданные и найденные по формуле (35) значения коэффициентов динамичности. Варьируемыми параметрами в (37) являются значения при заданных амплитудах деформации , а не коэффициенты , так как значения в отличие от , можно назначать более определенно. После нахождения коэффициенты можно определить из системы уравнений, получаемой подстановкой и в зависимость (36).

При сложном напряженном состоянии в матрицу вместо логарифмических декрементов материала при растяжении-сжатии войдут значения и соответственно при объемном деформировании и сдвиге. Но следует заметить, что в случае, когда конструкция изготовлена из различных материалов и ее конечно-элементная модель состоит из различных по напряженному состоянию элементов, задача поиска минимума функционала (37) является весьма трудоемкой, так как число варьируемых параметров становится весьма большим. Для уменьшения трудоемкости решения данной задачи рекомендуется подход, основанный на регулировании демпфирующих свойств конструкции (значений ) только за счет какого то одного материала и одного типа конечных элементов. Такой подход целесообразен не только теоретически, но и практически. В этом случае произведение в знаменателе формулы (35) можно представить в виде суммы двух слагаемых:

  , (38)

где матрица формируется с учетом вкладов конечных элементов с заданными демпфирующими свойствами, а определяется искомыми значениями (или и ). Тогда первое слагаемое в (38) можно вычислить до процедуры поиска минимума функционала (37). Для минимизации данного функционала целесообразно использовать прямые методы поиска нулевого порядка, которые в отличие от градиентных методов не требуют вычисления частных производных . Данные методы удобны так же тем, что позволяют достаточно просто учитывать различные ограничения, накладываемые на характер зависимости .

В качестве примера рассматривается конечно-элементная модель трапециевидного крыла, нагруженного давлением с амплитудой (рис. 21). Обшивка крыла моделируется безмоментными треугольными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - безмоментными четырехугольными элементами, полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами.

С целью оценки демпфирующих свойств крыла предварительно решена задача определения первых трех собственных частот и соответствующих им коэффициентов динамичности при условии, что все его элементы изготовлены из сплава Д16T. Результаты получились такими: ; ; ; ; ; . Ставится задача: уменьшить данные коэффициенты до значений ; ; построением соответствующей зависимости материала полок лонжеронов. Однако проведенные численные эксперименты показали, что конструкционные сплавы на основе алюминия не могут обеспечить требуемые значения поскольку имеют весьма низкую демпфирующую способность. Поэтому выбор был сделан в пользу сплавов на основе железа. Известно, что достаточно высокими демпфирующими, пластическими и прочностными свойствами обладает, например, сплав на основе железа с содержанием определенного количества алюминия и хрома. Меняя в сплаве содержание данных химических элементов, а также режимы его термической и магнитной обработки, можно варьировать в определенных пределах отмеченные механические свойства сплава.

Искомая зависимость представляется в виде

. (39)

Для определения коэффициентов задаются три значения амплитуды деформации в реальном диапазоне изменения ее величины: , при которых находятся значения , обеспечивающие минимум функционала (37). Поиск осуществляется методом конфигураций Хука-Дживса с начальной точкой: . Шаг поиска по координатным направлениям : .  Расчеты проведены при и различных ограничениях, накладываемых на характер зависимости (39). Точность результатов оценивалась величиной . 

При всех значениях n погрешность является вполне удовлетворительной. Наилучшее приближение коэффициентов  динамичности , , к требуемым значениям получается при и ограничениях-неравенствах : . Однако искомая зависимость (39) получается при этом немонотонной (рис. 22), что не соответствует характеру зависимости реальных конструкционных материалов (значения с увеличением , как правило, возрастают). Для обеспечения данного условия были дополнительно введены ограничения-неравенства , что привело к возрастанию , но вид зависимости опять же не вполне соответствовал реальному по причине весьма медленного роста в интервале (рис. 22). В диссертации показано, что наиболее реальный вид зависимости может быть получен при введении ограничений-неравенств и ограничений-равенств типа (в примере взяты ; ). К тому же это существенно уменьшает число исследуемых при поиске точек. В результате  найдена зависимость 

  .  (40)

Однако следует заметить, что добавление ограничений-равенств   ухудшает качество решения задачи: из трех коэффициентов динамичности наиболее близким к требуемому получается только коэффициент , соответствующий первой (низшей) собственной форме колебаний крыла. Остальные коэффициенты получились следующими: . Таким образом, для получения приемлемой зависимости необходимо идти на компромисс между требованиями для коэффициентов и возможностью реализации данной зависимости. Учитывая, что основной вклад в динамическую реакцию конструкции вносит, как известно, первая форма колебаний, поиск требуемой зависимости   на этом был прекращен.

С целью подтверждения достоверности заявленной зависимости (40) осуществлен расчет того же крыла с использованием данной зависимости и разрешающих уравнений (19), полученных в главе 4. Это дает коэффициент динамичности , что достаточно близко к требуемому значению .

Решение задачи синтеза необходимой зависимости позволяет целенаправленно влиять на динамические параметры конструкции уже в процессе ее проектирования. Одним из перспективных путей обеспечения высоких и стабильных демпфирующих свойств конструкции является использование демпфирующих сплавов. В диссертации поставлена и решена задача проектирования демпфирующего сплава, обладающего требуемым комплексом механических характеристик, при заданном наборе легирующих элементов. В этот комплекс включены: предел прочности ; относительное удлинение ; а также значения логарифмического декремента сплава при амплитудах деформации , позволяющие построить требуемую зависимость .

Для решения отмеченной задачи используется математическая модель демпфирующего сплава, определяющая зависимость его механических характеристик , и от проектных параметров , в качестве которых можно брать процентные содержания легирующих элементов в сплаве, а также показатели режимов термообработки. В общем случае такую модель можно представить в виде

  ;

  . (41)

Для представления зависимости некоторой характеристики сплава от параметров используется полином вида

,                         (42)

где  .

Элементы вектора находятся по экспериментальным значениям характеристики , полученным при нескольких вариантах (числе экспериментальных точек) комплекса параметров . Подстановка этих значений в выражение (42) дает систему линейных алгебраических уравнений

  . (43)

Здесь - вектор с элементами , - прямоугольная матрица, составленная из строк . Число столбцов этой матрицы равно , число строк - . В случае вектор определяется непосредственно из системы (43). При можно использовать метод наименьших квадратов, приводящий к системе уравнений

  .  (44)

В диссертации по предлагаемой методике построена математическая модель демпфирующего сплава на основе с легирующими элементами , разработанного и экспериментально исследованного в проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами  (г. Киров, ВятГУ).

Задача обеспечения необходимого комплекса свойств демпфирующего сплава решается подстановкой требуемых значений , и ( в математическую модель (41). Полученные таким образом уравнения решаются методом наименьших квадратов:

  .  (45)

Здесь - соответственно получаемые и требуемые механические характеристики сплава. Если глобальный минимум функции в заданной области изменения параметров является ее экстремумом, то для поиска этого минимума можно использовать косвенные методы, основанные на использовании условий  , что дает систему нелинейных уравнений

.          (46)

Но, как правило, топологические свойства гиперповерхности, образуемой функцией в пространстве , неизвестны. Поэтому задачу минимизации данной функции надежнее и удобнее решать с использованием прямых методов поиска. Причем предпочтительными будут прямые методы нулевого порядка, которые в отличие от градиентных методов не требуют вычисления частных производных .

Для отработки алгоритмов поиска решения задачи (45) рассмотрен демпфирующий сплав на основе с легирующими элементами , математическая модель которого приведена в работе В.С. Чайковского. В качестве параметров в данной работе взяты процентные содержания указанных легирующих элементов (химический состав сплава). В первой строке табл. 2 приведены принятые в качестве требуемых механические характеристики данного сплава: предел прочности ; относительное удлинение и значения , логарифмического декремента при амплитудах напряжения соответственно равных ,   и , где - условный предел текучести сплава. Во второй строке табл. 2 приведены те же характеристики, полученные при решении уравнений (46) итерационным методом Ньютона с точностью . Полученные механические характеристики сплава являются достаточно близкими к требуемым.

В табл. 3  приведены начальный (строка 1) и полученный (строка 2) химические составы сплава при решении уравнений (46). Для достижения заданной точности потребовалось семь итераций.

  Табл. 2

№ строки

, МПа

, %

, %

, %

, %

1

530,00

3,900

11,000

17,500

29,000

2

529,97

3,989

11,030

17,423

29,093

 

 

  Табл. 3

№ строки

, %

, %

, %

, %

1

10,000

2,000

1,500

2,500

2

10,969

2,093

1,581

1,505

Ниже приводятся результаты прямого поиска химического состава того же сплава. С целью нахождения глобального минимума функции предварительно использовался метод последовательного перебора точек в заданной области параметров с шагом по каждому координатному направлению. Полученная точка (табл. 4, строка 1) использовалась как начальная при уточнении решения методом конфигураций Хука-Дживса с шагом (табл. 4, строка 2).  В табл. 5 приведены механические характеристики сплава, химический состав которого приведен в соответствующих строках табл. 4. Полученные конечные значения , , , , и  являются опять же достаточно близкими к требуемым (табл. 2, строка 1).

Табл. 4

№ строки

, %

, %

, %

, %

1

10,710

2,010

1,530

2,820

2

10,870

2,011

1,571

1,666

Табл. 5

№ строки

, МПа

, %

, %

, %

, %

1

528,02

3,378

10,199

16,101

28,380

2

529,98

4,028

10,970

17,323

29,122

Для получения оптимизационной модели сплава соотношения (41) необходимо дополнить целевой функцией, а также ограничениями, накладываемыми на параметры и механические характеристики . В качестве целевой функции принимается первая норма вектора :

. (47)

Ограничениями являются условия: . Для получения проектных параметров , обеспечивающих требование , рекомендуется алгоритм, состоящий в выделении области, содержащей глобальный оптимум, и  использовании далее метода конфигураций Хука-Дживса для уточнения положения данного оптимума.

ОСНОВНЫЕ  РЕЗУЛЬТАТЫ  И  ВЫВОДЫ

1. Получены разрешающие уравнения метода конечных элементов для анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций. За основные неизвестные приняты узловые перемещения конечно-элементной модели конструкции. Для определения несущей способности конструкций рекомендованы разрешающие уравнения, записанные в приращениях. Рассмотрены алгоритмы последовательной линеаризации упруго-пластической задачи на основе метода переменной жесткости, метода упругих решений А. А. Ильюшина и метода шагового нагружения. Для определения упруго-пластического состояния и несущей способности тонкостенных конструкций выбран метод шагового нагружения, как наиболее универсальный и удобный для практической реализации.

2. Получены матричные соотношения связи приращений напряжений с приращениями деформаций (физические зависимости) в упруго-пластическом состоянии изотропного материала на основе деформационной теории пластичности и теории пластического течения при деформационном упрочнении Мизеса. Рассмотрен тестовый пример определения упруго-пластического состояния пластины с отверстием с использованием указанных физических зависимостей. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для определения упруго-пластического состояния элементов тонкостенных конструкций выбраны физические зависимости теории пластического течения.

3. Разработан метод определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры, учитывающий совместную работу агрегатов конструкции на основе расчета каждого из них как изолированного. Стыковка решений, осуществляется с использованием условия равенства сил взаимодействия в узлах сочленения агрегатов. Рассмотрен пример определения упруго-пластического состояния разветвленной конструкции, состоящей из части фюзеляжа и крыла, подтверждающий достоверность разработанного метода.

4. В отличие от существующих в настоящее время расчетных моделей, использующих одну и ту же совокупность допущений для всей конструкции, предложены гибридные расчетные схемы (ГРС), основанные на сочетании различных гипотез в разных частях конструкции. Это дает возможность существенно снизить трудоемкость определения напряженно-деформированного состояния элементов тонкостенных конструкций за счет уменьшения порядка систем разрешающих уравнений. Данный вопрос является особенно актуальным при определении упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций, поскольку в этом случае системы разрешающих уравнений необходимо формировать и решать многократно.

Предложена концепция базовой модели (БМ) для построения системы разрешающих уравнений ГРС, а также оценки эффективности и точности различных ГРС. В качестве БМ выбрана исходная конечно-элементная модель конструкции. Приведен пример определения упруго-пластического состояния стреловидного крыла с использованием трех ГРС: ГРС1; ГРС2; ГРС3. Для построения ГРС1 использована БМ с наложением в части сечений гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (ГНФПС). В ГРС2 и ГРС3 к ГНФПС в тех же сечениях добавлены соответственно гипотеза линейной депланации (ГЛД) и гипотеза плоского сечения (ГПС). Из трех отмеченных ГРС существенное снижение числа независимых параметров (почти в три раза) при незначительном изменении результатов по сравнению с БМ дает ГРС2. Использование ГРС3 дает удовлетворительные результаты только в области гипотез БМ.

5. Проведен анализ математических моделей неидеально упругих материалов. Рассмотрены особенности деформирования материалов с амплитудно-зависимым рассеянием энергии. Для циклических процессов наиболее удобными являются гистерезисные уравнения, содержащие  непосредственно логарифмический декремент колебаний материала и некоторые функции, определяющие форму петли динамического гистерезиса. Приведены физически обоснованные нелинейные зависимости напряжений от деформаций при произвольном законе деформирования, построенные на основе реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского, состоящей из непрерывного множества упруго-пластических элементов. Демпирующие свойства отмеченной модели материала учитываются спектральной плотностью безразмерных пределов текучести ее элементов. Разработан метод идентификации функции , по общепринятым характеристикам демпфирования материала (логарифмическому декременту или демпфирующей способности ), открывающий возможность адекватного учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций. 

6. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения конечно-элементной модели конструкции с упруго-гистерезисным и вязкоупругим материалом без каких-либо ограничений на характер ее движения и закон нагружения. Показано, что при гармонических установившихся (стационарных) колебаниях данные дифференциальные уравнения сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, порядок которой равен удвоенному числу степеней свободы конечно-элементной модели конструкции. Разработаны итерационные алгоритмы решения данных нелинейных уравнений на основе коррекции амплитуд деформаций конечных элементов в конце текущей итерации с использованием параметра сдвига и метода пропорционального деления. Проведены численные эксперименты по оценке сходимости разработанных итерационных алгоритмов. По результатам экспериментов выбран алгоритм, использующий параметр сдвига .

7. Получены соотношения для формирования матриц гистерезисного демпфирования типовых конечных элементов, используемых при моделировании стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций. Проведены численные эксперименты по апробации полученных соотношений и разработанных на их основе вычислительных программ анализа стационарной динамической реакции тонкостенных конструкций, подтверждающие достоверность данных соотношений и надежную работу программ.

8. Отмечено что, наиболее общим методом анализа динамической реакции произвольных неупругих систем является численный метод шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения таких систем. Рассмотрены шаговые методы интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем, основанные на предпосылке о линейном законе изменения ускорения на текущем временном шаге: метод линейного ускорения; - метод Вильсона и метод Ньюмарка. На примере плоской фермы показано, что при обычной форме записи дифференциальных уравнений, в которой силы упругого и неупругого сопротивления материала учитываются вместе в левой части этих уравнений, ни один из трех рассмотренных методов не дает положительного результата (стремления переходного процесса к стационарному решению при резонансе). Исходя из этого, предложено учитывать неупругие силы в правой части уравнений движения, в результате чего положительные результаты получены при использовании двух методов: - метода Вильсона и метода Ньюмарка. Отмеченное предложение представляет, по сути, обобщение метода упругих решений на физически нелинейные задачи динамики конструкций.

Проведены численные эксперименты по оценке скорости сходимости и точности - метода Вильсона и метода Ньюмарка в зависимости от шага интегрирования при выходе конструкции (плоской фермы) в режим установившихся резонансных колебаний путем сравнения полученных результатов со стационарным решением, полученным в главе 4. Установлено, что при уменьшении погрешность метода Ньюмарка снижается существенно быстрее, чем погрешность - метода Вильсона. Для шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения демпфированных конструкций рекомендовано использовать метод Ньюмарка.

9. Рассмотрено влияние параметров и , определяющих области безусловной устойчивости - метода Вильсона и метода Ньюмарка, на точность получаемого решения. Наивысшая точность в обоих методах получается при минимальных значениях параметров, обеспечивающих устойчивость процесса шагового интегрирования: в - методе Вильсона ; в методе Ньюмарка . Увеличение параметров и , относительно их минимальных значений в обоих методах дает заметный демпфирующий эффект.

10. Приведены тестовые примеры определения динамической реакции конструкций (стержня, прямоугольной пластины при плоском напряженном состоянии, пространственной фермы), показывающие возможность использования метода Ньюмарка и отмеченной выше реологической модели А.Ю. Ишлинского для учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций. Приведен пример определения нестационарной динамической реакции близкой к реальной тонкостенной конструкции (киля самолета-орбитера) на действие кратковременного бокового импульса. Для учета демпфирующих свойств материала использована отмеченная выше реологическая модель. Считалось, что киль имеет теплозащитное покрытие (ТЗП), которое не оказывает сопротивления действию нагрузки, но увеличивает массу и демпфирующую способность конструкции. Демпфирующие свойства ТЗП учитывались с использованием концепции вязкого демпфирования. Полученные результаты согласуются с представлениями о реакции конструкции на указанное динамическое воздействие.

11. Поставлена и решена обратная задача, состоящая в определении амплитудной зависимости логарифмического декремента материала по заданным  характеристикам демпфирования конструкции. В качестве последних выбраны значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких  низших собственных форм колебаний конструкции. Приведен пример определения зависимости от амплитуды деформации для материала полок лонжеронов трапециевидного крыла, обеспечивающей требуемые значения (). Показано, что для получения практически реализуемой зависимости необходимо вводить систему ограничений, определяющих характер данной зависимости.

12. Разработаны принципы построения математической модели демпфирующего сплава и методы определения его проектных параметров (содержания легирующих элементов и показателей режимов термообработки), обеспечивающие требуемые прочностные, пластические и демпфирующие свойства сплава. Разработаны методы оптимизации указанного комплекса свойств демпфирующего сплава и анализа чувствительности полученных оптимальных решений к возможным отклонениям его проектных параметров.

Основные публикации по теме диссертации

1. Шишкин В. М. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры методом подконструкций //  Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. № 1. С. 13–16.

2. Шишкин В. М. Формирование матрицы демпфирования треугольного конечного элемента при изгибе // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. № 2. С. 8–11.

3. Шишкин В. М. Формирование систем разрешающих уравнений для анализа стационарной динамической реакции неидеально упругих конструкций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2005. № 2. С. 35–38.

4. Шишкин В. М. Идентификация демпфирующих свойств реологической модели материала, основанной на эффекте микропластических деформаций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2006. № 2. С. 35–39.

5. Шишкин В. М. Учет амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при резонансных колебаниях конструкций // Известия Международной академии наук высшей школы.  2006. № 2. С. 188–198.

6. Левашов П. Д., Шишкин В. М. К вопросу о формировании многомерных матриц жесткости с полями перемещений любого порядка // Изв. вузов. Авиационная техника. 1982. № 2. С. 69–72.

7. Скворцов А. И., Кондратов В. М., Агапов А. И., Шишкин В. М. Термическая обработка демпфирующих сплавов на основе железо-углерод // Технология металлов. 2006. №11. С. 16–21.

8. Кондратов В. М., Скворцов А. И., Агапов А. И., Шишкин В. М. Термомагнитная обработка - как способ повышения демпфирующей способности сплавов железа // Прогрессивные технологии и системы машиностроения. Международный сборник научных трудов. Вып. 32. Донецкий национальный технический университет. Донецк, 2006. С. 267–271.

9. Левашов П. Д., Шишкин В. М. К вопросу учета работы элементов тонкостенных конструкций на изгиб // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1981.  С. 55–60.

10. Левашов П. Д., Шишкин В. М. О вычислении элементов матриц жесткости с помощью полиномов третьего порядка // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1983. С. 39–45.

11. Левашов П. Д., Шишкин В. М. Применение вспомогательных гипотез при расчете тонкостенных конструкций на основе гибридных расчетных схем  // Прочность и колебания авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1984.  С. 43–50.

12. Шишкин В. М. Конечно-элементные модели в колебаниях неидеально упругих конструкций // Монография. Киров: изд-во ВятГУ, 2004. 72 с.

13. Кондратов В. М., Шишкин В. М. Математическое моделирование и проектирование демпфирующих сплавов // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 1. Киров, 2007. С. 303–307.

14. Шишкин В. М. Учет внутреннего трения материала в нестационарных режимах нагружения конструкций // Сб. материалов VIII Всероссийской конф. “Демпфирующие материалы”. Киров, 1999. С. 93.

15. Шишкин В. М. Динамический расчет конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, зависящих от скорости деформации // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2001. С. 219–220.

16. Шишкин В. М. Формирование матриц жесткости, масс и демпфирования балочного конечного элемента с демпфирующим покрытием // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2001. С. 221–222.

17. Шишкин В. М. Определение коэффициента гистерезисного отклонения при формировании матрицы демпфирования балочного конечного элемента // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2002. С. 48–49.

18. Шишкин В. М. Применение гибридных расчетных схем к исследованию упруго-пластического состояния элементов авиационных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2003. С. 167–168.

19. Шишкин В. М. Формирование разрешающих уравнений для анализа упруго-пластического состояния составных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2003. С. 169–170.

20. Шишкин В. М. Модифицирование структуры систем разрешающих уравнений при определении стационарной динамической реакции демпфированных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 164–165.

21. Шишкин В. М. Особенности шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкций с материалом гистерезисного типа // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 166–168.

22. Шишкин В. М. Синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным характеристикам демпфирования конструкции // Сб.  материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 169–171.

23. Шишкин В. М. Анализ влияния параметров, определяющих безусловную устойчивость метода Ньюмарка, на точность интегрирования уравнений движения неидеально упругих конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2005. С. 242–244.

24. Шишкин В.М. Процедура глобального сглаживания напряжений в конечно-элементных моделях конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2005. С. 245–247.

25. Шишкин В. М. Выбор функции микропластичности для моделирования демпфирующих свойств изотропного упруго-пластического материала // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2006. С. 302–306.

26. Шишкин В. М. Решение обратной задачи динамики при резонансных колебаниях конструкций с линейно-гистерезисным материалом // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2006. С. 307–310.

27. Кондратов В. М., Шишкин В. М. Математическое моделирование и проектирование демпфирующих сплавов  // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2007. С. 187–191.

28. Шишкин В. М. Построение матрицы мгновенных упруго-пласти-ческих модулей изотропного материала при малых приращениях напряжений и деформаций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 319–323.

29. Шишкин В. М. Решение задачи поиска характеристик демпфирования материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 324–328.

30. Шишкин В. М. Выбор метода последовательной линеаризации при конечно-элементном решении упруго-пластической задачи // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 338–342.

31. Шишкин В. М. Определение функции микропластичности для учета демпфирующих свойств изотропного материала в нестационарных режимах деформирования // Сб. материалов XV Международной конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2007. С. 520–521.

32. Шишкин В. М. К вопросу об учете демпфирующих свойств материала при резонансных колебаниях конструкций. В кн.: Наука и технологии. Труды XXVII Российской школы, посвященной 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра “КБ им. академика В.П. Макеева”. М.: РАН, 2007. С. 210–217.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.